01-专题3 第1讲 空间几何体-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何空间几何体专题，覆盖展开问题、表面积及体积三大核心考点，对接高考评价体系分析近三年真题，明确体积计算占比45%、表面积30%的高频考点，归纳圆台体积比、展开最短距离等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题研析+技法提炼”策略，如2024全国甲卷圆台体积题用高之比简化计算，培养学生数学思维。通过割补法、等体积法突破体积难点，结合正方体展开图最短距离题训练空间观念，助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习框架。

专题三 立体几何 第1讲 空间几何体 1 考情分析 备考关键 考点 空间几何体的展开问题，空间几何 体的表面积及体积. 考法 空间几何体的结构特征是立体几何 的基础，空间几何体的表面积和体积是 高考的重点与热点，多以选择题、填空 题的形式考查，难度中等偏上. 一是要熟练把握各种简单几何 体的结构特征，这是解决该部 分问题的基础；二是要准确记 忆几何体的表面积与体积计算 公式；三是灵活运用求体积的 方法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ，下底面半径 均为，圆台甲、乙的母线长分别为， ，则圆台甲与 乙的体积之比为_ __. 解析：两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比， 根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 2.（2023· 新课标Ⅰ卷）在正四棱台中， ， ， ，则该棱台的体积为_ ___. 解析：方法一：如图，连接,交于点 ,连 接，交于点，连接,则 即为正四棱 台 的高. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 过点作，垂足为 ， 则 ， 因为，， ， 则， ， 故，则 ，即 . 所以该棱台的体积 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 方法二：将正四棱台补成如图所示的正四棱锥，设 为正四棱台 上底面的中心， 连接,,则 平面 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 8 由，知，平面 为正四棱锥的中截面，故 ，,所以正四棱锥 的 高 ，故 .由棱锥的性质知 ， 故正四棱台的体积为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 9 3.（2024·高考北京卷）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛 五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱. 若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，，，且斛量器的高为 ，则斗量器的高 为____，升量器的高为_____ .（不计量器的厚度）． 23 57.5 解析：设升、斗量器的高分别为， ，升、斗、斛量器的容积 分别为，， ，因为升、斗、斛量器的容积成公比 为10的等比数列，所以 ，即 ,解得.又 ，即 ,所以 ，所以升、斗量器 的高分别为, . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 PART 02 第二部分 研考点 破重难 11 考点一 空间几何体的展开问题 空间几何体的侧面展开图 （1）圆柱的侧面展开图是矩形. （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 12 ［例1］ （1）（2024·浙江金丽衢十二校联考）已知圆柱轴截面的面积 为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值为_____. 【解析】 设圆柱的母线长和底面圆半径分别为， ，根据 已知得 ，由题意可得，圆柱侧面展开图的周长可以表示为 ，当且仅 当，即， 时，等号成立,故该圆 柱侧面展开图周长的最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 （2）如图，正方体的棱长为2，是 侧面 内一动点，且，则 的最 小值为_________. 【解析】 如图1，连接，，，易知 平面 . 因为，所以 平面 ， 即在线段上，将平面和平面沿着展开， 使得， ，， 四点共面，如图2. 又因为正方体的棱长为2，故 ， 故 . 图1 图2 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 空间几何体的最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形， 转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 ［对点训练］ 1.（2024·西安模拟）如图，这是一个正方 体的平面展开图，在该正方体中，下列结论正确的是 ( ) A A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 解析： 选A.如图所示，将展开图重新组合成正方体.显 然,因此A选项正确;由图易得，显然 与 所成角非直角，因此异面直线与 所成角也非直角， 所以 不成立，因此B,C选项不正确;由图易得 ，显然与相交，因此 不成立，因此D选项不正确. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 2.如图，已知圆锥的底面半径为1，母线，一只蚂蚁从 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 ，则蚂蚁爬行的最短 距离为( ) B A. B. C.6 D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 【解析】 选B.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形， 如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到 点A的最短距离为 ， 设 ，圆锥底面周长为 ， 所以 ，所以 ， 在中，由 和余弦定理， 得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 考点二 空间几何体的表面积 旋转体的侧面积和表面积公式 （1）<m></m>，<m></m>（<m></m>为底面半径，<m></m>为母线长）. （2）<m></m>，<m></m>（<m></m>为底面半径，<m></m>为母线长）. （3）<m></m>,<m></m>（<m></m>,<m></m>分别为上、 下底面半径，<m></m>为母线长）. （4）<m></m>（<m></m>为球的半径）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 ［例2］ （1）（2024·菏泽三模）已知圆台 的母线长为4，下底面 圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面的周长为16，则该圆台的表面 积为( ) C A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 【解析】 如图，作出圆台的轴截面 ， 设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是 ，故轴截面的周长为 ，解得，所以上、下底面圆的面积分别为 ， ，圆台的侧面积 ， 所以圆台的表面积为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 （2）如图，在正方体中，三棱锥 的表面积 与正方体的表面积的比为______. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 【解析】 设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥 为正四面 体，其每个面都是边长为 的正三角形，其表面积为 ,所以三棱锥 的表面积与正方体的表面积 的比为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 破解空间几何体的表面积问题的关键 （1）会转化：将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化. （2）会分类：能识别所给的几何体是规则的几何体，还是不规则的几何 体，还是简单的组合体. （3）用公式：对于规则的几何体或简单的组合体，只需利用公式即可求 解，需注意所求的是表面积还是侧面积；对于不规则的几何体，将所给几 何体割补成柱体、锥体、台体，先求出这些柱体、锥体、台体的表面积， 再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 ［对点训练］ 1. 已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆 锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为( ) C A. B. C. D. 解析： 选C.设圆锥底面圆的半径为，则圆锥的母线长 ，圆柱的 母线长等于圆锥的高，记圆锥和圆柱的侧面积分别为， ，则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 2.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可 以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体.已知正四棱台上底、 下底、侧棱的长度（单位： ）分别为2，6，4，正三棱柱各侧棱长度均 相等，则该结构的表面积（单位： ）为( ) A A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 解析： 选A.由题可得正三棱柱的底面积为 ，正三棱柱的外露表面积为 ，正四棱台侧面梯形的高为 ，正四棱台的外露表面积为 ，故该结构的表面积为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 考点三 空间几何体的体积 空间几何体的体积公式 （1）<m></m>（<m></m>为底面面积，<m></m>为柱体的高）. （2）<m></m>（<m></m>为底面面积，<m></m>为锥体的高）. （3）<m></m>（<m></m>，<m></m>分别为上、下底面面积，<m></m>为台体 的高）. （4）<m></m>（<m></m>为球的半径）. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 ［例3］ （1）（2024·天津卷）一个五面体 .已知 ,且两两之间距离为1， ，, ,则该五面体的体积为( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为 ，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成 一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积 等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为 ，底面是上底为1、下 底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 （2）（2024· 九省联考）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球 的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__.圆锥 的表面 积与球 的表面积的比值是___. 1 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 【解析】 设正三角形的边长为，则正三角形的高为，此时圆锥 的 底面半径为，母线长，高为，故圆锥 的体积 ，圆锥的表面积 . 因为正三角形的高与球的直径相等，所以球的半径，故球 的 体积，球的表面积 .因此，圆锥 的体积与球的体积的比值为，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 破解空间几何体的体积问题的常用方法 （1）公式法：对于规则几何体，可以直接利用公式求解. （2）割补法：把不规则的几何体割补成规则的几何体，便于计算其体积. （3）等体积法：当一个几何体的底面积和高较难求解时，可以用等体积法求 解.等体积法通过选择合适的底面来求几何体的体积，多用来求锥体的体积. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 33 ［对点训练］ 1.如图，在平面五边形 中， ， ， ，则五边形 绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积为( ) D A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 34 解析： 选D.由图可知，五边形 可看作正方形 切去一个等腰直角三角形 而得，即根据题意得 到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，设圆柱和圆锥的底 面半径分别为，，高分别为，，体积分别为， ， 所以五边形绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 35 2.（2024·阜阳模拟）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度 （单位： ）.气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分 如下： 24小时内降水量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个 上口直径为，底面直径为，深度为 的圆 台形水桶（轴截面如图所示）.若在一次降水过程中用此桶 C A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 接了24小时的雨水恰好是桶深的 ，则当日的降雨所属等级是( ) 二 轮 专 题 复 习 返回目录 36 解析： 选C.设上口半径为，底面半径为，桶深为，水面半径为 ， 则 ，降水量的体积 ，降水 深度为 ，属于大雨等级. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 37 3.在五面体中，正方形 所在平面与平面 垂直，四边形为等腰梯形， ， .若三棱锥的体积为 ， 则线段 的长为___. 4 二 轮 专 题 复 习 返回目录 38 解析：取的中点，连接 . 因为， ， 所以四边形 为菱形， 所以 ， 所以为直角三角形，所以 . 因为平面 平面， 平面 平面， 平面, ， 所以 平面 . 设，则， . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 39 由勾股定理得 ， 故 ， 解得,故 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 数学美 阿基米德几何体 ［问题背景］ 阿基米德几何体内涵和谐美妙的对称美，如图中的阿基米 德球与阿基米德多面体是教材推出的两个最美多面体，其中图1中的阿基 米德球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，有性质 ，图2中 的阿基米德多面体是过正方体共顶点的三条棱中点的八个截面截去八个相 同的三棱锥后得到的，它是一个十四面体——其中八个面为正三角形，六 个面为正方形.近年来与阿基米德几何体相似的高考数学试题成为了高考热 点之一，也是各地模拟题的常考题型，例如2024年新课标Ⅰ卷 是与阿基 米德球相似的问题. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 41 图1 图2 二 轮 专 题 复 习 返回目录 42 ［真题展示］ （2024· 新课标Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面 半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积 为( ) B A. B. C. D. 解析： 选B.设圆柱和圆锥的底面半径均为 ，因为它们的高 均为，且侧面积相等，所以 ， 得，所以圆锥的体积 ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 43 ［跟踪训练］ 如图，圆柱的下底面与定圆锥底面所在平面 重合，圆柱的上底面圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积 最大时，圆柱的体积与圆锥的体积之比为( ) A A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 44 解析： 选A.如图，设圆锥的底面半径为 ， 高为，圆锥母线 与圆柱上底圆周交于B.圆柱的上、下底面圆心分别为 ,，且设圆柱底面半径为，高为， , 则，即 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 45 所以 ， ， 所以当时，,此时 . .故选A. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 46 ［试题演变］ （多选）如图，阿基米德十四面体 的顶点均是正方体各棱 的中点，若正方体的棱长为1,则( ) AC A.的体积为 B. 的表面积大于5 C.的顶点在同一个球面上 D. 的各个面均与同一个球相切 二 轮 专 题 复 习 返回目录 47 解析： 选.由题意知，的棱长均为，对于A， 的体积为 ,A正确； 对于B，的表面积为 ,B错误； 对于C，由于的各顶点到正方体中心的距离为，故 的顶点都在以正方 体的中心为球心，半径为 的球面上，C正确； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 48 对于D,正方体的中心到的六个正方形面上的距离均为， 的八个正三角 形面的正三角形的重心（中心）到顶点的距离为 ，易 知正方体中心到的正三角形面的距离为，故 的各 个面不可能与同一个球相切，D错误. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 49 $