第四章 数列和不等式放缩恒成立问题讲义- 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了数列与不等式综合问题的知识体系，将恒成立问题、证明不等式、插入与个数问题三大题型按“基础方法-技巧应用-综合拓展”递进组织，并用分类表格呈现放缩技巧（等比、裂项相消等）及对应题型，清晰呈现重难点内在逻辑。 讲义亮点在于“题型精讲+分层精练”设计，如通过例1.3裂项相消放缩证明不等式，培养数学思维与运算能力。每个题型配备基础题与提升题，基础生掌握通法，优生突破难点，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主构建解题思路。

4.7 数列和不等式+放缩+恒成立问题 【题型精讲】 【题型一　数列和不等式恒成立】 例1　已知数列和满足.若为等比数列，且，，设，记数列的前n项和为. （1）求； （2）求正整数k，使得对任意均有. 例2　已知正项数列前项和为，且满足. (1)求； (2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【题型精练】 1．设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 2．已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为 . 3．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 4．已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且，数列的前项和为，满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若数列满足：． （i）求的通项公式； （ii）求使得成立的所有值． 5．已知正项等比数列和其前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值. 6．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 7．已知数列满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【题型二　数列与证明不等式】 必备技巧 数列证明不等式题型 题型一 直接求和（简单）； 题型二 通项放缩——放缩成等比、放缩成错位相减、放缩成裂项相消； 题型三 通项比较； 题型四 累乘累加综合； 题型五 数列、函数与不等式. 例1.1　（通项放缩：放缩成等比）已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，. （Ⅰ）若成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：. 例1.2　（通项放缩：放缩成错位相减）已知，证明：. 例1.3　（通项放缩：放缩成裂项相消）已知，证明：. 例2　（通项比较）已知等差数列的前n项和为，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若是单调递增数列，求证：． 例3　（累乘累加综合）已知数列，，满足，，． (1)若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； (2)若为等差数列，公差，证明：，． 例4　（数列、函数与不等式）难：混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列. (1)若数列为等比数列，求实数的取值范围； (2)若，证明： ①； ②. 【题型精练】 1．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 2．已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求； (3)证明：. 3．对于数列，其前项和记为，已知. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为，记， （i）求； （ii）证明：. 4．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 5．已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：． 6．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 7．已知数列满足，，． (1)猜想数列的单调性，并证明你的结论； (2)证明：． 【题型三　数列插入与个数问题】 例1　（数列插入）已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 例2　（个数问题）已知数列满足，，且． (1)证明数列为等差数列．并求数列的通项公式； (2)对，将数列中落入区间内的项的个数记为，记的前m项和为，求． [题型精练] 1．已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 2．已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 3．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为在区间内的项的个数. ①求，，； ②求数列的前项的和. 4．已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 5．已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 6．在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求; ②设数列的前项和，求. 7．已知为数列的前项和，，，，则当，时， (用表示)． 8．在正项等比数列中已知，. (1)求数列的通项公式； (2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 4.7 数列和不等式+放缩+恒成立问题 【题型精讲】 【题型一　数列和不等式恒成立】 例1　已知数列和满足.若为等比数列，且，，设，记数列的前n项和为. （1）求； （2）求正整数k，使得对任意均有. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）①， 当，时，②， 由①②知：， 令，则有． ， ． 为等比数列，且， 的公比为，则， 由题意知，，． ． 又由得： ， ， ． ， ； （2）因为，，，； 当时， ， 而 ， 得 ， 所以，当时，， 综上，对任意恒有，故． 例2　已知正项数列前项和为，且满足. (1)求； (2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，有， 两式相减得 ，移项合并同类项因式分解得 ， 因为， 所以有， 在中，当得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故有 （2）由（1）知， ， ， ， 由题意，对任意的，均有恒成立， ， 即恒成立， 设， 所以， 当时，，即 ； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以. 故的取值范围是. 【题型精练】 1．设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． （3）由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 2．已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】4045 【详解】因为，当时，，， 当时，，， 相减得，又， 相减得，故是等差数列，则，， 所以， ，， . 故答案为：4045. 3．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可得， 当时，， 故， 化简可得， 由于，故，即为常数， 因此为等差数列， （2）由（1）知为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，故，解得， 故， 故， 故， 单调递减，故单调递增，因此 ， 恒成立，故，解得， 4．已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且，数列的前项和为，满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若数列满足：． （i）求的通项公式； （ii）求使得成立的所有值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 因为，所以解得，所以； ， 由， 两式相减，得， 所以数列是为首项，为公比的等比数列，所以； （2）（i）， 当时，， 由累加法，得 ， 令， 则有， 两式相减，得， ， 于是，显然适合， 所以； （ii）， 则有，或， 由， 由. 综上所述： 5．已知正项等比数列和其前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 所以； （2）由题意可得，， 则， 故数列单调递增，不难发现， 故满足题意的m的最小值为6. 6．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)①；②. 【详解】（1）由，. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， . 于是， 则 ， 所以. ②由，， 得，. 令， 所以，， 所以不是数列的最大项， 不妨设的第n项取得最大值. 由，即， 解得， 即数列的最大值为， 所以， 即m的取值范围是. 7．已知数列满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，可得， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列， 可得，故. （2）由（1）知， 则，① 所以，② ①②，得 ， 故. （3）因为恒成立，所以恒成立， 令，则， 当时，，，可得单调递增， 当时，，，可得单调递减， 可得，即的最大值为. 故的取值范围为. 【题型二　数列与证明不等式】 必备技巧 数列证明不等式题型 题型一 直接求和（简单）； 题型二 通项放缩——放缩成等比、放缩成错位相减、放缩成裂项相消； 题型三 通项比较； 题型四 累乘累加综合； 题型五 数列、函数与不等式. 例1.1　（通项放缩：放缩成等比）已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，. （Ⅰ）若成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【详解】（Ⅰ）由已知， 两式相减得到. 又由得到，故对所有都成立. 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列. 从而. 由成等差数列，可得，即，则， 由已知,，故. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以双曲线的离心率. 由解得. 因为，所以. 于是， 故. 例1.2　（通项放缩：放缩成错位相减）已知，证明：. 例1.3　（通项放缩：放缩成裂项相消）已知，证明：. 例2　（通项比较）已知等差数列的前n项和为，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若是单调递增数列，求证：． 【答案】(1) 或；(2)证明见解析. 【详解】(1)设等差数列的公差为d，则，由得，解得或， 或， 若，且，则不成等比数列，故舍去 所以数列的通项公式是； (2)因是单调递增数列，则， ，令 ， 则 于是有，即数列是递增数列， 时，即， 所以有. 例3　（累乘累加综合）已知数列，，满足，，． (1)若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； (2)若为等差数列，公差，证明：，． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，， ，， 整理，得， 解得舍去，或， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，． ， 则， ， ， ，， 各项相加，可得，时， ， 当时代入适合， ． （2）证明：依题意，由，可得 ， 两边同时乘以，可得 ， ， 数列是一个常数列，且此常数为， ， ， ， ，故得证． 例4　（数列、函数与不等式）难：混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列. (1)若数列为等比数列，求实数的取值范围； (2)若，证明： ①； ②. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）由是等比数列，得，且， 依题意，，则， 于是，即，整理得， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）①由知，，则， 由，得数列是递减数列，则； 又，则同号，有与同号，即，于是， 所以． ②由，得， 由①知，，则，又，因此， 所以. 【题型精练】 1．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 2．已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求； (3)证明：. 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， ，， ，，又，； ，，，解得：， . （2）由（1）知：， 当为奇数时，；当为偶数时，； ； 令， 则， ， ； 令， 则， ， ； . （3）由（1）得：， . 3．对于数列，其前项和记为，已知. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为，记， （i）求； （ii）证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为①，所以②，②-①得，， 所以，所以，所以， 而在①中令，则，所以，， 所以数列是首项为2，公比为等比数列； （2）（i）由（1）知，所以， 又，所以数列是首项为，公差为等差数列， 所以，即， 所以， 所以 ； （ii）证明：当时，成立； 当时，由可知， 所以 ，因为单调递增，所以，即， 所以，所以，； 综上：. 4．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可得， 所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以； （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以，因为，所以，当时等号成立， 而，所以， 所以成立. 5．已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3）， ， ， . 结论得证. 6．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【详解】(1)由题意可得：，解得：， 则数列的通项公式为 . 其前n项和. 则成等比数列，即： ， 据此有： ， 故. (2)结合(1)中的通项公式可得： ， 则. 7．已知数列满足，，． (1)猜想数列的单调性，并证明你的结论； (2)证明：． 【答案】(1)数列是递减数列，证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由及得 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立； （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 =，即，也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立． （2）当n=1时，，结论成立， 当时，易知， ， ． 即. 【题型三　数列插入与个数问题】 例1　（数列插入）已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； （2）由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； （3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 例2　（个数问题）已知数列满足，，且． (1)证明数列为等差数列．并求数列的通项公式； (2)对，将数列中落入区间内的项的个数记为，记的前m项和为，求． 【答案】(1)证明见解析，，； 【详解】（1）由，所以，. 所以，，. 即是以为首项，以1为公差的等差数列. 所以，，. [题型精练] 1．已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 2．已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则 ； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 3．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为在区间内的项的个数. ①求，，； ②求数列的前项的和. 【答案】(1) (2)①，，；② 【详解】（1）在中，令，得，即， 当时，①， ②， ①-②得，所以， 检验当时，满足上式，所以. （2）①由已知时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 ②当时，，所以 若为奇数， 若为偶数， 所以当为奇数时， 当为偶数时， 综上 4．已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 【答案】(1)，； (2)； (3)480. 【分析】（1）根据给定条件，列式分别求出数列与的公差、公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，按奇偶分组求和，再利用裂项相消法及错位相减法求和即得. （3）根据给定条件，分段求出数列的前100项，再求出它们的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此； 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此. （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此， 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以. （3）由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以. 5．已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设数列的公差为，则有，解得， 故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式； 故； （2）， 则； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . 6．在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求; ②设数列的前项和，求. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意知，所以， 所以当时， ， 又也满足上式， 所以. （2）①由题意， 令， 当时，，此时， 当时，， 又，所以， 此时 所以. ②， 记， ， ， 上述两式作差得 ， 所以， 当时，； 当时，， 又也满足上式， . 7．已知为数列的前项和，，，，则当，时， (用表示)． 【答案】 【详解】由题意，可得时，， 当时，， 当时，，…… 当时，， 当，时， . 故答案为：. 8．在正项等比数列中已知，. (1)求数列的通项公式； (2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，且，所以； （2），则， ， ， ， 设， 设， 则，         ， ， ， ， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $