精品解析：宁夏育才中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

宁夏育才中学2026届高三年级第三次月考 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数定义即可得. 【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 则其中位数为16. 故选：B. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘法及除法运算求解. 【详解】. 故选：B. 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列{an}的公差为成等比数列，列出方程求出a1＝﹣1，由此能求出{an}的前n项和Sn． 【详解】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列， ∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10）， 解得a1＝﹣1， ∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）． 故选A． 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论各选项即可. 【详解】函数图象向左平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 则，即. 对于选项A：当时，不满足，故A错误； 对于选项B：当时，，满足，故B正确； 对于选项C：当时，不满足，故C错误； 对于选项D：当时，不满足，故D错误； 故选：B. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确. 则当时，， 当时，，， 所以B选项错误. 由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示， 由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确. 不等式的解集为，D选项正确. 故选：ACD 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断. 【详解】根据题意，当时，， 累加得， ，易知也满足，所以， ，故A正确； ，故B正确； 为奇数，故C错误； ，， ， ， 即，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 13. 的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由余弦定理结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理可得：，又， 得，解得，所以的面积为； 故答案为： 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 【答案】 【解析】 【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，进而得最小正周期，令，解出即可得的单调减区间； （2）由得，利用三角函数的性质即可求解. 小问1详解】 由题意知， ， 的最小正周期， 令，解得， 所以的单调减区间为； 【小问2详解】 ，，当时，取最大值为， 当时，取最小值， 的最大值为，最小值为． 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质可得，结合已知可得，然后求出公比，即可求解通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法即可求解数列的前项和． 【详解】解：（1）设递增的等比数列的公比为，则， 由，解得或（舍去）， ∴，解得， ∴（）； （2）由（1）得，， ∴ . 17. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出； （2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以，且， 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正方形中，，因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形中，，，可得， 在中，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】（1），说明见解析， （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 19. 已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026届高三年级第三次月考 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和 A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A 2 B. 9 C. 10 D. 18 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则_________． 13. 的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 14. 设函数f(x)定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点. （1）求证：平面ADEF； （2）求证：平面BDE. 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 19. 已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $