第01讲 投影（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦投影这一核心知识点，系统梳理平行投影、中心投影、两者区别联系及正投影的定义、性质与结论，构建从基础概念到应用题型的递进学习支架，每个知识点配套典例解析与变式训练，帮助学生逐步深化理解。 资料以生活情境为切入点，如“明月树影”“路灯散步”等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过分层题型设计培养推理能力，结合相似三角形应用强化模型意识，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第01讲 投影 【知识点1 平行投影】 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【题型1 平行投影】 【典例1】“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 【详解】解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 【变式2】如图所示的圆锥的投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行投影的性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：∵圆锥的俯视图是一个圆， ∴光线从圆锥正上方照射下来，形成的投影是一个圆. 故选：C. 【点睛】本题考查了投影的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运用平行投影的性质是解题的关键． 【变式3】在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（   ） A．无法确定 B．甲竿比乙竿长 C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻、同一地点，不同物体的物高和影长成比例．再判断甲、乙两竿平行，再根据平行投影的特点可得答案． 【详解】解：因为在同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，所以任何物体的高度与其影长之比都相等， 设甲、乙两竿的长度分别为、，影长分别为、， 则有， 又因为它们的影长相等，即， 所以，故甲、乙两竿一样长． 故选：D． 【题型2 平行投影与相似三角形应用】 【典例2】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 【变式1】数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 【变式2】小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 【变式3】如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图． （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 【知识点2 中心投影】 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【题型3 中心投影】 【典例3】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 【变式1】如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 【变式2】一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行投影问题，根据中心投影得出平行四边形的投影图形解答即可． 【详解】解： 一个平行四边形的中心投影可能是与原来相似的平行四边形，也有可能是与原来不相似的四边形或一条线段， 故选：D． 【变式3】用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 【题型4 中心投影与相似三角形的应用】 【典例4】如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求； （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 【变式1】在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系是解决问题的关键．证明，然后利用相似比即可求出的长． 【详解】解：木杆两端的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 依据，即可得到，再依据，即可得到长． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：C． 【变式3】如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)3.52米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． （2）过点P作于点G，设交于点H，根据题意可得米，米，米，， ，可得，即，求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接并分别延长，相交于点P， 则点P即为所求． （2）解：过点P作于点G，设交于点H， 两根标杆的距离为米， 米． 由题意得，，，， 四边形为矩形， 四边形为矩形， 米，米，，， ， ， 米，米， 米， ， 米， 即灯泡P距离地面的高度为米． 【知识点4 正投影投影】 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【题型5 正投影投影】 【典例5】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【变式1】如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体正投影，根据从左边看得到的图形，从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：A、从左边看上边一个小正方形，下边一个小正方形，故A正确，不符合题意； B、从哪个方向看都不是并排的三个小正方形，故B错误，符合题意； C、从上面看是两个并排的小正方形，故C正确，不符合题意； D、从正面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 【变式3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键． 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项中的图形比较符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 2．如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，同一物体，离光源越远，影子越长，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，点A距离路灯的距离小于点B距离路灯的距离， ∴在位置的影子长些， 故选；B． 3．正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，根据正午时候，足球的投影为正投影，进行判断即可． 【详解】解：由题意，足球在地面形成的影子是 故选A． 4．下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 5．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺等于15尺，五寸等于0.5尺，一尺五寸等于1.5尺，设竹竿长x尺，由题意，得： ； 故选B． 6．某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（   ） A．5 B．20 C．40 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等即“同一时刻物高与影长成比例”是解本题的关键． 设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例再列出方程，从而可得答案． 【详解】解：设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ， ， ， 所以旗杆的高度为20米， 故选：B． 7．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上，如图所示．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知、、、在同一直线上，、、，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行投影得，可得，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，， ∴， ， ，， ， ∴， ，即， 解得， 旗杆的高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明是解题的关键． 8．如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【答案】②①④③ 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行投影中影子的变化规律可知先后顺序． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：影长由长变短再变长． 故答案为：②①④③ ． 9．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 【答案】 增加 1 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 10．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 11．如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 【答案】(1)平行投影 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是平行投影的相关知识． （1）根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影，即可解答； （2）根据太阳光线是平行线，作图即可． 【详解】（1）解：根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行投影． （2）作图如图，即为所求． 12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 投影 【知识点1 平行投影】 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【题型1 平行投影】 【典例1】“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【变式2】如图所示的圆锥的投影是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（   ） A．无法确定 B．甲竿比乙竿长 C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长 【题型2 平行投影与相似三角形应用】 【典例2】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【变式1】数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【变式2】小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【变式3】如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【知识点2 中心投影】 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【题型3 中心投影】 【典例3】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【变式1】如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【变式2】一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 【变式3】用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【题型4 中心投影与相似三角形的应用】 【典例4】如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【变式1】在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式3】如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 【知识点4 正投影投影】 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【题型5 正投影投影】 【典例5】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A．B． C． D． 【变式3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 3．正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 4．下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 5．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（   ） A．5 B．20 C．40 D．8 7．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上，如图所示．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知、、、在同一直线上，、、，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 9．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 10．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 11．如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 学科网（北京）股份有限公司 $