精品解析：云南省昆明市五华区云南民族大学附属中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

云南民大附中九年级（上）10月月末诊断 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y=x2-1， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误； 对称轴是y轴，故选项B正确； 当x=0时，y=-1，故选项C错误； 在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 5. 已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线与圆的位置关系为（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4， ∵4＞3，即：d>r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离． 故选A. 【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 6. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 【答案】C 【解析】 【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π， 故选C． 7. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 8. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案． 【详解】解：∵BD是的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠D=∠A= 50°， ∴∠DBC= 90°-∠D = 40°， 故选： C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等边对等角．由旋转的性质可知，可算出，就可以算出旋转角． 【详解】解：由旋转的性质可知：，是旋转角， ， ， ， 故选：D． 11. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，判断开口方向及对称轴，利用二次函数的性质，通过比较各点横坐标与对称轴的距离即可确定函数值的大小；本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握“开口向下时，距离对称轴越近的点，函数值越大”是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数对称轴为，， ∴ 抛物线开口向下，顶点为最大值点； ∵点，，的横坐标与对称轴的距离分别为： ，，， ∴， ∵开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大， ∴． 故选： C． 12. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25.5万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为15.98万元，求每次下调的百分率，设百分率为x，则可列方程为（ ） A. 15.98（1+x）2＝25.5 B. 15.98（1+x2）＝25.5 C. 25.5（1﹣x）2＝15.98 D. 25.5（1﹣x2）＝15.98 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意两次降价即可列出等式. 【详解】由题意可知原价25.5万，两次下调相同费率后售价为15.98万元，可得 25.5（1﹣x）2＝15.98. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用. 13. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，通过解直角三角形求得线段、的长度；最后将相关线段的长度代入． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵是的直径，弦，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积的计算，运用了割补法求阴影部分的面积．掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 14. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解． 【详解】解：设此函数解析式为：， 由题意得：在此函数解析式上， 则 即得， 那么． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题． 15. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】（A）由图象开口可知：a＜0 由对称轴可知：＞0， ∴b＞0， ∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故A正确，不符合题意； （B）由图象可知：x=﹣1，y＜0， ∴y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，故B正确，不符合题意； （C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2， ∴＞2，a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac，故C正确，不符合题意； （D）对称轴x=＜1，a＜0， ∴2a+b＜0，故D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】（-3，-1） 【解析】 【分析】由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案. 【详解】解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）. 故答案为：（-3，-1）. 【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的解． 【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为， 则另一个交点坐标为 ∴一元二次方程的解是， 故答案为：，． 18. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______． 【答案】1 【解析】 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 19. 折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法． （1）利用公式法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解： 可得或， 解得，． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后的．并求出点旋转至点所走过的路径长． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了对称作图，旋转作图，点的坐标，勾股定理以及求弧长，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于原点对称的性质画出，再读取点的坐标，即可作答． （2）根据旋转性质画出，运用勾股定理求出，再求出弧长，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 则， 点旋转到点所走的路径长为：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为相反数，求这两个根． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，结合互为相反数的两数之和为0，求出值，再解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵方程的两个根互为相反数，两根之和为， ∴， ∴， ∴方程化为， 解得． 23. 如图，修建一个面积为300平方米的长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？ 【答案】长方形候场区的边为15米，为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． 设长方形候场区的边为x米，则米，然后再根据“设立一个面积为300平方米的长方形候场区”列一元二次方程即可解答． 【详解】解：设长方形候场区的边为x米，则米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E. F． (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若BD=2，BF=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）相切，理由见解析;（2）2． 【解析】 【分析】(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可； (2)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OD, ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°，即OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴直线BC与⊙O的位置关系是相切； (2)设⊙O的半径为R， 则OD=OF=R， 在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB=BD+OD， 即(R+2) =(2)+R， 解得：R=2， 即⊙O的半径是2. 【点睛】此题考查切线的判定，勾股定理，解题关键在于求出OD⊥BC. 25. 随着橙子的大量上市，某水果销售商以每箱元的价格购进了一批橙子进行销售，经过一段时间后，发现以每箱元的价格销售这批橙子平均每天可以售出箱，若每箱售价提高元，平均每天少售出箱． （1）求这批橙子每天的销售量（箱）与每箱的售价（元）之间的函数关系式； （2）若销售这批橙子平均每天的利润为元，当每箱橙子的售价为多少元时，平均每天销售这批橙子的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每箱橙子的售价为元时，平均每天销售这批橙子的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， ∴当每箱橙子的售价为元时，平均每天销售这批橙子的利润最大，最大利润是元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点A的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，及分式的约分，利用点的坐标表示出相应线段的式子是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将点代入中，得出，由，且与均为整数，求出m的值进而即可求点的坐标 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点在抛物线上， 满足，即， ，且与均为整数， ， 或， 或， 时，；，， 综上，点A的坐标为或． 27. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】（1），证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN． （2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似． 【详解】（1）BM+DN=MN成立． 证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线． ∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°， 又∵∠NAM=45°， ∴在△AEM与△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴ME=MN， ∵ME=BE+BM=DN+BM， ∴DN+BM=MN； （2）DN-BM=MN． 在线段DN上截取DQ=BM，如图， 在△ADQ与△ABM中， ∵， ∴△ADQ≌△ABM（SAS）， ∴∠DAQ=∠BAM， ∴∠QAN=∠MAN． 在△AMN和△AQN中， ∴△AMN≌△AQN（SAS）， ∴MN=QN， ∴DN-BM=MN． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南民大附中九年级（上）10月月末诊断 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 4. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线与圆的位置关系为（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 6. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 7. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策支持下，原价25.5万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为15.98万元，求每次下调的百分率，设百分率为x，则可列方程为（ ） A. 15.98（1+x）2＝25.5 B. 15.98（1+x2）＝25.5 C. 25.5（1﹣x）2＝15.98 D. 25.5（1﹣x2）＝15.98 13. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A. B. C. D. 15. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 18. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______． 19. 折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20 解下列方程： （1） （2） 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后的．并求出点旋转至点所走过的路径长． 22. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为相反数，求这两个根． 23. 如图，修建一个面积为300平方米的长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？ 24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E. F． (1)试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由； (2)若BD=2，BF=2，求⊙O的半径． 25. 随着橙子的大量上市，某水果销售商以每箱元的价格购进了一批橙子进行销售，经过一段时间后，发现以每箱元的价格销售这批橙子平均每天可以售出箱，若每箱售价提高元，平均每天少售出箱． （1）求这批橙子每天的销售量（箱）与每箱的售价（元）之间的函数关系式； （2）若销售这批橙子平均每天的利润为元，当每箱橙子的售价为多少元时，平均每天销售这批橙子的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点A的坐标． 27. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $