7.2.3平行线的性质导学案2025 -2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦平行线的三个性质及与判定的区别，通过画图测量剪拼等操作引导学生直观感知，再经推理证明形成性质，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接平行线判定知识。 资料注重动手探究与逻辑推理结合，操作验证培养几何直观（数学眼光），分步证明发展推理意识（数学思维），符号语言规范强化模型意识（数学语言），生活应用题及分层练习助力学生理解应用，提升核心素养。

7.2.3平行线的性质（1） 一、学习目标 1．理解平行线的性质和判定的区别； 2．掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． 二、课前预习 探究1：两直线平行，同位角相等 操作：画水平平行线 AB、CD，斜线 EF 交 AB 于 G，交 CD 于 H， 验证：用量角器测量∠1 和∠2 的度数，发现无论 EF 与 AB 的夹角是多少，只要 AB∥CD，∠1 和∠2 始终相等； 归纳： 平行线性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 符号语言：∵AB//CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 探究 2：两直线平行，内错角相等 思考：如图 ，AB∥CD，∠2和∠3有相等的关系？能不能用性质1来证明? 证明： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 又∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） 归纳：平行线性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 符号语言：∵AB∥CD（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 探究 3：两直线平行，同旁内角互补 思考：如图 ，AB∥CD，∠2和∠3有互补的关系？能不能用性质1来证明? 证明： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠3=180o（邻补角的性质） ∴∠2+∠3=180O（等量代换） 归纳：平行线性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 符号语言：∵AB∥CD（已知），∴∠2+∠3=180O（两直线平行，同旁内角互补） 3、 新课讲解 （1） 知识梳理 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2,∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴∠1=∠2 内错角相等，两直线平行 ∵∠3=∠2,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴∠3=∠2 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠4+∠2=,∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴∠4+∠2 （2） 题型梳理 题型1：由平行探究角的数量关系 题型2：性质和判定的交叉应用 题型3：逆向思维，根据角的数量关系找平行的条件 题型4：性质在生活中的应用 例1如图所示，已知a//b，∠1=65o,求∠3度数。 【分析】本题考查了对顶角和平行线的性质，利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明： ， ．（两直线平行，同位角角相等） ，（对顶角相等） ．（等量代换） 例2如图：已知：∠A=110o,∠B=70o,且EF∥BC，说明AD∥EF． 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线的性质． 【详解】解： ， ．（两直线平行，同位角角相等） ， ． ∴AD//EF（同旁内角互补，两直线平行） 例3 如图，点，，分在，，上，且，，下面写出了证明“”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）： 证明：，， ， ．（      ） ， ．（          ） ， ．（    ） ．（               ） ，（            ） ．（      ） 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，， ，．（两直线平行，同位角相等） ， ．（两直线平行，内错角相等） ， ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 例4 如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出角的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 例5一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 4、 巩固练习 1．如下左图，一条公路两次拐弯后，欲和原来的方向相同．第一次拐弯的角∠B=145°，则第二次拐弯的角∠C=_____°． 【分析】理解“在与原来的方向上行驶”意味着在平行的方向是行驶，根据平行线的性质即可求得∠C度数为110o. 2．选择：以下判定中，正确的个数有（ ） （1）若a∥b，b∥c，则a∥c （2）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c （3）若同旁内角相等，则两直线平行 （4）若同位角相等，则两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】 （1） 是对的. （2） 错的； （3） 错的； （4） 对的。 故选B 3.如图， 如果DE∥AB，那么∠A+___=180°，或∠B+_____=180°，根据是______； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠____，根据是______； 如果____∥____，那么∠DEF=∠AFE，根据是______； 如果_____∥_____．那么∠CED=∠FDE，根据是_____ 【分析】此题考查了平行线的性质，正确理解各个性质是解题的关键． 【详解】（1）如果DE∥AB，那么∠A+∠AED=180°，或∠B+∠BDE=180°，根据是两直线平行同旁内角互补； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠B，根据是；两直线平行同位角相等； 如果DE∥AB，那么∠DEF=∠AFE，根据是两直线平行内错角相等； 如果AC∥FD．那么∠CED=∠FDE，根据是两直线平行，内错角相等. 4.如图所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，�求∠BDC度数. 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质； 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=20o， ∵DE//BC ∴∠BDE=180o-∠B=108o, ∠EDC=∠DCB=20o, ∴∠BDC=∠BDE-∠EDC=88o. 5.如图CD∥AB，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，(1)求∠BOE度数； （2）说明OF平分∠AOD　　　　． 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质； 【详解】解：∵CD//AB ∴∠DOB=∠D=50O, ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE=∠DOB=25o， ∵OE⊥OF ∴∠EOF=90o, ∴∠FOD=∠EOF-∠DOE=65o. 6.10．如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)从岛看两岛的视角是多少度？ (2)从岛看两岛的视角是多少度？ 【答案】(1)度 (2)度 【分析】（）由题意可得，进而根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意可得，再根据三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了方位角，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 答：从岛看两岛的视角是度． 7. 某汽车的标志图案的简图如下图所示，其中蕴含着许多几何知识．已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质，找到与相关的角，进行等量代换证明； （2）利用平行线的性质和对顶角相等，求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握利用平行线的同位角相等、同旁内角互补等性质，结合对顶角相等进行角的推导与计算是解题的关键． 8．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 五、课后练习 1．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系． 利用，根据“两直线平行，同位角相等”，得、，求出；再由与互补，计算出． 【详解】证明：， ，． ，， ． ，， ， ． 3．如图，，交于点C，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质和平行线的性质，关键是利用平行线的同位角相等进行角度转化． 先由邻补角互补求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可； （2）根据垂直于同一直线的两直线平行，平行线的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 6．（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 【答案】（1）作图见详解；（2）相等或互补 【分析】本题考查网格中作平行线、平行线的性质及互补定义，掌握平移性质是解决问题的关键． （1）连接，由图可知是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到；由是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到； （2）根据题意，作出图形，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ； 如图所示： ； （2）解：如图所示： ； ， ； 综上所述，与的大小关系为相等或互补． 7．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，易得，有，利用，得到，从而得到结果． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． 8．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 9．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平行线的性质解答即可； （）求出，再根据平行线的性质解答即可； 本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10.如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据，结合角的和差倍分进一步求解，然后根据两直线平行，内错角相等求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，代入， ∴， 解得：， 由（1）得， ∴． 故的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3平行线的性质（1） 一、学习目标 1．理解平行线的性质和判定的区别； 2．掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． 二、课前预习 探究1：两直线平行，同位角相等 操作：画水平平行线 AB、CD，斜线 EF 交 AB 于 G，交 CD 于 H， 验证：用量角器测量∠1 和∠2 的度数，发现无论 EF 与 AB 的夹角是多少，只要 AB∥CD，∠1 和∠2 始终______； 剪拼验证：将∠1 沿 EF 平移，观察能否与∠2 完全重合，结果是______ 归纳： 平行线性质 1：两条平行线被第三条直线所截，___________________ 符号语言：∵_______（已知），∴________（____________________） 探究 2：两直线平行，内错角相等 思考：如图 ，AB∥CD，∠2和∠3有_________关系？能不能用性质1来证明? 证明： ∵AB∥CD（已知）， ∴________（______________） 又∵∠1=∠3（_____________） ∴∠2=∠____（等量代换） 归纳：平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，_________________ 符号语言：∵AB∥CD（已知），∴∠_________（两直线平行，内错角相等） 探究 3：两直线平行，同旁内角互补 思考：如图 ，AB∥CD，∠2和∠3有_________关系？能不能用性质1来证明? 证明： ∵AB∥CD（已知）， ∴________（______________） 又∵__________（_____________） ∴∠2=∠____（等量代换） 归纳：平行线性质 3：两条平行线被第三条直线所截，_________________ 符号语言：∵AB∥CD（已知），∴∠_________（两直线平行，内错角相等） 3、 新课讲解 （1） 知识梳理 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2,∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴∠1=∠2 内错角相等，两直线平行 ∵∠3=∠2,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴∠3=∠2 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠4+∠2=,∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴∠4+∠2 （2） 题型梳理 题型1：由平行探究角的数量关系 题型2：性质和判定的交叉应用 题型3：逆向思维，根据角的数量关系找平行的条件 题型4：性质在生活中的应用 例1如图所示，已知a//b，∠1=65o,求∠3度数。 例2如图：已知：∠A=110o,∠B=70o,且EF∥BC，说明AD∥EF． 例3 如图，点，，分在，，上，且，，下面写出了证明“”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）： 证明：，， ， ．（       ） ， ．（           ） ， ．（     ） ．（            ） ，（            ） ．（      ） 例4 如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 例5一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 4、 巩固练习 1．如下左图，一条公路两次拐弯后，欲和原来的方向相同．第一次拐弯的角∠B=145°，则第二次拐弯的角∠C=_____°． 2．选择：以下判定中，正确的个数有（ ） （1）若a∥b，b∥c，则a∥c （2）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c （3）若同旁内角相等，则两直线平行 （4）若同位角相等，则两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图， 如果DE∥AB，那么∠A+___=180°，或∠B+_____=180°，根据是______； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠____，根据是______； 如果____∥____，那么∠DEF=∠AFE，根据是______； 如果_____∥_____．那么∠CED=∠FDE，根据是_____ 【详解】（1）如果DE∥AB，那么∠A+∠AED=180°，或∠B+∠BDE=180°，根据是两直线平行同旁内角互补； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠B，根据是；两直线平行同位角相等； 如果DE∥AB，那么∠DEF=∠AFE，根据是两直线平行内错角相等； 如果AC∥FD．那么∠CED=∠FDE，根据是两直线平行，内错角相等. 4.如图所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，�求∠BDC度数. 5.如图CD∥AB，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，(1)求∠BOE度数； （2）说明OF平分∠AOD　　　　． 6.如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． (1)从岛看两岛的视角是多少度？ (2)从岛看两岛的视角是多少度？ 7. 某汽车的标志图案的简图如下图所示，其中蕴含着许多几何知识．已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 8．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 五、课后练习 1．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．求和的度数． 3．如图，，交于点C，，求的度数． 4．如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2） 你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 7．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 8．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 9．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 10.如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $