二项式定理 讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理核心考点，涵盖展开式通项、二项式系数性质等基础概念，按特定项求解、系数和计算、二项式系数最值等六个高考常见题型构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维和数学语言为指导，创新采用题型分类突破策略，如在两个二项式之积问题中，引导学生用组合思想分析因式连乘规律，培养逻辑推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，助力学生提升解题技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026年高考数学一轮复习 讲义：二项式定理 知识点1 二项式定理 1．二项式定理：一般地，对于任意正整数n，都有 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；． 2.二项展开式形式上的特点： (1)项数为． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为． (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到． (4)二项式的系数从，，一直到，． 3．二项式系数的性质： 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． 各二项式 系数的和 4．注意:（1）．分清是第项，而不是第项． (2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解． (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系． (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略：求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略：若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用：根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 【题型1 求二项展开式的特定项和系数】 【例1-1】展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【例1-2】展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【例1-4】二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【例1-5】的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 【例1-6】的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．160 【变式1-1】二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【变式1-2】展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【变式1-3】在的展开式中，项的系数为（    ） A． B．20 C． D．40 【变式1-4】的展开式中，的系数等于（    ） A． B． C．10 D．45 【变式1-5】的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型2 二项式系数和与系数和问题】 【例2-1】已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【例2-2】在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为 B．各项的系数和为64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 【例2-3】多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（    ） A．1 B．243 C．64 D．0 【例2-4】若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式2-2】若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【变式2-3】已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【题型3 二项式系数的最值问题】 【例3-1】的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【例3-2】已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【例3-3】已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【变式3-1】的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【变式3-2】若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【变式3-3】在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-4】二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【题型4 两个二项式之积问题】 【例4-1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【例4-3】在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．8 【例4-4】已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【变式4-2】的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 【变式4-3】的展开式中的系数（    ） A．28 B．35 C．36 D．56 【变式4-4】已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（    ） A．56 B． C．106 D． 【题型5 三项展开式问题】 【例5-1】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【例5-2】在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【例5-3】若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例5-4】在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【变式5-1】展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【变式5-2】在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．20 D．30 【变式5-4】在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 【题型6 奇次项与偶次项的系数和】 【例6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【变式6-1】若 则 （    ） A． B． C． D． 【变式6-2】在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 过关测试 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 2．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 3．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 4．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 5．若，则（    ） A．244 B．1023 C． D．1 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 8．在的展开式中，项的系数为 ． 9．在二项式的展开式中，的系数为 ． 课后练习1 1．的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 2．的展开式中x的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 4．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 5．（多选）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 6．在的展开式中，常数项为75，则 . 7．若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答） 8．已知，则 ； ． 课后练习2 1．的展开式中，的系数为（ ） A．15 B．-15 C．60 D．-60 2．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A． －20 B．－30 C．15 D．20 3．的展开式中的系数为（ ） A．25 B．5 C．-15 D．-20 4．展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 5．在的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 6．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A．10 B．20 C．30 D．120 7．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A．-7 B．7 C．-28 D．28 8．二项式展开式中的系数为（ ） A．5 B．16 C．80 D．-80 9．设为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ） A． B． C． D． 10．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项． A．5 B．4 C．4或5 D．5或6 11．展开式中常数项为（ ） A．252 B．－252 C．160 D．－160 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：二项式定理 知识点1 二项式定理 1．二项式定理：一般地，对于任意正整数n，都有 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；． 2.二项展开式形式上的特点： (1)项数为． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为． (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到． (4)二项式的系数从，，一直到，． 3．二项式系数的性质： 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． 各二项式 系数的和 4．注意:（1）．分清是第项，而不是第项． (2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解． (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系． (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略：求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略：若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用：根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 【题型1 求二项展开式的特定项和系数】 【例1-1】展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解题思路】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【解答过程】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 【例1-2】展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据展开式通项公式写出第项即可. 【解答过程】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 【例1-3】二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即得. 【解答过程】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 【例1-4】二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【解答过程】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 【例1-5】的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 【解题思路】求出的展开式的通项可得答案. 【解答过程】的展开式的通项， 由，得， 所以的展开式中的常数项为． 故选：A. 【例1-6】的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．160 【解题思路】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【解答过程】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则， 则展开式的通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故选：A. 【变式1-1】二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【解题思路】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【解答过程】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 【变式1-2】展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【答案】A 【解题思路】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【解答过程】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：. 【变式1-3】在的展开式中，项的系数为（    ） A． B．20 C． D．40 【解题思路】 由题意写出展开式通项并化简，令，解得，回代展开通项计算即可得解. 【解答过程】在的展开式通项为， 由题意令，解得，所以项的系数为. 故选：D. 【变式1-4】的展开式中，的系数等于（    ） A． B． C．10 D．45 【解题思路】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数. 【解答过程】的通项为， 令，解得， 所以项的系数为：. 故选：D. 【变式1-5】的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【解答过程】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 【变式1-6】设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】在二项展开式的通项公式，根据与的项系数相等，求得实数的值. 【解答过程】二项式的展开式的通项公式为， 根据与的项系数相等， 则， 解得. 故选：C. 【题型2 二项式系数和与系数和问题】 【例2-1】已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【解答过程】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 【例2-2】在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为 B．各项的系数和为64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 【解题思路】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断. 【解答过程】对于A，的展开式通项为， 当时，常数项为，选项A正确； 对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误； 对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误； 对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误. 故选：A. 【例2-3】多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（    ） A．1 B．243 C．64 D．0 【解题思路】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和. 【解答过程】根据二项式的展开式， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为多项式的项系数比项系数多35， 所以，解得， 所以其各项系数之和，即当时，系数和为0， 故选：D. 【例2-4】若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可求解. 【解答过程】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 【变式2-1】若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可. 【解答过程】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48. 故选：C. 【变式2-2】若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果. 【解答过程】因为， 令可得； 令可得：； 故. 故选：A. 【变式2-3】已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【解题思路】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【解答过程】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B. 【题型3 二项式系数的最值问题】 【例3-1】的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【解答过程】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 【例3-2】已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【解答过程】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 【例3-3】已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【解答过程】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【变式3-1】的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【解题思路】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解. 【解答过程】依题意，的展开通项公式为，其系数为， 当为奇数时，才能取得最小值， 又由二项式系数的性质可知，是的最大项， 所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小. 故选：C． 【变式3-2】若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【解题思路】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可. 【解答过程】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大， 所以，解得， 则的展开式通项为 ， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 所以展开式中系数最大时，为偶数， 由展开式通项可知，，， ，， 所以展开式中系数最大的是第三项， 故选：B. 【变式3-3】在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据若n为偶数，则二项式系数最大的是中间一项即第项，若n为奇数，则二项式系数最大的是中间两项，即第项和第项求解. 【解答过程】因为在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大， 所以， 解得， 故选：B. 【变式3-4】二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【答案】32 【解题思路】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【解答过程】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 【题型4 两个二项式之积问题】 【例4-1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 的通项为， 令，可得； 的展开式通项为， 令，可得. 所以，展开式中的系数为. 故选：D. 【例4-2】的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【解题思路】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【解答过程】依题意可知，含的项是 ， 所以的系数是. 故选：C. 【例4-3】在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．8 【解题思路】根据展开式通项公式得到，的系数分别为，，从而得到的系数为． 【解答过程】在的展开式中，通项公式为， 故，的系数分别为，， 所以在的展开式中，的系数为． 故选：D． 【例4-4】已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可. 【解答过程】由， 而展开式中的通项为， ， 令，得；令，得， 则的展开式中项的系数为 ，解得. 故选：A. 【变式4-1】的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【解答过程】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 【变式4-2】的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 【答案】B 【解题思路】先确定二项式的通项，再根据乘法分配律计算得展开式中的系数即可. 【解答过程】二项式的通项为， 展开式中系数为. 故选：B. 【变式4-3】的展开式中的系数（    ） A．28 B．35 C．36 D．56 【解题思路】先求出的展开式的通项，再分别求出展开式中项、项的系数及常数项，即可求得的展开式中项的系数． 【解答过程】根据题意，二项式的展开式的通项， 其中项为，， 项为，， 常数项为，， 所以展开式中项的系数为． 故选：C． 【变式4-4】已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（    ） A．56 B． C．106 D． 【解题思路】求出二项式的展开式的通项，由给定系数求出，再求出的系数. 【解答过程】依题意，， 二项式的展开式的通项， 于是，解得， 所以的展开式中的系数为. 故选：D. 【题型5 三项展开式问题】 【例5-1】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【解题思路】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【解答过程】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B. 【例5-2】在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【解答过程】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 【例5-3】若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【解答过程】依题意，，所以，即． 故选：C. 【例5-4】在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理展开式计算即可. 【解答过程】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 【变式5-1】展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【解题思路】分不含项和含有一个项两种情况求解． 【解答过程】展开式中，的项为， 则的系数为30． 故选：． 【变式5-2】在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用组合知识，即可求出结果. 【解答过程】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为. 故选：A. 【变式5-3】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．20 D．30 【解题思路】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【解答过程】， 其展开式的通项公式为， 令，则， 而的展开式的通项公式为： ， 令，则的展开式中的系数为: , 故选：A. 【变式5-4】在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 【解题思路】先求出展开式的通项公式 =,其中的展开式的通项公式为 ，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值. 【解答过程】=的展开式的通项公式为 =， 其中的展开式的通项公式为 ， 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 故常数项为++. 故选：D. 【题型6 奇次项与偶次项的系数和】 【例6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由赋值法可得. 【解答过程】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 【例6-2】已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【答案】B 【解题思路】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【解答过程】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B. 【变式6-1】若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】使用赋值法，当分别取和时，得到和，联立解得. 【解答过程】令，得①； 令，得②； 得：. 故选：C. 【变式6-2】在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【解答过程】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 过关测试 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式展开的通项公式求解． 【解答过程】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：C． 2．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【解题思路】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 3．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【解答过程】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D. 4．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【解题思路】先根据二项式系数和求出，求出展开式通项，令得，代入通项即可求出常数项. 【解答过程】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为 . 故选：B． 5．若，则（    ） A．244 B．1023 C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用换元法结合二项展开式的通项公式可求. 【解答过程】设，则原恒等式可化为， 令，则， 而展开式的通项公式为， 故，故， 故选：A. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【解答过程】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C. 7．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解题思路】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【解答过程】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD. 8．在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【解答过程】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为：. 9．在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解题思路】利用通项公式求解可得. 【解答过程】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 课后练习1 1．的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得 【解答过程】二项式展开式中项分别为， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C. 2．的展开式中x的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 【解题思路】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可 【解答过程】展开式的通项， 令即，此时， 展开式的通项， 令，即，此时， 所以展开式中的系数为. 故选：C. 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【解题思路】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【解答过程】的展开式的二项式通项为，令，则． 的展开式的二项式通项为， 令，可得． 故项的系数为． 故选：D. 4．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【解题思路】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【解答过程】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 5．（多选）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【解题思路】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D. 【解答过程】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 6．在的展开式中，常数项为75，则 . 【解题思路】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【解答过程】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 7．若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 32 ．（以数字作答） 【解题思路】直接利用二项式的展开式求出结果． 【解答过程】根据的展开式的通项公式为， 当r＝3时，，解得； 故所有项的二项式系数之和为． 故答案为：32． 8．已知，则 ； ． 【答案】； 【解题思路】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【解答过程】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：；. 课后练习2 1．的展开式中，的系数为（ ） A．15 B．-15 C．60 D．-60 【答案】C试题分析：依题意有，故系数为． 2．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A． －20 B．－30 C．15 D．20 【答案】A 试题分析：由题意得，，所以展开式的通项为，令，所以展开式中的常数项为，故选A． 3．的展开式中的系数为（ ） A．25 B．5 C．-15 D．-20 【答案】C试题分析：，含有项的构成为，所以展开式中的系数为-15，故选C． 4．展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 试题分析：因为 ，中含有的常数项为，中含有的常数项为，故展开式中常数项为，故选B． 5．在的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 【答案】A试题分析：由二项式定理可知展开式的通项公式为，令，常数项为 6．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A．10 B．20 C．30 D．120 7．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A．-7 B．7 C．-28 D．28 8．二项式展开式中的系数为（ ） A．5 B．16 C．80 D．-80 【答案】C 试题分析：根据二项式定理其通项公式为：，则当时，其展开式中的的系数为：，选C． 9．设为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A．试题分析：由二项展开的通项公式，令，故的系数是，故选A． 10．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项． A．5 B．4 C．4或5 D．5或6 【答案】A 试题分析：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，,第项系数为时最大,故展开式中系数最大的项为第项． 故选A． 11．展开式中常数项为（ ） A．252 B．－252 C．160 D．－160 【答案】A试题分析：． 展开式通项公式 令当且仅当时， 为常数项． 故A正确． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $