数列求和6种高频考点专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列求和6种高频考点专项训练 数列求和6种高频考点专项训练 考点目录 等差数列与等比数列公式法求和 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 倒序相加法 含绝对值的等差数列求和 考点一 等差数列与等比数列公式法求和 例1.(25-26高二上·福建宁德·期中)已知等差数列{an}的公差不为0，a1=25,且a1,a,a3成等比数列 (1)求{an}的通项公式： (2)求a1+a3+a5+…+a21 例2.(25-26高二上甘肃陇南月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，己知a,=-7,S,=-9. (I)求{an}的通项公式： (2)求Sn,并求Sn的最小值. 数列求和6种高频考点专项训练 例3.(25-26高二上甘肃兰州月考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a,=2,Sn为其前n项和，且 S1+2S2=S3 (I)求数列{an}的通项公式： (2)若Sn=254,求n的值 变式1.(25-26高二上·湖南长沙期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a,=5,S,=12. (1)求an (②)S,是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 数列求和6种高频考点专项训练 变式2.(25-26高三上·安徽·开学考试)已知{an}是公差为2的等差数列，{b}是公比为2的等比数列，满足 b2=a1-1,b3=a2-1. (I)求数列{a,},{bn}的通项公式； (2)记{an},{b}的前n项和分别为Sn,T,若Sn=T,求n的值. 数列求和6种高频考点专项训练 考点二 裂项相消法 例1.(25-26高二上河南洛阳阶段练习)已知递增数列{a,}满足a+a,=4n-4,a,a1=4n2-1. (1)求a,: (2)证明：数列{an}为等差数列； 1 (3)令b.= 一，求数列bn}的前n项和Sn Van+√an 例2.(25-26高三上黑龙江佳木斯月考)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a=5,a,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： 2)设b,=，1 +4n-2求数列b,}前n项和为S,: 数列求和6种高频考点专项训练 例3.(25-26高二上·吉林月考)己知数列{an}的前n项和为Sn,其中a,=1,S,=n2+n. (I)求实数的值以及数列{an}的通项公式； ②设么，=。，T是数列6，的前n项和，求工. aant 例4.(25-26高三上四川成都月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n∈N): (1)求数列an}的通项公式： ②若6=lg:,6点，数列e前"项和为Z,求证：了< 1 数列求和6种高频考点专项训练 变式1.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨期中)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足41=1， Sn-(2n-Sn1=n2an（n≥2)，数列{cn}满足G=2,c=4cn(c+1-cn) (1)求Sn和cn; (2)若数列bn}满足，b.·cn=(n+2)Sn,求{b}的前n项和T 式2，(2526尚三上吉林四平-月考)在数列a中，40.0cN (1)证明： 1 是等差数列： a (2)设bn=anan1,求数列bn}的前n项和 6 数列求和6种高频考点专项训练 变式3.(2025-江西宜春模拟预测)已知数列Q,满足4，=)，4=)，02+3a,=40 (1)证明：数列{a1-a}为等比数列； (2)求{an}的通项公式： (3)记bn=2an+1,数列 an bb 的前n项和为8，证明：名≤5，<日 变式4.(25-26高三上四川广安·月考)己知等差数列an}的前n项和为Sn,且S,=9,a2+a4=10 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn= ,数列b,的前n项和为，求证：T<2 anan+ 数列求和6种高频考点专项训练 考点三 错位相减法 例1.(25-26高三上四川月考)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=0,S2m-1=2 (I)求{a}的通项公式： (2)求数列{a}的前n项和 例2.(2526高三上河南-月考)已知数列a,满足4=2，且u=22m+1 an 2n-1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn: 数列求和6种高频考点专项训练 例3.(25-26高三上河南月考)设等差数列an}满足a,=1,a=a+8n. (I)求{an}的通项公式： 2)设6-号，求数列b,的前n项和T· 例4.(25-26高三上~桶建厦门-期中)已知数列a的前n项和为S,且3-0-n. (1)求证：{a,+1是等比数列； (2)求数列 2n-1y 的前n项和Tn 1+a 0 数列求和6种高频考点专项训练 变式1.(25-26高三上河北保定·期中)已知等差数列2an-bn}的公差为2，等比数列{2an+bn}的公比为2，且 a1=b=1 (I)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 4a:-b2 的前n项和Tn 3 变式2.(25-26高二上·湖南长沙期中)已知等差数列an}满足a2+ao=12,a。=8,数列bn}满足b=1, bn+1=2+bn, (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： ②设c,数列c的前n项和为，求证：子8<2. ⊙数列求和6种高频考点专项训练 数列求和6种高频考点专项训练 考点目录 等差数列与等比数列公式法求和 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 倒序相加法 含绝对值的等差数列求和 考点一 等差数列与等比数列公式法求和 例1.(25-26高二上福建宁德·期中)已知等差数列{an}的公差不为0，a=25,且a1,a,a3成等比数列 (1)求{an}的通项公式： (2)求a1+a3+a5+…+a21 【答案】(1)an=-2n+27 (2)55 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由a1,a1,43成等比数列，得(a)2=aa3, 即(a,+10d)2=a(a,+12d), 化简得d(2a+25d)=0,又a1=25,所以d2+2d=0,解得d=0或d=-2, 因为d≠0，所以d=-2, 所以a.=25+(n-1×-2)=-2n+27. (2)因为{an}是等差数列，则a,a,a,…,a21构成以a,=25为首项，公差为-4的等差数列， 又由(1)知an=-2n+27,则a21=-2×21+27=-15, 所以a1+a3+a,+…+a21= 1(a+al_1x25-15)=55 2 2 例2.(25-26高二上·甘肃陇南月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7,S,=-9. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn,并求Sn的最小值. 【答案】(1)a,=4n-11 数列求和6种高频考点专项训练 (2)Sn=2n2-9n,Sn的最小值为-10 【详解】(1)因为Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=-7,S=-9, 则S,=3a2=-9,即a2=-3,可得公差d=a2-a1=4, 所以数列{an}的通项公式为an=-7+4n-1=4n-11. (2)因为a,=4n-11,则5，=-7+4n-山=2n-9n, 2 令a。=4n-11>0,解得n>1, 4 可知当n23时，an>0;当n≤2时，an<0; 所以Sn的最小值为S2=-7-3=-10 例3.(25-26高二上甘肃兰州月考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a=2,Sn为其前n项和，且 S,+2S2=S3 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Sn=254,求n的值. 【答案】(1)an=2” (2)7 【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9，q>0, 由S,+2S2=S3,得a1+2a1+2a2=a1+a2+a3, 整理得a3-2a1-a2=0, 即a,g2-2a1-a19=0. 又a1=2,则g2-g-2=0,解得q=2或9=-1 由题知q>0,所以q=2, 所以数列(an}的通项公式an=2×2=2". (2)由题知S, 21-2"） =2n+1-2, 1-2 令21-2=254，得21=256=28， 故n=7 数列求和6种高频考点专项训练 变式1.(25-26高二上·湖南长沙期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a,=5,S,=12 (1)求an (2)S是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 【答案】(1)an=6-n (2)n=5或6时，Sn取得最大值15，无最小值 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 题意得，S,=30+)d=12,则15+3d=12,解得d] 所以an=5+(n-1×(-1=6-n. C2)由s=5+6-m=-号n2+11n 2 +2,函数开口向下，对称轴为n= 而n∈N,则n=5或6时，S,取得最大值15，无最小值 变式2.(25-26高三上·安徽开学考试)已知{an}是公差为2的等差数列，{b,}是公比为2的等比数列，满足 b2=a1-1,b3=a2-1. (I)求数列{a},{b}的通项公式： (2)记{an},{b}的前n项和分别为Sn,Tn,若Sn=T,求n的值. 【答案】(1)an=2n+1,bn=2-; (2)n=15. 【详解】(1)依题意，b=2b2,a2=a1+2,又b2=a1-1,b=a2-1,则a1+1=2(a1-1), 解得a1=3,b2=2,因此an=a,+2(n-1)=2n+1,b,=b,2-2=2-, 所以数列{an},{b}的通项公式分别为an=2n+1,b,=2- (2)由(1)得，3=3+2m+1 n=mm+2,T,=1-2=2-1. 2 1-2 由Sn=T,得n2+2n=255,而neN,所以n=15 3 数列求和6种高频考点专项训练 考点二 裂项相消法 例1.(25-26高二上河南洛阳阶段练习)已知递增数列{a,}满足a+a,=4n-4,a,a1=4n2-1. (1)求a; (2)证明：数列{an}为等差数列； 1 (3)令bn= an +an 一，求数列bn}的前n项和Sn 【答案】(1)a,=1; (②)证明见解析； 3)3n=V2n+1-1 2 【详解】(1)由a-1+an=4n-4,an0n1=4n2-1可得：a1+a2=4,aa2=3, 代入消元得：a,(4-a,)=3,解得a=1或4=3， 因为当a=3时，a2=1,不满足递增数列{an},故舍去， 而当a1=1时，a2=3,满足递增数列an}, 所以a=1; (2)由am-1+an=4n-4可得：an+an1=4n, 又因为a,an1=4n2-1,所以an,an1是方程x2-4x+4n2-1=0的两个根， 而解方程x-2n2=1可得：x=2n±1， 根据递增数列an},所以an=2n-1,an1=2n+1, 即a1-a。=2,所以数列(an}为等差数列； (3)由a,=2n-1,可得6，=√2m-+2n+ 1 =V2n+1-v2n- 2 所以S,=么+6++=5-近，5-5 ++2nti、2n.2m+i-l 2 2 2 2 例2.(25-26高三上黑龙江佳木斯月考)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a=5,a,a2,a;成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： 数列求和6种高频考点专项训练 ②设么-a+4n-2求数列6，}前”项和为S: 【答案】(1)an=2n-1 0 a,+2d=5 【详解】(1)由条件可知 (a+d=a(a+4d'且d*0, J4=1 解得d=2' 所以a,=1+(n-1×2=2n-1; (2)b,= w 1 所以s0-6-) 例3.(25-26高二上吉林月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a,=1,S。=n2+元n. (I)求实数入的值以及数列(a}的通项公式： ②设=，T,是数列6，的前”项和，求工 anan 【答案】(1)元=0；an=2n-1 0 【详解】(1)当n=1时，a,=S,=12+1=1,所以2=0，则Sn=n2, 当n22时，an=Sn-Sn1=n2-(n-12=2n-1, 又a1=1也适合an=2n-1,所以an=2n-1; 1 111） (2)因为6，=2n-2m+122m-12n+1小” 所以数列{bn}的前n项和Tn= +11+…+1-1 、n 2n-12n+12n+1 例4.(25-26高三上四川成都月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n∈N） (1)求数列{a}的通项公式： 1 ②若6=1og:aGhh,数列c,}前n项和为，求证：工<2 数列求和6种高频考点专项训练 【答案】(1)an=2” (2)证明见解析 【详解】(1)当n≥2且neN时，an=Sn-Sn1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,.an=2am-1; 当n=1时，a1=S1=2a1-2,a1=2, :数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，.an=2” (2)由(1)得：b,=l0ga21=l10g2221=2n-1, 67w-l2-h2l 1 111 neN,小4n+2>0,7,=24n+22 变式1.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中)已知Sn是数列an}的前n项和，且满足41=1， Sn-(2n-1)Sn1=n2an（n≥2)，数列cn}满足G=2,c元1=4cnc1-cn) (I)求Sn和Cn; (2)若数列{bn}满足，bn·cn=(n+2)Sn,求{bn}的前n项和T 2 【答案】0)3，=n+,c=2 1 @江=2-n+12 【详解】(1)由题意可知Sn-(2n-1)Sn1=n(Sn-Sn-),n≥2， 则(n2-1Sn=(n2-2n+1S,则(n+1)S,=(n-1)S4, 哈品 所以ggg3-×2×2x×n-2xn-1, S1S2S3Sm-1345 nn+1’n22 2 则5，n+,22, 而S=4=1满足上式，则S,=n+ 2 由c1=4cn(c41-Cn),则c1-4c。C1+4c=0, 则cn1-2cn)厂=0，即cn1=2cn,又G=2, 6 数列求和6种高频考点专项训练 所以数列{cn}是以2为首项，2为公比的等比数列，即c。=2” (2)由b.cn=(n+2)Sn, 则6=n+2列5。n+2 1 1 c,nn+1-2n-2(n+12, 所以Tn=b+b2+b+…+bn 1 1 11 11 1 1 1x272x20+2x203x2+3x24x2+…+ n-22-(m+1)2▣ 1 =2 (n+1)2· 式2.(2526高三上吉林四平-月老)在数列a中，a4。neN (1)证明： 1 是等差数列 a (2)设b=aa+1,求数列bn}的前n项和 【答案】(1)证明见解析 Q2n+4 n 【详解】(1)因为a1=0 4分所以+1，即 -1=1, an+l an antl an 所以数列 是公差为1的等差数列， a 1 (2)因为数列 是公差为1的等差数列， =2,所以2=2+(m-1)x1=n+1, an a a 1 11 所以a,= +于是6，=0，an+ln+2n+n+2 设数列{bn}的前n项和为Tn, 1111 则T=2334 1111n ++ n+1n+22n+22n+4 1 3 变式3.(2025·江西宜春·模拟预测)己知数列an}满足a4,= 24=202+30.=401 (1)证明：数列{a1-a}为等比数列； (2)求{an}的通项公式： (3)记bn=2an+1,数列 an 的前n项和为8，证明：。≤5，<令 数列求和6种高频考点专项训练 【答案】(1)证明见解析； (2)an= 2 (3)证明见解析 【详解】(1)由an+2+3an=4a1,得an+2-an+1=3an1-3an=3(an+1-an), 又ga3 31 24,=3所以a,4=22 =1≠0， 所以a1-a,≠0,02-01=3， ans-an 即{a+-a}是以1为首项，3为公比的等比数列； (2)由(1)知a+1-a,=1×3-1=3-, 当n≥2时，an=(an-an-）+(an-1-an-2）+(an-2-an-3)+…+(a2-4）+a =32+33+3-+…+30+-1-3+1-3 21-322 3 当n=1时，a,=2 也成立， 所以a,的通项公式为a,=2: (3)由(2)得b,=2an+1=3-+1, 所以0m 3- 所8=产 显然S是递增数列，所以S,28=6 因为有>0，所以S<名 111 所以G<日 1 8 变式4.(25-26高三上四川广安月考)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S,=9,a2+a4=10 (1)求数列{an}的通项公式： ②若6，=，，数列6，的前n项和为，求证：工<号 an'an+ 【答案】(1)an=2n-1 数列求和6种高频考点专项训练 (2)证明见解析 【详解】(1)在等差数列{an}中，设公差为d, 9,=3到a+a-3a,=9,则a,=3 2 又a2+a4=2a2+2d=10, 所以该等差数列公差d=2,故4，=3-2=1. 所以an=a,+(n-ld=1+(n-1×2=2n-1, 故数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)因为6，=1 anan+ 所以a2-1-2 1 则r=++46什》传乱4 因为neN,所以，1>0， 2n+1 故T<2 0 数列求和6种高频考点专项训练 考点三 错位相减法 例1.(25-26高三上四川月考)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2n=0,S2m-1=2. (I)求{a}的通项公式； (2)求数列{a}的前n项和. 【答案】(1)a,=2×(-1)- @z-0+2g- 2 【详解】（1)因为S2m=0,S2m1=2,所以a2n=S2m-S2m1=-2, 即{an}的偶数项均为-2， 因为S2m-2=S2n=0(n≥2)，所以a2m-1=S2m1-S2m-2=2(n22), 又因为a,=S2x1-1=2, 所以{an}的奇数项均为2， 综合得an=2×(-1)-: (2)记数列{a}的前n项和为工n, 则T,=2×(-1)°+2×2×(-1)+2×3×(-1)2+…+2n(-1)-1, -Tn=2×(-1)'+2×2×(-1)2+2×3×(-1)3+…+2n(-1), 两式相减得2T,=2+2×(-1)+2×(-1)2+…+2(-1)--2n(-1)”=1+(1+2n)(-1)-, 所以7= +1+2m)(-) 2 例2.（2526高三上河南月考)已知数列a,满足4=2，且=22m+ an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式： (②)求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】(1)a。=(2n-12 (2)Sn=(2n-3)·2m+6 10