1.2.3 充分条件、必要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件核心内容，通过回顾“若p则q”命题的真假判断导入，衔接条件与结论的逻辑关系，搭建从命题真假到充分必要条件定义的学习支架。 其亮点在于结合集合子集关系类比条件关系，融入判定定理与性质定理实例，培养学生数学抽象与推理意识。如通过方程根的判别、三角形性质问题，引导学生用数学语言精确表达逻辑关系，既帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 《人教B版2019高中数学必修第一册》 学习目标 1.准确判断题目中谁是条件谁是结论 2.掌握利用 “若 p 则 q” 命题的真假判断充分、必要条件的方法 3.区分 “充分不必要”“必要不充分” 的逻辑关系 4.由集合间的子集关系判断命题间的充分、必要性 5.数学中的判定定理、性质定理与充分、必要性的关系 2 知识回顾 提问 1：什么是 “若 p 则 q” 形式的命题 ？ 举几个“若 p 则 q”形式命题的实例。 “如果 p ，那么q” 的命题 (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)如果，那么； (4)如果且，那么. 3 知识回顾 提问 2：如何判断 “若 p 则 q” 命题的真假？ 真命题：由 p 成立能必然推出 q 成立； 则称由可以推出，记作 假命题：由 p 成立不能必然推出 q 成立。 称由推不出，记作， 读作“推不出” 4 导入新课 在“若 p 则 q” 的真命题中，条件 p 和结论 q 之间存在特定的逻辑关系，这种关系就是今天要学习的充分条件和必要条件. 当时，我们称是的充分条件，是的必要条件； 当时，我们称不是的充分条件，不是的必要条件. “如果，那么”是真命题， ， 是的充分条件， 是的必要条件， 我们可以得到，以下四种形式表达的是同一个逻辑关系: 5 同构实练 例如，因为“如果，则”是真命题，所以 ， 是的充分条件， 是的必要条件. 又如，因为命题“若，则”是真命题，所以 ， 是的充分条件， 是的必要条件. 6 夯实基础 例1 判断下列各题中，是否是的充分条件，是否是的必要条件： (1)； (2)是矩形，是正方形. 解 (1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即，因此是的充分条件，是的必要条件. (2)因为矩形不一定是正方形，即，因此不是的充分条件，q不是的必要条件. 7 新知：充要条件 如果，则称 的必要不充分条件.（※p是条件，q是结论） 如果且，则称 的充分必要条件(简称为充要条件)， 如果且，则称 的充分不必要条件.（※p是条件，q是结论） 定义 记作 ， 此时，也读作“等价”“当且仅当”. ※p是条件，q是结论 , , 8 例题辨析 1．“a”是“方程ax2+x+2=0有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 若a，对于ax2+x+2=0有△=1-8a=0，即方程有实数解，充分性成立 A 当a=0时，方程有实数解x=-2, 当a≠0时，若ax2+x+2=0有实数解，则△=1-8a≥0,a≠0，可得a≤且a≠0，必要性不成立； 所以，a是方程ax2+x+2=0有实数解的充分不必要条件 9 易错题辨析 2．设a,b∈R,则a<b的一个必要不充分条件是（    ） A.> B.a3<b3 C.a2<b2 D.a3b2<a2b3 ※p是条件，q是结论 , , 注意，此题干中的a<b是结论，相当于命题中的q：a<b。假设q的必要不充分条件是p，则根据题意，须： A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.由a3b2-a2b3=a2b2（a-b），当a<b时，a3b2-a2b3<0,即 a3b2<a2b3故选择D ※注意分清条件和结论 D 10 新知探秘 p:，q:，则p是q的什么条件？ 充分不必要条件 探讨 充分条件与必要条件与集合的关系（如图1-2-1所示），即 一般地，如果，，且(如图1-2-2所示)，那么，因此也就有是的充分条件，是的必要条件. 结论：A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件(x满足A，则x一定满足B） A与B相等，则p是q的充要条件 11 夯实基础 1.已知p：∃x∈R，x2+6x+a=0(a>0). (1)若p是真命题，求实数a的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合B={x|3m-1<x<3m+3}，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围. （1）若p是真命题，则△≥0，a>0,解的0<a≤9 所以A={a|0<a≤9} （2）由已知可得B≠∅,所以 解的≤m ≤2 ,所以m的取值范围为{m|≤m ≤2} 12 夯实基础 2.是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 令或由，得 当时，即即 此时或 ∴当时，是或的充分条件. 13 新知探秘 充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关. 例如 “如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理．这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数．不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件． 逻辑关系：满足定理的条件（前提）→ 能确定对象的类别/性质（结论），即“条件是结论的充分条件”。 例如 形如 y = ax2（a是非零常数）的函数是二次函数； 这可以看成一个判定定理，因此“ y = ax2(a 是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的_______条件. 充分 14 新知探秘 充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关. 例如 “矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理．这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等．不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件． 核心功能：描述某一类对象（或具有某一性质的对象）必然具备的特征，相当于“固有属性”。 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_______条件. 例如 菱形的对角线互相垂直。 必要 15 综合练习 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件： (1)形如y=x2+bx（b是常数）的函数是二次函数； (2)菱形的对角线互相平分 解（1） 这可以看成一个判定定理，因此“y=x2+bx（b是常数）的函数”是“函数是二次函数”的充分条件. 解（2） 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相平分”是“四边形是菱形”的必要条件. 16 综合练习 ●已知命题p：“四边形是菱形”，命题q：“四边形的对角线互相垂直”则p是q的 条件？ 充分不必要 ●设x∈R,则x2-5x<0”是”|x-1|<1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.及不充分也不必要条件 x2-5x<0二次不等式，等价于x(x-5)<0,画图 可知解集为：（0，5） |x-1|<1的解集为：-1<x-1<1即 0<x<2 根据集合与充要条件的关系可得：必要不充分条件 B 17 综合练习 ●已知a，b，c是△ABC的三边，p：a2+b2+c2=ab+bc+ca,q:△ABC是等边三角形，则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.及不充分也不必要条件 由a2+b2+c2=ab+bc+ca得 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca⇒（a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0⇒a=b=c 命题q：得a=b=b ∴ p是q的充分必要条件 C 18 综合练习 ●关于x的方x2-(2a+2)x+a(a+2)=0有两个异号的实根的充分不必要条件是（ ） A.-2<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.-1<a<1 C ∆=(2a+2)2-4a(a+2)>0 x1‧x2==a(a+2)<0⇒a<0<a+2 解的-2<a<0 根据题意知-2<a<0是结论，故它的充分不必要条件是它的真子集 故选C 19 综合练习 ●若“x>1”是“|x-a|>1”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . |x-a|>1⇒x-a>1或x-a<-1 x>a+1或x<a-1 “x>1”是“|x-a|>1”的充分不必要条件,故可画出真子集关系如下： 注意讨论一下a+1=1时真子集关系是否成立（成立），故的{a|a≤0} {a|a≤0} 20 $