27.2 相似三角形同步练习2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 27.1 图形的相似 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 相似图形的概念 1.图27-1-1中的两个图形是相似图形的是 () 知识点 2 相似多边形的性质 2.下列长度的各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是 ( ) A.1,2,3,4 B.1,2,2,4 C.3,5,9,13 D.1,2,2,3 3.(教材练习 T2 变式)下列图形中，不一定相似的是 ( ) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形 4. (教材练习 T1 变式)在比例尺是1: 100000 的地图上，测得 A，B两地的距离为3.5厘米，那么 A，B两地的实际距离为 米. 5.如果两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为 . B)规律方法综合练 训练思维 6.(教材例题变式)如图27-1-2所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是 ( ) B. m=2n C. x=2 D.α=60° 7.如图27-1-3，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形 EFCD 沿MN 对开，以此类推.若各种开本的矩形都相似，则 的值是 ( ) A. C. D. 8. (2025成都)若 则 的值为 . 9.如图27-1-4,矩形花坛ABCD的宽AB=20m,长AD=30 m.现计划在该花坛四周修筑小路，小路的外边缘形成矩形EFGH. (1)如图①,当小路的宽度为2m 时,矩形 AB-CD 与矩形 EFGH 是否相似?请说明理由； (2)如图②,要使矩形 EFGH 和矩形ABCD相似，且点 E，F，G，H的对应点分别是点A，B，C，D，并且相对两条小路的宽度相等，则小路的宽度x与y的比值为 . 27.2.1相似三角形 第1 课时 平行线分线段成比例的基本事实 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 相似三角形的有关概念 1. 如图 27-2-1,已知△ABC∽△ADE, 则 ∠ABC =∠ADE, ∠A= , = . 2. 已知△ABC∽△DEF,AB=2,DE=4,则△DEF 与△ABC 的相似比是 ( ) A. B. C.2 D.4 知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 3. 如图 27-2-2,在△ABC 中,已知 D,E 分别是AB,AC边上的点,且 DE∥BC.若 则 A. B. C. D. 4. (2024哈尔滨)如图 27-2-3,在四边形 ABCD中,AD∥BC,点 E 在 AB 上,EF∥AD 交CD于点 F.若 AE :BE=1:2,DF=3,则 FC的长为 ( ) A.6 B.3 C.5 D.9 5.如图27-2-4,BE,CD 相交于点A,DE∥BC,那么下列结论正确的是 ( ) 6. 如图27-2-5,直线l∥m∥n,线段AC,AD 分别交直线m 于点B,E.若AC=3AB,则AD=( ) A. AE B.2AE C.3AE D.4AE 7. (教材练习 T1 变式) 如图27-2-6,已知直线 l₁,l₂,l₃分别交直线l₄于点 A,B,C,交直线l₃于点 D,E,F,且 l₁∥l₂∥l₃.若AB=4,AC=6,DF=9,则EF= ( ) A.3 B.6 C.4 D.5 8. 如图27-2-7,AB∥CD,AC,BD 相交于点 E.若AE=1,EC=2,DE=3,则 BD= . 知识点 3 由平行线判定三角形相似 9. 如图 27-2-8,在△ABC 中,D,E 分别为边AB，AC 的中点，连接DE.下列结论错误的是( ) A.△ADE∽△ABC B.△ADE 与△ABC 的相似比是2 C. DE: BC=1:2 D.∠ADE=∠B 10. (2024 河南)如图27-2-9,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E为OC 的中点,EF∥AB交 BC 于点 F.若AB=4,则EF 的长为( ) A. B.1 C. D.2 11. 如图27-2-10,在矩形ABCD中,若 AB = 3,AC = 5, 则 AE 的长为 B.规律方法综合练 训练思维 12. 已知△ABC 与△DEF 相似,AB=4,AC=6,BC=8,DF=6,则DE 的长不可能是( ) A.3 B.4.5 C.9 D.9.6 13. 如图27-2-11,已知直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点B,C,E 和点A,D,F,直线m,n相交于点 H，下列结论中错误的是 ( ) 14. 如图27-2-12,在△ABC中,点 D,E,F 分别在AB,AC,BC 上.若 DE∥BC,DF∥AC,则下列结论正确的是 ( ) 15. 如图 27-2-13,AD∥EG∥BC,EG 分别交AB,DB,AC 于点 E,F,G.已知 AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求 EF,EG 的长. 16. 如图27-2-14,线段 AD 与 BC 相交于点 E,AB∥CD∥EF,B,F,D 三点在同一条直线上. (1)求证: (2)当 时,求 EF 的长. 拓广探究创新练 提升素养 17. 如图27-2-15,AD 是△ABC 的中线,E 是线段AD 上一点,且AD=3AE,CE 的延长线交AB 于点F. (2)若AF=2cm,求AB 的长. 第2课时 相似三角形的判定定理1，2 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 三边成比例的两个三角形相似 1.(教材练习 T3变式)已知△ABC 的三边长分别是6 cm,7.5cm ,9 cm, △DEF 的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 ( ) A.2cm,3cm B.4 cm,5cm C.5cm ,6 cm D.6 cm,7 cm 2. △ABC 的三边长分别为 , , ,△A'B'C'其中的两边长分别为1 和 ,当△A'B'C'第三边的长为 时,△ABC∽△A'B'C'. 3.(教材例1变式)根据下列条件，判断△ABC 与△A'B'C'是否相似.若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由. (1)AB=1,AC=1.5,BC=2, A'B'=12,A'C'=8,B'C'=16; (2)BC=2,AC=3,AB=4, 知识点 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4. 如图 27-2-16,在四边形ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,若 ，则图中一定相似的三角形是( )( ) A.△BOA∽△BADB.△BOA∽△COD C.△BOC∽△BCD D.△COB∽△CBA 5.如图 27-2-17,零件的外径是 7 cm,现用一个交叉卡钳(AC 和 BD 的长相等)测量零件的内径AB.如果OA :OC=OB :OD=2:1,且量得CD=3cm,那么零件的厚度为 ( ) A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 6. (2024 广州)如图 27-2-18,点 E,F 分别在正方形ABCD 的边 BC,CD 上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF. 7. 如图27-2-19,在△PAB 中,点 C,D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且 AC=1,CD=2,BD=4.求证:△ACP∽△PDB. B)规律方法综合练 训练思维 8.如图27-2-20，在由小正方形组成的网格中有4个三角形，其中，相似的两个三角形是 () A.①与② B.①与③ C.③与④ D.②与③ 9. 如图 27-2-21, 在三角 形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.将△ABC 沿图27-2-22中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与△ABC 相似的是 ( ) 10. (2025 东营)如图27-2-23,在△ABC 中,AB = 6,AC=4,D 为 AC 的中点,点 E 在 AB 上,当AE= 时,△ABC 与以点A,D,E为顶点的三角形相似. 11. 如图 点B,D,E在同一条直线上，试判断△BAD 与△CAE 是否相似，并说明理由. 拓广探究创新练 提升素养 12.核心素养推理能力如图 27-2-25,已知 B 是∠EAF 的边AE 上的一点,BC⊥AF 于点 点 D 在射线AF上,AD=12,过点 D 在射线AF 上方作MD⊥AF,MD=4,连接BM 并延长交射线AF 于点 N. (1) 当 DN 的长为多少时,△ABC 和△MDN 相似? (2)当M 恰好是线段 BN 的中点时，试判断△ANB 的形状，并说明理由. 第 3课时 相似三角形的判定定理3 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 两角分别相等的两个三角形相似 1.如图27-2-26 所示的三个三角形中，相似的是( ) A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.(1)和(2)和(3) 2.下列各选项中的三角形有可能不相似的是( ) A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 3. 如图 27-2-27,在△ABC中,点 D 在边AC 上,连接BD.若∠ABC+∠BDC=180°, AD=2,CD=4,则AB 的长为 ( ) A.3 B.4 C. 4. 如图27-2-28,在△ABC 中,AB=AC,点 D,B,C,E在同一条直线上,且∠D=∠CAE. (1)求证:△ABD∽△ECA; (2)若AC=6,CE=4,求 BD 的长. 知识点 2 直角三角形相似的判定 5. 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,∠C = ，依据下列各组条件判断这两个三角形是否相似.(将答案填在横线上) (1)∠A=35°,∠B'=55°; (2)AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8; (3)AB=10,AC=8,A'B'=25,B'C'=15. 6. (教材练习 T2 变式)如图27-2-29,若 CD 是 Rt△ABC 斜边上的高,AD=3,CD=4,则BC= . 7. 如图27-2-30 所示,E 是矩形ABCD 的边CB上一点,AF⊥DE 于点 F,AB=3,AD=2,CE=1.求 FD 的长. B.规律方法综合练 训练思维 8. 如图 27-2-31,已知∠1=∠2，添加下面的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是 ( ) B.∠B=∠D D.∠C=∠AED 9. 如图27-2-32,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图 27-2-33 中的虚线剪开，则剪下的阴影三角 形与△ABC 不相似的是( ) 10. 如 图 27-2-34, 在 矩 形ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 相交于点O,过点 D 作DE⊥AC 于点E.若AE=3CE,则DE²的值为( ) A.4 B.2 C. D.4 11. 如图27-2-35,⊙O 的直径AB 交弦CD(不是直径)于点 P，且 求证：AB⊥CD. 拓广探究创新练 提升素养 12.核心素养推理能力某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究. 如图27-2-36①,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D. (1)兴趣小组的同学得出 理由如下： ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∵CD⊥AB, ∴∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠B=① . 又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD, 请完成填空:① ;② . (2)如图②,F 为线段CD 上一点,连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB 的形状，并说明理由. 27.1 图形的相似 1. D 2. B 3. D 4. 3500 6. B 7. A 8. 4 9. 解:(1)不相似. 理由： 小路的宽度为2m， 2×2=34(m), ∴矩形 ABCD 与矩形EFGH 不相似. 27.2.1相似三角形 第1课时 平行线分线段成比例的基本事实 2. C 3. A 4. A 5.B 6. C 7. A 8.4.59. B10. B 11. 1 12. D 13. D 14. D 16. 解:(1)证明: 17. 解:(1) 故答案为 (2)过点 D 作 交AB 于点M,如图, 则 ∵AD是 的中线， 10(cm). 第 2课时 相似三角形的判定定理 1，2 1.C 2. 3. 解: 证明： 与 不相似，理由如下： 与 不相似.4. B 5. A 6. 证明: ∵四边形ABCD 是正方形， 7. 证明: 是等边三角形， CD=2, 8. B 9. B 10. 3或 11. 解: 理由如下： 即 12. 解: ∴设AC=a, BC=2a. 若 和 相似，分以下两种情况讨论： ①当 时， ②当 时， 综上所述，当DN 的长为8 或2 时， 和 相似. (2)当M 恰好是线段 BN 的中点时， 是直角三角形.理由如下： ∵M是线段BN 的中点， ∴在 中， 在 和 中， ∴△ACB≌△MDN, ∴∠ABC=∠MND. ∵BC∥MD, ∴∠CBN=∠DMN, ∴ ∠ABN = ∠ABC +∠CBN =∠MND+∠DMN=90°, ∴△ANB 是直角三角形. 第3课时 相似三角形的判定定理3 1. A 2. A 3. D 4. 解:(1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABD=∠ECA.又 即 5. (1)相似 (2)相似 (3)相似 8. C 9. C 10. C 11. 证明:如图,连接AC,BD. ∵AB 为⊙O 的直径, 12. 解:(1)①∠ACD②AC 是直角三角形.理由如下： 由(1)得 又 是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $