02-专题3 第1讲 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何表面积与体积计算核心考点，依据高考评价体系梳理了圆锥、圆柱、棱锥、球及组合体等考查内容。通过近五年真题分析明确体积计算占比达60%的高频考点，归纳出“公式应用”“空间转化”“最值求解”三类常考题型，体现备考针对性。 课件特色在于“真题引领+素养提升”，如2023全国甲卷三棱锥体积题，通过取中点构造辅助线、证线面垂直（数学思维），结合体积公式运算（数学语言）突破。设置“易错陷阱警示”，指导学生规避公式混淆等问题，帮助学生掌握空间想象（数学眼光）与运算技巧，助力教师精准复习。

第1讲 专题强化训练 1 ［A 基本技能］ 1.已知某圆锥的底面半径为1，高为 ，则它的侧面积与底面积的比值为 ( ) C A. B.1 C.2 D.4 解析：选C.圆锥的侧面积为 ，圆锥的底 面积为 ，即 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.（2024·北京模拟）在中， ， , ,则将 以 为轴旋转一周所形成的几何体的体积为( ) D A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 解析：选D.如图所示，过点C作于点D，则将以 为轴 旋转一周所形成的几何体是以为底面圆半径，分别以, 为高的两 个圆锥的组合体，因为 , ,，所以 ， 从而,，由等面积法得 ，即 ，解得 ，从而所求几何体的体积为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3.如图，在棱长为2的正方体中， ， 分别为棱，的中点，则四棱锥 的体 积为( ) B A. B.1 C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 解析：选B.方法一： . 方法二： . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 4.连接正四面体每条棱的中点，形成如图所示的多面体，则 该多面体的体积是原正四面体体积的( ) D A. B. C. D. 解析：选D.由题意可知，该多面体可看成正四面体截去 四个棱长为原正四面体棱长一半的小正四面体所得的正八面体，则 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 5.已知甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ， 侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 ( ) C A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 解析：选C.设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为， ，高分别为 ，，母线长为，侧面展开图的圆心角分别 ， ，因为 ，所以，又，，所以 ，又 ，所以，.由，得 ， ，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 6.（2023·全国甲卷）在三棱锥中， 是边长为2的等边三角 形，， ，则该棱锥的体积为( ) A A.1 B. C.2 D.3 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 解析：选A.如图，取的中点D，连接， ，因为 是边长为2的等边三角形， ，所以 ， ， 所以，又 ， 所以，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 ，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 7.在三棱锥中， 平面， .若 ， ，则该三棱锥体积的最大值为( ) D A.2 B. C.1 D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 解析：选D.因为 平面， 平面，所以 ， 又，，， 平面，所以 平面 ， 因为 平面，所以 . 在中，， ， 则 ， 因为 平面， 平面 ， 所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 在中，不妨设，，可得 ， 所以 ，当且仅当 且 ， 即 时，等号成立，所以 ，所以该三棱锥体积的 最大值为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 8.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点， .若线段 的最小值为 ，则( ) ABC A.正方体的外接球的表面积为 B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段的最大值为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 解析：选.设正方体的棱长为，则外接球的半径为 ，内切 球的半径为，因为， 分别为两球面上的动点，所以 ，所以 ，C正确； 所以，所以外接球的表面积 ，A正确； ，内切球的体积 ，B正确； ，D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 9.（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ，在轴截面中，，且 ，则 ( ) BCD A.该圆台的高为 B.该圆台轴截面面积为 C.该圆台的体积为 D.一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所 经过的最短路程为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析：选.如图1，作交于点 ，易得 ，则 ， 故圆台的高为 ，故A错误； 圆台的轴截面面积为 ，故B正确； 圆台的体积为 ，故C正确； 将圆台补成圆锥（图略），可得大圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，侧面展开图的圆心角 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 侧面展开图如图2，设为的中点，连接，可得 ， ， ， 则，从点C沿着该圆台的侧面爬行到 的中点， 所经过的最短路程为 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在棱长为2的正方体中，，分别为棱， 的 中点，则三棱锥 的体积为___. 1 解析：如图，由正方体棱长为2，得 ，又易 知为三棱锥的高，且 ，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 11.（2024·武汉四调）已知圆台的体积为 ，其上底面圆 的半 径为1，下底面圆 的半径为4，则该圆台的母线长为_____. 解析：设圆台的高为 ，则该圆台的体积 ，则 ， 作出圆台的轴截面如图所示， 上底面圆心为，下底面圆心为，，，过 作 于点，则，又 ， 所以圆台的母线长 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 12.如图，圆柱形开口容器（下底面密封），其轴截面 是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁 处出发，沿外壁先 爬到上口边沿再沿内壁爬到中点 处（容器厚度忽略不 计），则它所经过的最短路程为_______. 解析：半个侧面展开后得矩形，其中 ， ，问题转化为在上找一点，使 最 短，作关于的对称点，连接，令与 交于 点，则的最小值就是，为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 ［B 综合运用］ 13.（2024· 武昌质检）如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两 部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如 图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺 的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公 式为，其中是球的半径， 是球缺的高．已知该灯笼的 高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为 ，则该灯笼的 体积约为（注： ）( ) A. B. C. D. 图1 图2 B 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 解析：选B.该灯笼去掉圆柱部分的高为 ，则 ，由圆柱的底面圆直径为 ，得 ，即，可得 ，则 ， . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 14.在三棱锥中，线段上的点满足，线段 上的 点满足，则三棱锥和三棱锥 的体积的比值 为( ) B A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 解析：选B.如图， 由题意得 ,所以 （其中d为点A到平面PBC的距离， 因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d）. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 15.已知在一个表面积为24的正方体中，点在 上 运动，则当取得最小值时， ( ) A A.2 B. C. D. 解析：选A.作出图形，如图所示. 依题意，故，将平面 翻折至与平 面 共面， 易得 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 故当时，有最小值，此时，过点 作平面 的垂线，垂足为，连接 ， 则， ， 由余弦定理得 ， 则 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（多选）某工程师计划将一块边长为 的正方形铁片加工成一个无盖 正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形 的 中心重合，，，，，,,，分别是边，，， 上的三等 分点，且， ，将图中的四块阴影部分裁下来，用余 下的四个全等的等腰梯形和正方形 加工成一个无盖正四棱台，如图2 所示，则( ) A.该工程师可以加工出一个底面周长为 的正四棱台 B.该工程师可以加工出一个底面面积为 的正四棱台 C.该工程师可以加工出一个高为 的正四棱台 D.该工程师可以加工出一个侧棱长为 的正四棱台 图1 图2 𝐁𝐂𝐃 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 解析：选.令正四棱台的底面边长，高为 ，侧棱长 为，等腰梯形的高为 ， 则由题意可知， ， ，即 . 对于A，当正四棱台的底面周长为时，，不满足 ，故 A错误； 对于B，当正四棱台的底面面积为时， ．满足 ，故B正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 对于C，如图，当正四棱台的高为，即 时，记正四棱台的 上、下底面的中心分别为，，取，的中点，，连接 ， ，，，过点作于点，则 ， ， , 所以 ， 解得，则 ， 满足 ，故C正确； 对于D，如图，当正四棱台的侧棱长为 ，即 时， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点作于点 ， 则，， , 所以 ， 解得，则,满足 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $