第21 章 二次根式（高效培优讲义）数学华东师大版2024九年级上册

该初中数学二次根式单元复习讲义以“定义-性质-运算-应用”为主线构建知识体系，通过表格梳理教学目标与重难点，以9大考点（含定义、性质、运算等）串联核心内容，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-变式”三阶训练模式，如“利用双重非负性求值”题型结合绝对值、偶次幂培养推理能力，“几何与二次根式结合”题型强化模型意识。方法技巧点拨精准，分层变式题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算与问题解决能力。

第21章 二次根式 教学目标 1.掌握二次根式的定义、有意义条件及核心性质（含）。 2.熟练进行二次根式的化简、四则运算及分母有理化。 3.能解决含二次根式的字母取值范围、实际应用及综合题型。 4.识别并规避二次根式运算中的高频易错点（如忽略被开方数非负性）。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的定义、有意义条件及性质应用。 （2）二次根式的化简与同类二次根式的判断。 （3）二次根式的乘除、加减及混合运算。 （4）含二次根式的字母取值范围求解。 2.难点 （1）的化简（结合绝对值分类讨论）。 （2）二次根式混合运算的顺序与法则综合运用。 （3）分母为二项式的有理化及复杂字母取值范围判断。 （4）二次根式与分式、方程的综合应用题型突破。 考点01二次根式的定义与有意义的条件 1.二次根式的定义：形如（）的式子叫作二次根式，其中根指数为2（省略不写），被开方数为非负数。 2.有意义的条件： 单个二次根式：被开方数； 分母含二次根式：被开方数且分母不为0； 含零指数幂：除满足上述条件外，零指数幂的底数不为0。 3.二次根式的判定：只需满足“含二次根号+被开方数非负”，无需看化简结果。 考点02二次根式的性质 1.双重非负性：（），即二次根式的结果是非负的，且被开方数也是非负的。 2.平方性质：（），反向运用可将非负数化为完全平方形式。 3.算术平方根性质：，化简时需先判断被开方数中字母的取值范围。 考点03最简二次根式 1.定义：同时满足两个条件的二次根式为最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式（不含分母）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.判断方法：先将被开方数分解因数或因式，再检查是否满足上述两个条件。 3.化简要求：所有二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式。 考点04同类二次根式 1.定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫作同类二次根式。 2.判断步骤：第一步将所有根式化为最简二次根式，第二步比较被开方数是否一致（与根号外因式无关）。 3.合并法则：同类二次根式相加减，根号部分不变，系数相加减（与同类项合并法则一致）。 考点05二次根式的乘除运算 1.乘法法则：（，），反向运用：（，）。 2.除法法则：（，），反向运用：（，）。 3.运算技巧：先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用法则简化计算。 考点06二次根式的加减运算 1.核心步骤：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 2.注意事项：非同类二次根式不能直接合并，如与无法相加。 3.混合加减：遵循“先化简→再归类→最后合并”的顺序，避免遗漏化简步骤。 考点07二次根式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（与整式混合运算顺序一致）。 2.运算律应用：乘法分配律、结合律、交换律对二次根式混合运算同样适用。 3.分母有理化： 单项分母：（）； 两项分母：（，，），利用平方差公式化简。 考点08二次根式的化简与求值 1.化简技巧： 被开方数为整式：分解因式后提取完全平方因式； 被开方数为分式：先通分或分母有理化，再化简。 2.求值方法： 直接代入：化简后将字母的值代入计算； 整体代入：利用代数式变形（如平方、配方），整体代入、等的值计算。 常用公式：，。 考点09易错点辨析 1.忽视隐含条件：化简时未判断的符号，直接写成。 2.同类根式判断错误：未化简直接比较被开方数，如误将与视为非同类根式。 3.运算顺序错误：混合运算中先算加减后算乘除，或忽略分母不为零的限制。 4.分母有理化不彻底：如未化简为。 题型01二次根式的定义判断 方法技巧：判断需满足两个核心条件： ①含二次根号“”（根指数省略为2）； ②被开方数为非负数（含字母时需保证代数式≥0），二者缺一不可。 【典例1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 【变式1】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 【变式2】．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【变式3】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 题型02二次根式有意义的条件（含字母取值范围） 方法技巧：①单个二次根式：被开方数≥0； ②含分母：被开方数≥0且分母≠0； ③多个二次根式：所有被开方数均非负； ④含零指数幂：额外满足底数≠0。 【典例2】．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 【详解】解：因为 且 ，且 ， 所以 且 ， 解得 ，， 因此 ， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）要使式子有意义，则x的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．要使有意义，则，解得，由此确定符合条件的值． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，解得； 选项中只有（）满足， 故选：． 【变式3】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若有意义，则应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 题型03利用双重非负性求值 方法技巧：二次根式双重非负性： ①被开方数； ②。常与绝对值、偶次幂(均为非负)结合，若多个非负数和为0，则每个非负数均为0。 【典例3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性求出a和b的值，再计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 解得 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知实数，满足则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值和算术平方根的非负性，由等式成立可知每个部分均为零，从而求出和的值． 【详解】解：∵且，且， ∴且， 即， 解得，． 则． 故答案为：1． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质，若两个非负式互为相反数，则每个非负式都等于零，由此列出方程组求解． 【详解】解：与互为相反数， ． ，， 且． 即解得 ． 故答案为：9． 题型04含字母的二次根式化简(根据取值范围) 方法技巧：①先确定字母取值范围； ②将被开方数化为完全平方式(如)； ③转化为后去绝对值符号； ④合并同类项化简。 【典例4】．（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．根据题意得到，据此计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质，，再结合的范围，化简表达式． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ∴原式． 故选：D． 题型05数轴与二次根式化简结合 方法技巧：①根据数轴确定字母符号(正/负)及绝对值内代数式符号； ②将二次根式化为； ③按“符号定结果”去绝对值，最后化简。 【典例5】．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 由数轴得出，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ， ， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴易得，则，，，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， 则，，， 原式 ， 故答案为：． 题型06根据二次根式的整数性求字母值 方法技巧：①将被开方数分解因数，提取能开得尽方的因数； ②设化简后根式为整数k，建立等式； ③结合字母取值范围(正整数/自然数)求符合条件的解。 【典例6】．（25-26八年级上·上海·阶段练习）求不超过的最大整数． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，二次根式的运算，设，，则，，可得，即得，即得到，进而根据即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴不超过的最大整数为． 【变式1】．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，根据是整数，则均为有理数，即为同类二次根式，为同类二次根式，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 又∵x，y是正整数，是整数， ∴均为有理数， ∴为同类二次根式，为同类二次根式， ∴或， ∴满足条件的有序实数对是或； 故答案为：或． 【变式2】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 题型07含隐含条件的二次根式化简 方法技巧：①从隐含条件(如、分母不为0)推导字母符号关系； ②将被开方数化为“非负因式×平方项”； ③化简时保留非负因式，符号由隐含条件确定。 【典例7】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，设，，则，利用平方差公式，，计算的值，再代入已知条件求解即可． 【详解】解：， 设，，则． ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是非零实数，且满足，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，不等式的性质，根据二次根式有意义的条件和已知条件可推出，据此化简二次根式即可． 【详解】解：∵式子有意义，与是非零实数， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 题型08与三角形三边关系结合的二次根式化简 方法技巧：①根据“三角形两边之和大于第三边”确定绝对值内代数式符号； ②将二次根式化为； ③去绝对值后合并化简，注意取舍不符合三边关系的解。 【典例8】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知三角形的三边满足．试判定三角形的形状，并求其面积． 【答案】为直角三角形，其面积为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，二次根式的运算，求出是解题的关键． 先根据非负性求出，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可求解面积． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴，为直角三角形， ∴面积为：． 【变式1】．（24-25八年级上·全国·期末）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 【变式2】．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，根据二次根式的性质即可求出答案． （1）根据，结合已知条件求出结果即可； （2）根据三角形的三边关系可得，，，据此化简原式即可． 【详解】（1）解：， ； 当时，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵a，b，c为三角形三边长， ∴，，， ，，， 原式 ． 【变式3】．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的运算，绝对值的非负性，三角形三边关系． （1）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性求出m，n的值，进而代入计算即可； （2）根据二次根式的非负性求出x，y的值，进而代入计算即可； （3）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方的非负性求出a、b、c的值，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴或 （3）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 题型09二次根式规律探究 方法技巧：①观察已知等式的“被开方数、结果”的变化规律； ②提炼含n(正整数)的通用表达式； ③代入特殊值验证规律正确性。 【典例9】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号， 例如；，请完成下列问题． (1)的有理化因式是______一个即可，化去式子中的根号：______； (2)利用你发现的规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)（答案不唯一）， (2) 【分析】根据有理化因式的定义和分母有理化解决问题； 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． 【详解】（1）解：的有理化因式是，化去式子中分母的根号：； 故答案为：答案不唯一，； （2）解：原式 ． 【变式1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2025 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将进行分母有理化后，得，再代入进行计算，即可作答； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ， ， 则 ①， 同理②， ∴①②得：， ， ． 【变式2】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面问题：，， (1)根据规律，计算的值； (2)求的值； (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，化简计算，后根据平方差公式解答即可； （2）根据平方差公式，分母有理化，解答即可． （3）根据，得，后化简计算即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ． （2）解： ， ． （3）解：根据题意，得， 得且，解得， 故， 解得． 故 ． ． 【变式3】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ． ．（一） 还可以用以下方法化简： ．（二） (1)请用不同的方法化简． ①参照（一）式得_____； ②参照（二）式得_____． (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：． 【答案】(1)①；② (2)①2025；② 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用以及裂项相消法的运算，熟练掌握分母有理化的方法和裂项相消的规律是解题的关键． （1）①参照（一）的分母有理化方法，给分子分母同乘化简．②参照（二）的方法，将分子凑成平方差形式，因式分解后约分． （2）①先对每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，裂项相消后与相乘．②先对每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，再裂项相消化简． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：① ； ② ． 题型10复合二次根式的化简(形如) 方法技巧：①核心思路：将化为()； ②满足条件：且； ③拆解n的因数，找到符合条件的a、b，直接开方化简。 【典例10】．（25-26八年级上·福建漳州·月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 【变式1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次根式的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而利用三角形的外角的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，， ， ， ， 在中， ． 【变式2】．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用1： 利用上述解决问题的方法化简下列式子： （1）________； 模型应用2： （2）在中，，，，那么边的长为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，勾股定理，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可； （2）先根据勾股定理列出的表达式并化简，再利用题中方法求解即可． 【详解】解：（1）∵，，即，， ∴， 故答案为：； （2）∵在中，，，， ∴， ∵，，即，， ∴． 【变式3】．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）； 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，；   （3）∵， ∴，    ∴， ∴，   ∴． 题型11二次根式的应用（实际情境与几何结合） 方法技巧：①转化情境：将实际问题（如边长计算、距离求解）或几何问题（如勾股定理、面积公式）转化为二次根式运算模型； ②精准运算：结合根式性质、化简法则计算，必要时进行近似值估算（保留指定精度）； ③验证合理性：结果需符合实际意义（如长度、面积为正数），几何问题需满足图形存在条件。 【典例11】．（25-26八年级上·四川成都·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 构造，如图所示： 由勾股定理，得， 在中，， ； （3）解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合与实践： 小明想知道一张纸的长宽比（长＞宽），他设计了如下方案： (1)他拿出一张纸，量出长和宽分别为和，用长度除以宽度得出了大致长宽比，则长宽比约等于______；（保留1位小数） (2)小明受图1启发，将一张纸按图2的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______； (3)小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由； (4)小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张……按此规律，请直接写出纸的长与纸的长的关系． 【答案】(1) (2) (3)纸的长宽比为；理由见解析 (4) 【分析】本题考查折叠的性质，规律探究，勾股定理，二次根式的混合运算． （1）根据题意计算即可求解； （2）根据折叠的性质求得四边形是正方形，利用勾股定理求解即可； （3）设纸的长为，则宽为，则纸的长为，则宽为，根据长宽比保持不变，列式计算即可求解； （4）由（3）的结论求得纸的长为纸的长的倍，找到规律，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵长方形的宽为2， ∴，由折叠的性质得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即长方形的长为， 故答案为：； （3）解：纸的长宽比为；理由如下， 设纸的长为，则宽为， ∵两张纸可以拼成一张纸， ∴纸的长为，则宽为， ∵长宽比保持不变， ∴， ∴（负值已舍）， ∴，即纸的长宽比为； （4）解：设纸的长为， 由（3）得纸的长为，纸的长为， 则纸的长为纸的长的倍， ∴纸的长为， 纸的长， 纸的长， ， ∴纸的长为， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 【答案】(1)①18，；② (2)①；②，；③图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查图形的拼接，二次根式运算的实际应用，勾股定理，是拼接前后面积不变； （1）①拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； ②拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； （2）①拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； ②拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为，由图可得，正方形边长，中，利用勾股定理求出，再根据计算；中，利用勾股定理求出，再根据计算即可． ③拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为，据此裁剪设计即可． 【详解】（1）解：①∵长方形， ∴长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：，； ②长方形的长为，宽为n，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； （2）解：①长方形的长为a，宽为b，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； ②长方形，则长方形面积为， ∵拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， ∴由图可得，正方形边长， 中，， ∴， 中，， ∴， ③裁剪方式如下图： 【变式3】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【问题探究】 第一小组的同学想到构图法．在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出，其顶点，，都是格点，他们借助割补法求出了的面积． 第二小组的同学想到公式法．利用网络查阅在课本中出现的秦九韶公式．公式的推导方法大致如下：通过构造给定三角形一边上的高，运用勾股定理建立方程求出高，从而求出三角形的面积． 【问题解决】 （1）利用第一小组的方法，在下图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使得三边分别为，，，并求出的面积； （2）一个的三边长依次为，，，请你利用第二小组的方法求这个三角形的面积． 【思维拓展】 （3）若一个三角形的三边长分别，，（，为正数，且）请你用适当方法求这个三角形的面积． 【答案】（1）作图见详解，3 （2） （3） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，二次根式的化简，掌握网格特点，勾股定理的计算，二次根式的性质是关键． （1）运用网格特点，结合勾股定理得到，再运用割补法即可求解； （2）如图所示，过点作于点，运用勾股定理得到，由面积公式计算即可； （3）根据题意代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：（1）如图所示， ∴； （2）如图所示，过点作于点， 在中，，则， 在中，，则， 又， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）三角形的三边长分别，，（，为正数，且）， ∴，， ∴，，， 代入秦九韶公式（三角形的三边长为，）， ∴ ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次根式 教学目标 1.掌握二次根式的定义、有意义条件及核心性质（含）。 2.熟练进行二次根式的化简、四则运算及分母有理化。 3.能解决含二次根式的字母取值范围、实际应用及综合题型。 4.识别并规避二次根式运算中的高频易错点（如忽略被开方数非负性）。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的定义、有意义条件及性质应用。 （2）二次根式的化简与同类二次根式的判断。 （3）二次根式的乘除、加减及混合运算。 （4）含二次根式的字母取值范围求解。 2.难点 （1）的化简（结合绝对值分类讨论）。 （2）二次根式混合运算的顺序与法则综合运用。 （3）分母为二项式的有理化及复杂字母取值范围判断。 （4）二次根式与分式、方程的综合应用题型突破。 考点01二次根式的定义与有意义的条件 1.二次根式的定义：形如（）的式子叫作二次根式，其中根指数为2（省略不写），被开方数为非负数。 2.有意义的条件： 单个二次根式：被开方数； 分母含二次根式：被开方数且分母不为0； 含零指数幂：除满足上述条件外，零指数幂的底数不为0。 3.二次根式的判定：只需满足“含二次根号+被开方数非负”，无需看化简结果。 考点02二次根式的性质 1.双重非负性：（），即二次根式的结果是非负的，且被开方数也是非负的。 2.平方性质：（），反向运用可将非负数化为完全平方形式。 3.算术平方根性质：，化简时需先判断被开方数中字母的取值范围。 考点03最简二次根式 1.定义：同时满足两个条件的二次根式为最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式（不含分母）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.判断方法：先将被开方数分解因数或因式，再检查是否满足上述两个条件。 3.化简要求：所有二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式。 考点04同类二次根式 1.定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫作同类二次根式。 2.判断步骤：第一步将所有根式化为最简二次根式，第二步比较被开方数是否一致（与根号外因式无关）。 3.合并法则：同类二次根式相加减，根号部分不变，系数相加减（与同类项合并法则一致）。 考点05二次根式的乘除运算 1.乘法法则：（，），反向运用：（，）。 2.除法法则：（，），反向运用：（，）。 3.运算技巧：先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用法则简化计算。 考点06二次根式的加减运算 1.核心步骤：先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 2.注意事项：非同类二次根式不能直接合并，如与无法相加。 3.混合加减：遵循“先化简→再归类→最后合并”的顺序，避免遗漏化简步骤。 考点07二次根式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（与整式混合运算顺序一致）。 2.运算律应用：乘法分配律、结合律、交换律对二次根式混合运算同样适用。 3.分母有理化： 单项分母：（）； 两项分母：（，，），利用平方差公式化简。 考点08二次根式的化简与求值 1.化简技巧： 被开方数为整式：分解因式后提取完全平方因式； 被开方数为分式：先通分或分母有理化，再化简。 2.求值方法： 直接代入：化简后将字母的值代入计算； 整体代入：利用代数式变形（如平方、配方），整体代入、等的值计算。 常用公式：，。 考点09易错点辨析 1.忽视隐含条件：化简时未判断的符号，直接写成。 2.同类根式判断错误：未化简直接比较被开方数，如误将与视为非同类根式。 3.运算顺序错误：混合运算中先算加减后算乘除，或忽略分母不为零的限制。 4.分母有理化不彻底：如未化简为。 题型01二次根式的定义判断 方法技巧：判断需满足两个核心条件： ①含二次根号“”（根指数省略为2）； ②被开方数为非负数（含字母时需保证代数式≥0），二者缺一不可。 【例题1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题1】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2】．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式题3】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型02二次根式有意义的条件（含字母取值范围） 方法技巧：①单个二次根式：被开方数≥0； ②含分母：被开方数≥0且分母≠0； ③多个二次根式：所有被开方数均非负； ④含零指数幂：额外满足底数≠0。 【例题2】．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题1】．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则的值为 ． 【变式题2】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）要使式子有意义，则x的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式题3】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若有意义，则应满足 ． 题型03利用双重非负性求值 方法技巧：二次根式双重非负性： ①被开方数； ②。常与绝对值、偶次幂(均为非负)结合，若多个非负数和为0，则每个非负数均为0。 【例题3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式题1】．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 【变式题2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知实数，满足则的值为 ． 【变式题3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 题型04含字母的二次根式化简(根据取值范围) 方法技巧：①先确定字母取值范围； ②将被开方数化为完全平方式(如)； ③转化为后去绝对值符号； ④合并同类项化简。 【例题4】．（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数，有成立，则的最大值为 ． 【变式题1】．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【变式题2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）当时，代数式的值是 ． 【变式题3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是（ ） A． B．1 C． D． 题型05数轴与二次根式化简结合 方法技巧：①根据数轴确定字母符号(正/负)及绝对值内代数式符号； ②将二次根式化为； ③按“符号定结果”去绝对值，最后化简。 【例题5】．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是 ． 【变式题1】．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【变式题2】．（25-26八年级上·重庆万州·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【变式题3】．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 题型06根据二次根式的整数性求字母值 方法技巧：①将被开方数分解因数，提取能开得尽方的因数； ②设化简后根式为整数k，建立等式； ③结合字母取值范围(正整数/自然数)求符合条件的解。 【例题6】．（25-26八年级上·上海·阶段练习）求不超过的最大整数． 【变式题1】．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对是 ． 【变式题2】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3】．（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 题型07含隐含条件的二次根式化简 方法技巧：①从隐含条件(如、分母不为0)推导字母符号关系； ②将被开方数化为“非负因式×平方项”； ③化简时保留非负因式，符号由隐含条件确定。 【例题7】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为 ． 【变式题1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是非零实数，且满足，化简： ． 【变式题3】．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 题型08与三角形三边关系结合的二次根式化简 方法技巧：①根据“三角形两边之和大于第三边”确定绝对值内代数式符号； ②将二次根式化为； ③去绝对值后合并化简，注意取舍不符合三边关系的解。 【例题8】．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知三角形的三边满足．试判定三角形的形状，并求其面积． 【变式题1】．（24-25八年级上·全国·期末）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 【变式题2】．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 【变式题3】．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 题型09二次根式规律探究 方法技巧：①观察已知等式的“被开方数、结果”的变化规律； ②提炼含n(正整数)的通用表达式； ③代入特殊值验证规律正确性。 【例题9】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号， 例如；，请完成下列问题． (1)的有理化因式是______一个即可，化去式子中的根号：______； (2)利用你发现的规律计算下列式子的值： ． 【变式题1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 【变式题2】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面问题：，， (1)根据规律，计算的值； (2)求的值； (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值 【变式题3】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ． ．（一） 还可以用以下方法化简： ．（二） (1)请用不同的方法化简． ①参照（一）式得_____； ②参照（二）式得_____． (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：． 题型10复合二次根式的化简(形如) 方法技巧：①核心思路：将化为()； ②满足条件：且； ③拆解n的因数，找到符合条件的a、b，直接开方化简。 【例题10】．（25-26八年级上·福建漳州·月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【变式题1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． (1)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． (2)在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 【变式题2】．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用1： 利用上述解决问题的方法化简下列式子： （1）________； 模型应用2： （2）在中，，，，那么边的长为多少？ 【变式题3】．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 题型11二次根式的应用（实际情境与几何结合） 方法技巧：①转化情境：将实际问题（如边长计算、距离求解）或几何问题（如勾股定理、面积公式）转化为二次根式运算模型； ②精准运算：结合根式性质、化简法则计算，必要时进行近似值估算（保留指定精度）； ③验证合理性：结果需符合实际意义（如长度、面积为正数），几何问题需满足图形存在条件。 【例题11】．（25-26八年级上·四川成都·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【变式题1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合与实践： 小明想知道一张纸的长宽比（长＞宽），他设计了如下方案： (1)他拿出一张纸，量出长和宽分别为和，用长度除以宽度得出了大致长宽比，则长宽比约等于______；（保留1位小数） (2)小明受图1启发，将一张纸按图2的方式先沿折叠，再沿折叠后发现和重合，若长方形的宽为2，则它的长为______； (3)小明发现，两张纸可以拼成一张纸，并且长宽比保持不变，你能由此得出纸的长宽比吗？请说明理由； (4)小明发现两张纸可以拼成一张，两张纸可以拼成一张……按此规律，请直接写出纸的长与纸的长的关系． 【变式题2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 【变式题3】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【问题探究】 第一小组的同学想到构图法．在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出，其顶点，，都是格点，他们借助割补法求出了的面积． 第二小组的同学想到公式法．利用网络查阅在课本中出现的秦九韶公式．公式的推导方法大致如下：通过构造给定三角形一边上的高，运用勾股定理建立方程求出高，从而求出三角形的面积． 【问题解决】 （1）利用第一小组的方法，在下图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使得三边分别为，，，并求出的面积； （2）一个的三边长依次为，，，请你利用第二小组的方法求这个三角形的面积． 【思维拓展】 （3）若一个三角形的三边长分别，，（，为正数，且）请你用适当方法求这个三角形的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $