精品解析：福建省莆田第二十五中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

莆田第二十五中学2025-2026学年上学期高一数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟；命题人：翁雪琼 姓名： 班级： 座号： 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8题） 1. 下面与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. C. D. 225° 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若，则，，则（ ） A. B. C. 8090 D. 8098 二、多选题（每小题6分，共3题，答案两个选项部分选对得3分，答案三个选项部分选对每个得2分，选错不得分） 9. 下列选项中是同一个函数的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是， B. 方程有两个解 C. 函数的图象关于对称 D. 已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为8次 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（    ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3题） 12. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为__________． 13. 函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 14. 已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___________. 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 16. 设集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用3D技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本8万元，生产手办（千件），其它成本为（万元），且，经调研可知每件手办的售价为100元，且每年内生产的手办当年全部销售完. （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2025年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求的单调递增区间和单调递减区间 （3）求在区间上的最值. 19. ．已知定义域为R的函数是奇函数，且. （1）求出，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在R上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2025-2026学年上学期高一数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟；命题人：翁雪琼 姓名： 班级： 座号： 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8题） 1. 下面与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. C. D. 225° 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求两集合的交集. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用零点存在定理判断零点存在区间. 【详解】 所以零点所在的一个区间可以是 故选：B 【点睛】求函数零点类问题分为两大类： (1)零点直接解出来：方程可解； (2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 5. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】因为在上单调递增，所以； 因为在上单调递减，所以； 又因为在上单调递减，所以； 综上：. 故选：C 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项. 【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即， 即的定义域为，可排除A； 当时，，可排除CD． 故选：. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若，则，，则（ ） A. B. C. 8090 D. 8098 【答案】B 【解析】 【分析】构造出奇函数，确定函数的对称中心，然后分组计算即可. 【详解】由题意可知，设， 则， 因为，所以是奇函数， 结合题意可知关于点对称， 所以， 所以 ， 故选：B 二、多选题（每小题6分，共3题，答案两个选项部分选对得3分，答案三个选项部分选对每个得2分，选错不得分） 9. 下列选项中是同一个函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义和判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，，两函数的对应关系不同，所以不是同一函数，所以A不正确； 对于B中，函数和的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数，所以B正确； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C不正确； 对于D中，函数和函数的定义域和对应关系都相同，所以两函数是同一函数，所以D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是， B. 方程有两个解 C. 函数的图象关于对称 D. 已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为8次 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据零点的定义判断即可；对B，数形结合分析判断即可；对C，根据反函数的性质判断即可；对D，根据二分法的步骤逐步求解即可. 【详解】对A，函数的零点是，，故A错误； 对B， 与的图象有两个交点，故方程有两个解，故B正确； 对C，函数互为反函数，图象关于对称，故C正确； 对D，由二分法的步骤可得： 第1次：取区间中点值，精度为1；第2次：取或区间中点值，精度为；第3次：精度为；第4次：精度为；第5次：精度为；第6次：精度为；第7次：精度为；第8次：精度为；故至少要8次，故D正确； 故选：BCD 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（    ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A，由糖水不等式得：，时，，故A错误. B，，故B正确. C，，故C错误. D，，故D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3题） 12. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，令，即可求解. 【详解】令，即，则， 所以定点为， 故答案为：． 13. 函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞) 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可. 【详解】由题意，函数满足，解得或， 即函数的定义域为， 令， 则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ； 故答案为： . 14. 已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分别分析分段函数在不同区间上的单调性和值域，从而准确画出函数图象.然后根据方程有三个不同实数解，转化为函数与直线有三个交点的问题，通过分析直线与函数图象的位置关系，列出关于的不等式求解. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，且； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 可得的图象如下所示： 因为方程有三个不同的实数解，即与有三个交点， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 对于分段函数问题，要分别研究各段函数的性质，如单调性、值域等，以便准确画出函数图象. 方程的解的个数问题常转化为函数图象的交点问题，通过分析函数图象与直线的位置关系，利用函数值域等条件建立不等式求解参数范围. 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】(1)根据对数的运算公式计算化简即可； (2)根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【小问1详解】 由题意可得： . 【小问2详解】 由题意可得： ． 16. 设集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 此时，故或； 【小问2详解】 若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 17. 近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用3D技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本8万元，生产手办（千件），其它成本为（万元），且，经调研可知每件手办的售价为100元，且每年内生产的手办当年全部销售完. （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； （2）2025年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10千件，最大利润是17万元. 【解析】 【分析】（1）根据销售额减去成本即可得利润， （2）根据二次函数以及基本不等式求解最值，结合分段函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得总收入：（万元）， 当时，， 当时， 所以2025年总利润为： 【小问2详解】 当时，， 当时，利润最大，最大利润是8万元. 当时，， 当且仅当，即：时，利润最大，最大利润是17万元. 因为，所以年产量为10千件时，利润最大，最大利润是17万元. 18. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求的单调递增区间和单调递减区间 （3）求在区间上的最值. 【答案】（1），定义域为 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 （3）函数在区间的最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据求出的值，根据对数函数的定义域定义求出函数的定义域即可. （2）先对函数进行化简，然后根据二次函数的单调性和对数函数的单调性求解即可. （3）根据函数的单调性求出函数的最值即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以. 要使得函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为， 令，根据二次函数的性质可知 在上单调递增，在上单调递减，又为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减. 又，所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，， 所以函数在区间的最大值为2，最小值为. 19. ．已知定义域为R的函数是奇函数，且. （1）求出，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式在R上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）在R上单调递增；证明如下： 由（1）知：， 任取，且， 则， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，得到，再结合求解； （2）由（1）得到，再利用函数的单调性的定义证明； （3）根据在R上是奇函数，且为增函数，将不等式在R上有解，转化为不等式 在R上有解，令 ，求其最小值即可. 【小问1详解】 解：因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，即； 又，即， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在R上是奇函数，且为增函数， 所以关于的不等式在R上有解， 转化为关于的不等式在R上有解， 转化为关于的不等式 在R上有解， 令 ， 则， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以，即， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $