精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市和林格尔县第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

6学科网6组卷网 和林格尔县第三中学2025一一2026学年第一学期九年级期中学业质量 监测数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) ·米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两 旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋 转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对 称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可， 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意： B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意： C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意. 故选：C 2.将抛物线少=-3x 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到的抛物线的函数表达式为() A.y=-3(x-2)}2-4 B.y=-3(x-2)2+4 c.y=-3(x+2)2-4 D.y=3(x+2)2+4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移问题.根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可 第1页/共19页 6学科网6组卷网 得到平移后的抛物线的表达式。 【详解】解：抛物线'=-3 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位， ·平移后的抛物线的表达式为y=-3(x+2)}-4 故选：C 3.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B,A,C'在同一直线上，则三角 板ABC旋转的度数是(）. C B' 30°7 B A A.60 B.90° C.120° D.150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解. 【详解】解：旋转角是∠CAC=180°-30-150°. 故选D 【点睛】考点：旋转的性质。 ⊙0 OA=2⊙0 4.已知点A是外一点，且 ,则的半径可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，在圆外的点到圆心的距离大于半径，据此求解即可. ⊙0， 。OA=2 【详解】解：·点A是外一点，且 ⊙0 .的半径大于0且小于2， 故选：A. 第2页/共19页 学科网 命组卷网 5.如果函数y=m+2)x+3m+1 是二次函数，则m的值是() m=2 B.m=+2 Cm=-2 D.m≠2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数定义，根据二次函数的定义得到网=2且m+2≠0，由此求得m的值， 【详解】解：：函数y=(m+2)r+3mx+1 二次函数， :m=2且m+2≠0 解得m=2. 故选：A ABCD.⊙O 6.如图，四边形 是 的内接四边形，连接 M0,0C,∠B=70A0MCD.则∠0MD 的度数 为() B 0 D B.50o C600 D700 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题关键. 根据圆内接四边形对角互补可求∠D,再由两直线平行，同旁内角互补即可求得∠OAD ABCD⊙O 【详解】解：，四边形 是 的内接四边形， 且∠B=70°， 第3页/共19页 6学科网命组卷网 ,∠D=180°-∠B=110 :AO∥CD .∠0AD=180°-∠D=70° 故选：D 7.关于二次函数)=x+4x+1 下列说法正确的是() A.函数图象的开口向下 B函数图象的顶点坐标是(2,5) C.该函数的最大值是5 D.当x>-2时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、项点坐标、 最值以及增减性即可求解. 【详解】解：：二次函数y=x+4x+1.1>0 ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； y=x2+4x+1=(x+2)2-3 ∴函数图象的顶点坐标是（2，-3)， 该函数有最小值，最小值是3，故B、C选项错误，不符合题意； ,函数图象的对称轴为直线x=一2， ∴.当x>-2时，y随x的增大而增大，故D选项正确，符合题意： 故选：D 3 8在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为3，直线1的解析式为y=4x+3,那么直线1与⊙0的位置关 系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】C 第4页/共19页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出OH的长. OA=3,0B=4 求出 由膜定理得到4松=5，白三角形百积公式求01=24，量O0的半轮=3】 1.⊙0 即可判断直线与的位置关系. 3 【详解】解：如图，直线y=4x+3分别与x、y轴交于AB, 3 4t+3 A 过O作OH⊥AB于H, 当=0时y=3 .0A=3, 3 x+3=0 当y=0时，4 x=-4, ∴.OB=4 ...AB=042+OB2=5 AB.OH =TOB-OA :△AOB的面积2 第5页/共19页 6学科网6组卷网 .5×OH=3×4 .0H=2.4 ∴.0 1 d=2.4 到直线的距离 .⊙0 的半径 =3 :.d<r, 1,⊙0 直线与 的位置关系是相交， 故选：C 二、填空题（每题3分，共12分） 9若点M(a,-2),N(3,b)关于原点对称，则b= 1 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点M和点N的 横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，从而求出a和b的值，再计算负整数指数幂即可，掌握知识点的 应用是解题的关键 【详解1解：：点M(a,-2),N(3,b)关于原点对称 .a=-3,b=2, .b=23=1-1 28, 1 故答案为：8. 第6页/共19页 命学科网组卷网 10已知点（-)，（4，乃)在二次函数y=x+4x-3的图象上，则，片的大小关系是，片 片（填“>”，“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.分别计算 =小和=4 时的函数值，然后比较函数值的大小即可. 【详解】解：当x=-1时，片=(-)'+4×(-)-3=-3-3=6 当x=-4时，2=(-4)°+4×(4)-3=-3 <2 故答案为：< 0<x< 11.二次函数y=x2-2x-3,其中 2,则y的取值范围是 【答案】 -4≤y<-7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将二次函数的解析式化为顶点式得出当x=1时，二次函数有最 5 7 小值为4，再分别求出当x=0时，y=3,当=2时，y= 4,由此即可得解，熟练掌握二次函数 的性质是解此题的关键。 【详解】解：y=x-2x-3=(x-1)24 ∴.当x=1时，二次函数有最小值为-4， 第7页/共19页 6学科网 命组卷网 5 当x=0时y=3当2时，、7◆ 4， y的取值范围是 4≤y<-4 7 故答案为： 4≤y<-4. 12.如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 【答案】 V10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为E点，利用 垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接BE,利用勾股定理计算出BE即可. 【详解】解：作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接BE, 由勾股定理得， BE=V32+12=V10 第8页/共19页 6学科网 6组卷网 即圆弧所在圆的半径是V0 故答案为： V10 三、解答题（共64分） 13.按要求完成下列各题： (1)用配方法解方程：x-10x+22=0 (2)己知二次函数y=3(x-1)2+2 a,b,c ①将二次函数化为一般形式，并指出相应的 的值： ②当x=6时，求y的值. 【答案】(1)￥=V5+5.:=-V5+5 (2)00=3.b=6c=5y=77 ；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的一般形式，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程 的一般方法。 (1)用配方法解一元二次方程即可； (2)①根据完全平方公式和整式乘法运算法则，将二次函数化为一般形式即可： ②将x=6代入函数解析式，求出y的值即可. 【小问1详解】 解：x-10x+22=0 配方得：-10x+25=25-2 即(x-5)2=3 第9页/共19页 6学科网 命组卷网 开平方得： x-5=t5 解得：=5+5.五=-V3+5 【小问2详解】 解：①y=3(x-1)2+2 =3(x2-2x+1)+2 =3x2-6x+3+2 =3x2-6x+5 ∴.a=3b=-6c=5 ②把x=6代入函数解析式y=3(x-)2+2得：y=3×(6-1'+2=77 14.如图，已知△ABC: 5 3 2 B 5-4-3-2 2345x 2 3 (1)AC的长等于 ABC △A'B'C A (2)若将 向右平移2个单位得到 ,请画出图形，则A点的对应点“的坐标是 第10页/共19页 6学科网 6组卷网 (3)若将△1BC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到人4BG,请画出图形，则A点对应点4的坐标是 【答案】(1) V10 (2)如图所示△AB'C'即为所求， (1,2) -±B (3)如图所示 即为所求： -4-3-2 45x △4BC (3,0) 5 4 B 【解析】 【分析】(1)直接利用勾股定理求出AC的长即可： (2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案： (3)利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案. 【小问1详解】 第11页/共19页 6学科网 命组卷网 解：AC=VP+32=V0】 故答案为： V10 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了坐标系中作图、勾股定理、平移、旋转，解题的关键是根据图形找出相对应的点即可 15如图，已知二次函数y=心+r+c的图象经过点A(3,0),B(5,0),C(0,-15) (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标； (2)判断点P-,24)是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若P点在二次函数图像上，求出 △ABP的面积； 【答案】山)y=-(x-4+1,顶点(4，) (2) 解：P(1,-24)在该二次函数的图象上，理由如下： 当x=-1时，y=-(-1-3)(-1-5)=-24 :P-山，-24)在该二次函数的图象上， A(3,0),B(5,0) .AB=2 第12页/共19页 6学科网命组卷网 SAm=2×AB×yr=5×2×24=24 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： (山设抛物线解析式为'=(x-3x-5）,待定系数法求出函数解析式即可： (2)把x=一1代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：依题意， 设抛物线y=a(xr-3)(x-5) 代入C0,-15)得，-15=15a. 解得：a=-1, ∴抛物线解析式为y=-(x-3(x-5)=-x2+8x-15=-(x-4)}+1 ·顶点坐标为(4，) 【小问2详解】 略 16知图，4B是O0的直径，CD是⊙0。 D0的切线，切点为C,BE1CD,垂足为B,连接 C,BC (I)求证：BC平分∠ABE; (2)若∠A=60°，OA=2,求CE的长 E C D B 第13页/供19页 6学科网 命组卷网 【答案】 (1)证明：CDa⊙0 的切线， ..OC L DE 又BE⊥DE, OCIIBE .∴.∠OCB=∠CBE :∠0BC=∠CBE 即BC平分∠ABE: (2)CE=V5 【解析】 【分析】(1)利用切线的性质得OC⊥DE,再证明OC/BE得到∠OCB=∠CBE,加上∠OCB= ∠CBO,所以∠OBC=∠CBE: (2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明△OAC等边三角形得到AC=OA=2,再利用勾股定理可 计算出BC=2V ,然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长. 【详解】(1)略 (2)解：：AB⊙0 为 的直径， :∠ACB=900 ∠4=600 ..AO4C AC=04=2 是等边三角形， .AB=2OA=4. :.BC=VAB2-AC2=V16-4=2√5 第14页/供19页 6学科网命组卷网 ∠0BC=)∠40c=30 2 ,且∠OBC=∠CBE, ∴.∠CBE=30° .CE=1BC=3 2 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点 连圆心得半径”. 17.某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量'（件）与每件的销售价 x(元)满足关系： y=-2x+200 (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润w(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式。 (2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)w=-2x2+280x-8000 (2)每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用（利润模型），涉及二次函数的解析式推导和最值求解（顶点式、 公式法)，运用建模思想将利润问题转化为二次函数问题.解题关键是正确推导利润函数，熟练掌握二次 函数最值的求解方法；易错点是配方时符号处理错误，或忽略销售量为正的实际意义验证. （1)根据“利润=（售价·进价）×销售量”，代入进价40元、售价x元、销售量'=-2x+200 推导得利润函数w=-2r2+280x-8000 (2)通过顶点式配方或公式法求二次函数的最大值： 顶点式：将w=-2r+280x-8000配方为w=-2(x-70+180,由a=-2<0,得当=70时，v最 大为1800元. x=- b10 公式法：利用顶点横坐标公式2a ,代入利润函数得最大利润1800元，再验证销售量y>0, 第15页/供19页 6学科网命组卷网 确认结果合理. 【小问1详解】 由题意得，单件进价40元，单件售价元，销售量 y=-2x+200 :w=(x-40）y=(x-40)(-2x+200) 展开得："=-2x2+200x+80x-8000=-2x2+280x-8000 ·函数关系式为：w=-2x2+280x-8000 【小问2详解】 方法一（顶点式）： w=-2(x2-140x)-8000 =-2(x2-140x+4900)4900-8000 =-2(x-70)2+9800-8000 =-2(x-70)2+1800 ,a=-2<0,.w有最大值. 当x=70时，W最大=1800 (元). 方法二（公式法）： a=-2,b=280,c=-8000 280-280=70 2a2×(-2)4 将x=70f代入："=-2×(709+280×70-8000=-9800+19600-800=1800（元）. 70 y=-2×70+200=60>0 售价元，代入销售量 ,合理 答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元. 第16页/共19页 6学科网命组卷网 18.如图， P为o OP 0 的切线，A为切点，过A作的垂 BA,垂足为C,交 于点B,连接 PB,B ,并延长B0交O0于 于点D. PB⊙O (1)求证： ”是 的切线： (2)若OB=6,PB=8,求AB的长. 【答案】(1) 证明：如图，连接OA, B :PA⊙0 为 的切线， ∴.OA⊥AP,即∠OAP=90°， .∠PAC+∠OAB=90°， :AB⊥OP, .AC=BC. :PA=PB, .∠PBA=∠PAB. .OA=OB 第17页/供19页 6学科网列组卷网 .∠OBA=∠OAB」 ∴.∠OBA+∠PBA=∠PAB+∠OAB,即∠PBO=∠PAO=90°， .OB⊥PB :OBa⊙0 是的半径， :PB是O0 的切线： (2)9.6 【解析】 【分析】连接OA,根据切线的性质，可得∠OAP=90°，再由垂径定理可得AC=BC,从而得到 PA=PB ,进而得到 ∠PBA=∠PAB,再由 、,OA= B,可得∠OBM=Z01B 从而得到 ∠PBO=∠PAO=90° 即可： (2)根据勾股定理可得OP的长，再由三角形的面积可得BC的长，然后由垂径定理，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，OB=6,PB=8,OB⊥PB, OP=OB2+PB2 =10 S.rw-jBC-OP-3PB-OB BCx10-1x8x6 .2 2 第18页/共19页 6学科网 6组卷网 解得：BC=4.8, AB⊥OP, .AB=2BC=9.6 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练 掌握相关知识点是解题的关键 第19页/共19页 和林格尔县第三中学2025——2026学年第一学期九年级期中学业质量监测数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 4. 已知点A是外一点，且，则的半径可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如果函数是二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是5 D. 当时，y随x 的增大而增大 8. 在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 若点，关于原点对称，则______． 10. 已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是：_________（填“”，“”或“”）． 11. 二次函数，其中，则y的取值范围是______． 12. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 三、解答题（共64分） 13. 按要求完成下列各题： （1）用配方法解方程：； （2）已知二次函数． ①将二次函数化为一般形式，并指出相应的的值； ②当时，求的值． 14. 如图，已知： （1）的长等于__________________； （2）若将向右平移2个单位得到，请画出图形，则A点的对应点的坐标是__________________； （3）若将绕点按顺时针方向旋转后得到，请画出图形，则A点对应点的坐标是__________________． 15. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求抛物线的解析式及其顶点坐标； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积； 16. 如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 17. 某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式． （2）求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 18. 如图，为的切线，A为切点，过A作的垂线，垂足为C，交于点B，连接，并延长交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $