精品解析：吉林省长春市实验中学2025-2026学年高三上学期数学第四次周测试题

2025—2026学年上学期第四次周测 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数为减函数 D. 函数为奇函数 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 13. 已知锐角满足，则______. 14. 已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共6小题，共83分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 16. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 17. 电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关． 性别 不了解 了解 合计 女生 男生 合计 （1）求n的值； （2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望． （3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”． （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整） 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 若，则． 18. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，. （1）求证：四边形为矩形； （2）求平面与平面间的距离； （3）求二面角的正弦值. 19. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 20. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期第四次周测 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按交集的定义求解即可. 【详解】因为, 或， 所以或= . 故选：C. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 4. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，接着研究其奇偶性和单调性，进而再利用奇偶性和单调性将所求不等式转化成解不等式即可计算求解. 【详解】令， 则， 所以函数为奇函数， 因为， 所以恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增， 所以解不等式，等价于解不等式， 即解不等式，即， 所以. 故选：C 7. 函数若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图象，由图象判断，根据将原式转化为，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】画出函数的图象如图， 因为，且， 由图可知点的横坐标分别为， 其中， 因为的图象关于对称， 所以，又 所以 ， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 8. 定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式画出的图象，恰有3个零点转化为的图象和直线恰有3个交点，结合图象找到临界情况即可得出的范围. 【详解】由题意作出的大致图象如图中曲线所示： 恰有3个零点，的图象和直线恰有3个交点， 过定点， 当直线过点时，此时斜率为， 当直线过点时，此时斜率为， 结合图象可知当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点，即. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数为减函数 D. 函数为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出，即可判断A；令，求出，即可判断B；令求出解析式，即可判断C、D. 【详解】因为， 令，得， ，，故A正确； 令，，得， ，，，故B正确; 令得， ，，所以， 则函数为增函数，且函数为奇函数，故C错误，D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个二次的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在上恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为，可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出a的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断D． 【详解】对于A，，，求导得，当时，， 当时，，函数在处取得极大值为，A正确； 对于B，，当时，，当时，， 函数在递减，在上递增，， 由对于恒成立，得，解得，B正确； 对于C，，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为： ，则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解；当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误； 对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则，即， 令函数，则即为， 函数在R上单调递增，则，即， 由A选项知，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，函数取值集合为，而， 因此在的取值集合为； 当时，令，， 函数在上单调递减，，则， 当时，，显然函数在取值集合为， 因此函数在的取值集合为，则有两个根， 必有，解得，所以a的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 【答案】4 【解析】 【分析】借助扇形周长公式与面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，母线为， 则， 依题意，得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：4. 13. 已知锐角满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角的关系公式化简即得解. 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵为锐角，∴， ∴，即， ∴. 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出的图象,设,由图象可转化问题为有3个解,有4个解，然后分析的范围即可求解. 【详解】由题可得，当时,； 当时,, 当时,；当,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 当时,,则；当时,,则, 画出的图象,如图所示, 因为有7个不同的实数解， 设，则， 由有个解，则必然有两个解， 且有3个解,有4个解，有以下情况： （1），代入可得，矛盾，故舍去； （2）,，设，根据根的分布的性质可得：，解得； （3），，代入，解得，此时，解得，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共83分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）由正弦定理可得，将转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1） 由正弦定理，，即 由余弦定理，， 又 （2）因为且，由正弦定理得， ， 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 16. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆 ：的离心率，得，则， 由椭圆 过点，得，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 17. 电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关． 性别 不了解 了解 合计 女生 男生 合计 （1）求n的值； （2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望． （3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”． （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整） 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 若，则． 【答案】（1）； （2）分布列： X 0 1 2 3 4 5 P 数学期望为3.75； （3）（i）能；（ii）2198人． 【解析】 【分析】（1）根据被调查的男女生人数均为，完成列联表，代入公式计算，得出结果解不等式即可. （2）由已知，根据二项分布得出的分布列和数学期望； （3）（i）根据全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，求出，即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，根据正态分布求出“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数． 【小问1详解】 由已知，完成列联表， 性别 不了解 了解 合计 女生 男生 合计 ， 根据条件，可得，解得， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是， 用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人， 对“反诈”知识了解的概率为，则， ， ， ， ， ， ． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以． 【小问3详解】 （i），那么， 则该同学能被评为“反诈标兵”． （ii）设全校参与本次竞赛的人数为n， “反诈达人”的概率为， 则，解得， 所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人． 18. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，. （1）求证：四边形为矩形； （2）求平面与平面间的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直再得出再证明平行四边形即可证明； （2）先证明面面平行，再证明线面垂直计算即可； （3）空间向量法计算二面角余弦值，再应用同角三角函数关系计算正弦得解. 【小问1详解】 连接，，，记与的交点为，连接. 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 所以，所以. 因为点为线段中点，所以，因为底面是正方形，所以. 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以. 因为平行六面体中，与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，又， 所以，所以四边形为矩形. 【小问2详解】 在中，，，， 由，得， 所以，即. 由（1）知，又，平面，平面， 所以平面. 因为平行六面体中平面平面， 所以平面与平面间的距离即为. 【小问3详解】 由题知正方形中，平面， 所以建系如图所示，则，，，， 则， ，. 设面的法向量为， 则， 取，则面的一个法向量为. 面的法向量为， ， 取，则面的一个法向量为. 设二面角大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，再根据单调性求解函数的最小值； （2）先求，再通过导数的单调性，函数图象交点的个数，判断其零点个数，进而确定函数极值点的个数； （3）构造函数，求的导数得，分析与0的大小,得到的单调性，得到的最小值为，再通过最小值的形式，构造函数，利用构造函数是上的增函数，得到，从而得到所证. 【小问1详解】 的定义域为， ，令，即，得. 当时，，在上是单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 的单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为． 【小问2详解】 ，， ， 令，即，变形得， 由（1）知的最小值为， 当时，与的图象没有交点，即，无极值点； 当时，与的图象有且只有一个交点，即有一个解， 但在该点两侧同号，无极值点； 当时，与的图象有两个交点，即有两个解， 又， ，， 在区间各有唯一零点和，且由的单调性，在和单调递增，在单调递减，在上无其它零点, 故有且仅有2个极值点. 综上，当时，无极值点；当时，有且仅有2个极值点． 【小问3详解】 ， 则， 即， 令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则为的最小值， 故， 设， ， ，易知，，是上的增函数， ，， . 20. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i） （ii）由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $