第02讲 解直角三角形及应用（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦解直角三角形及应用核心知识点，先系统梳理已知两边（两直角边、斜边与直角边）或一边一角（直角边与锐角、斜边与锐角）的解法类型，再延伸至坡度坡角、仰角俯角、方位角等实际应用场景，构建从基础理论到现实问题的学习支架。 资料以“知识点+题型”架构设计，典例结合变式题（如测量广告牌高度、货船航行触礁判断），引导学生用数学眼光观察现实世界，通过作辅助线转化非直角三角形培养数学思维，用坡度、方位角术语表达实际关系发展数学语言，课中助力分层教学，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第02讲 解直角三角形及应用 【知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法】 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】在中，，，，求的长和的度数． 【变式1】在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【变式2】如图，在中，，，． (1)求斜边的长． (2)求边的长． (3)求的值． 【变式3】如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 【题型2 解非直角三角形】 【典例2】如图，在中，，求和的长． 【变式1】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式2】如图，在中，，求和的长． 【变式3】如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【知识点2：解直角三角形的应用-坡度坡角】 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 【题型3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【变式1】人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上，为此设计了可调节斜坡装置，当斜坡的坡度时（的坡度），运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米？（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【变式2】某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【变式3】如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【知识点3：解直角三角形的应用-仰角俯角】 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 【题型4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【变式1】“苏州之眼”是坐落于苏州工业园区金鸡湖右岸核心商圈的文旅地标建筑，其128米高度位列亚洲最大水上摩天轮，采用全球第八座回转式太空舱设计，可360度俯瞰金鸡湖全景．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） (1)求摩天轮的最低处到地面的距离的长； (2)求摩天轮圆轮直径的长． 【变式2】如图，航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为米，求该建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，，，，） 【变式3】如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【知识点4：解直角三角形的应用-方位角】 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【注意】 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 　　　　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【题型5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 【变式1】如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【变式2】一货船由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果货船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【变式3】如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥的最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥， 可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知，．（结果精确到， 参考数据：，，） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【题型6 解直角三角形应用-其他问题】 【典例6】图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 【变式1】某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【变式2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 【变式3】图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 1．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（   ）米． A． B． C． D． 2．已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是水阳江某段河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 6．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为 ． 8．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 9．如图，一艘船从A向北偏东30°的方向行驶10千米到达B处，再从B处向正西方向行驶20千米到达C处，这时这艘船与A的距离为 千米． 10．如图，在中，，，于点，若，求的长． 11．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 12．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $第02讲 解直角三角形及应用 【知识点1 :解直角三角形的常见类型及解法】 已知条件 解法步骤 Rt ABC 两 边 两直角边(a,b) 由求∠A, ∠B=90 -∠A, 斜边,一直角边(如c,a) 由求∠A, ∠B=90 -∠A, 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A,b) ∠B=90 -∠A, , 锐角、对边 (如∠A,a) ∠B=90 -∠A, , 斜边、锐角(如c,∠A) ∠B=90 -∠A, , 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】在中,,,,求的长和的度数. 【答案】, 【分析】本题主要考查了解直角三角形,解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数,解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值.首先利用勾股定理求出的长度,再求出的余弦,根据余弦值求出的度数. 【详解】解:在中,,,, , , . 【变式1】在中,,a,b,c分别为,,的对边,,,解这个直角三角形. 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形,根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可. 【详解】解:在中,,,, 由得, 由得; 由得, 综上,,,. 【变式2】如图,在中,,,. (1)求斜边的长. (2)求边的长. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形. (1)根据,,即可求出,利用三角形的性质即可求解; (2)根据余弦函数的定义列式计算即可求解; (2)根据正切函数的定义,即可解答. 【详解】(1)解:∵,, ∴, ∵, ∴; (2)解:∵,, ∴, ∴; (3))解:∵, ∴. 【变式3】如图,在中,于点D,若,,,求: (1)的长 (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形,勾股定理,正确求出的长是解题的关键. (1)直接在中根据正切的定义求解即可; (2)先求出的长,再利用勾股定理求出的长,最后根据余弦的定义求解即可. 【详解】(1)解:∵, ∴, ∵在中,, ∴; (2)解:由(1)得, ∴, 在中,由勾股定理得:, ∴. 【题型2 解非直角三角形】 【典例2】如图,在中,,求和的长. 【答案】, 【分析】本题考查了解直角三角形.作于点D,证明为等腰直角三角形,求得,在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】解:作于点D, ∵,, ∴为等腰直角三角形, ∵, ∴, 在中, ∵, ∴, ∴, ∴, 综上,,. 【变式1】在中,,为锐角且,. (1)求的度数. (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形,勾股定理,熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键. (1)根据函数值直接得到的度数. (2)过点A作于H,根据求出,利用勾股定理求出,再利用求出,进而求出的长. 【详解】(1)解:∵为锐角且, ∴; (2)解:过点A作于H, ∵, ∴, ∵, ∴, 在中,, ∵, ∴, 即, 解得, ∴. 【变式2】如图,在中,,求和的长. 【答案】, 【分析】如图,作边上的高.,,分别使用勾股定理,计算即可,本题考查了化斜为直解直角三角形,熟练掌握作高是解题的关键. 【详解】解:如图,作边上的高. 在中, ∵, ∴. ∴. 在中, ∵, ∴, ∴. ∴,. ∴. 【变式3】如图,已知在中,,,. (1)求; (2)求. 【答案】(1)1 (2) 【分析】(1)过点作于点,利用,求出,利用勾股定理求出,再利用求出,进而求出; (2)利用勾股定理求出即可. 【详解】(1)解:过点作于点, 则, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴; (2)解:由(1)知,在中, . 【点睛】本题考查解直角三角形.通过作高,构造直角三角形是解题的关键. 【知识点2:解直角三角形的应用-坡度坡角】 在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念: (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示. 坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式. 【题型3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图,大楼的顶部竖有一块广告牌,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为,沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为,已知山坡的坡度,米,米.(测角器的高度忽略不计,结果精确到米,参考数据:,, ,,) (1)求点B距水平地面的高度; (2)求广告牌的高度. 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用,考查了矩形的判定与性质,解直角三角形,关键是理解坡度的含义,构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段. (1)过点B作,垂足分别为M、N,由坡度的含义可求得,由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果; (2)先推导出,在中可求得的长,从而可得;再由,可得,进而得的长;在中由三角函数知识可求得,根据即可求得的长. 【详解】(1)解:如图,过点作,,垂足分别为, ∴, ∵, ∴, ∴米, 即点距水平地面的高度为6米; (2)由(1)及题意,得, ∴四边形是矩形, ∴米, (米), ∴米, ∵, ∴米, ∴米, 在中,,米, ∴(米), ∴ (米) 答:广告牌的高约8.4米. 【变式1】人工智能越来越多地应用于现实生活,某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试.机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上,为此设计了可调节斜坡装置,当斜坡的坡度时(的坡度),运输速度快但能耗很大,为减少能耗,将斜坡加长,此时斜坡与地面夹角为,机器人刚好能稳定行走,且耗能低.请你计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米?(结果保留小数点后一位)(参考数据:,,,) 【答案】2.8米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 分别在和中利用三角函数表示出、的长度,作差可求解. 【详解】解: 在中,,的坡度, ∴, ∴,又, ∴, 在中,,, ∴, ∴(米), 答:加长后的斜坡比原斜坡长了2.8米. 【变式2】某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度,已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上,兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为,然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米,在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为. (1)求坡顶到地面的距离; (2)求联通信号发射塔的高度(结果精确到米).(参考数据:,,) 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质,矩形的判定与性质,勾股定理,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)过点作,垂足为,根据已知可,从而可设米,则米,然后在中,利用勾股定理进行计算即可解答; (2)延长交于点,根据题意可得:米,,然后设米,则米,在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长,最后在中,利用锐角三角函数的定义可,从而列出关于的方程,进行计算即可解答. 【详解】(1)解:过点作,垂足为, 斜坡的坡度为 , 设米,则米, 在中,(米), 米, , , 米,米, 坡顶到地面的距离为米; (2)解:延长交于点, 由题意得:, ∴四边形是矩形, 由(1)得米,米, 则米,, 设米,则米, 在中,, (米), 米, 在中,, , , , 解得:, (米), 联通信号发射塔的高度约为米. 【变式3】如图,信号塔坐落在山丘的一侧,某维护人员为了测量信号塔的高度,他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为,再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处,此时测得塔尖的仰角为.(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离; (2)求信号塔的高度(结果保留根号); (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处,测得塔尖的仰角为,求的长度. 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键; (1)过点作,垂足为,根据得出,进而根据.即可求解; (2)设米,得出)米,米,解,即可求得的长; (3)解,得出米,根据,即可求解. 【详解】(1)解:如图,过点作,垂足为. 坡度,米, , . 在中. 米. (2)由(1)可得,米. 如图,过点作,垂足为. 设米, , 米. )米,米. 在中,, 米. (3)在中,, 即 米. 由(2)可得(米). (米). 【知识点3:解直角三角形的应用-仰角俯角】 仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图. 【题型4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】2025年10月16日,位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相,其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地.某数学实践小组来到现场,计划测量天府双塔其中一座塔的高度.如图,在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为,沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处,测得塔顶A的仰角为.已知观测点C,D与塔底B在同一直线上,求塔的高度.(结果保留整数.参考数据:,,,) 【答案】约213米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,理解题意是解答的关键. 先得到,设,则,在中,利用正切定义列方程求解x值即可. 【详解】解:由题意,,,,, 在中,, 设,则, 在中,, ∴, 解得,即米, 答:塔的高度约为213米. 【变式1】“苏州之眼”是坐落于苏州工业园区金鸡湖右岸核心商圈的文旅地标建筑,其128米高度位列亚洲最大水上摩天轮,采用全球第八座回转式太空舱设计,可360度俯瞰金鸡湖全景.如图,某人站在距离摩天轮60米的点A处(即米),以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点,在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点.(人的身高忽略不计) (1)求摩天轮的最低处到地面的距离的长; (2)求摩天轮圆轮直径的长. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题,解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边,能够合理的运用这条边. (1)首先分析图形根据题意构造直角三角形.在中,利用角的三角函数关系可以求得的长; (2)在中,根据角的三角函数可求的长,再减去的长从而得出答案. 【详解】(1)根据题意可得:, ∴(米), 摩天轮的最低处到地面的距离的长为米. (2)∵, ∴(米), ∴(米), 即摩天轮圆轮直径的长为米. 【变式2】如图,航拍无人机从点处测得一幢建筑物顶部的仰角为,测得底部的俯角为,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为米,求该建筑物的高度(精确到米,参考数据:,,,,,) 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键,根据正切的定义分别求出,的长,结合图形即可得到该建筑物的高度的长. 【详解】解:在中,,, ∴, 在中,,, ∴, ∴(米). 故该建筑物的高度约为米. 【变式3】如图,皇城相府位于山西省晋城市阳城县,其中的河山楼雄伟险峻,是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群,被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”.某数学兴趣小组运用所学知识,对河山楼的高度进行测量.为减小测量误差,对每个数据都进行多次测量,并取平均值作为测量结果.如图,河山楼顶部为点,楼底部为点,与水平地面垂直.以下是他们的测量数据:小组成员在点处测得顶部点的仰角为,向河山楼方向行走35m后到达点,在点处测得顶部点的仰角为.已知测角仪的高度m,且点在同一水平线上,点在同一竖直平面内,,.请根据以上数据,求河山楼的高度.(结果精确到.参考数据:,,,) 【答案】河山楼的高度约为. 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题,矩形的判定与性质,延长交于点,由题可知四边形和四边形都是矩形, 则,,设,则,在中,,所以,得,在中,,所以,得,解得,所以,然后通过线段和差即可求解,掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解:如图,延长交于点, 由题可知四边形和四边形都是矩形, ∴,, 设,则, 在中,, ∴, ∴, 在中,, ∴, ∴, ∴, ∴, 解得, ∴, ∴, 答:河山楼的高度约为. 【知识点4:解直角三角形的应用-方位角】 (1)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40 ,135 ,245 . (2)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30 ,南偏东45 ,南偏西80 ,北偏西60 .特别如:东南方向指的是南偏东45 ,东北方向指的是北偏东45 ,西南方向指的是南偏西45 ,西北方向指的是北偏西45 . 【注意】 1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图. 2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解. 3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解. 【题型5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】今年暑假,妈妈带着明明去草原骑马.如图,妈妈位于游客中心的正北方向的处,其中.明明位于游客中心的西北方向的处.烈日当空,妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去,于是,妈妈向正西方向匀速步行,同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进.15分钟后,他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇. (1)求妈妈步行的速度; (2)求明明从处到处的距离.(参考数据:,,,,,结果保留一位小数) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据正切函数求出的长,即路程,而速度等于路程除以时间,据此代入计算即可; (2)过点C作交延长线于点E,设,过点D作于点F,得矩形,可得,表示出,进而解直角三角形求解即可. 本题主要考查了解直角三角形的实际应用,矩形的性质与判定,正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】(1)解:根据题意可知:, ∴, , 答:妈妈步行的速度为; (2)解:如图,过点C作交延长线于点E, ∵, ∴是等腰直角三角形, ∴, 设, 过点D作于点F,则四边形是矩形, ∴,, ∴, 在中,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 答:明明从C处到D处的距离约为. 【变式1】如图,在一次户外探险活动中,探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B,C.一支探险小队从基地A处出发,沿北偏东方向行进至D处,此时在补给点B,C处分别测得,.求探险小队行进的距离.(结果取整数,参考数据:,,,,,) 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,锐角三角函数,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 过点作,垂足为,通过解和得和,根据求得,再解求得即可. 【详解】解:如图,过点作,垂足为, 在中,, , , 在中,, , , , , , 在中,, , 因此,探险小队行进的距离为. 【变式2】一货船由西向东航行,到达B处时,测得小岛A在北偏东方向上,航行20海里到达C点,这时测得小岛A在北偏东方向上,小岛A周围10海里内有暗礁,如果货船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由. 【答案】如果货船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险,理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三角形外角的性质、锐角三角函数等知识点,灵活运用相关知识是解题的关键. 如图:过点A作垂足为D,根据三角形外角的性质可得,根据等角对等边可得海里;根据可求海里,比较可得,据此即可判断有没有触礁危险. 【详解】解:如果货船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险,理由如下: 如图:过点A作垂足为D, 根据题意可知,,海里, ∵, ∴, ∴海里, 在中,,,, ∴,即,解得:, ∵, ∴如果货船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 【变式3】如图,乡镇在乡镇的正北方向,桥的最北端桥墩在乡镇的西南方向,最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处.原来从乡镇到乡镇需要经过桥,沿折线到达,现在新建了桥, 可直接沿直线从乡镇到达乡镇,已知,.(结果精确到, 参考数据:,,) (1)求点到直线的距离; (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程. 【答案】(1)点到直线的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键. (1)作于,于,证明四边形为矩形,得出,,解直角三角形得出的长即可得解; (2)解直角三角形得出的长,再求出的长,由勾股定理得出的长,最后由计算即可得解. 【详解】(1)解:如图,作于,于, 则, , , 四边形为矩形, ,, 在中,,, , , 点到直线的距离为; (2)在中,,, , 由(1)得:,, , , , , , 现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为: . 【题型6 解直角三角形应用-其他问题】 【典例6】图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景,图2是其侧面示意图,车身高米(),为车身长,且,云梯可绕点O旋转,点O、D、B在同一直线上,可伸缩,套管米,液压杆底端C为上的固定点,米.在现在工作状态下,.求此时: (1)救援高度点B到地面的距离是多少米; (2)的值. (参考数据:,结果精确到0.1) 【答案】(1)救援的高度为13.7米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提,构造直角三角形是解答本题的关键. (1)过点B作,延长交于点Q,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答; (2)过点D作于点P,依次求出,即可求解. 【详解】(1)解:如图作,延长交于点Q. ∴. ∵, ∴. ∴四边形为矩形. ∴. 在中, ∵, ∴. ∴. ∴. 此时救援的高度为13.7米. (2)解:作, ∴. ∵, ∴. 在中, ∵, ∴. ∴. ∴. 【变式1】某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时,如图1,四边形为矩形,长3米,长1米,点距地面为0.3米.道闸打开的过程中,边固定,连杆AB、CD分别绕点A、D转动,且边始终与边平行. (1)如图2,当道闸打开至时,边上一点到地面的距离为1.3米,求点到的距离的长. (2)一辆轿车过道闸,已知轿车宽1.9米,高1.8米.当道闸打开至时,轿车能否驶入小区?请说明理由.(参考数据:,,) 【答案】(1)点到的距离的长为米. (2)轿车能驶入小区,理由见解析. 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,理解题意是解题关键. (1)过点作于点,利用正切值求出米,即可得解; (2)利用正切值求出米,从而得出米,即可得解. 【详解】(1)解:如图,过点作于点, 由题意可得:,米,米,米, ,米, 米, 米, 答:点到的距离的长为米. (2)解:由题意可得:,米, 则,米, 在中,, 米, 米, , 轿车能驶入小区. 【变式2】如图是某货站传送货物的平面示意图,为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由改为.已知原传送带长为. (1)求新传送带的长度; (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道,试判断距离B点的货物是否需要挪走,并说明理由.(结果精确到,已知,,) 【答案】(1) (2)需要挪走,理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,正确理解题意是解题的关键. (1)先根据三角函数的定义求出,然后在中,解直角三角形求即可; (2)先求出,的长,即可求得及的长,即可判断答案. 【详解】(1)解:(1)在中,(m), 在中,, (m), 答:新传送带的长度约为; (2)解:在中,(m), 在中,(m), (m), , 货物需要挪走. 【变式3】图是某型号挖掘机,该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图是某种工作状态下的侧面结构示意图(是基座的高,是主臂,是伸展臂,).已知基座高度为,主臂长为,测得主臂伸展角.(参考数据:,,,) (1)求点到地面的高度; (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为,求的度数. 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. (1)过点作,垂足为,延长交于点,由题意得:,,,在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而利用线段的和差关系求得的长; (2)在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而可知的长,利用线段的和差关系求出的长, 在中,利用锐角三角函数的定义可求出的值,从而得到的度数. 【详解】(1)解:过点作,垂足为,延长交于点, 由题意得:,,, 在中,,, , , 点到地面的高度约为; (2)解:由题意得:, 在中,,, , , , 在中,, , 即的度数约为. 1.如图,在地面上的点处测得树顶的仰角为度,米,则树高为( )米. A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用;由正切函数关系得,即可求得树的高度. 【详解】解:在中,,, 则; 故选:A. 2.已知在中,,若,,则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数,根据锐角三角函数的定义即可求解. 【详解】解:在中,,若,, ,, 故选:C. 3.如图,是水阳江某段河堤横断面的迎水坡,坡高,水平距离,则斜坡的坡度为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,根据坡度的定义直接求解即可.理解坡度的概念是解题的关键. 【详解】解:∵坡高,水平距离, ∴斜坡的坡度为, 故选:A. 4.如图,从山下乘缆车上山,缆绳与水平方向成的夹角,已知缆车速度为每分钟米,从山脚到山顶需分钟,则山的高度为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,先求出的长,再根据正弦的定义即可得到答案. 【详解】解:由题意得(米), 在中,,, (米), 故选A. 5.如图,某坡度的山坡,已知坡面米,则该山坡的高度是( ) A.250米 B.200米 C.150米 D.100米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,正确掌握坡度的定义是解题的关键. 利用坡度的定义得出,设,根据勾股定理求出答案即可. 【详解】解:∵的坡度为, ∴, 设,则, ∵, ∴, 解得:(负值舍去). 故选:C. 6.如图,从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为,看这栋楼底部的俯角为,无人机与楼的水平距离为,则这栋楼的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键. 过点A作于点D,则,分别在和中,利用锐角三角函数求出的长,即可求解. 【详解】解:如图,过点A作于点D,则, 在中,, ∴, 在中,, ∴, ∴. 故选:C 7.如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为,,堤坝高,则迎水坡面的长度为 . 【答案】20 【分析】本题考查解直角三角形的应用,根据正弦定义可得答案. 【详解】解:由题意,, ∴, ∵, ∴, 故答案为:20. 8.如图,中,,,若,,则的长度为 . 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义,掌握表示和的长是解题的关键,根解直角三角形的方法求解即可. 【详解】解:∵, ∴,, ∴, 故答案为:. 9.如图,一艘船从A向北偏东30 的方向行驶10千米到达B处,再从B处向正西方向行驶20千米到达C处,这时这艘船与A的距离为 千米. 【答案】10 【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE,BE,进而得出CE,利用勾股定理得出AC即可. 【详解】解:如图, ∵BC⊥AE, ∴∠AEB=90 , ∵∠EAB=30 ,AB=10千米, ∴BE=5米,AE=5千米, ∴CE=BC-BE=20-5=15(千米), ∴AC= (千米), 故答案为:10. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,关键是根据直角三角形的三角函数得出AE,BE解答. 10.如图,在中,,,于点,若,求的长. 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形,熟练掌握正切的定义是解题的关键. 先根据正切的定义得出的长,再利用的正切值得出的长,再计算即可. 【详解】解:∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴. 11.如图,湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离,经测量得:,,米,求、两点之间的距离.(参考数据:,,) 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用(其他问题),利用三角形的内角和定理得出是解题的关键. 由三角形的内角和定理可得,然后根据即可求出、两点之间的距离. 【详解】解:,, , , 在中, ,米, (米), 、两点之间的距离约为米. 12.周末,九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千,如图为荡秋千时的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线上,荡秋千的起始位置为,最高点为,点距离地面为,秋千位于时,安全链与铅垂线夹角为,安全链. (1)求点到地面的距离; (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处,此时,求点到地面的距离.(参考数据:,) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)理解题意得,把数值代入,求出,故,即可作答. (2)过点作,求出,在中,,再把数值代入进行计算,得出,则,即可作答. 【详解】(1)解:∵安全链与铅垂线夹角为, ∴ 过点作 在中,, , ∴, , 点到地面的距离为; (2)解:过点作, , , 在中,, , , , 由(1)得, , 点到地面的距离为. 学科网(北京)股份有限公司 $