2.4.2 圆的一般方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆 表示点（2，3） 不表示任何图形 判断下列方程是不是表示圆 3 给出圆心坐标和半径 ——重“形” 表明其形式是特殊的二元二次方程,方程的代数特征明显 ——重“数” 练习（第88页） 练习（第88页） (2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为　　　.  圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心， ∴-+1+1=0，解得k=4， 圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为=3， ∴该圆的面积为9π. 解析 9π 10 选必一P86 都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同 方法一：待定系数法（设圆的标准方程） 方法二：几何法（中垂线交点即为圆心） 方法三：待定系数法（设圆的一般方程） 归纳总结 待定系数法求圆的方程的步骤：P87 设 解 代（4）代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 列 动点的轨迹方程（选必一P87） 归纳总结 第 1 步 设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； 第 3 步 代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； 第 4 步 标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 相关点法求动点的轨迹方程： 特征：双动点问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 第 2 步 找关系：根据已知条件找到的等式关系； 习题2.4（第88页） 7.等腰三角形的顶点 A 的坐标是(4,2),底边一个端点 B 的坐标是(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它是什么图形. A B C 根据题意,等腰三角形 ABC 的另一个端点 C 在以 A(4,2)为圆心,经过B(3,5)的圆上,且除去点 B 以及 B关于A的对称点B’ 习题2.4（第88页） 阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 习题2.4（第88页） 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点， P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 例 3 设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式， 得点P的坐标为(2x-2，2y). ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-2)2+(2y)2=4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. 解 （2）求BP的中点E的轨迹方程. 设点E(x，y)，P(x0，y0). ∵B(1，1)，∴ 整理得x0=2x-1，y0=2y-1， ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-1)2+(2y-1)2=4， 整理得，点E的轨迹方程为x2+y2-x-y-=0. 解 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点， P，Q为圆上的动点. 例 3 （3）求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT=-1. 即·=-1， 整理得x2+y2-x-y=0. 当x=0或1时， 点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 解 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点， P，Q为圆上的动点. 例 3 (4)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 解 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点， P，Q为圆上的动点. 例 3 练习（第88页） 练习（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） (x-a)2+(y-b)2=r2 ②写出将上式展开整理后的式子 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 令D= -2a,E= -2b,F=a2+b2-r2, 方程变为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 圆的方程. 思考: 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆？ 情境引入 ①写出圆心是C(a,b)、半径为r(r>0)的圆的标准方程 探究 探究 当D2+E2-4F>0时, 方程(2)表示一个圆. 方程(2)叫做圆的一般方程. 圆的一般方程的特征： (1)①x2和y2的系数相同,不等于0． ②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F, 因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 概念形成 x2+y2+Dx+Ey+F=0··················(2) (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2) 4x2+4y2-4x+12y+11=0 概念理解 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 (2)求面积最大的圆的方程. (3)若点 恒在所给圆内，求m的取值范围. 例题选讲 【例2】设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 (1)当且仅当m在什么范围内使该方程表示一个圆; 点评：利用“待定系数法”求圆方程步骤： 1.根据题意,选择标准方程或一般方程; 2.根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; 3.解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. （2）求过 ,且在y轴上截得的弦长为6，求此圆的方程。 例题选讲 【例1】(1)求过三点O(0, 0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标； $