03-专题2 第2讲 数列的通项公式-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的通项公式”专题，覆盖由递推关系求通项、累加累乘法、构造新数列等核心考点，对接高考评价体系，分析出中档题占比60%的权重分布，归纳出选择填空及解答题第一问的常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+技法突破+素养提升”，以2022年全国乙卷、新高考Ⅰ卷真题为例，详解累乘法、构造等差数列等方法，培养学生数学思维与模型意识。特设“解题模板”与“易错警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第2讲 数列的通项公式 1 考情分析 备考关键 考点 由与 的关系求通项公式，累 加、累乘法求通项公式，构造新数列求 通项公式. 考法 由递推关系求通项公式是历年高 考命题常考的内容，属于中档题目，多 以选择题、填空题的形式考查，解答题 第一问多考查等差、等比数列的判定与 证明. 构造法是求数列通项公式的一种 重要方法，其总的思路是转化为 特殊的数列，转化方向有： （1）构造常数列；（2）构造等 差数列；（3）构造等比数列； （4）构造为可以利用累加法、 累乘法求和的数列． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探 测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与 地球绕日周期的比值，用到数列， ， ， ，依此类推，其中 .则( ) D A. B. C. D. 解析：选D.依题意，不妨令，则， ， ,,,，,,所以， ， ， ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 2.（2022·新高考Ⅰ卷节选）记为数列的前项和，已知, 是公差为 的等差数列． 求 的通项公式. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 解：依题意得， , , 所以 , 则 , 所以 , 即 , 所以 , 即 , 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 由累乘法得 , 又,则 , 所以 , 又 满足上式， 综上 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 PART 02 第二部分 研考点 破重难 9 考点一 由与 的关系求通项公式 ［例1］ 记为数列的前项和，已知， .求： （1）， ； 【解】当时,，得，解得 （舍去）或.当时， ，得 ，解得或（舍去）．故 ， ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 （2）数列 的通项公式． 【解】 当时， ， 又 , 所以 ，即 ．因为，所以 ，所 以，所以数列是首项为，公差为 的等差数列， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 11 由<m></m>与<m></m>的关系求<m></m>的思路 当已知数列<m></m>满足含有<m></m>,<m></m>的等式时，往往用<m></m>替换<m></m>得到一 个新的等式，然后两个等式相减，从而把前<m></m>项和转化为数列的项之间的 关系，再根据这个关系求解数列的通项公式. 注意 需验证<m></m>是否适合<m></m>,若不适合则应写成分段形式. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 12 ［对点训练］ 1.（2024·开封质量检测）已知数列的前 项和 ,则 ( ) B A.81 B.162 C.243 D.486 【解析】 选B.方法一（公式法）：当 时， .当 时， ,满足上式，所以.则 . 方法二（直接法）： . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 2.（2024·徐州模拟改编）已知数列的前项和为 ，且 ,,则 _________. 解析：方法一：由题意得， 当时，,可得 , 当时， , 所以,整理可得 , 即数列是首项为1，公比为的等比数列，则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 方法二：因为当时， ,所以 , 即 , 而,即 ， 则 , 因此数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以 , 则,则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 考点二 累加、累乘法求通项公式 ［例2］ （1）已知数列满足 ， ，则 _______________. 解析：因为 ， 所以当 时， . 经检验，当时上式也成立，故 ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 （2）设 是首项为1的正项数列，且 ,则 __________. 解析：方法一（累乘法）：将原式分解因式，得 . 因为是正项数列，所以 ， 所以,所以 , 所以 ,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 又因为,所以 , 当时也符合上式，故 . 方法二（逐项列举法）：由方法一，知 , 所以 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 方法三（等差通项法）：由方法一，知 ,则数列 是首项为 ，公差为0的等差数列，所以 ,所以 . 方法四（等比通项法）：由方法一，知 ,则 ,则数列是首项为 ，公比为1的等比数列，所 以,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 （1）型，可用“累加法”求 ,即 . （2）型，可用“累乘法”求 ，即 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 ［对点训练］ 已知数列满足,,则 ( ) D A.2 023 B.2 024 C.4 045 D.4 047 【解析】 选D.因为 , 所以 , 即,可得 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 考点三 构造新数列求通项公式 ［例3］ （1）在数列中，若,,则 _____. 解析：对取倒数得,即,所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，即 ,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 （2）已知数列满足,,则 _________. 解析：对题中等式两边取以10为底的对数可得 ,即 ,又,所以数列{ 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ， 即，即 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 （1）若数列满足 ,构造 . （2）形如的数列，取倒数可得 ,即 ,构造等差数列 求通项公式. （3）若数列满足 ，构造 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 24 ［对点训练］ 1.已知是数列的前项和， , ,则 _ __________________. 解析：因为 , 所以 . 所以从第二项起是公比为的等比数列，因为 ， 所以 , 即 , 所以 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 2.已知数列满足,且,则 ________. 解析：由题意得，,两边同时除以 可得 ,又,所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 $