精品解析：安徽省宿州市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学期中测试卷

八年级数学期中测试卷 考试范围：第十三章~第十五章三角形 全等三角形 轴对称 时间：90分钟　满分：120分　 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，以下四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 3. 如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可． 【详解】解：根据图形可知：，，， ∵相当于的外角， ∴，故不符合题意，D符合题意． 故选：D． 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 5. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质，得到，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 6. 如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：， ， 过点作于点，如图所示： 在中，的平分线交于点， 由角平分线的性质可知， 则点到的距离为， 故选：A． 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 8. 如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则． 【详解】解：，， ， ， ， 由翻折得， ， 故选：B． 9. 今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____．  【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 12. 如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是____．  【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加或， ∴， 添加， ∴， ∴． 故答案为：（或，） 13. 如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为______秒． 【答案】24 【解析】 【分析】先计算出扶梯的长度，根据扶梯的运行速度即可得到运行时间． 【详解】解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，， ∴扶梯的长度为，， ∴设顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为， ∴， ∴秒， 故答案为：24． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 15. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为___；的度数为___．  【答案】 ①. ##76度 ②. ##52度 【解析】 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再进一步证明即可． （2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解题的关键． 17. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 【答案】（1） 关于直线l成轴对称的如下图， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 18. 如图，的周长为13． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）7 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法作图即可． （）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ∴， 的周长． 19. 已知点， B点坐标为． （1）若点A和点B关于x轴对称，求A点坐标； （2）若直线轴，求A点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列式即可作答； （2）根据直线轴，可知点与B点的纵坐标相等，据此作答即可． 【小问1详解】 根据题意有：，且， 解得：， 即； 【小问2详解】 ∵直线轴， ∴点与B点的纵坐标相等， 即：， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，直线轴，可知点与B点的纵坐标相等知识，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征． 20. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2） 证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 【答案】（1） 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2） 证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE． 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 23. 已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 【答案】（1） （2） ， 解答过程如下： 过点D作，交于点M． ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）的长为7或1 【解析】 【分析】（1）三线合一，得到，，等量代换得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，易得为等边三角形，证明，即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴． 又∵点D为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点M， 同（2）可知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为7或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中测试卷 考试范围：第十三章~第十五章三角形 全等三角形 轴对称 时间：90分钟　满分：120分　 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，以下四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　） A. B. C. D. 9. 今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____．  12. 如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是____．  13. 如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为______秒． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 15. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为___；的度数为___．  三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 17. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 18. 如图，的周长为13． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 19. 已知点， B点坐标为． （1）若点A和点B关于x轴对称，求A点坐标； （2）若直线轴，求A点坐标． 20. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 21. 如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 23. 已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $