第4讲 运算律（8个知识点+10个易错点+40题强化练习）四年级数学寒假专项提升（北师大版）

第4讲 运算律 （8个知识点+10个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、加法交换律 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变 字母表示：a + b = b + a 示例：25 + 36 = 36 + 25 知识点二、加法结合律 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 字母表示：(a + b) + c = a + (b + c) 示例：(28 + 35) + 15 = 28 + (35 + 15) 知识点三、乘法交换律 定义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 字母表示：a × b = b × a 示例：16 × 23 = 23 × 16 知识点四、乘法结合律 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 字母表示：(a × b) × c = a × (b × c) 示例：(12 × 5) × 8 = 12 × (5 × 8) 知识点五、乘法分配律 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加 字母表示：(a + b) × c = a × c + b × c 示例：(25 + 12) × 4 = 25 × 4 + 12 × 4 知识点六、减法的运算性质 一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和 字母表示：a - b - c = a - (b + c) 示例：100 - 36 - 24 = 100 - (36 + 24) 知识点七、除法的运算性质 一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积 字母表示：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) (b、c均不为0) 示例：200 ÷ 5 ÷ 4 = 200 ÷ (5 × 4) 知识点八、简便运算方法 1.凑整法：利用运算律将算式中的数凑成整十、整百、整千的数，使计算简便 2.拆分法：将一个数拆分成两个数的和或差，再利用运算律进行简便计算 3.基准数法：当几个数都接近某一个数时，可以把这个数作为基准数，再进行计算 易错点剖析 易错点一、混淆运算律的适用范围 错误示例：认为乘法分配律也适用于除法，如(100 ÷ 25) ÷ 4 = 100 ÷ 4 + 25 ÷ 4 正确认识：乘法分配律只适用于乘法对加法或减法的分配，不适用于除法 易错点二、对运算律字母表达式的误解 错误示例：将(a + b) × c错误地写成a × c + b 正确认识：乘法分配律要求两个加数都要与括号外的数相乘，再把积相加 易错点三、符号处理错误 错误示例：36 - (16 + 10) = 36 - 16 + 10 = 30 正确解答：36 - (16 + 10) = 36 - 16 - 10 = 10 错误分析：去括号时，如果括号前面是减号，去掉括号后括号内的加号要变为减号 易错点四、乘法分配律应用错误 错误示例：25 × (40 + 8) = 25 × 40 + 8 = 1000 + 8 = 1008 正确解答：25 × (40 + 8) = 25 × 40 + 25 × 8 = 1000 + 200 = 1200 错误分析：括号内的两个数都要与25相乘，不能只乘第一个数 易错点五、添括号和去括号规则混淆 错误示例：180 ÷ 6 ÷ 3 = 180 ÷ (6 ÷ 3) = 180 ÷ 2 = 90 正确解答：180 ÷ 6 ÷ 3 = 180 ÷ (6 × 3) = 180 ÷ 18 = 10 错误分析：添括号时，如果括号前面是除号，括号内的除号要变为乘号 易错点六、盲目追求简便而忽略运算顺序 错误示例：125 × 8 ÷ 125 × 8 = (125 × 8) ÷ (125 × 8) = 1 正确解答：125 × 8 ÷ 125 × 8 = (125 ÷ 125) × (8 × 8) = 1 × 64 = 64 错误分析：不能随意添加括号改变运算顺序，乘除法是同级运算，应从左往右依次计算 易错点七、拆分不当导致计算错误 错误示例：102 × 25 = (100 + 2) × 25 = 100 × 25 + 2 = 2500 + 2 = 2502 正确解答：102 × 25 = (100 + 2) × 25 = 100 × 25 + 2 × 25 = 2500 + 50 = 2550 错误分析：拆分后两个数都要与25相乘，不能只乘一个数 易错点八、对"凑整"的片面理解 错误示例：287 - 98 = 287 - 100 - 2 = 185 正确解答：287 - 98 = 287 - 100 + 2 = 189 错误分析：把98看作100时，多减了2，应该再加上2，而不是继续减去2 易错点九、解决问题时不能正确选择运算律 问题：学校买来25箱粉笔，每箱有4盒，每盒6元，一共需要多少元？ 错误解答：25 × 4 + 6 = 100 + 6 = 106(元) 正确解答：25 × 4 × 6 = (25 × 4) × 6 = 100 × 6 = 600(元) 错误分析：没有正确理解题意，应该先算总盒数，再算总钱数，应用乘法结合律 易错点十、多步计算问题中运算律应用不全面 问题：某工厂原计划每天生产60台机器，12天完成任务，实际提前2天完成，实际每天生产多少台？ 错误解答：60 × 12 ÷ 2 = 720 ÷ 2 = 360(台) 正确解答：60 × 12 ÷ (12 - 2) = 720 ÷ 10 = 72(台) 错误分析：没有正确理解"提前2天完成"的含义，实际用的天数是12 - 2 = 10天 强化练习 一、选择题 1．去掉括号，得数不改变的算式是（    ）。 A．42×（42×7）＋34B．42×（42＋7）＋34C．42×（42－7）＋34 D．42÷（6×7）＋34 【答案】A 【分析】在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，需要先算乘、除法，再算加、减法；在没有括号的算式里，如果只有乘、除法，或者只有加、减法，要按照从左往右的顺序依次计算；一个算式中，有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。由题意得，分别计算出选项中的算式去掉括号前后的结果，然后找出去掉括号得数不改变的算式即可。 【详解】A．42×（42×7）＋34 ＝42×294＋34 ＝12348＋34 ＝12382 算式42×（42×7）＋34去掉小括号后算式变为：42×42×7＋34。 42×42×7＋34 ＝1764×7＋34 ＝12348＋34 ＝12382 12382＝12382，所以算式42×（42×7）＋34去掉括号后得数不改变。 B．42×（42＋7）＋34 ＝42×49＋34 ＝2058＋34 ＝2092 算式42×（42＋7）＋34去掉小括号后算式变为：42×42＋7＋34。 42×42＋7＋34 ＝1764＋7＋34 ＝1771＋34 ＝1805 2092＞1805，所以算式42×（42＋7）＋34去掉括号后得数会改变。 C．42×（42－7）＋34 ＝42×35＋34 ＝1470＋34 ＝1504 算式42×（42－7）＋34去掉小括号后算式变为：42×42－7＋34。 42×42－7＋34 ＝1764－7＋34 ＝1757＋34 ＝1791 1504＜1791，所以算式42×（42－7）＋34去掉小括号后得数会改变。 D．42÷（6×7）＋34 ＝42÷42＋34 ＝1＋34 ＝35 算式42÷（6×7）＋34去掉小括号后算式变为：42÷6×7＋34。 42÷6×7＋34 ＝7×7＋34 ＝49＋34 ＝83 35＜83，所以算式42÷（6×7）＋34去掉小括号后得数会改变。 故答案为：A 2．去掉括号，得数不改变的算式是（    ）。 A．56×（56×7）＋56 B．56×（56＋7）＋56 C．56×（56－7）＋56 D．56÷（56×7）＋56 【答案】A 【分析】四则运算法则，只有加减或只有乘除的混合运算，从左往右计算；既有加减又有乘除的运算，要先算乘除再算加减；有小括号的混合运算要先计算小括号内算式。根据整数四则混合运算的运算顺序，判断出去掉括号，得数不改变的算式是哪个即可。 【详解】A．56×（56×7）＋56，先计算56×7，去除括号先计算56×56，依据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），得数不变； B．根据四则运算的运算顺序，括号内的运算优先于括号外的运算，去掉括号后，得数会改变：56×（56＋7）＋56＝56×56＋7＋56； C．根据四则运算的运算顺序，括号内的运算优先于括号外的运算，去掉括号后，得数会改变：56×（56－7）＋56＝56×56－7＋56； D．根据四则运算的运算顺序，括号内的运算优先于括号外的运算，去掉括号后，得数会改变：56÷（56×7）＋56＝56÷56×7＋56。 故答案为：A 3．下面算式中，不能用乘法分配律进行简便计算的是（    ）。 A．139×38—39×38 B．16×101 C．125×（80＋8） D．78×25×4 【答案】D 【分析】乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，据此解答即可。 【详解】A．139×38—39×38 ＝38×（139－39） ＝38×100 ＝3800 能用乘法分配律进行简便计算 B．16×101 ＝16×（100＋1） ＝16×100＋16×1 ＝1600＋16 ＝1616 能用乘法分配律进行简便计算 C．125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 能用乘法分配律进行简便计算 D．78×25×4 ＝78×（25×4） ＝78×100 ＝7800 不能用乘法分配律进行简便计算 故答案为：D 4．下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A．370×18＝180×37 B．35×4＝4×35 C．481×12＝12×481 D．23×47＝47×23 【答案】A 【分析】积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几（0除外），得到的积就等于原来的积乘或除以几。乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。用字母表示为：a×b＝b×a。据此解答。 【详解】A．在算式370×18＝180×37中，一个乘数乘10，另一个乘数除以10，积不变。即这个算式运用了积不变的规律。 B．在算式35×4＝4×35中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 C．在算式481×12＝12×481中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 D．在算式23×47＝47×23中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 故答案为：A 5．做一道计算题，先算，再算。根据已经完成的过程，可以推断这道计算题是（    ）。 A． B． C． D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把104×38算式中的38拆分成了30＋8，再分别与104相乘，所得的积再相加。据此解答即可。 【详解】104×38 ＝104×（8＋30） ＝104×8＋104×30 ＝832＋3120 ＝3952 根据已经完成的过程，可以推断这道计算题是104×38。 故答案为：C 6．图形，★代表3个不同数。与★计算结果相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】乘法分配律：是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此可知，×★＝×★＋×★，据此解题。 【详解】由分析得： ★＝×★＋×★； 图形，★代表3个不同数。与★计算结果相等的是。 故答案为：B 7．李阿姨用计算器算49×68时，发现按键8坏了，如果他仍想用这个计算器算出了正确结果，他用的方法可能是（    ）。 A．49×70－2 B．49×60＋8 C．40×68＋9×60 D．49×70－49×2 【答案】D 【分析】根据题意，68可以写成60＋8或70－2，根据乘法分配律可知，49×68＝49×（70－2）＝49×70－49×2，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，用计算器算49×68时，发现按键8坏了，如果他仍想用这个计算器算出了正确结果，他用的方法可能是49×68＝49×（70－2）＝49×70－49×2。 故答案为：D 8．某小学开展田径运动会，共有323名学生参加。每人购买一套运动服（一件短袖和一条裤子），短袖的单价是38元/件，裤子的单价是54元/条。一共需要（    ）元。 A．29716 B．27916 C．27196 D．29176 【答案】A 【分析】根据单价×数量＝总价，用短袖的单价乘需要买的件数，求出买短袖需要的总钱数；再用裤子的单价乘需要买的条数，求出买裤子需要的总钱数；把买短袖的总钱数加上买裤子需要的总钱数，即可求出一共需要多少元。 【详解】38×323＋54×323 ＝（38＋54）×323 ＝92×323 ＝29716（元） 一共需要29716元。 故答案为：A 9．小明妈妈在某大酒店预定了自助餐，自助餐每位128元（大人、小孩都按1人计算），小明在本子上写了128×5＋128×10，这次自驾游一共有（    ）人参加。 A．5 B．10 C．15 D．50 【答案】C 【分析】128与5的积表示5个128是多少，128与10的积表示10个128是多少，由此可知人数为5与10的和。 【详解】10＋5＝15（人），共15人参加。 故答案为：C 【点睛】根据乘法意义理解算式的意义，进而求出参加人数。 10．奇思计算长18cm、宽12cm的长方形的周长，分别列出了两个不同的综合算式，这两个综合算式正好验证了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．加法结合律 D．加法交换律 【答案】A 【分析】奇思计算长18cm、宽12cm的长方形的周长，可以通过长方形的周长＝（长＋宽）×2可以计算出长方形的周长；可以通过长的2倍加上宽的2倍计算出长方形的周长，即长×2＋宽×2；那么（长＋宽）×2＝长×2＋宽×2，这是运用了乘法分配律；据此选择即可。 【详解】由分析可知，（长＋宽）×2＝长×2＋宽×2 奇思计算长18cm、宽12cm的长方形的周长，分别列出了两个不同的综合算式，这两个综合算式正好验证了乘法分配律。 故答案为：A 二、填空题 11．94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是( )律和( )律。 【答案】 加法交换 加法结合 【分析】加法交换律：交换两个加数的位置，和不变；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再与第三个数相加，或者是先把后两个数相加，再与第一个数相加，和不变；算式94＋178＋206＝178＋（94＋206）是把94和178交换位置，再把94和206相结合；据此填空。 【详解】94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是加法交换律和加法结合律。 12．给246－32×11＋78加上括号，使它的运算顺序是减法→加法→乘法，加上括号后的算式是( )。 【答案】（246－32）×（11＋78） 【分析】题目要求先算减法，再算加法，最后算乘法。对应原始算式结构：原始算式中，减法是“246－32”，加法是“11＋78”，乘法是两个结果相乘。括号的作用：括号能改变运算优先级，要让减法和加法先于乘法执行，需给这两个运算分别加小括号，确保它们各自先计算，再用乘法连接两个结果。 【详解】（246－32）×（11＋78） ＝214×89 ＝19046 给246－32×11＋78加上括号，使它的运算顺序是减法→加法→乘法，加上括号后的算式是（246－32）×（11＋78）。 13．一只蜗牛从井底向上爬，白天爬3米，晚上滑下2米，蜗牛从井底爬到井外（井高10米）需( )天( )夜。 【答案】 8 7 【分析】根据题意可知，蜗牛一天往上爬1米，到最后剩3米的时候，一个白天就爬上去了，据此解答。 【详解】（10－3）÷（3－2）＋1 ＝7÷1＋1 ＝8（天） 当爬了7米，剩最后3米时，正好一个白天可以爬上去。所以需要8天7夜。 14．生活中会有这样的计算“700－356－44＝700－（356＋44）”，用字母表示这个算式的规律是( )。 【答案】a－b－c＝a－（b＋c） 【分析】先看700－356－44，按照从左到右的顺序计算，700－356＝344，然后344－44＝300。再看700－（356＋44），先算括号里的356＋44＝400，然后700－400＝300。可以发现这两种计算方法结果是一样的。 观察式子可知，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。用a、b、c表示这三个数，用字母表示这个算式的规律就是a－b－c＝a－（b＋c）。 【详解】根据分析可知，这个算式的规律用字母表示为a－b－c＝a－（b＋c）。 15．计算[480－（24＋38）]×8时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【答案】 加 减 乘 【分析】根据四则混合运算顺序，在没有括号的算式里，如果只含有乘除法或只含有加减法，要从左往右依次计算；如果既含有乘除法又含有加减法，要先算乘除法再算加减法；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。所以计算[480－（24＋38）]×8时，应先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法；据此解答。 【详解】根据分析可知： 计算[480－（24＋38）]×8时，应先算加法，再算减法，最后算乘法。 16．用简便方法计算101×76，可以将( )拆分成( )和( )，再运用( )进行计算。（最后一空填运算律） 【答案】 101 100 1 乘法分配律 【分析】101×76中把101看成100和1，再利用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，进行简算。分别用100、1乘76，再将两个积相加。 【详解】101×76＝（100＋1）×76＝100×76＋76＝7600＋76＝7676 用简便方法计算101×76，可以将（101）拆分成（100）和（1），再运用（乘法分配律）进行计算。 17．已知□－△＝15，则26×□－26×△( )，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是( )。 【答案】 390 62 【分析】根据乘法分配律：a×b－a×c＝a×（b－c）把算式26×□－26×△变为26×（□△），然后再代入数据求解；在减法算式中，被减数减数差，减数差被减数，由此可得被减数减数差被减数×2。由题意得，被减数、减数和差三个数的和是124，那么直接用124除以2即可算出被减数。 【详解】□△＝15 26×□－26×△ ＝26×（□△ ＝26×15 ＝390 124÷2＝62 已知□△＝15，则26×□－26×△＝390，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是62。 18．奇思把6×（☆＋13）错算成6×☆＋13，他的计算结果与正确结果相差( )。 【答案】65 【分析】6×（☆＋13）根据乘法分配律展开，然后再与6×☆＋13进行比较即可。 【详解】6×（☆＋13） ＝6×☆＋6×13 6×☆＋6×13－（6×☆＋13） ＝6×☆＋6×13－6×☆－13 ＝78－13 ＝65 即他的计算结果与正确结果相差65。 19．在公路的一侧栽树，每两棵树之间相距15米，第1棵树与第120棵树相距( )米。 【答案】1785 【分析】根据题意，第1棵树与第120棵树之间有120－1个间距，每段间距是15米，根据乘法的意义，第1棵树和第120棵树相距就是（120－1）×15。据此解答。 【详解】（120－1）×15 ＝119×15 ＝1785（米） 所以第1棵树与第120棵树相距1785米。 20．在计算时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法；在这个算式中，若第二步要计算加法，则原式应改为( )。 【答案】 乘 减 加 197－（12×6＋4） 【分析】在一个算式里面，有乘法、加法和减法，应该先算乘法，再算减法，最后算加法；若第二步要计算加法，需要加小括号，据此即可解答。 【详解】在计算时，应先算（乘）法，再算（减）法，最后算（加）法；在这个算式中，若第二步要计算加法，则原式应改为197－（12×6＋4）。 【点睛】本题主要考查整数四则混合运算的顺序，需要熟记顺序。 三、判断题 21．同一道乘法简便运算题中，可能同时用到乘法结合律和乘法交换律。( ) 【答案】√ 【分析】乘法交换律指两个数相乘，交换因数的位置积不变，即 ；乘法结合律指三个数相乘，改变运算顺序积不变，即 。例如，计算25×7×4时：先应用交换律，交换7和25的位置，得7×25×4；再应用结合律，将25和4结合，得7×（25×4），同时用到乘法结合律和乘法交换律，据此解答。 【详解】25×7×4 ＝7×25×4 ＝7×（25×4） ＝7×100 ＝700 这题同时用到乘法结合律和乘法交换律，所以原题意正确。 故答案为：√ 22．。( ) 【答案】 √ 【分析】根据乘法结合律，一个数连续乘两个数，等于这个数乘后两个数的积；后面的算式中7×8＝56，所以327×56和327×7×8的结果相等。也可以分别计算出两个算式的结果后，再比较。 【详解】327×56＝18312 327×7×8 ＝2289×8 ＝18312 或327×7×8 ＝327×（7×8） ＝327×56 ＝18312 18312＝18312 所以，327×56＝327×7×8。原题说法正确。 故答案为：√ 23．a＋5＝b＋6应用了加法交换律。( ) 【答案】× 【分析】加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变，即。题目中等式两边的加数不同（左边为和，右边为和），不符合交换律的条件。 【详解】中，两边的加数与、与均不相等，所以等式没有应用加法交换律。 故答案为：× 24．一份羊肉泡馍25元，一家泡馍馆昨天卖出114份泡馍，该泡馍馆昨天卖泡馍共收入2850元。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，已知每份羊肉泡馍25元，卖出114份，求总收入是否正确，需计算25×114的结果是否等于2850元，根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c进行简便计算。 【详解】25×114 ＝25×（100＋10＋4） ＝25×100＋25×10＋25×4 ＝2500＋250＋100 ＝2850（元） 该泡馍馆昨天卖泡馍共收入2850元。 故答案为：√ 25．简便计算49＋25＋51＝25＋（49＋51），是应用了加法交换律和结合律。( ) 【答案】√ 【分析】计算49＋25＋51时，先将25与49的位置交换，再运用加法结合律将49和51结合相加，因此同时应用了加法交换律和结合律。 【详解】简便计算49＋25＋51＝25＋（49＋51），是应用了加法交换律和结合律。 故答案为：√ 四、计算题 26．直接写出得数。 45×2×5＝               25×8－100＝         80－80÷8＝          60＋5×8＝ （36－36）×89＝         100÷25÷4＝         125－25÷5＝         36×99＋36＝ 【答案】450；100；70；100； 0；1；120；3600 【详解】略 27．脱式计算。 12×[（38＋122）÷5]    65×[340＋（20－16）] （105×12－635）÷5    864÷[（27－23）×2] 【答案】384；22360； 125；108 【分析】（1）先算加法，再算除法，最后算乘法； （2）先算减法，再算加法，最后算乘法； （3）先算乘法，再算减法，最后算除法； （4）先算减法，再算乘法，最后算除法。 【详解】12×[（38＋122）÷5] ＝12×[160÷5] ＝12×32 ＝384 65×[340＋（20－16）] ＝65×[340＋4] ＝65×344 ＝22360 （105×12－635）÷5 ＝（1260－635）÷5 ＝625÷5 ＝125 864÷[（27－23）×2] ＝864÷[4×2] ＝864÷8 ＝108 28．脱式计算，能简便运算的要简便运算。 26＋88＋74＋12    640×［126－（118－37）］    540÷［（21－18）×2］ 【答案】200；28800；90 【分析】26＋88＋74＋12利用加法交换律写成26＋74＋88＋12，再利用加法结合律写成（26＋74）＋（88＋12），然后先算小括号内的加法，再算小括号外的加法；加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a＋b＝b＋a；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律，用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 640×［126－（118－37）］先算小括号内的减法，再算中括号内的减法，最后算中括号外的乘法； 540÷［（21－18）×2］先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】26＋88＋74＋12 ＝26＋74＋88＋12 ＝（26＋74）＋（88＋12） ＝100＋100 ＝200 640×［126－（118－37）］ ＝640×［126－81］ ＝640×45 ＝28800 540÷［（21－18）×2］ ＝540÷［3×2］ ＝540÷6 ＝90 五、解答题 29．为了丰富同学们的课余生活，学校图书馆新购进500本图书。现有4个空书架，每个书架有6层，每层可以放25本图书。这些新购进的图书能全部放下吗？ 【答案】能 【分析】用书架的层数×每层放的本数即可求出一个书架能放的数量，用25乘上6可以得到每个书架能放多少本书，再乘上4可以算出4个书架总共能放多少本书；根据乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；可以交换乘法算式中4和6的位置，进行简便计算，然后将可以放书的总数量，和500进行对比即可解答。 【详解】25×6×4 ＝25×4×6 ＝100×6 ＝600（本） 600＞500 答：这些新购进的图书能全部放下。 30．实验小学艺术小组上一学期制作的作品统计如下： 种类 根雕 石膏雕塑 陶器 葫芦画 数量（件） 44 102 156 98 艺术小组上一学期一共制作了多少件作品？ 【答案】400件 【分析】将四种作品的件数相加可算出一共制作了多少件作品，列式为：44＋102＋156＋98，利用加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）可将算式变成：（44＋156）＋（102＋98）进行简算。 【详解】44＋102＋156＋98 ＝44＋156＋102＋98 ＝（44＋156）＋（102＋98） ＝200＋200 ＝400（件） 答：艺术小组上一学期一共制作了400件作品。 31．甲每小时加28个零件，乙每小时加工42个零件，甲、乙共同加工6小时，还剩83个零件没加工完，这批零件共有多少个？ 【答案】503个 【分析】由题意得，甲每小时加28个零件，乙每小时加工42个零件，可以先用加法算出甲、乙每小时一共可以加工多少个零件。甲、乙共同加工6小时，还剩83个零件没加工完，可以用前面的得数乘上6算出甲、乙共同加工6小时一共加工了多少个零件。最后再加上83个零件即可算出这批零件共有多少个。 【详解】（28＋42）×6＋83 ＝70×6＋83 ＝420＋83 ＝503（个） 答：这批零件共有503个。 32．为了参加学校文艺节的表演，四年级合唱队的32个同学准备买表演服，上衣每件52元，裤子每条48元，请你算算买服装需要多少元？ 【答案】 3200元 【分析】用上衣的价格×学生数量＋裤子价格×学生数量求出需要多少钱即可，计算过程根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）进行简便计算。 【详解】32×52＋32×48 ＝32×（52＋48） ＝32×100 ＝3200（元） 答：买服装需要3200元。 33．水果批发市场运回荔枝和葡萄各46箱，荔枝每箱32千克，葡萄每箱28千克。这个市场运回荔枝和葡萄共多少千克？ 【答案】2760千克 【分析】用荔枝和葡萄的箱数分别去乘每箱的重量，再相加，列式为46×32＋46×28，根据乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变式为（32＋28）×46，据此解答。 【详解】46×32＋46×28 ＝（32＋28）×46 ＝60×46 ＝2760（千克） 答：这个市场运回荔枝和葡萄共2760千克。 34．扩建一块200平方米的长方形绿地，长不变，宽由原来的8米增加到24米，扩建后这块绿地的面积是多少平方米？ 【答案】600平方米 【分析】方法一：长方形的面积＝长×宽，根据积的变化规律可知，长不变，宽扩大到原来的几倍，该长方形的面积就扩大到原来的几倍，据此先求出宽扩大到原来的3倍，再用200乘3即可解答； 方法二：用200除以8，求出长方形绿地原来的长，再用原来的长乘24，即可求解。 【详解】24÷8＝3     200×3＝600（平方米） 答：扩建后这块绿地的面积是600平方米。 35．深圳博物馆推出了艺术纸雕发光冰箱贴。刘老师想给班上每个同学各送一个“深圳印象”和“熊猫时代”做礼物。全班45人，一共需要花多少元？ 【答案】 4500元 【分析】根据题意，已知班级人数是45人，用45分别乘“深圳印象”和“熊猫时代”的价格，再把两个乘积相加就是一共花费的钱数；也可以先把“深圳印象”和“熊猫时代”的价格相加，用和乘45，也能求出一共花费的钱数；列式计算即可。 【详解】根据分析计算如下： 方法一： 48×45 ＋52×45 ＝2160＋2340 ＝4500（元） 方法二： （48＋52）×45 ＝100×45   ＝4500（元） 答：一共需要花4500元。 36．学校举行秋季运动会，李老师准备为学校羽毛球队买13副羽毛球拍和13筒羽毛球。羽毛球拍每副168元，羽毛球每筒32元。李老师一共需要多少元？ 【答案】2600元 【分析】根据题意，求出买羽毛球拍和买羽毛球的钱数，即用购买一副羽毛球拍和购买一筒羽毛球的钱数分别乘购买的数量，再相加即可，计算过程中利用乘法分配律解答即可。 【详解】168×13＋32×13 ＝（168＋32）×13 ＝200×13 ＝2600（元） 答：李老师一共需要2600元。 37．鲜花店在母亲节期间开展“花香四溢、感恩母亲”优惠活动，一束“感恩的心”鲜花，原价72元，优惠价58元。李经理为全厂员工向花店定了120束花，一共优惠了多少元？ 【答案】1680元 【分析】先用一束鲜花的原价乘数量求出原价买的总钱数，再用一束鲜花的优惠价乘数量求出优惠价买的总钱数；两个总钱数相减，即可算出一共优惠了多少元。 【详解】72×120－58×120 ＝（72－58）×120 ＝14×120 ＝1680（元） 答：一共优惠了1680元。 38．商店进货60台电风扇，进货价一共5880元，卖出45台电风扇后，开始降价销售。如果这批电风扇全部售出，你认为商店是赚钱还是亏本？ 【答案】赚钱 【分析】根据单价×数量＝总价，用120乘45求出降价前卖出台数的总钱数；再用95乘（60－45）求出降价后卖出剩余台数的总钱数；然后相加求出卖出的总钱数，再与进货价比较，据此可解此题。 【详解】120×45＋95×（60－45） ＝5400＋1425 ＝6825（元） 6825＞5880 答：商店赚钱。 39．新学期，学校订购数学练习本，全校共30个班，每班要发105本，还需要留40本作为备用。学校应订购多少本数学练习本？ 【答案】3190本 【分析】30个班发的总本数＝每班发的本数×班级个数，即用105×30，学校订购的本数＝30个班发的总本数＋备用的本数，据此解题。 【详解】105×30＋40 ＝3150＋40 ＝3190（本） 答：学校应订购3190本数学练习本。 40．大樱桃以其色泽鲜艳、晶莹剔透、香甜可口、营养丰富，被誉为“果中珍品”。烟台大樱桃是山东省烟台市特产，中国国家地理标志产品。2023年春节期间，佳宝水果店购进了125箱大樱桃。请你算一算，该店售完这些大樱桃赚了多少钱？ 【答案】1000元 【分析】总价＝单价×数量，把数据代入分别计算出125箱大樱桃售出的总价钱和买入的总价钱，售出的总价钱减买入的总价钱即等于售完后赚的钱，据此即可解答。 【详解】125×72－125×64 ＝125×（72－64） ＝125×8 ＝1000（元） 答：该店售完这些大樱桃赚了1000元钱。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 运算律 （8个知识点+10个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、加法交换律 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变 字母表示：a + b = b + a 示例：25 + 36 = 36 + 25 知识点二、加法结合律 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 字母表示：(a + b) + c = a + (b + c) 示例：(28 + 35) + 15 = 28 + (35 + 15) 知识点三、乘法交换律 定义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 字母表示：a × b = b × a 示例：16 × 23 = 23 × 16 知识点四、乘法结合律 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 字母表示：(a × b) × c = a × (b × c) 示例：(12 × 5) × 8 = 12 × (5 × 8) 知识点五、乘法分配律 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加 字母表示：(a + b) × c = a × c + b × c 示例：(25 + 12) × 4 = 25 × 4 + 12 × 4 知识点六、减法的运算性质 一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和 字母表示：a - b - c = a - (b + c) 示例：100 - 36 - 24 = 100 - (36 + 24) 知识点七、除法的运算性质 一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积 字母表示：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) (b、c均不为0) 示例：200 ÷ 5 ÷ 4 = 200 ÷ (5 × 4) 知识点八、简便运算方法 1.凑整法：利用运算律将算式中的数凑成整十、整百、整千的数，使计算简便 2.拆分法：将一个数拆分成两个数的和或差，再利用运算律进行简便计算 3.基准数法：当几个数都接近某一个数时，可以把这个数作为基准数，再进行计算 易错点剖析 易错点一、混淆运算律的适用范围 错误示例：认为乘法分配律也适用于除法，如(100 ÷ 25) ÷ 4 = 100 ÷ 4 + 25 ÷ 4 正确认识：乘法分配律只适用于乘法对加法或减法的分配，不适用于除法 易错点二、对运算律字母表达式的误解 错误示例：将(a + b) × c错误地写成a × c + b 正确认识：乘法分配律要求两个加数都要与括号外的数相乘，再把积相加 易错点三、符号处理错误 错误示例：36 - (16 + 10) = 36 - 16 + 10 = 30 正确解答：36 - (16 + 10) = 36 - 16 - 10 = 10 错误分析：去括号时，如果括号前面是减号，去掉括号后括号内的加号要变为减号 易错点四、乘法分配律应用错误 错误示例：25 × (40 + 8) = 25 × 40 + 8 = 1000 + 8 = 1008 正确解答：25 × (40 + 8) = 25 × 40 + 25 × 8 = 1000 + 200 = 1200 错误分析：括号内的两个数都要与25相乘，不能只乘第一个数 易错点五、添括号和去括号规则混淆 错误示例：180 ÷ 6 ÷ 3 = 180 ÷ (6 ÷ 3) = 180 ÷ 2 = 90 正确解答：180 ÷ 6 ÷ 3 = 180 ÷ (6 × 3) = 180 ÷ 18 = 10 错误分析：添括号时，如果括号前面是除号，括号内的除号要变为乘号 易错点六、盲目追求简便而忽略运算顺序 错误示例：125 × 8 ÷ 125 × 8 = (125 × 8) ÷ (125 × 8) = 1 正确解答：125 × 8 ÷ 125 × 8 = (125 ÷ 125) × (8 × 8) = 1 × 64 = 64 错误分析：不能随意添加括号改变运算顺序，乘除法是同级运算，应从左往右依次计算 易错点七、拆分不当导致计算错误 错误示例：102 × 25 = (100 + 2) × 25 = 100 × 25 + 2 = 2500 + 2 = 2502 正确解答：102 × 25 = (100 + 2) × 25 = 100 × 25 + 2 × 25 = 2500 + 50 = 2550 错误分析：拆分后两个数都要与25相乘，不能只乘一个数 易错点八、对"凑整"的片面理解 错误示例：287 - 98 = 287 - 100 - 2 = 185 正确解答：287 - 98 = 287 - 100 + 2 = 189 错误分析：把98看作100时，多减了2，应该再加上2，而不是继续减去2 易错点九、解决问题时不能正确选择运算律 问题：学校买来25箱粉笔，每箱有4盒，每盒6元，一共需要多少元？ 错误解答：25 × 4 + 6 = 100 + 6 = 106(元) 正确解答：25 × 4 × 6 = (25 × 4) × 6 = 100 × 6 = 600(元) 错误分析：没有正确理解题意，应该先算总盒数，再算总钱数，应用乘法结合律 易错点十、多步计算问题中运算律应用不全面 问题：某工厂原计划每天生产60台机器，12天完成任务，实际提前2天完成，实际每天生产多少台？ 错误解答：60 × 12 ÷ 2 = 720 ÷ 2 = 360(台) 正确解答：60 × 12 ÷ (12 - 2) = 720 ÷ 10 = 72(台) 错误分析：没有正确理解"提前2天完成"的含义，实际用的天数是12 - 2 = 10天 强化练习 一、选择题 1．去掉括号，得数不改变的算式是（    ）。 A．42×（42×7）＋34B．42×（42＋7）＋34C．42×（42－7）＋34 D．42÷（6×7）＋34 2．去掉括号，得数不改变的算式是（    ）。 A．56×（56×7）＋56 B．56×（56＋7）＋56 C．56×（56－7）＋56 D．56÷（56×7）＋56 3．下面算式中，不能用乘法分配律进行简便计算的是（    ）。 A．139×38—39×38 B．16×101 C．125×（80＋8） D．78×25×4 4．下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A．370×18＝180×37 B．35×4＝4×35 C．481×12＝12×481 D．23×47＝47×23 5．做一道计算题，先算，再算。根据已经完成的过程，可以推断这道计算题是（    ）。 A． B． C． D．以上都不是 6．图形，★代表3个不同数。与★计算结果相等的是（    ）。 A． B． C． D． 7．李阿姨用计算器算49×68时，发现按键8坏了，如果他仍想用这个计算器算出了正确结果，他用的方法可能是（    ）。 A．49×70－2 B．49×60＋8 C．40×68＋9×60 D．49×70－49×2 8．某小学开展田径运动会，共有323名学生参加。每人购买一套运动服（一件短袖和一条裤子），短袖的单价是38元/件，裤子的单价是54元/条。一共需要（    ）元。 A．29716 B．27916 C．27196 D．29176 9．小明妈妈在某大酒店预定了自助餐，自助餐每位128元（大人、小孩都按1人计算），小明在本子上写了128×5＋128×10，这次自驾游一共有（    ）人参加。 A．5 B．10 C．15 D．50 10．奇思计算长18cm、宽12cm的长方形的周长，分别列出了两个不同的综合算式，这两个综合算式正好验证了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．加法结合律 D．加法交换律 二、填空题 11．94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是( )律和( )律。 12．给246－32×11＋78加上括号，使它的运算顺序是减法→加法→乘法，加上括号后的算式是( )。 13．一只蜗牛从井底向上爬，白天爬3米，晚上滑下2米，蜗牛从井底爬到井外（井高10米）需( )天( )夜。 14．生活中会有这样的计算“700－356－44＝700－（356＋44）”，用字母表示这个算式的规律是( )。 15．计算[480－（24＋38）]×8时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 16．用简便方法计算101×76，可以将( )拆分成( )和( )，再运用( )进行计算。（最后一空填运算律） 17．已知□－△＝15，则26×□－26×△( )，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是( )。 18．奇思把6×（☆＋13）错算成6×☆＋13，他的计算结果与正确结果相差( )。 19．在公路的一侧栽树，每两棵树之间相距15米，第1棵树与第120棵树相距( )米。 20．在计算时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法；在这个算式中，若第二步要计算加法，则原式应改为( )。 三、判断题 21．同一道乘法简便运算题中，可能同时用到乘法结合律和乘法交换律。( ) 22．。( ) 23．a＋5＝b＋6应用了加法交换律。( ) 24．一份羊肉泡馍25元，一家泡馍馆昨天卖出114份泡馍，该泡馍馆昨天卖泡馍共收入2850元。( ) 25．简便计算49＋25＋51＝25＋（49＋51），是应用了加法交换律和结合律。( ) 四、计算题 26．直接写出得数。 45×2×5＝               25×8－100＝         80－80÷8＝          60＋5×8＝ （36－36）×89＝         100÷25÷4＝         125－25÷5＝         36×99＋36＝ 27．脱式计算。 12×[（38＋122）÷5]    65×[340＋（20－16）] （105×12－635）÷5    864÷[（27－23）×2] 28．脱式计算，能简便运算的要简便运算。 26＋88＋74＋12    640×［126－（118－37）］    540÷［（21－18）×2］ 五、解答题 29．为了丰富同学们的课余生活，学校图书馆新购进500本图书。现有4个空书架，每个书架有6层，每层可以放25本图书。这些新购进的图书能全部放下吗？ 30．实验小学艺术小组上一学期制作的作品统计如下： 种类 根雕 石膏雕塑 陶器 葫芦画 数量（件） 44 102 156 98 艺术小组上一学期一共制作了多少件作品？ 31．甲每小时加28个零件，乙每小时加工42个零件，甲、乙共同加工6小时，还剩83个零件没加工完，这批零件共有多少个？ 32．为了参加学校文艺节的表演，四年级合唱队的32个同学准备买表演服，上衣每件52元，裤子每条48元，请你算算买服装需要多少元？ 33．水果批发市场运回荔枝和葡萄各46箱，荔枝每箱32千克，葡萄每箱28千克。这个市场运回荔枝和葡萄共多少千克？ 34．扩建一块200平方米的长方形绿地，长不变，宽由原来的8米增加到24米，扩建后这块绿地的面积是多少平方米？ 35．深圳博物馆推出了艺术纸雕发光冰箱贴。刘老师想给班上每个同学各送一个“深圳印象”和“熊猫时代”做礼物。全班45人，一共需要花多少元？ 36．学校举行秋季运动会，李老师准备为学校羽毛球队买13副羽毛球拍和13筒羽毛球。羽毛球拍每副168元，羽毛球每筒32元。李老师一共需要多少元？ 37．鲜花店在母亲节期间开展“花香四溢、感恩母亲”优惠活动，一束“感恩的心”鲜花，原价72元，优惠价58元。李经理为全厂员工向花店定了120束花，一共优惠了多少元？ 38．商店进货60台电风扇，进货价一共5880元，卖出45台电风扇后，开始降价销售。如果这批电风扇全部售出，你认为商店是赚钱还是亏本？ 39．新学期，学校订购数学练习本，全校共30个班，每班要发105本，还需要留40本作为备用。学校应订购多少本数学练习本？ 40．大樱桃以其色泽鲜艳、晶莹剔透、香甜可口、营养丰富，被誉为“果中珍品”。烟台大樱桃是山东省烟台市特产，中国国家地理标志产品。2023年春节期间，佳宝水果店购进了125箱大樱桃。请你算一算，该店售完这些大樱桃赚了多少钱？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $