第六单元应用专项09：比与“不变量问题”综合-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第六单元应用专项09：比与“不变量问题”综合 1．学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3？ 2．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 3．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7∶4∶1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8∶3∶5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 4．小明读一本书，已读的和未读的页数比是2∶7；如果再读33页，则已读的和未读的页数比是3∶5。这本书共有多少页？ 5．甲、乙两个车间人数的比是4∶3，从甲车间调54人到乙车间后，甲、乙两车间人数的比为3∶4。原来甲、乙两车间各有多少人？ 6．甲、乙两个修路队原有石子的质量比是3∶4，乙队运了108吨给甲队，现在甲、乙两队有的石子的质量比是5∶2。原来甲、乙两队各有石子多少吨？ 7．甲、乙、丙三个仓库共存粮2100吨，甲仓库运出270吨，乙仓库运进150吨，丙仓库运出自己存粮吨数的，这时三个仓库存粮吨数的比是5∶3∶2。原来三个仓库各存粮多少吨？ 8．某校合唱队原来男、女生人数比是5∶3，后来又增加了14名女生，这时男、女生人数比是6∶5，原来合唱队一共有多少人？ 9．某班原来男女生人数之比为5∶3，后来又转来2名女生，男女生之比变成3∶2，班上原来一共有多少人？ 10．科学课上，同学们做模拟火山喷发的实验。原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5，又加入19克小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，塑料杯中有多少克柠檬酸？ 11．有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4∶5，甲兴趣班原来有多少人？ 12．修一条公路，已修的路程与剩下路程的比是1∶3，如果再修150千米，那么完成的路程与剩下的路程相同，这条公路共有多少千米？ 13．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5，如果小强买了这把小刀，那么两人剩余钱数之比是8∶13，小明和小强原来各有多少钱？ 14．一杯盐水中，盐与水的质量之比为2∶5，加进45g水后，盐与水的质量比是3∶10，杯子中原有盐水多少克？ 15．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？ 16．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第六单元应用专项09：比与“不变量问题”综合 昆日期、 日用时： 贝评价： 1.学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与 B组的人数比是2：3？ 【答案】34名 【分析】根据题目分析，学校合唱队的总人数是不变的，即是A组和B组的人数和为215名。 再根据比的分配，调出后A组人数占总人数的写·求一个数的几分之几用乘法得出A组现 在的人数是86名，即用原来的人数一调出后的人数得出调出的人数。 【详解】120+95=215（人） 2153异写215号86（人） 120一86=34（名) 答：从A组调出34名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2：3。 2.两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨， 两堆煤剩下重量的比是1：1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 【答案】64吨 【分析】把总重量看作单位1，已知原来甲维煤的重量占总重量的。，原来乙堆煤的重量占 总重量的(1一8)，假设甲乙两堆煤共有x吨，根据分数乘法的意义，可知原来甲堆煤的重 量是x吨，原来乙堆煤的重量是(1一)x吨：已知两堆煤剩下重量的比是1：1，根据比的 意义，可知两堆煤剩下重量相等，据此可知原来甲堆煤的重量一26吨=原来乙堆煤的重量一 10吨，列方程为8x-26=(1-x-10,然后解出方程即可。 【详解】解：设甲乙两堆煤共有x吨。 x-26=(1-8x-10 5 8x-26=x-10 第1页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8X=8x-10+26 53 3 8x=8x+16 53 8x-8x=16 4x=16 x=16号 x=16×4 x=64 答：甲乙两堆煤共有64吨。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 3.小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7：4：1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠 送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8：3：5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 【答案】42枚 【分析】三人邮票总数不变，将三人邮票总数看作单位1”，开始小明邮票枚数占邮票总数的 7 7+4+1 小明和小林都赠送给小刚邮票后，小明邮票枚数片邮票总数的s-5·因此24枚邮 8 票占邮票总数的 7+4+18+3+5 根据部分数量：对应分率=整体数量，求出三人邮票总数， 小林邮票数量减少了总数的 4 3 7+4+18+3+5) 三人邮票总数×小林邮票数量减少的对应分率 =小林赠送给小刚的数量，据此列式解答。 【详解】24÷ > 8 、7+4+18+3+5 77 =24÷1216》 =24÷ 48 =249 =288(枚) 4 3 288× (7+4+18+3+5 =288× (43 (1216 第2页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 -288×8 =42(枚) 答：小林赠送给小刚42枚邮票。 【点睛】关键是理解比的意义，明确总数不变，从而确定单位1”，根据分数乘除法的意义， 进行解答。 4.小明读一本书，已读的和未读的页数比是2：7：如果再读33页，则已读的和未读的页数 比是3：5。这本书共有多少页？ 【答案】216页 【分析】这本书的页数不改变，将这本书的页数看成单位1”，已读的和未读的页数比是2：7， 已读的页数是这本书的号，后来再读33页，已读的和未读的页数比是3：5，即已读的页数是 这本书的，前后已读的页数的分率相差号也武是再读的33页占这本书的号，已知个 数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【详解】33÷ 32 3+52+7 =3389 (32 3311 2 =3名 =216(页) 答：这本书共有216页。 5.甲、乙两个车间人数的比是4：3，从甲车间调54人到乙车间后，甲、乙两车间人数的比 为3：4。原来甲、乙两车间各有多少人？ 【答案】甲车间：216人：乙车间：162人 【分析】从甲车间调54人到乙车间，两个车间的总人数不变，把两个车间的总人数看作单位1”， 甲车间原来的人数占总人数的（4)，甲车间现在的人数占总人数的（子4 3+4 ):用54除以 (4()计算出两个车间的总人数，再用两个车间总人数乘(3本1)求出甲车间原来的 3+43+4 人数，用两个车间总人数乘(4)求出乙车间原来的人数。 【详解】两车间总人教：54÷ 43 3+43+4 第3页共11页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 43 =54-77) -54月 =54×7 =378(人) 甲车间原有人数：378×4 3+4 =8*片 =216(人) 乙车间原有人数：378×，3 3+4 =8 =162(人) 答：原来甲车间有216人，乙车间有162人。 6.甲、乙两个修路队原有石子的质量比是3：4，乙队运了108吨给甲队，现在甲、乙两队有 的石子的质量比是5：2。原来甲、乙两队各有石子多少吨？ 【答案】甲队：162吨：乙队：216吨 【分析】从乙队运了108吨给甲队，两个修路队石子的总质量不变，把两个修路队的石子总质 至看作单位，甲队原来的石了质量占总质至的()，甲队现在的石了质量占总质至的 （品方：用1s降以（写72品：>计算出丙个修瑞队石子的总质品，再用石了总质是乘（名 求出甲队原来的石子质量，用石子总质量乘(34)求出乙队原来的石子质量。 【详解】两队石子总质量：18=(3千23十 53 =108*77) 53 =1o8号 -108×2 =378（吨) 甲队原来有的石子：378×，3 +4 第4页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =378×3 7 =162(吨) 乙队原来有的石子：378× 4 3+4 -3n8×号 =216(吨) 答：原来甲队有石子162吨，乙队有石子216吨。 7.甲、乙、丙三个仓库共存粮2100吨，甲仓库运出270吨，乙仓库运进150吨，丙仓库运出 自己存粮吨数的三，这时三个仓库存粮吨数的比是5：3：2。原来三个仓库各存粮多少吨？ 【答案】原来甲仓库存粮1170吨：乙仓库存粮390吨：丙仓库存粮540吨 【分析】假设丙仓库不运出粮食，现在甲、乙、丙一共存粮2100一270+150=1980（吨）， 它们的存粮吨数的比是5：3：3（丙仓库运出，后还剩2份，则原来应该是这样的3份）。把 19g0吨按5：3：3进行分配，甲仓库原来的存粮吨数片1980吨的+3乙、丙两个仓库现 在的存粮吨数分别占1980吨的，。用乘法计算，可求出丙仓库原来的存粮吨数，以及甲、 乙两个仓库现在的存粮吨数，最后再求甲、乙两个仓库原来的存粮吨数。 【详解】2100一270+150=1980（吨） 5 甲仓库：1980×5+3+3+270 =1980x5+270 11 =900+270 =1170(吨) 3 丙仓库：1980× 5+3+3 -1980x3 1 =540(吨) 乙仓库：1980x3 5+3+3150 =1980×3-150 11 =540-150 第5页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =390(吨) 答：原来甲仓库存粮1170吨，乙仓库存粮390吨，丙仓库存粮540吨。 8.某校合唱队原来男、女生人数比是5：3，后来又增加了14名女生，这时男、女生人数比 是6：5，原来合唱队一共有多少人？ 【答案】96名 【分析】根据题意可知，原来女生人数是男生人数的？，增加14名女生后，女生人数是男生 人数的？，先求出女生人数增加的比例，即？，再用增加的女生人数除以求出的女生人数 增加的比例，计算出男生人数，把男生人数看作单位1，即原来总人数为1+，用男生人数 乘上1+。据此求出答案。 【详解】原来女生人数是男生人数的？，增加14名女生后，女生人数是男生人数的 53 6-5 2518 =3030 7 一30 男生人数：140 =14×30 7 =60(名) 原来总人数： (1+ 5）x60 -g60 =96(名) 答：原来合唱队一共有96人。 9.某班原来男女生人数之比为5：3，后来又转来2名女生，男女生之比变成3：2，班上原来 一共有多少人？ 【答案】48人 3 【分析】从题意可知，男生人数不变，以男生人数为单位“1”，原来女生占男生的，后来女 生占男生的，转来2名女生就相当于男生的》 根据已知一个数的几分之几是多少，求 第6页共11页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 23 这个数用除法计算，用2÷ 35 即可求出男生的人数，再用男生人数×号，就求出了原来女生 的人数。最后男生人数十女生人数，即原来全班人数。据此解答。 【详解】2后引 21 15 =2×15 =30(人) 50×330 =18+30 =48(人) 答：班上原来一共有48人。 10.科学课上，同学们做模拟火山喷发的实验。原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9：5， 又加入19克小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7：6，塑料杯中有多少克柠 檬酸？ 【答案】63克 【分析】由题意可知，原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9：5，后来加入了19克的小 苏打后，此时塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7：6，也就是塑料杯中柠檬酸的质量 没有发生变化，则原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9：5=63：35，后来塑料杯中柠 檬酸和小苏打的质量比变成了7：6=63：54，则19克对应的份数为54一35=19份，1份表示 19÷19=1克，柠檬酸为63份，表示有柠檬酸1×63=63克。 【详解】9：5=63：35 7:6=63:54 19:(54-35)×63 =19÷19×63 =1×63 =63(克) 答：塑料杯中有63克柠檬酸。 11.有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调3人到甲兴 趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4：5，甲兴趣班原来有多少人？ 第7页共11页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】45人 【分析】根据题意可知，甲、乙两个兴趣班的总人数不变，把两个班的总人数看作单位1”： 已知原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，即原来甲兴趣班人数占两班总人数的，： 如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4：5，即后来甲兴趣班人数占 两班总人数的 那么甲兴趣班增加的3人占两班总人数的(4s一)，单位味知，用除法计算，即可 求出总人数： 因为原来甲兴趣班人数占两班总人数的写，根据求一个数的几分之几是多少，用总人数乘 5中7，即是甲兴趣班原来的人数。 【详解】甲、乙两个班的总人数： 3( -1 5+7 =g8〉 5 =3÷（36 3 36 =3×36 =108(人) 甲兴趣班原来有： 103327 =108音 =45(人) 答：甲兴趣班原来有45人。 【点睛】明确两个班的总人数不变，从甲、乙两个班人数的占比信息，得出甲班原有人数、后 来人数分别占两个班总人数的几分之几，进而分析出3人占两个班总人数的几分之几，根据分 数除法的意义求出两个班的总人数是解题的关键。 12.修一条公路，已修的路程与剩下路程的比是1：3，如果再修150千米，那么完成的路程 与剩下的路程相同，这条公路共有多少千米？ 第8页共11页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】600千米 【分析】把这条公路的总路程看作单位1”，根据题意，已修的路程与剩下路程的比是1：3， 即已修路程占总路程的名： 再修150千米，完成的路程与剩下的路程相同，即完成的路程占 总路程的兮用3对应的修的150千米，求单位用150（兮，即可解答。 【详解】150-（兮中) =150-(- =150-号 =150×4 =600(千米) 答：这条公路共有600千米。 13.一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是25， 如果小强买了这把小刀，那么两人剩余钱数之比是8：13，小明和小强原来各有多少钱？ 温馨小提示：两人剩余钱数 之和不变 【答案】小明12元；小强22.5元。 【分析】如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2：5，由此可知，小明 与小强、小明剩余钱数和的比为2：(2十5)=2：7，同理如果小强买了这把小刀，小明与小 强、小明剩余钱数和的比为8：(8十13)=8：21，由于小刀的售价一定，都是3元，所以两 人剩余的钱数之和不变，据此可得：2：7=6：21，小明买这把刀时，小强的钱数与原来的钱 数相等，小强买这把刀时，小明的钱数不变，但小明买这把刀与小强买这把刀份数变了，由6 份变为了8份，用3元除以对应的(8一6)份，求出1份是多少钱，再乘8份就是小明原来的 钱数，乘13份、再加上3元就是小强原来的钱数。 【详解】2：(2+5)=2：7=6：21 8:(8+13)=8:21 3÷(8-6) =3÷2 =1.5(元) 第9页共11页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.5×8=12（元) 1.5×13+3 =19.5+3 =22.5(元) 答：小明原来有12元，小强原来有22.5元。 【点睛】明确两人剩余的钱数之和不变，转化为小明、小强剩余的钱数与二人之和的钱数比是 解题的关键。 14.一杯盐水中，盐与水的质量之比为2：5，加进45g水后，盐与水的质量比是3：10，杯子 中原有盐水多少克？ 【答案】189克 【分析】在往盐水中加水时，盐的质量不变，可以两次质量比进行通分，使两次盐所占得份数 相等，而水所占的份数会发生变化，这部分变化所对应的就是新加入的45克水。 【详解】原来盐：水为2：5=6：15 现在盐：水为3：10=6：20 份：45÷(20-15) =45÷5 =9(克) 原盐水：9×(6+15) =9×21 =189(克) 答：杯子中原有盐水189克。 【点睛】明确加水前后盐的质量不变是解题的关键。 15.“双减课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6：1。后 来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4：3。这个小组增加了多少名女生？ 【答案】21人 【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×6 6 =36(名)，女生有42-36=6（名)， 后来女生人数占男生人数的， 根据分数乘法的意义，用36×子即可求出变化后的女生人数， 再减去原来的女生人数即可。 第10页共11页命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋 第六单元应用专项09：比与“不变量问题”综合 昆日期、 日用时： 食评价： 1.学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与 B组的人数比是2：3？ 2.两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的令：如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨， 两堆煤剩下重量的比是1：1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 3.小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7：4：1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠 送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8：3：5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 4.小明读一本书，已读的和未读的页数比是2：7：如果再读33页，则已读的和未读的页数 比是3：5。这本书共有多少页？ 第1页共4页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.甲、乙两个车间人数的比是4：3，从甲车间调54人到乙车间后，甲、乙两车间人数的比 为3：4。原来甲、乙两车间各有多少人？ 6.甲、乙两个修路队原有石子的质量比是3：4，乙队运了108吨给甲队，现在甲、乙两队有 的石子的质量比是5：2。原来甲、乙两队各有石子多少吨？ 7.甲、乙、丙三个仓库共存粮2100吨，甲仓库运出270吨，乙仓库运进150吨，丙仓库运出 自己存粮吨数的，这时三个仓库存粮吨数的比是5：3：2。原来三个仓库各存粮多少吨？ 8.某校合唱队原来男、女生人数比是5：3，后来又增加了14名女生，这时男、女生人数比 是6：5，原来合唱队一共有多少人？ 9.某班原来男女生人数之比为5：3，后来又转来2名女生，男女生之比变成3：2，班上原来 一共有多少人？ 第2页共4页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10.科学课上，同学们做模拟火山喷发的实验。原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9：5， 又加入19克小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7：6，塑料杯中有多少克柠 檬酸？ 11.有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调3人到甲兴 趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4：5，甲兴趣班原来有多少人？ 12.修一条公路，已修的路程与剩下路程的比是1：3，如果再修150千米，那么完成的路程 与剩下的路程相同，这条公路共有多少千米？ 13.一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2：5， 如果小强买了这把小刀，那么两人剩余钱数之比是8：13，小明和小强原来各有多少钱？ 14.一杯盐水中，盐与水的质量之比为2：5，加进45g水后，盐与水的质量比是3：10，杯子 中原有盐水多少克？ 第3页共4页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15.“双减课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6：1。后 来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4：3。这个小组增加了多少名女生？ 16.一杯糖水，糖和水的质量比是1：10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1：8。杯中糖 水里原有糖和水各多少克？ 第4页共4页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第六单元应用专项09：比与“不变量问题”综合 1．学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3？ 【答案】34名 【分析】根据题目分析，学校合唱队的总人数是不变的，即是A组和B组的人数和为215名。再根据比的分配，调出后A组人数占总人数的，求一个数的几分之几用乘法得出A组现在的人数是86名，即用原来的人数－调出后的人数得出调出的人数。 【详解】120＋95＝215（人） （人） 120－86＝34（名） 答：从A组调出34名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3。 2．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 【答案】64吨 【分析】把总重量看作单位“1”，已知原来甲堆煤的重量占总重量的，原来乙堆煤的重量占总重量的（1－），假设甲乙两堆煤共有x吨，根据分数乘法的意义，可知原来甲堆煤的重量是x吨，原来乙堆煤的重量是（1－）x吨；已知两堆煤剩下重量的比是1∶1，根据比的意义，可知两堆煤剩下重量相等，据此可知原来甲堆煤的重量－26吨＝原来乙堆煤的重量－10吨，列方程为x－26＝（1－）x－10，然后解出方程即可。 【详解】解：设甲乙两堆煤共有x吨。 x－26＝（1－）x－10 x－26＝x－10 x＝x－10＋26 x＝x＋16 x－x＝16 x＝16 x＝16÷ x＝16×4 x＝64 答：甲乙两堆煤共有64吨。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 3．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7∶4∶1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8∶3∶5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 【答案】42枚 【分析】三人邮票总数不变，将三人邮票总数看作单位“1”，开始小明邮票枚数占邮票总数的，小明和小林都赠送给小刚邮票后，小明邮票枚数占邮票总数的，因此24枚邮票占邮票总数的，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出三人邮票总数，小林邮票数量减少了总数的，三人邮票总数×小林邮票数量减少的对应分率＝小林赠送给小刚的数量，据此列式解答。 【详解】 （枚） （枚） 答：小林赠送给小刚42枚邮票。 【点睛】关键是理解比的意义，明确总数不变，从而确定单位“1”，根据分数乘除法的意义，进行解答。 4．小明读一本书，已读的和未读的页数比是2∶7；如果再读33页，则已读的和未读的页数比是3∶5。这本书共有多少页？ 【答案】216页 【分析】这本书的页数不改变，将这本书的页数看成单位“1”，已读的和未读的页数比是2∶7，已读的页数是这本书的，后来再读33页，已读的和未读的页数比是3∶5，即已读的页数是这本书的，前后已读的页数的分率相差，也就是再读的33页占这本书 的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【详解】 （页） 答：这本书共有216页。 5．甲、乙两个车间人数的比是4∶3，从甲车间调54人到乙车间后，甲、乙两车间人数的比为3∶4。原来甲、乙两车间各有多少人？ 【答案】甲车间：216人；乙车间：162人 【分析】从甲车间调54人到乙车间，两个车间的总人数不变，把两个车间的总人数看作单位“1”，甲车间原来的人数占总人数的（），甲车间现在的人数占总人数的（）；用54除以（）计算出两个车间的总人数，再用两个车间总人数乘（）求出甲车间原来的人数，用两个车间总人数乘（）求出乙车间原来的人数。 【详解】两车间总人教： （人） 甲车间原有人数： （人） 乙车间原有人数： （人） 答：原来甲车间有216人，乙车间有162人。 6．甲、乙两个修路队原有石子的质量比是3∶4，乙队运了108吨给甲队，现在甲、乙两队有的石子的质量比是5∶2。原来甲、乙两队各有石子多少吨？ 【答案】甲队：162吨；乙队：216吨 【分析】从乙队运了108吨给甲队，两个修路队石子的总质量不变，把两个修路队的石子总质量看作单位“1”，甲队原来的石子质量占总质量的（），甲队现在的石子质量占总质量的（）；用108除以（）计算出两个修路队石子的总质量，再用石子总质量乘（）求出甲队原来的石子质量，用石子总质量乘（）求出乙队原来的石子质量。 【详解】两队石子总质量： （吨） 甲队原来有的石子： （吨） 乙队原来有的石子： （吨） 答：原来甲队有石子162吨，乙队有石子216吨。 7．甲、乙、丙三个仓库共存粮2100吨，甲仓库运出270吨，乙仓库运进150吨，丙仓库运出自己存粮吨数的，这时三个仓库存粮吨数的比是5∶3∶2。原来三个仓库各存粮多少吨？ 【答案】原来甲仓库存粮1170吨；乙仓库存粮390吨；丙仓库存粮540吨 【分析】假设丙仓库不运出粮食，现在甲、乙、丙一共存粮2100－270＋150＝1980（吨），它们的存粮吨数的比是5∶3∶3（丙仓库运出后还剩2份，则原来应该是这样的3份）。把1980吨按5∶3∶3进行分配，甲仓库原来的存粮吨数占1980吨的，乙、丙两个仓库现在的存粮吨数分别占1980吨的，用乘法计算，可求出丙仓库原来的存粮吨数，以及甲、乙两个仓库现在的存粮吨数，最后再求甲、乙两个仓库原来的存粮吨数。 【详解】2100－270＋150＝1980（吨）     甲仓库： （吨） 丙仓库： （吨） 乙仓库： ＝390（吨） 答：原来甲仓库存粮1170吨，乙仓库存粮390吨，丙仓库存粮540吨。 8．某校合唱队原来男、女生人数比是5∶3，后来又增加了14名女生，这时男、女生人数比是6∶5，原来合唱队一共有多少人？ 【答案】96名 【分析】根据题意可知，原来女生人数是男生人数的，增加14名女生后，女生人数是男生人数的，先求出女生人数增加的比例，即－，再用增加的女生人数除以求出的女生人数增加的比例，计算出男生人数，把男生人数看作单位“1”，即原来总人数为1＋，用男生人数乘上1＋。据此求出答案。 【详解】原来女生人数是男生人数的，增加14名女生后，女生人数是男生人数的。 － ＝ ＝ 男生人数：14÷ ＝ ＝60（名） 原来总人数：（1＋）×60 ＝ ＝96（名） 答：原来合唱队一共有96人。 9．某班原来男女生人数之比为5∶3，后来又转来2名女生，男女生之比变成3∶2，班上原来一共有多少人？ 【答案】48人 【分析】从题意可知，男生人数不变，以男生人数为单位“1”，原来女生占男生的，后来女生占男生的，转来2名女生就相当于男生的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用即可求出男生的人数，再用男生人数×，就求出了原来女生的人数。最后男生人数＋女生人数，即原来全班人数。据此解答。 【详解】 （人） （人） 答：班上原来一共有48人。 10．科学课上，同学们做模拟火山喷发的实验。原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5，又加入19克小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，塑料杯中有多少克柠檬酸？ 【答案】63克 【分析】由题意可知，原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5，后来加入了19克的小苏打后，此时塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，也就是塑料杯中柠檬酸的质量没有发生变化，则原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5＝63∶35，后来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6＝63∶54，则19克对应的份数为54－35＝19份，1份表示19÷19＝1克，柠檬酸为63份，表示有柠檬酸1×63＝63克。 【详解】9∶5＝63∶35 7∶6＝63∶54 19÷（54－35）×63 ＝19÷19×63 ＝1×63 ＝63（克） 答：塑料杯中有63克柠檬酸。 11．有甲、乙两个兴趣班，原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4∶5，甲兴趣班原来有多少人？ 【答案】45人 【分析】根据题意可知，甲、乙两个兴趣班的总人数不变，把两个班的总人数看作单位“1”； 已知原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的，即原来甲兴趣班人数占两班总人数的； 如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班，甲、乙兴趣班的人数比是4∶5，即后来甲兴趣班人数占两班总人数的； 那么甲兴趣班增加的3人占两班总人数的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出总人数； 因为原来甲兴趣班人数占两班总人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用总人数乘，即是甲兴趣班原来的人数。 【详解】甲、乙两个班的总人数： 3÷（－） ＝3÷（－） ＝3÷（－） ＝3÷ ＝3×36 ＝108（人） 甲兴趣班原来有： 108× ＝108× ＝45（人） 答：甲兴趣班原来有45人。 【点睛】明确两个班的总人数不变，从甲、乙两个班人数的占比信息，得出甲班原有人数、后来人数分别占两个班总人数的几分之几，进而分析出3人占两个班总人数的几分之几，根据分数除法的意义求出两个班的总人数是解题的关键。 12．修一条公路，已修的路程与剩下路程的比是1∶3，如果再修150千米，那么完成的路程与剩下的路程相同，这条公路共有多少千米？ 【答案】600千米 【分析】把这条公路的总路程看作单位“1”，根据题意，已修的路程与剩下路程的比是1∶3，即已修路程占总路程的；再修150千米，完成的路程与剩下的路程相同，即完成的路程占总路程的，用－，对应的修的150千米，求单位“1”，用150÷（－），即可解答。 【详解】150÷（－） ＝150÷（－） ＝150÷ ＝150×4 ＝600（千米） 答：这条公路共有600千米。 13．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5，如果小强买了这把小刀，那么两人剩余钱数之比是8∶13，小明和小强原来各有多少钱？ 【答案】小明12元；小强22.5元。 【分析】如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5，由此可知，小明与小强、小明剩余钱数和的比为2∶（2＋5）＝2∶7，同理如果小强买了这把小刀，小明与小强、小明剩余钱数和的比为8∶（8＋13）＝8∶21，由于小刀的售价一定，都是3元，所以两人剩余的钱数之和不变，据此可得：2∶7＝6∶21，小明买这把刀时，小强的钱数与原来的钱数相等，小强买这把刀时，小明的钱数不变，但小明买这把刀与小强买这把刀份数变了，由6份变为了8份，用3元除以对应的（8－6）份，求出1份是多少钱，再乘8份就是小明原来的钱数，乘13份、再加上3元就是小强原来的钱数。 【详解】2∶（2＋5）＝2∶7＝6∶21 8∶（8＋13）＝8∶21 3÷（8－6） ＝3÷2 ＝1.5（元） 1.5×8＝12（元） 1.5×13＋3 ＝19.5＋3 ＝22.5（元） 答：小明原来有12元，小强原来有22.5元。 【点睛】明确两人剩余的钱数之和不变，转化为小明、小强剩余的钱数与二人之和的钱数比是解题的关键。 14．一杯盐水中，盐与水的质量之比为2∶5，加进45g水后，盐与水的质量比是3∶10，杯子中原有盐水多少克？ 【答案】189克 【分析】在往盐水中加水时，盐的质量不变，可以两次质量比进行通分，使两次盐所占得份数相等，而水所占的份数会发生变化，这部分变化所对应的就是新加入的45克水。 【详解】原来盐∶水为2∶5＝6∶15 现在盐∶水为3∶10＝6∶20 一份：45÷（20－15） ＝45÷5 ＝9（克） 原盐水：9×（6＋15） ＝9×21 ＝189（克） 答：杯子中原有盐水189克。 【点睛】明确加水前后盐的质量不变是解题的关键。 15．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？ 【答案】21人 【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36×即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。 【详解】42×＝36（名） 42－36＝6（名） 36×－6 ＝27－6 ＝21（名） 答：这个小组增加了21名女生。 【点睛】解答本题的关键是明确男生人数不变，进而根据分数乘法的意义求出后来女生人数。 16．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？ 【答案】糖：8克；水：80克 【分析】根据题意，水的重量始终没变，把水的质量看作单位“1”，原来糖的质量占水的分率：1÷10＝；放2克糖后，糖的质量占水的分率：1÷8＝；将两个分率相减得到2克糖对应的分率，再根据：单位“1”＝对应量÷对应量的分率，求出原来水的重量，再乘即可求出原来糖的质量。 【详解】1÷10＝ 1÷8＝ 2÷（－） ＝2÷ ＝80（克） 80×＝8（克） 答：杯中糖水里原有糖8克和水80克。 【点睛】此题考查了比与分数的应用，关键能够将比转化为分率再解答。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $