01-专题2 第1讲 等差、等比数列-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦等差、等比数列专题，覆盖基本量运算、性质应用、判定与证明三大高考核心考点。依据高考评价体系，分析选择填空考查运算与性质、解答题首问聚焦通项及判定的考法，梳理高频题型如基本量“知三求二”问题，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于真题引领与素养导向，精选2024全国甲卷等真题，通过“整体思想求公差”等实例，培养数学思维与运算能力。如用函数思想分析等差数列与等比数列公共点问题，提炼“定义法证明”等技法，助力学生掌握答题技巧，也为教师提供系统复习框架，高效指导高考冲刺。

专题二 数列 第1讲 等差、等比数列 1 考情分析 备考关键 考点 等差、等比数列基本量的运算，等差、 等比数列的性质、判定与证明. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查等差 数列、等比数列的基本运算、性质，解答题的 第一问求数列的通项公式及等差、等比数列的 判断（证明）. 1.等差、等比数列基本运 算中的“整体思想与方程 思想”，性质研究中的“函 数思想”. 2.“定义法”证明等差、等 比数列. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和.已知 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 解析： 选B.由，得 ，所以 ， 所以，公差 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 2.（2024·北京卷）设与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数 列.记集合， ，给出下列四个结论： ①若与均为等差数列，则 中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则 中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则 中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是________. ①③④ 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 解析：对于①：由题知，是关于 的一次式，对应的函数为一次函数， 即点， 分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条直线最 多有1个交点，所以 中最多有1个元素，所以①正确; 对于②：不妨取，，则有 , ，所以，此时 中有无数个 元素，所以②不正确; 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 对于③：由①知点在一条斜率不为0的直线 上．设，当公比时，直线 与数列对应的函数的图象至多有2个公共点， 中 最多有2个元素；当时，点 在如图所示的 曲线，上，由图易知直线与曲线， 至多有 3个公共点，如当， 时，,,,两个数列有3项相同，所以 中最多有3个元素； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 8 当时，易知中最多有2个元素；当时，易知 中最多 有3个元素．综上可知，当为等差数列，为等比数列时， 中最多 有3个元素，所以③正确； 对于④：若数列为递增数列，数列 为递减数列，则它们对应的函 数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公共点最多有1 个，所以 中最多有1个元素，所以④正确．综上可知，正确结论的序号 为①③④． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 3.（2024·全国甲卷）记为等比数列的前 项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：因为 ， 所以 ， 两式相减可得 , 即，所以等比数列的公比为 . 因为，所以 ， 故 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 （2）求数列的前 项和. 解：因为，所以 , 设数列的前项和为,则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 11 PART 02 第二部分 研考点 破重难 12 考点一 等差、等比数列基本量的运算 1.通项公式 等差数列: ; 等比数列： . 2.求和公式 等差数列： ; 等比数列： 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 ［例1］ （1）（2024·黄山质量检测）已知是以 为公比的等比数 列，,,则 ( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 由题得， ,解 得 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 （2）（2024· 九省联考）记等差数列的前项和为, , ,则 ( ) C A.120 B.140 C.160 D.180 【解析】 设等差数列的公差为 , 由题得 解得所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 破解等差（等比）数列基本量问题的关键 等差（等比）数列<m></m>的通项公式及求和公式共涉及<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m> 五个基本量，可以通过列方程（组），达到“五量二式，知三求二”的目的. 注意 在等比数列的前<m></m>项和公式中，若不确定<m></m>是否等于1，应注意分 <m></m>和<m></m>两种情况讨论. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 ［对点训练］ 1.（2024·湖南九校联考）已知是等比数列，是其前 项和.若，，则 ( ) C A.2 B.4 C. D. 解析： 选C.设等比数列的公比为.由 可 得, . 由，可得,化简得,所以 ， 又因为,所以,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 2.（2024·蚌埠质量检测）记数列的前项和为,若 是等差数列， ，，则 ( ) C A. B. C.0 D.4 解析： 选C.设的公差为,则 , 所以 , 所以 ,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 考点二 等差、等比数列的性质 1.通项性质：若 ,则对于等差数列 ，有,对于等比数列 ，有 . 2.前 项和的性质 （1）对于等差数列有，，, 成等差数列；对于等比 数列有,,, 成等比数列（且 为偶数的情况除 外）. （2）对于等差数列，有 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 ［例2］ （1）（2023. 新课标Ⅱ卷）记为等比数列的前 项和，若 ，，则 ( ) C A.120 B.85 C. D. 【解析】 方法一：设等比数列的公比为，由题意易知 , 则 化简整理得 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 方法二：易知,,,, 为等比数列， 所以 , 解得或 . 当时，由,解得 ； 当时，结合得 化简可得 ，不成立，舍去. 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 （2）（多选）（2024·安徽六校测试）已知等差数列的前 项和为 ,,且 ,则( ) ABD A. B. C.当时，取最大值 D.当时， 的最小值为19 【解析】 对于A，由题得， , 由等差数列性质可得 , 即 . 因为,若公差,则，,不满足上述不等式，故 ,则 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 则, ,故A正确； 对于B，由A知，,,故, . 则,则 , 又,故，即 , 故B正确； 对于C，由,可得，, ,,，，， , 故当时， 取最大值，故C错误； 对于D，, , 由的单调性可得，当时，单调递减，所以当时， 的最 小值为19，故D正确. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 等差、等比数列的性质问题的求解策略 抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入 手选择恰当的性质进行求解 用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周 期性等，可利用函数的性质解题 二 轮 专 题 复 习 返回目录 24 ［对点训练］ 1.（2024·岳阳质量监测）已知 为等差数列， ,,则 ( ) C A.6 B.12 C.17 D.24 解析： 选C.设等差数列的公差为 , 由题知， ,解得 ,又由 ， 解得，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 2.（多选）（2024·东北三省四市模拟）设等比数列的公比为,前 项 和为,前项积为,并且满足,, ,则下列结论正确 的是( ) ABC A. B. C.的最大值为 D.的最大值为 解析： 选.因为,,所以等比数列的公比 且 ，则 没有最大值，所以D错误； 因为,,所以,且, ,所以A，C正确; 因为,所以 ,所以B正确. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 考点三 等差（比）数列的判定与证明 类别 等差数列 等比数列 定义法 通项法 中项法 前 项和法 （, 为常数） （为常数且 , ,1） 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 ［例3］ （2024·苏州适应性考试节选）已知数列的前项和为 ,对 任意正整数,总存在正数,,,使得, 恒成立；数列 的前项和为,且对任意正整数, 恒成立. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 （1）求正数,, 的值； 【解】因为 ,① 所以 ,② 得 , 即 , 又,所以 , 当时，;当时， . 因为,为正数，解得 . 又因为,,且,所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 （2）证明:数列 为等差数列. 证明：因为 ，③ 当时， ，④ 得 , 即 ，⑤ 方法一：又 ，⑥ 得 , 即 , 所以 为等差数列. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 方法二：当时，由 ， 得 , 即 , 所以, , 所以当时， , 因为当时，由得,所以,则当 时， 成立,所以,对恒成立，所以 为等差 数列. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 判定数列是等差（等比）数列的关键 （1）会转化：将所给的关系式进行变形、转化，利用等差（等比）数列 判定方法进行判定. （2）举反例：判定一个数列不是等差（等比）数列，只需说明某连续三 项不是等差（等比）数列即可. 注意 在解答题证明数列为等差（比）数列只能使用定义法或等差（等比） 中项法. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 32 ［对点训练］ （2024·长沙适应性考试）已知数列 满足 ,且 . （1）证明：数列 是等比数列； 证明：因为, , 所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 33 （2）求数列的前项和 . 解：由（1）可知， , 则 . 从而 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 34 $