专题 5.5 一次函数与二元一次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本初中数学讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系，系统梳理从一次函数与一元一次方程的基础应用（直线与坐标轴交点），到与二元一次方程组的联系（交点坐标即方程组的解），再到综合几何问题（面积计算、图形变换）的知识脉络，通过知识梳理、题型精析与小结归纳搭建学习支架。 资料以数形结合为核心设计亮点，通过例题与变式训练发展几何直观（数学眼光），培养方程思想与推理能力（数学思维），用坐标语言表达几何关系（数学语言）。如求直线围成图形面积时结合交点坐标与几何性质，同步练习分基础巩固与能力提升，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 5.5 一次函数与二元一次方程 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一次函数与一元一次方程 1 【题型1】直线与坐标轴交点 1 【小结归纳】 4 【题型2】一次函数与坐标轴交点坐标与几何综合 4 【要点归纳】 7 【知识点二】一次函数与二元一次方程组的关系 7 【题型3】一次函数的交点与二元一次方程组的解 8 【题型4】一次函数的交点与二元一次方程组的解 10 【题型5】求直线围成的图形面积 13 【知识点三】方程组与一次函数综合几何问题 17 【题型6】一次函数与几何综合问题 17 【要点归纳】 28 二．同步练习​ 28 【基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 28 【能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 36 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】一次函数与一元一次方程 二元一次方程的每一组解，对应其转化后的一次函数图象上的一个点的坐标；一次函数图象上的每一个点的坐标，都是对应二元一次方程的一组解。 【题型1】直线与坐标轴交点 【例题1】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）、 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点的坐标的特点，求出函数解析式是解本题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别令x、y等于0，求出y与x的值，即可得到图象与y轴和x轴的交点． 解：（1）解：设一次函数解析式为， 把点，分别代入解析式得，， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为、． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．一定经过点 C．图象不会经过原点 D．截距是2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误即可． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． A．∵， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B．当时，， ∴一次函数的图象不经过点，选项B符合题意； C．当时，， ∴一次函数的图象不会经过原点，选项C不符合题意； D．当时，，即纵截距是2，选项D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知两个一次函数与图象的交点在x轴上，则的值为（    ） A． B．4 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直线与坐标轴的交点问题，分别求出两条直线与轴的交点坐标，根据两条直线的交点在轴上，得到两个直线与轴的交点的横坐标相同，进行求解即可． 解：当时，， 当时，， ∵两个一次函数与图象的交点在x轴上， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式3】（22-23八年级上·福建漳州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交轴负半轴于点． （1）求点的坐标； （2）若，求直线的解析式． 【答案】（1）点坐标为；（2）直线的解析式为． 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数与坐标轴交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先把点代入，求出的值，当时，得，从而求出点的坐标； （）由点坐标为，则，又，所以，从而得，然后根据待定系数法即可求解． 解：（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为； （2）解：∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴， 设直线的解析式为， 将点 ，，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小结归纳】 解决直线与坐标轴交点问题的核心思路为：先通过待定系数法（设解析式→代入已知点→解方程 / 组）确定一次函数解析式，再利用 “与 y 轴交点令 x=0、与 x 轴交点令 y=0” 的规则计算交点坐标；涉及多条直线交点在坐标轴上时，需保证各直线对应坐标轴交点坐标一致，结合线段长度条件时需注意坐标与长度的绝对值转化，同时结合一次函数性质验证相关结论，全程依托方程思想和数形结合思想推进解题。 【题型2】一次函数与坐标轴交点坐标与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为____________； （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． （1）分别令和，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，从而得到，即可求解． 解：（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点，即， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：， （2）解：由（1）得，，， ， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出，两点的坐标，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质．首先求得关于轴的对称点，然后求得的解析式，然后求得直线与轴的交点即可． 解：作点A关于y轴的对称点，连接，，，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵为定值，两点之间线段最短， ∴当点C在点处时，最小，即的周长最小， 点关于轴的对称点， 设的解析式是， 则， 解得：， 则一次函数的解析式是， 当时，， ∴此时点的坐标是． 故答案为：． 【要点归纳】 解决一次函数与坐标轴交点的几何综合问题，核心是先通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，再将折叠、圆的半径、轴对称最短路径等几何条件转化为坐标系中的线段长度或点的坐标关系，结合勾股定理、待定系数法、线段和差及几何性质（折叠对应边相等、半径相等、轴对称点距离相等），最终计算出未知点坐标或验证相关几何结论。 【知识点二】一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组可转化为两个一次函数：，， 若两个一次函数图象相交，交点坐标即为方程组的唯一解； 若两个一次函数图象平行（），方程组无解； 若两个一次函数图象重合（），方程组无数组解。 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【题型3】一次函数的交点与二元一次方程组的解 【例题3】（25-26八年级上·广西崇左·期中）（1）已知直线：和，求它们的交点坐标； （2）已知直线：和，如果它们的交点在第四象限内，求k的取值范围． 【答案】（1）交点坐标为；（2）k的取值范围为 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及解二元一次方程， （1）联立两直线的函数解析式即可求出交点坐标； （2）根据已知直线和，联立解析式，先用k表示出交点坐标并列出不等式组是解题关键．根据交点在第四象限即可解出k的范围． 解：（1）联立方程 解得 即它们的交点坐标为； （2）联立方程 解得 即交点坐标为， 交点位于第四象限即有， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·山东东营·开学考试）如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组等知识点，关键是能根据函数图象的交点解方程组． 观察函数的图象的交点即可求解． 解：通过直线交点， 方程组的解为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 解：∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线与直线无交点，即两直线平行， ∴， 解得：， 当时，一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴 ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：C． 【题型4】一次函数的交点与二元一次方程组的解 【例题4】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【变式1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 【题型5】求直线围成的图形面积 【例题5】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）判断的形状； （3）若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）等腰直角三角形；（3）或 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解； （）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______； （2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 【答案】（1）；（2）直线，与x轴围成的三角形面积为 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键， （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得. 解：（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， ， ∴直线，与x轴围成的三角形面积． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，求直线围成的三角形面积等知识． （1）先求出C、D两点的坐标，由，，得点B、A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）先求出点E的坐标，再求得，由即可求解． 解：（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于C、D两点， ∴令，得；令，则， ∴、， ∵，， ∴，， ∴，， 将，代入得：， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：联立：， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∵． ∴． 【知识点三】方程组与一次函数综合几何问题 【题型6】一次函数与几何综合问题 【例题6】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． （1）求直线的函数表达式和点、点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，利用待定系数求出直线的函数表达式，即可求出点A的坐标； （2）先求出点C的坐标，根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 解：（1）解：交直线于点，点到轴的距离为， 点的横坐标， 把代入得：， ； 直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为， 令得：， 解得：， ； （2）解：直线：交轴于点， 当时，， ， ； （3）解：在轴上存在点，使得是直角三角形；理由如下： 点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况： 如图， 当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ； 当时，点在图中的位置： 设，， ，，， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使 ，设点C的横坐标为m． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）若点E落在直线上，求m的值； （3）若的面积等于面积的一半，求m的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，一次函数性质，正确地理解题意是解题的关键． （1）解方程即可得到，； （2）由点C在线段上，且横坐标为m，得到，求得，得到，把代入，解方程即可得到结论； （3）由轴，交直线于点D，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：在中，令，则，令，则， ∴，； （2）解：∵点C在线段上，且横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵点C在线段上， ∴把代入，得， 解得：； （3）解：∵轴，交直线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴当时， 解得， 当时， 解得． 综上所述，或． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． （1）求的面积； （2）直线l经过两点，求直线的解析式； （3）点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）24；（2）；（3）存在点D的坐标为或使得；（4）点K的位置不发生变化，其坐标为， 【分析】（1）先求出B、C的坐标，进而求出，的长，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求解即可； （3）先据三角形面积求出，据此求解即可； （4）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形则，； 解：（1）解：当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，解得，即点D的坐标为； 当时，，解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得； （4）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． （1）求出点的坐标； （2）经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）或或或 【分析】（1）分别令和即可求出点的坐标； （2）首先求出，，当直线与交于点E时，分两种情况讨论：和，分别求解即可； （3）首先由平移设直线的解析式为，表示出，，然后分情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 解：（1）∵直线分别与轴，轴交于两点， ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴； （2）∵， ∴， 设经过点的直线的表达式为 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 如图所示，当直线与交于点E时， 设 ∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， ∴当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； 当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； ∵， ∵ ∴经过点的直线不能和相交 综上所述，经过点的直线的函数关系式为或； （3）∵直线的解析式为 ∴由平移得，设直线的解析式为 ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴ ①当点是直角顶点时，， 当点在原点上方时，如图4所示， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当点在原点下方时，如图5所示， 同理可证， ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当P是直角顶点时， 当点在原点上方时，过点P作轴于点H，如图6 同理可证， ∴， ∴； 当点在原点下方时，过点P作轴于点H，如图7 同理可证， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式等知识，解题的关键是正确分类讨论． 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系，依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 解：由题意，联立方程组， ， ， 在第二象限． 故选：B． 2．（20-21七年级下·山东济南·月考）两条直线和相交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，据此作答即可． 解：两条直线和相交于点， 的解为：， 故选：B． 3．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 解：方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】先求得直线与轴的交点坐标，再联立解方程组求得点P的坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 解：令，，； ∴， 解方程组，得， ∴， ∴的面积是， 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，求得点P的坐标是解题的关键． 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则把代入，得，故，又因为，得，结合，算出，即可作答． 解：依题意，把代入，得 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若直线经过一次函数和的交点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，熟练掌握求两直线交点的方法是解题的关键． 先联立一次函数和，求出交点坐标，再待定系数法求解析式即可． 解：联立一次函数和， 得， 解得， 一次函数和的交点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 直线表达式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组的解． 解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． （1）求E点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了求两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握两条直线的交点坐标的求法是解题的关键． （1）联立，解二元一次方程组，即可确定点坐标； （2）确定点A、点C的坐标，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：联立，解得， 点坐标为； （2）解：在中，当时，， 点A坐标为， 在中，当时，， 点C坐标为， ， ． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． （1）求点 A 与点 B 的坐标; （2）若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 【答案】（1）；；（2）点 P 的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别令，，即可得出、的坐标； （2）设点P的坐标为，根据得出，求出或，即可得出答案． 解：（1）解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ，； （2）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点 P 的坐标为或． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）根据图象，写出关于的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）直线解析式为；（2）；（3）的面积是 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式以及两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握待定系数法，能求出两条直线的交点坐标． （1）用待定系数法即可得直线的解析式； （2）根据交点坐标解答即可； （3）根据三角形面积公式解答即可． 解：（1）解：将代入直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）由交点A可知，不等式的解集是； （3）当时，， ， ∴的面积为：． 【能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先求出，，得为等腰直角三角形，当时，最小，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度． 解：如图所示：    ∵直线，即， 令，则； 令，则， 解得， ，， ，， 是等腰直角三角形， 当时，最小， ∴． 故选：C． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，图象法求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 解：由图象可知，的解集为， 在数轴上表示解集为： 故选B． 二、填空题 5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识，重点是掌握直线与坐标轴交点求方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据一元一次方程 的解和一次函数与轴交点的关系，即可求解； 解：已知一次函数 的图像经过点 和点 ， 点表示当时，函数值， ∴方程， 即求函数值时对应的值， ∴方程的解为； 故答案为：； 6．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系，掌握一元一次方程的解是对应函数图象交点的横坐标是解题的关键. 由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为，再根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 解：∵由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． （1）求点C的坐标． （2）直接写出的面积：______． 【答案】（1）点C的坐标是；（2）8 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）解析式联立，构成方程组，解方程组即可求得； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 解：（1）解：联立， 解得， ； （2）解：由直线知， ， 由，知点到轴的距离为 4 ， 故． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． （1）直接写出方程组的解为______； （2）求直线与x轴围成的三角形的面积； （3）过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 解：（1）解：将点代入得，, 解得， ∴直线：， ∵直线：和直线：相交于点． ∴方程组的解是． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：． （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， 设过点P且把的面积两等分的直线的表达式为． 把点，代入，得解得 ∴这条直线的表达式为． 11．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， （1）求的值； （2）直接写出二元一次方程组的解； （3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 解：（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； （2）解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； （3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，6；（2）50；（3）存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 解：（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 一次函数与二元一次方程 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一次函数与一元一次方程 1 【题型1】直线与坐标轴交点 1 【小结归纳】 2 【题型2】一次函数与坐标轴交点坐标与几何综合 2 【要点归纳】 3 【知识点二】一次函数与二元一次方程组的关系 3 【题型3】一次函数的交点与二元一次方程组的解 4 【题型4】一次函数的交点与二元一次方程组的解 4 【题型5】求直线围成的图形面积 5 【知识点三】方程组与一次函数综合几何问题 6 【题型6】一次函数与几何综合问题 6 【要点归纳】 8 二．同步练习​ 8 【基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 8 【能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 11 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】一次函数与一元一次方程 二元一次方程的每一组解，对应其转化后的一次函数图象上的一个点的坐标；一次函数图象上的每一个点的坐标，都是对应二元一次方程的一组解。 【题型1】直线与坐标轴交点 【例题1】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象经过点，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．一定经过点 C．图象不会经过原点 D．截距是2 【变式2】（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知两个一次函数与图象的交点在x轴上，则的值为（    ） A． B．4 C．－2 D．2 【变式3】（22-23八年级上·福建漳州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交轴负半轴于点． （1）求点的坐标；（2）若，求直线的解析式． 【小结归纳】 解决直线与坐标轴交点问题的核心思路为：先通过待定系数法（设解析式→代入已知点→解方程 / 组）确定一次函数解析式，再利用 “与 y 轴交点令 x=0、与 x 轴交点令 y=0” 的规则计算交点坐标；涉及多条直线交点在坐标轴上时，需保证各直线对应坐标轴交点坐标一致，结合线段长度条件时需注意坐标与长度的绝对值转化，同时结合一次函数性质验证相关结论，全程依托方程思想和数形结合思想推进解题。 【题型2】一次函数与坐标轴交点坐标与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为____________； （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 【变式2】（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ． 【要点归纳】 解决一次函数与坐标轴交点的几何综合问题，核心是先通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，再将折叠、圆的半径、轴对称最短路径等几何条件转化为坐标系中的线段长度或点的坐标关系，结合勾股定理、待定系数法、线段和差及几何性质（折叠对应边相等、半径相等、轴对称点距离相等），最终计算出未知点坐标或验证相关几何结论。 【知识点二】一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组可转化为两个一次函数：，， 若两个一次函数图象相交，交点坐标即为方程组的唯一解； 若两个一次函数图象平行（），方程组无解； 若两个一次函数图象重合（），方程组无数组解。 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【题型3】一次函数的交点与二元一次方程组的解 【例题3】（25-26八年级上·广西崇左·期中）（1）已知直线：和，求它们的交点坐标； （2）已知直线：和，如果它们的交点在第四象限内，求k的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·山东东营）如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【题型4】一次函数的交点与二元一次方程组的解 【例题4】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【题型5】求直线围成的图形面积 【例题5】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）判断的形状； （3）若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点． （1）方程组的解是______；（2）求直线，与x轴围成的三角形面积； 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 【知识点三】方程组与一次函数综合几何问题 【题型6】一次函数与几何综合问题 【例题6】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． （1）求直线的函数表达式和点、点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使 ，设点C的横坐标为m． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）若点E落在直线上，求m的值； （3）若的面积等于面积的一半，求m的值． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． （1）求的面积； （2）直线l经过两点，求直线的解析式； （3）点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． （1）求出点的坐标； （2）经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（20-21七年级下·山东济南·月考）两条直线和相交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·月考）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 6．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若直线经过一次函数和的交点，则直线的函数表达式是 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． （1）求E点的坐标； （2）求的面积． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． （1）求点 A 与点 B 的坐标; （2）若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）根据图象，写出关于的不等式的解集； （3）求的面积． 【能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 4．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 6．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 三、解答题 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． （1）求点C的坐标． （2）直接写出的面积：______． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． （1）直接写出方程组的解为______； （2）求直线与x轴围成的三角形的面积； （3）过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 11．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， （1）求的值； （2）直接写出二元一次方程组的解； （3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 12．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $