精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测14

高一数学周测14 一、单选题 1. 下列各角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 10 C. 12 D. 7. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 的值为 C. 若，则的值为 D. 若且，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 任取，都有 B. 函数的最大值为1 C. 所有的幂函数图象都会经过点和 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称 11. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. B. C. D. 函数有3个零点 三、填空题 12. 角的集合为，则集合__________． 13. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为__________. 14. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 16. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合. （2）已知，求的值; （3）已知，且，求的值. 17. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为. （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 18. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“德函数”． （1）分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①；②；③． （2）若“德函数”在上单调递增，求证：在上单调递增； （3）已知为“德函数”，且当时，，（，），若在上的值域为R，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周测14 一、单选题 1. 下列各角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角的表示方式进行选择. 【详解】因为与终边相同的角为：，. 当时，. 故选：B 2. 用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 3. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】故 所以， 故， 故选：D 5. 设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 6. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 10 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得函数与互为反函数，所以，根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 所以， 所以. 故选：. 7. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 的值为 C. 若，则的值为 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数与对数运算公式分别化简计算各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：由，得，即， 所以，C选项正确； D选项：由，则，，且， 即，， 所以，解得，D选项错误； 故选：ABC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 任取，都有 B. 函数的最大值为1 C. 所有的幂函数图象都会经过点和 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用指数函数性质即可判断A，利用指数函数单调性求值域可判断B，利用幂函数性质可判断C，利用反函数性质可判断D． 【详解】由于当时，，所以任取，都有，是错误的，故A错误； 由于，根据指数函数的单调性可知，故B正确； 由于幂函数不经过原点，所以所有的幂函数图象都会经过点和是错误的，故C错误； 由于函数可得，所以函数与函数互为反函数， 则它们的图象关于直线对称，故D正确； 故选：BD 11. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A. B. C. D. 函数有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，对，令即可得；B选项，推出，则可得；C选项，结合函数对称中心与对称轴可得点是函数的一个对称中心，即可得解；D选项，转化为两函数的交点个数问题，同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到答案． 【详解】A选项，，则，A正确， B选项，，故关于对称， 是定义在上的奇函数，故，所以， 故，所以， 即，所以， 所以，B正确； C选项，因为关于对称，且是函数的一个对称中心， 所以点是函数的一个对称中心，故，C正确； D选项，令得，令， 同一坐标系内，画出与的图象，如下： 显然与的图象有且只有2个交点， 故函数有2个零点，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12. 角的集合为，则集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】解： ， 则， 故答案为： 13. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】,运用弧度之下的扇形面积公式，弧长公式求解即可. 【详解】因为勒洛三角形的周长为，所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1.由题意可得 . 故答案为：. 14. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值. 【详解】解：因为函数在上是增函数， 所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数， 对于函数在上是增函数， 则；① 对于函数， （1）当时，， 外函数为定义域内的减函数， 内函数在上是增函数， 根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去， （2）当时， 外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数， 则内函数在上也是增函数， 且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立， 所以， 又，所以，② 又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足： ， 化简得，③ 由①②③得，， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下： （1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； （2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； （3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 四、解答题 15. 化简下列各式，并求值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合. （2）已知，求的值; （3）已知，且，求的值. 【答案】（1）①，②； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案； （2）利用齐次化求出，再利用齐次化化简，代入求值即可； （3）两边平方，结合同角三角函数关系求出，平方求出，并根据，得到，，求出. 【详解】（1）① ， ②； （2），故， 解得， ； （3）两边平方得， 故，所以， ， 因为，所以， 由于，故， 所以，故. 17. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为. （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，设，求出，即可求解； （2）令，利用二次函数的单调性求值域即可； （3）令，，利用二次函数的单调性求出的最小值，，解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 设，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ，令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 所以的值域为. 【小问3详解】 ， ， 令， 令，， 在上单调递增，则， 所以恒成立，即， 即，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【解析】 【分析】（1）根据，得到两个方程，求解方程组即可； （2）根据对数函数单调性的性质、运用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 当时， ， 令，在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 于是根据对数型函数单调性的性质， 可知当或2时，所以. 当时， ， 当且仅当即时等号成立. 综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数型函数的单调性的性质和换元法的应用. 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“德函数”． （1）分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①；②；③． （2）若“德函数”在上单调递增，求证：在上单调递增； （3）已知为“德函数”，且当时，，（，），若在上的值域为R，求的取值范围． 【答案】（1） ①，所以为“德函数”； ②，所以不为“德函数”； ③当时，则，从而； 当时，则从而； 当时，，所以为“德函数”； （2） 任取，，且 ①若，由于在上单调递增，则， ②若，则，由于在上单调递增，则， 结合“德函数”的定义，有即在上单调递增； 若，由①②，则有，故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“德函数”的定义判断即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题意只需或者即可，可求得且，进而对分类讨论可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令时，的值域为A， 根据“德函数”的定义，要使若在上的值域为R， 只需或者即可， 因为在恒成立.∴， ∴且； ①，令在单调递增， 从而，则单调递减， 从而在单调递减， ∴， ∴或（舍去）； ②， （ⅰ），则，则在单调递增， 而单调递增， 从而在单调递增， ∴， ∴或， ∴； （ⅱ），则， 则在单调递减，在单调递增， 而单调递增， 从而在单调递减，在单调递增， ∴， ∴且， ∴； 综上所述∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $