圆锥曲线课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：圆推曲线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.双曲线x2-4y2=4的离心率为() A.3 B. 2 2 D.5 2.椭圈+专-1的一个焦点是0,2刃，那么：《） A.1 B.-1 C.5 D.-V5 3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为V7,0),直线)=-1与其相交于丛，W两点，若N中点的横坐标为子 31 则此双曲线的方程是() A.-上=1 B.上1 C.y 31 D.xy =1 34 43 25 4.双曲线xy2 49=1的渐近线方程为() A=经 B.y-x C.y=+9 r D.y=t 5已知双陆线C答容-a>06>0满起么.5，且与能西三，史 2+31有公共焦点，则双曲线C的方程为() A.=1 B. =1 c1 D.y=1 43 810 45 6.如果双曲线 =1上一点P到右焦点的距离等于√3，那么点P到右准线的距离是() 1312 A.号 B.13 C.5 5 D.3 7.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，己知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=aOA+BOB,其中a,B∈R, 且+B=1,则点C的轨迹方程为 A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 8.已知F是双面我C若苦-1的个焦点，点：在c上，O为华标原点，者口H0,则△OPF的面积为 B月 C.2 7 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.设O为坐标原点，直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y=2Px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C的准 线，则() A.p=2 B. C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 10.已知4B分别是椭圆C:+少=1的左，右顶点，P为椭圆C的右焦点，过点F的直线交椭圆C于M,N两点， 43 则下列结论正确的是() A.MW的最小值为3 B.直线AM与BW的斜率之积为定值 1 1 c.1 MW不为定值 D.△AN面积的最大值为)】 11.已知抛物线E:y2=2Px(p>O)的焦点为F,抛物线E的准线交x轴于点G,抛物线E上一点T(4,y)到点F 的距离为6，点A,B是抛物线E上的两点（异于原点O),则下列说法正确的是(） A.p=4 B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2 C.若OA⊥OB,则直线AB恒过点(4，O) D.若直线AB过点F,则直线AG,BG的斜率之和为O 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12,已知双曲线1(a>0,b6>0)的左、右焦点分别为，乃，点P在双曲线右支上，若△P邛飞的内切圆的圆心 为Q(x。,a),且满足PO与3OQ的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为 13.已知双曲线C的焦点分别为R(-L0)和Q,0),若点P为C上的点，且满足P呢上RR,S血∠P明-多，则点 ￡到C的一条渐近线的距离为一· 4.已知P是抛物线C:严2(p>0)的焦点，双曲线B。为1a>0,6>0)的两条渐近线分别与抛物线c交 于异于原点的A,B两点，若∠AFB=120°，则双曲线的渐近线方程是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为(2,0)，且经过 26 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A,B两点，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D,E,直 线AE与直线BD相交于P点. ①求证：点P的横坐标为定值： ②求△PAB面积的最大值. 16.15分)已知椭圆C等+y-1a>)与抛物线层：少=2prp>0)的公共焦点为r10.过点P且斜车存在的 直线1与C交于P,Q两点，与E交于M,N两点，记直线OP,O2,OM,OW(O为原点)的斜率分别为k,k, k3,4. (1)求C与E的方程： 1.1 (2)证明： 1,为定值 kk+ 17.15分)已知椭盟：手+若Q≥b~0的高心幸：=9，且经注点0,0为坐标原点，斜奉不为0的在 2 线5椭圆E交于P.Q两点，∠PO0=)7 (1)求椭圆E的方程； (2)证明：点O到直线1的距离是定值； (3)求|PQP的取值范围. 1817分)设双血线C。片1的左、右焦点分别为AV6,0),R6,0,且离心率为6，分别过月.￡作 2 两条平行直线，I2,设与C交于P,Q两点，4与y轴交于点M. (1)求C的方程： (2)若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； (3)若|PM月QM,求直线4与l,的一般式方程. Q(17分)已知双曲线工广1a>0b>0的焦距为23，其中一条新近线方程为V2x-y=0,P,Q为双曲线 Γ的左、右顶点. (1)求双曲线Γ的方程. (2)过点P作动圆D(以(O,a)为圆心)的两条切线分别交双曲线T于异于点P的B,C两点，试判断直线BC是否过 定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. (3)已知动点H满足直线HP,HQ的斜率的乘积的绝对值为2，记动点H的轨迹为曲线G.过点Q作直线，l,交曲线G 分别于M,N和E,F（其中M,E的横坐标的绝对值均大于1)，求证：直线MF与E的交点在定直线上. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：圆锥曲线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是（    ） A． B．13 C．5 D． 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 8．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 10．已知分别是椭圆的左､右顶点，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．直线与的斜率之积为定值 C．不为定值 D．面积的最大值为 11．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为 . 13．已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ． 14．已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 16．（15分）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 17．（15分）已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 18．（17分）设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． (1)求C的方程； (2)若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； (3)若，求直线与的一般式方程． 19．（17分）已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：圆锥曲线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以，即，所以， 故选：B． 2．椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程和性质即可得到结论. 【详解】因为椭圆的一个焦点是，所以，，，则，解得， 故选：A. 3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得，两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为，可得斜率，且中点坐标为； 所以，即；解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 4．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为.故选：A. 5．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.故选：D. 6．如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是（    ） A． B．13 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线第二定义——平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的动点的轨迹是双曲线，这个常数即该双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线——列式计算即可. 【详解】根据双曲线方程可知，离心率，设点P到右准线的距离为，P到右焦点的距离为，根据双曲线第二定义列式可得，则.故选:A 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】向量坐标化得结合即可得点C的轨迹方程． 【详解】设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为.故选D. 8．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点，则①．又，②． 由①②得，即，，故选B． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为，所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.   10．已知分别是椭圆的左､右顶点，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．直线与的斜率之积为定值 C．不为定值 D．面积的最大值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的性质以及直线与椭圆的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，. 对于A：当过点的直线垂直于轴时，最小. 该直线方程为，所以，所以，A正确； 对于B：设，则.所以. 设直线的斜率为，则该直线方程为. 联立直线与椭圆方程得，化简得. 所以.解得，所以. 所以 ， ， 所以，不是定值，所以B错误； 对于C：. 所以 . 所以，为定值； 当直线斜率不存在时，，此时. 所以为定值，所以C错误； 对于D：. 因为，所以. 所以. 当直线的斜率不存在时，.所以面积的最大值为，所以D正确.故选：AD. 11．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（   ） A． B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C．若，则直线恒过点 D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 【答案】ABD 【分析】由点到点F的距离根据抛物线定义可以求得，判断A选项；点差法即可得直线的斜率，判断B选项；利用数量积为0表示垂直关系，得到，根据斜率写出直线的方程，代入化简可得定点，判断C选项；根据直线的方程，代入点F可得，代入化简即可判断D选项. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点， 当斜率不存在时，，，过点， 故C错误；D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得，则， 当AB斜率不存在时，，此时，D正确；故选：ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为 . 【答案】 【分析】设，内心为，根据与的纵坐标互为相反数，求出点的纵坐标，再根据等面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解． 【详解】设，内心为，依题意可设， 所以，解得，由等面积可得，化简得， 又，所以，因为，点在双曲线的右支上， 所以，则，解得， 所以的坐标为，代入双曲线方程中，得，解得， 所以双曲线的渐近线的方程为，故答案为：． 13．已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为和，所以，所以. 因为，，所以在中，有. 设，则由勾股定理可得，所以， 所以，所以.又由，可得， 所以双曲线的方程为.其渐近线方程为，即. 取渐近线，则点到该直线的距离为.故答案为： 14．已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】或 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以，过作交轴于点， 设，则，，由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为，所以渐近线方程为； 当，在焦点右侧时，过作交轴于点， 所以，设，则，， 由抛物线定义得，因为，所以， 所以，因为，所以渐近线方程为. 故答案为：或. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）设出椭圆方程，由题目条件得到，将点代入椭圆方程，最后列方程组求解得，从而得到椭圆方程； （2）①设出相关点的坐标以及直线的方程，与椭圆联立利用韦达定理得到，再写出直线与直线的方程，联立得到点的横坐标，计算其为定值即可； ②先由题目条件写出的面积的表达式，再利用换元法以及基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， ，已知，则， 因为椭圆过点，代入方程得到， 联立方程解得， 所以椭圆方程为. （2）    ①设直线的方程为 ， ， 联立方程得到 ， 易知 ， ； 直线的方程为，直线的方程为； 联立方程， 解得； 所以点P的横坐标为定值3. ② ， 而，所以，则 ， 令 ，则，所以 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 16．（15分）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设椭圆及抛物线方程可得，，进而求解即可； （2）设直线，，，，，联立直线与椭圆方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而求证即可. 【详解】（1）由题意得，则，所以椭圆的方程为. 由题意得，则，所以抛物线的方程为. （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，    设直线，，，，， 联立得， 则，，， 所以. 联立得，则， 所以，， 所以， 所以为定值. 17．（15分）已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，根据化简推得，利用点到直线的距离公式即可证明； （3）根据弦长公式求出的表达式，代入韦达定理，并消去，将其化成关于的关系式，通过换元后利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由，可得 ①， 椭圆经过点，可得，解得，代入①，可得， 故椭圆的方程为. （2）依题意，可设直线的方程为，， 由，消去，整理得， 可得， 设，则， 因，则 ， 去分母得， 化简得. 则点到直线的距离为，为定值. （3）因， 故， 由得，代入上式，整理得， 设，则，且代入上式， 可得， 设，则，且， 所以， 故的取值范围是.    18．（17分）设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． (1)求C的方程； (2)若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； (3)若，求直线与的一般式方程． 【答案】(1) (2) (3)和，或和． 【分析】（1）根据焦点坐标，求出c值，根据离心率，求出a值，根据a，b，c的关系，求出b值，即可得答案. （2）分析可得斜率大于0，分别讨论P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上，两种情况，根据渐近线的意义及其斜率，分析即可得答案. （3）设、的方程分别为、，将与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式.方法一：只需求，根据两点间距离公式，代入整理，即可求得答案；方法二：设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）设c为双曲线C的半焦距，则．                 又离心率为，故，解得．                     则．即． （2）易得斜率不为0， 又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0，                 ①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 且为，此时斜率的取值范围为．                     ②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 此时斜率的取值范围为． 综上，斜率的取值范围为． （3）易得，斜率存在，设、的方程分别为、， 可知，设，，， 联立，得，                 其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有．                 因此，则，             方法一：要使，只需成立， 即， 将、代入得：，                                     整理得， 即，所以，解得，         则与的一般式方程分别为和， 或和．                         方法二：设中点为A，则，即， 若，则必有，                     而，， 故，解得．       故平行直线的斜率为， 则与的一般式方程分别为和， 或和． 19．（17分）已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)是， (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线的焦距为，得到，再根据一条渐近线方程为，由求解； （2）易知切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，根据直线与圆相切，由圆心到切线的距离为，得到，设切线的斜率，且，分别设直线PB，PC的方程，与双曲线方程联立求得点B，C的坐标，写出直线BC的方程求解； （3）由（1）得到动点的轨迹，其中，设直线的方程分别为和，其中，与双曲线的方程联立，求得E，F，M，N的坐标求解. 【详解】（1）由双曲线的焦距为可得， 又其中一条渐近线方程为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为， 化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得． 设直线，联立方程得． 由韦达定理，，则，将其代入可得, 即得，同理可得,因，则得 又因为，所以直线的方程为， 法一：直线的方程可化为 故直线过定点. 法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为， 将代入方程，得，化简整理，得， 因,故由，解得．故直线过定点. （3）由（1）知，设,依题意，, 化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中. 由题意可设直线的方程分别为和，其中， 联立方程得，所以， 将代入到直线得到；联立方程得，所以，将代入到直线得到，同理可得. 将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为 ， 因此直线经过点，同理可得（将互换）直线也经过点， 所以直线与的交点为，在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：圆推曲线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.双曲线x2-4y2=4的离心率为() A.3 B. v5 C. 5 2 D.5 4 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求出离心率。 【详解1由2-4扩=4得，父-y=1,所以a=4公=1c2=心+b=5,即a=2.c=5,所以e=-5 4 a 2 故选：B 2.椭圆x2+y=1的一个焦点是(0,2)，那么k=() 5 A.1 B.-1 C.5 D.-5 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程和性质即可得到结论 【详解】国为椭圆x+夸=1的一个焦点是(0,2)，所以a- 公16=2：则ca6-名-1=4：解得无1 故选：A 3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(√7,0)，直线y=x-1与其相交于M,N两点，若MN中点的横坐标为- 2 3 则此双曲线的方程是() A. -2=1 B. 2=1 34 1 D. 25 【答案】D 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为答若-1(a>Q6>0),且a公-7： 设M(,),N(x2,y2),可得 a b 龙=1 两式相减可得出业=b3+3 x-x2 a2y+y 2 线y=x一1与双曲线交于4，N两点，且MN中点的横坐标为3可得斜率k=1，且中点坐标为~了，- 2 63 2× 所以当业=1= 2b2 a2, 即5x=2b2:解得a=2,b2=5,所以双曲线的方程是X-上=1. X1-X2 2 25 故选：D 4.双曲线女父=1的渐近线方程为() 49 A.y= 3 2 B.y 9 C.y= D.y=+4 【答案】A 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可 【详解】双曲线 、=1的渐近线方程为y=±名x故选：A 49 2 3已知双曲线c若茶-la>00满起. ,且与椭圆兰+上=1有公共焦点，则双曲线C的方程为() a2】 123 x2 v2 A. x2 y2 431 B. -=1 D.xy -=1 810 C. 45 【答案】D 【分析】双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，得到c相等，构造方程求出a2,b2即可. 【详解】由椭圆的标准方程为+父=1，可得c=12-3=9,即c=3, 123 因为双曲线C的焦点与椭圆+少 =1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c=3, 123 又因为双曲线c:片-1a>0,b>0满足b-5,即6-5。， -a, b 2 又由a2+b2=c2,即a 5 =9,解得d=4,可得=5，所以双曲线C的方程为-上=1.故选：D 45 6.如果双曲线 y =1上一点P到右焦点的距离等于√3，那么点P到右准线的距离是() 1312 13 A. B.13 C.5 D. 5 13 【答案】A 【分析】根据双曲线第二定义一平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的动点的轨迹是 双曲线，这个常数即该双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线—列式计算即可 3,设点P到右准线的距离为d,P到右焦点的距离为 5 【详解】根据双曲线方程可知a=√13，c=5,离心率e= P四=3，根据双曲线第二定义列式可得g=e=5。 13 d 3则d= 5 故选A 7.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，己知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=aOA+BOB,其中，B∈R, 且+B=1,则点C的轨迹方程为 A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 【答案】D 【分析】向量坐标化得 [=3a-,及结合a+B=1即可得点C的轨迹方程. y=a+38, 【详解】设OC=(x,y).由已知可知OA=(（3,1),OB=（-1,3),oOA=a,a)OB=（B3B),又 0+0B:女-Ba+9ky大e-Aa-9).设又a+B=1:可得点c的迹方程为 x+2y-5=0.故选D. &.已知P是双曲线C女上=1的一个焦点，点P在C上， O为坐标原点，若OP=O,则△OPF的面积为 45 3 1 A.2 B. C. D. 9 2 2 2 【答案】B 【解析】设P(x。,y),因为OP=OF再结合双曲线方程可解出y。,再利用三角形面积公式可求出结果 【详解】设点P(x,6),则-=1①.又0P=0=4+5=3,x2+,2=9②. 45 由0@得分y多8号or3号故选B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.设O为坐标原点，直线y=-V3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C的准 线，则() A.p=2 B.a-号 C.以MN为直径的圆与I相切 D.△OMN为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得卫，根据弦长公式求得W,根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案 【详解】A选项：直线y=-V3(x-1)过点(1,0)，所以抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点F(1,0), 所似号-1p=22p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为y=4B选项：设M(,,N(,g), 由5(-)消去y并化简得3x-10x+3=K-33x-1)=0, y2=4x 解符名=3出号所以M=g+:+p=3+}25,B选项错误 c选项：设N的中点为A,M,NA到直线I的距离分别为4，d,因为d=d+d)0FHW, 即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MW为直径的圆与直线I相切，C选项正确. D选项：直线y=-√3(x-1),即V3x+y-V3=0, O到直线Vx+y-5=0的距离为d-5,所以三角形Ow的面积为15x5_45 2 2323 面上选分新可知以=-53-)-2a5.g=号-25。 所ow-+aa周9 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误故选：AC 10.已知A,B分别是椭圆C:+y =1的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过点F的 43 直线交椭圆C于M,N两点，则下列结论正确的是() y=-√3(x-1) A.MW的最小值为3 B.直线AM与BN的斜率之积为定值 1 C.M+N不为定值 D,△AW面积的最大值为了 【答案】AD 【分析】根据椭圆的性质以及直线与椭圆的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，F(1,0),A(-2,0),B(2,0) 对于A:当过点F的直线垂直于x轴时，MW最小 该直线方程为x=1,所以M》N1-引所以01-3，A正商： 对于B:设MWN小，则w=2产2所似女w2产2共24 ViV2 设直线MN的斜率为k,则该直线方程为y=k(x-1) 联立直线与椭圆方程得3x2+4k2(x-1)2-12=0,化简得(4k2+3)x2-8歇2x+4k2-12=0. :=依-2解得4土6医 所以x+4+3=4报+3 于3到，所以--状-6#+6团±2e甲 (42+3) 4k2+3 所以kwk==51(s-)_s-(s+)+） x2-2x+2x2-452-2x+2x2-4x52-25+2x2-4 书-3+)+1=4-128x: +1=9 42+34k2+31=40+3 2+44益号4 42+3 所以kwk k2(xx2-(x+x2)+1) 3k2 ，不是定值，所以B错误： xx2-2(x+x2)-44k2+8F8Wk2+1 对于C:M=V(51+片=V+(5-)网5-)+片(+() 阿向ca可店品司 12Wk2+1 1 凸-1+5-1L42+341 压-13-1-伤+x)+1 9 3 4k2+3 1×+1 高 3一3为定值： 当直线w斜率不存在时.M-N=子，此时十W专 14 1 所以mM十为定值，所以C错误： 对于D:S-3-小=(-)--明引(6-月V[G+广- 因为5写=东吕，商以长+广-小安 8k2 64h 16k2-48 (144k2+144)k2 (4k2+3) 4k2+3 (42+3 k4+k2 所8-F[(3+广4=181+a+ 1 =18 8k2+9 116+ k+k2 当直线MN的斜率不存在时，SAv= 3x号所以公面积的最大值为号：所以D正销校选：AD 11.已知抛物线E:y2=2Px(P>0)的焦点为F,抛物线E的准线交x轴于点G,抛物线E上一点T(4,y。)到点F 的距离为6，点A,B是抛物线E上的两点（异于原点O),则下列说法正确的是(） A.p=4 B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2 C.若OA⊥OB,则直线AB恒过点(4，O) D.若直线AB过点F,则直线AG,BG的斜率之和为0 【答案】ABD 【分析】由点T到点F的距离根据抛物线定义可以求得P,判断A选项：点差法即可得直线AB的斜率，判断B选 项：利用数量积为0表示垂直关系，得到y2,根据斜率写出直线AB的方程，代入化简可得定点，判断C选项： 根据直线AB的方程，代入点F可得y2,代入k4c+k©化简即可判断D选项. 【详解】对于A,由题意可知，点T(4,巧)到点F的距离为4+号=6，解得卫=4，故A正确： 2 则y2=8x,F(2,0),G(-2,0): 对于B,若AB中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设4，).B化，为），则=8，两武作差得-=85-5）， =8x2 所以直线AB的斜率为二上=8=2，故B正确； x-x2 y+y2 对于C,设A(化，乃)，B(x2y2), 若00.则DM丽=，-g-0:=4 B 当B斜率在，数B:8+经86 ,过定点(8,0)， v+v ?+y2月+2 当斜率不存在时，y=-片飞=x==8,过点8,0， 8 放C错误：D选项，设A(,y),B(x,y),当斜率存在时，直线AB:y=8x+M业 vi+v2 代入点F(20)可得=-16，则k0+k0=片，十片，=十为 (y+2(y+) 8 0 +2%+2+2g+2 8 8 当AB斜率不存在时，y+y2=O,此时k4o+kG=0,D正确；故选：ABD, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.已知双曲线米三1(Q>0.b>0)的左右焦点分别为，名，点P在双曲线有支上，若△PR码的内切圆的圆心 为Q(x。,a),且满足P©与3O0的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为 【答案】y=V2x 【分析】设P(x,y),内心为Q(xo,a),根据Po与3O厄的纵坐标互为相反数，求出点P的纵坐标，再根据等面积 及双曲线的定义求出P=3c+a,PF=3c-a,从而可求出点P的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设P(xp,y),内心为(2，a),依题意可设P=(。-x,a-y,),300=(3xg,3a), 所以a-y,+a=0,解得y=4a,由等面积可得8号×2cx4a0P叫P明+2a化简得P+P图=c, 又P-PF引=2a,所以Pr=3c+aP=3c-a,因为E(-c,0),点P在双曲线的右支上， 所以P-++-+e+公怎+a,则3c+a8名+a,解得=a, a 所以P的坐标为(3a,4a),代入双曲线方程中，得B0_4o=1,解得2=√反， b2 所以双曲线的渐近线的方程为y=±2x=±V2x,故答案为：y=±2x. 13.已知双曲线C的焦点分别为R(L0)和R,0),若点P为C上的点，且满足卫明1R不，s血∠PR民-}，则点 乃到C的一条渐近线的距离为一· 【答案】 2 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及a,b,c的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的 距离公式计算即可！ 【详解】因为双曲线C的焦点分别为(-1,0)和E(1,0),所以2c=FF=2,所以c=1. 因为PR1FR,sim∠PRR=子，所以在Rt△PIB中，有P网5 3 PF 3 设P=5,P=3化>0)，则由勾股定理可得R=VP-PR=V5k-（(3k=4k=2,所以k=2； 所以2a=Pr-Pr=5k-3k 月引1，所以a5又迪c-G+6,可的8=c-=小（-子 221 x2 y2 所以双曲线的方程为3=1其渐近线方程为y=±x=士√Bx,即V5x士y=0. 44 取渐近线√3x-y=0,则点R(1,0)到该直线的距离为d= 3x(1)-oE V+2 22故答案为：5 14.已知F是抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，双曲线E: 存=1a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线C交 x2y2 于异于原点的A,B两点，若∠AFB=120°，则双曲线的渐近线方程是 【答案】y=±2√3x或y=± 2W3 3 【分析】分A,8在焦点左侧、在焦点有侧时论，过A作AD1OF交物于D点，结合抛物线定义、飞。品-？一 可得答案 【详解】当A、B在焦点左侧时， 因为渐近线关于x轴对称，所以∠AFO=60°，过A作AD⊥OF交x轴于D点， 设DF=t,则1AD=3t,|AF上21，由抛物线定义得1OD=2t- 2 因为1or号，所以1oD1+DPY-号+1oP号 2 所以p-,两为6品点婚名 5a,所以渐近线方程为y=±2√3x: , 当A,B在焦点右侧时，过A作AD LOF交x轴于D点， 所以∠AFD=60°，设DF=t,则AD=3t,|AF=2t, 由抛物线定义得1OD非21-号，因为oF号，所以1oD1-DP非2x-号-1=OP=号 2 ADI 3t 23 b 所以卫=1，因为01oD亚3a,所以渐近线方程为y=±25 故答案为：y=2Bx或y=t -x 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为(2,0)，且经过 -2 3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A,B两点，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D,E,直 线AE与直线BD相交于P点. ①求证：点P的横坐标为定值； ②求△PAB面积的最大值. 【路剁片+号-1 (20证明见解析：②5 4 【分析】(1)设出椭圆方程，由题目条件得到c=2,将点 2 v6) 代入椭圆方程，最后列方程组求解得2=6，b2=2, 从而得到椭圆方程： (2)①设出相关点的坐标以及直线AB的方程，与椭圆联立利用韦达定理得到y+y,= -47L m2+3出y、 -2 +3,再写 出直线AE与直线BD的方程，联立得到P点的横坐标，计算其为定值即可： ②先由题目条件写出△PAB的面积的表达式，再利用换元法以及基本不等式求解最大值即可 【详解】)设能圆的标准方程为于号1，a>60),已知c=2,则心=4， 因为椭圆过点 -2 3 代人方程得到子忘1。 a2-b2=4 联立方程 4,2 解得d=6,b2=2, =1 a23b2 所以椭圆方程为上十 y2 621 (2) ①设直线AB的方程为x=y+2(m≠0)，A(:,y),B(x2,y2),P(x,%)，D(31,0),E(2,0) x=y+2 联立方程 兰+少-1得到(m+3列y2+4w-2=0, =1 6 2 -47 m2+3yy=、 -2 易知△=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0,y+y2= m2+39 直线AB的方程为y=,”(x-),直线BD的方程为y=,.(x-x): X1-X2 X,-X y=出K-x) 联立方程 1X2 y=业.k-x) X2-X1 解得x,=y+业=0，+2±+2-以+上3： +2 y+vz 1+y2 所以点P的横坐标为定值3. ②swBk-x=B-y-m-,-m以 9业2=1 而、 y1+y2 所以m少=(+)，则 01+.+片r可 J6(2+1) 2+3 22+6 6t-61615 令t=Vm2+1,则t>1,所以S知= 2F+22t+22224 当且仅当t=V反时，等号成立，所以△PAB面积的最大值为5 6.5分)已知椭圆CC1>与抛物线Bv=2D>0)的公共焦点为FL0,过点P且容案存在的 直线l与C交于P,Q两点，与E交于M,N两点，记直线OP,OQ,OM,OW(O为原点)的斜率分别为k,k, k3,4 (1)求C与E的方程： 11 (2)证明： 1为定值 【答案】Q)椭圆C的方程为二+y=1,抛物线B的方程为=4x (2)证明见解析 【分析】()根据题设椭圆及抛物线方程可得a-1=1,号=1，进而求解即可： (2)设直线：x=y+1(m≠O),P(x,),2(x2,),M(s,y),N(x,y4),联立直线1与椭圆方程，联立直线 1与抛物线方配，结合市达定理可钓店+大加，店点冬之，进而求运即可 34 (详解】()由题意得c-1上1，则a2=2,所以椭圆c的方程为，+y=1少 由题意得=1，则P=2,所以抛物线E的方程为y2=4x。 (2)证明：由题意可知直线1的斜率存在且不为0， 设直线1：x=y+1(m≠0)，P(,乃)，2(x2,y2),M(s,),N(x,y4), x2 联立2+少=1得(m2+22+2-1=0, x=y+1 -2m -1 则△=4r+4(m+2)=8(m+)>0,y+y=m+2'ym产+2 上+1-生+支=+1++1=2m+1+L=2m++2=2m+2m=4m 所以方+元片方片为 乃y2 2 y2=4x 联立 x=w+1 得y2-4y-4=0,则△=16m2+16>0, 所以y+y4=4m，y4=-4, 所4+6=尝名兰学=任4=4 (为y4 3y4 44 似店1为定 -1 17.(15分)已知椭圆：x+ 若+芳-〔a>b>0的离心本e=5,且经过点(0，O为坐标原点，斜率不为0的直 2