专题三 第1讲 空间几何体的表面积与体积讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的表面积与体积 一、考点透析 考点1 直观图与展开图 1.(2025·安徽省·单元测试)已知一个三棱柱的高为，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，， 且，， 故． 故答案选C． 2.(2025·河南省·模拟)莫比乌斯环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于年发现就是把一根纸条扭转后，两头再粘接起来做成的纸带圈现将一个长为、宽为的矩形纸条粘合两端粘合两端重叠部分忽略不计，形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是(    ) A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走才能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，最终得到图形的周长为 D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 【答案】C  【解析】解：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走完中间白色线一圈才能回到原处，白色线的长为矩形条长的倍即厘米，所以A错误，D错误 若沿着中线剪开如图白色线的部分，曲面变成一个更大的莫比乌斯环，且周长为原来的倍，原来的周长为厘米，所以C正确，B错误． 故选：． 3.(2025·北京市·模拟)已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论： 线段的长度为； 若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线； 的余弦值的取值范围为；    周长的最小值为． 其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，在边长为的正方体上取个定点，并连接，即可得到棱长为的正四面体， 显然为前后两面的距离，即正方体的棱长，，故正确； 若取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故错误； 假设与重合，则，，， 此时，故错误； 由于，故只需确定的最小值， 如图，将面和面展开并铺平， 连接，此时交于，为最小值， 周长的最小值为，故正确． 故选D． 4.(2025·海南省海口市·期中)如图，圆锥的底面半径为，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，则(    ) A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由点出发绕圆锥侧面一周，又回到点的细绳长度的最小值为 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 【答案】ACD  【解析】解：对于，圆锥的侧面积为，，故A正确 对于，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B错误 对于，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长，且，故C正确 对于，轴截面中，，，设轴截面的内切圆的半径为， 则，解得， 所以该圆锥内部可容纳的球的最大半径为，故D正确． 故选：． 5.(2025·湖南省·单元测试)如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】将图中的和放置于同一个平面内，如图所示，则． 直三棱柱中，，， 在中，，． 同理，在中，， ， 在图中，， ， 的最小值是． 考点2 空间几何体的表面积 1.(2025·河北省唐山市·模拟)如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为          ． 【答案】  【解析】解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 则球的表面积为， 圆柱的表面积为， 所以球与圆柱的表面积之比为． 故答案为：． 2.(2025·江西省南昌市·模拟)已知圆锥的底面半径为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为，则该圆台的表面积为          ． 【答案】  【解析】解：设圆台上底面半径为，高为，则，解得， 由圆台的体积公式得，解得， 所以圆台的母线长， 则圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为． 故答案为：． 考点3 空间几何体的体积 1.(2025·北京市·模拟题)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，把几何体补全为长方体， 则， ， 所以该包装盒的容积为． 故选：． 2.(2025·福建省龙岩市·月考)已知圆锥是底面圆的圆心，是圆锥的顶点的母线长为，高为．、为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，由题意，圆锥的底面半径为， 则， 要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大， 故须使平面，因平面底面圆，且交线为， 故只须使即可， 此时． 故选：． 二、跟踪练习 1.(2025·湖北省黄冈市·月考)如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在坐标系下的面积为； 根据水平放置的平面图形的直观图画法知， 在坐标系下的面积为， 由，且， 所以，即的边上的高为． 故选：． 2.（多选题）(2025·江苏省泰州市·模拟)已知正方体的棱长为，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是(    ) A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD  【解析】解：对于，连接，由正方体的性质可知平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 又平面，所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于，把平面绕着展开到平面，使得位于两侧，如图所示， 则，，故B正确； 对于，易知的中点即为球心，如下图所示： 当与球相切时，与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为是错误的，故C错误； 对于，依题意可知为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为为球的直径，所以，，即可得． 易知当点为正方体与球的切点时，最小； 当点为正方体的顶点时，最大，故，因此可得的取值范围为，故D正确． 故选：． 3.（多选题）(2025·广东省·期中)如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    ) A. 圆锥 的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD  【解析】解：在中，，， 则圆锥 的侧面积为，故A错误； 当位于中点时，面积取最大值，为， 此时三棱锥体积的最大值为，故B正确； 当点与点重合时，，为最小角，当点与点重合时，，为最大角， 又因为点与，不重合， 故， 又， 可得的取值范围是，故C错误； 若，以为轴把平面旋转至与平面共面，连接，交于，如图所示， 在此平面图中，易得为等边三角形，，且， 则，在中，， 由余弦定理可得， ，即的最小值为，故D正确． 故选：． 4.(2025·江苏省镇江市·月考)如图，已知正四棱锥，点为侧棱的中点则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为          ． 【答案】  【解析】解：如图，将棱锥的侧面展开到一个平面内． 由题意可知，，， 故最短路径为， 即所求最短路径的长度为． 故答案为： 5.(2025·全国·模拟)在棱长为的正方体中，为正方形内一动点含边界，若，则点的轨迹长度为          若为棱的中点，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：平面，平面，， ，， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆， 其轨迹长度为， 如图，延长到点，使得，则点关于平面的对称点为， 连接交正方形于点，则此时使得取最小值， 最小值为． 故答案为，． 6.(2025·河北省·单元测试)如图，在三棱柱中，为等边三角形，平面，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条路线与的交点为，则          ，          ． 【答案】  【解析】解：由题意知将此三棱柱从棱展开， 则此时即为最短路线长，即， 在中，， ， 又，， 由∽，， ，，； 故答案为；． 7.(2025·福建省·单元测试)如图所示，在多面体中，已知是边长为的正方形，，，且，直线、均垂直于平面内任意一条直线． 求该多面体的体积； 点为棱的中点，求从点到点沿多面体表面的最短距离． 【答案】（1） （2） 【解析】解：如图所示，分别过，作的垂线，，垂足分别为，，连接，， 容易求得， 所以，直线、均垂直于平面内任意一条直线． 所以， 点为棱的中点，求从点到点沿多面体表面的最短距离： 先过三角形，再过四边形，， 先过四边形，再过四边形， 先过四边形，再过四边形，， 综上，从点到点沿多面体表面的最短距离为．   学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的表面积与体积 一、考点透析 考点1 直观图与展开图 1.(2025·安徽省·单元测试)已知一个三棱柱的高为，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·河南省·模拟)莫比乌斯环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于年发现就是把一根纸条扭转后，两头再粘接起来做成的纸带圈现将一个长为、宽为的矩形纸条粘合两端粘合两端重叠部分忽略不计，形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是(    ) A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走才能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开如图白色线的部分，最终得到图形的周长为 D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 3.(2025·北京市·模拟)已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论： 线段的长度为； 若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线； 的余弦值的取值范围为；    周长的最小值为． 其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 4.（多选题）(2025·海南省海口市·期中)如图，圆锥的底面半径为，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，则(    ) A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由点出发绕圆锥侧面一周，又回到点的细绳长度的最小值为 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 5.(2025·湖南省·单元测试)如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是          ． 考点2 空间几何体的表面积 1.(2025·河北省唐山市·模拟)如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为          ． 2.(2025·江西省南昌市·模拟)已知圆锥的底面半径为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为，则该圆台的表面积为          ． 考点3 空间几何体的体积 1.(2025·北京市·模拟题)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·福建省龙岩市·月考)已知圆锥是底面圆的圆心，是圆锥的顶点的母线长为，高为．、为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、跟踪练习 1.(2025·湖北省黄冈市·月考)如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为(    ) A. B. C. D. 2.（多选题）(2025·江苏省泰州市·模拟)已知正方体的棱长为，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是(    ) A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 3.（多选题）(2025·广东省·期中)如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    ) A. 圆锥 的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 4.(2025·江苏省镇江市·月考)如图，已知正四棱锥，点为侧棱的中点则在此棱锥侧面上，从点出发绕其一圈到点的路径中，最短路径的长度为          ． 5.(2025·全国·模拟)在棱长为的正方体中，为正方形内一动点含边界，若，则点的轨迹长度为          若为棱的中点，则的最小值为          ． 6.(2025·河北省·单元测试)如图，在三棱柱中，为等边三角形，平面，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条路线与的交点为，则          ，          ． 7.(2025·福建省·单元测试)如图所示，在多面体中，已知是边长为的正方形，，，且，直线、均垂直于平面内任意一条直线． 求该多面体的体积； 点为棱的中点，求从点到点沿多面体表面的最短距离． 学科网（北京）股份有限公司 $