期末复习综合训练--2025-2026学年数学八年级上册北师大版

2025-2026学年数学八年级上册 期末复习综合训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．下列命题中，属于假命题的是（  ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 2．现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．已知关于x、y的方程组，若，则k的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．若，则（） A． B． C． D． 9．如图为两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一个直角三角形的两条边长分别为13，12，则阴影部分的面积是（    ）    A．50 B．16 C．25 D．41 10．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 二、填空题 11．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 12．已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为 ． 13．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ． 16．如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①；②若，则面积最小是2；③；④．上述结论中正确的有 ． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值 (1)，其中． (2)，其中，． 19．第九届亚洲冬季运动会中，冬季两项是重要的比赛项目之一．该项目结合了越野滑雪和射击两种截然不同的运动形式，要求运动员在滑雪后迅速调整状态进行射击，考验他们的耐力、速度和精准度．甲和乙两位运动员进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．试用2种方法比较甲、乙两人的成绩． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 20．如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设管道的长； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短距离吗?请说明理由． 21．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 22．已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 23．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 24．在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点，的坐标（直接写答案）； ， ， (3)的面积为 ． 参考答案 1．D 【分析】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即可． 【详解】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确； 选项B：同角的余角相等，设和均为的余角，则，，∴，正确； 选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确； 选项D：取，，则，但，，，即，∴ 命题不成立． ∴ 假命题是D， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是做题的关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将已知数据排列为：，，，， ， ∵ 数据个数为偶数，中位数为排序后第三个和第四个数的平均值，且中位数为， ∴ 排序后第三个和第四个数之和为 数据排序取决于： 若，排序后第三个和第四个数为和，中位数为； 若，排序后第三个和第四个数均为，中位数为； ，排序后第三个和第四个数为和，中位数为． ∴． 故选：C． 3．C 【分析】本题重点考查用加减消元法求解二元一次方程组，当二元一次方程组的两个方程中一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法，熟练掌握加减消元法的技巧是解题的关键． 通过两个方程相减，得到含的方程，将其代入，求解含的一元一次方程，最终完成求解． 【详解】解：两个方程相减，得到， 得到， ． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可． 【详解】解：由题意，∵“帅”位于点， ∴“马”， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点所在的象限求参数．先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出的长． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴数轴上点A表示的数为． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 由勾股定理解得、，再根据正方形边长相等的性质得到，据此解题即可． 【详解】解：如图：    由勾股定理得，， ， ， 阴影部分的面积是， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， 由翻折的性质可知：，， ， 的周长． 故选：C． 11．4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 12．5.2 【分析】本题考查求方差，两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数即可． 【详解】解：第一组数据的平方和：，第二组数据的平方和：， 总平方和：， 故总方差：． 故答案为：5.2． 13． 1035 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设较大的两位数为，较小的两位数为，根据两个两位数的和为68，以及两个四位数的差为2178，列出方程组求解，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴这两个数的乘积为． 故答案为：1035． 14．/ 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、梯形面积公式，解题的关键是求出点、的坐标，确定梯形的上下底和高． 先求直线与轴交点的坐标，得的长度；再根据长方形边长确定点的横坐标，代入直线解析式求其纵坐标，得的长度；最后用梯形面积公式计算． 【详解】解：令直线中，则，故． ∵， ∴ ∵长方形中，，故点横坐标为， 代入直线解析式：，即． ∵， ∴． 梯形的高为， 则． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可． 【详解】解：观察发现：，，，， ，，，，，， ，，，（为自然数）， ， ∴． 故答案为：． 16．①②③ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的中点性质证明三角形全等，进而分析各结论的正确性； 先由等腰直角三角形性质得且，证推导①；通过等腰直角三角形面积公式分析②；将四边形面积转化为三角形面积推导③；分析与的数量关系判断④． 【详解】解：∵，，是BC中点， ∴，，， ∵， ∴，即 ①在和中， ∵，，， ∴， ∴，①正确． ②若，则，由得，是等腰直角三角形，，当时最小为， ∴最小，②正确． ③， ∵， ∴，③正确． ④是等腰直角三角形，，，变化时，④错误． 故答案为：①②③． 17．(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得：或； （2）解：， ， ∴， 解得：． 18．(1)， (2)，4 【分析】此题考查了整式混合运算和化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的法则计算得到化简结果，再根据非负数的性质求出字母的值，再把字母的值代入计算即可； （2）利用乘法公式和整式的加减法计算括号内的部分，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 将，代入得： 原式 ； （2）解： 当，时，原式． 19．见解析 【分析】本题考查数据分析中的方差、中位数、平均数、四分位数、箱线图，熟练掌握以上知识点是解题关键． 方法一利用平均数和方差进行分析，根据方差反映一组数据的离散程度，方差越小，说明数据越稳定． 方法二利用四分位数、箱线图进行分析，根据中位数反映一组数据的集中趋势，通过四分位数或箱线图比较甲、乙两人的成绩的稳定性即可． 【详解】解：法一：利用平均数和方差进行分析： ， ， 可以看出，甲、乙的平均成绩一样； ， ， 可以看出，乙的成绩波动较小； 所以通过分析可以看出，甲、乙的平均成绩一样，但乙的成绩波动较小，乙的成绩更平稳． 法二：利用四分位数、箱线图进行分析： 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 2 5 7 10 10 乙 5 6 7 8 9 基于四分位数或箱线图，可以发现甲的中位数与乙一样，但甲的成绩明显比乙的波动大． 故甲、乙的平均成绩一样，但乙的成绩波动较小，更平稳． 20．(1)； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，垂线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，在中，，则有，然后通过勾股定理即可求解； （）证明是直角三角形，则有，即，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 答：供水点到喷泉需要铺设的管道的长为； （2）解：的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的长是喷泉到小路上各处的最短距离． 21．(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套 (2)有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键． （1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可； （2）根据题意设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有2种进货方案，然后求出利润，比较大小可确定出获利最高的方案． 【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得， ， 解得，， 经检验，符合题意， 答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套； （2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套， 由题意得，， ∵a，b均为正整数， ∴此方程的解为： ，或， 综上所述，有2种方案： ①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套． 获利：万元； ②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套． 获利：万元． ∵， ∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、函数图象的平移以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与图象平移规律是解题的关键． （1）将已知的、值代入一次函数解析式，解方程求出、的值，进而得到函数表达式． （2）先根据函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再分别求出平移后图象与轴、轴的交点坐标，最后利用勾股定理计算线段的长． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 将，，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：函数向左平移个单位长度，得平移后的解析式为 ， 令，得， 解得， ∴． 令，， ∴． ∴． 23．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 24．(1)图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称变换、点的坐标特征以及三角形面积的计算．解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标规律，即横坐标互为相反数、纵坐标不变，以及利用割补法求三角形面积．易错点是在求对称点坐标时符号出错，或在计算面积时格点数错导致计算错误． （1）根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，确定点、、的位置，再依次连接得到； （2）直接根据轴对称规律写出对应点的坐标； （3）采用割补法，用外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，从而求得的面积． 【详解】（1）解：如下图即为所求： （2）解：故答案为，． （3）解： 故答案为4.5． 学科网（北京）股份有限公司 $