培优专题05 空间向量与立体几何10大核心重难点题型（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

培优专题05 空间向量与立体几何核心重难点 题型1 空间向量的线性运算（重点） 题型6 已知线面角/二面角求参数（重点） 题型2 四点共面的推论及其应用（难点） 题型7 求线面角/二面角最值或范围（难点） 题型3 用数量积求模长/线段长度（重点） 题型8 用空间向量求立体几何中外接球问题（难点） 题型4 空间向量的数量积取值范围类（难点） 题型9 用空间向量求动点问题（难点） 题型5 用空间向量求点到直线/点到平面的距离（重点） 题型10 用空间向量求轨迹问题（难点） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的线性运算（共3小题） 1．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津四校联考（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 3．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 题型二 四点共面的推论及其应用（共3小题） 4．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 5．(25-26高二上·广东江门新会区名冠实验学校·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    6．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 题型三 用数量积求模长/线段长度（共3小题） 7．(24-25高二上·广西南宁·期末)在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 8．(24-25高二上·广东汕尾·)两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河南南阳·期末)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型四 空间向量的数量积取值范围类（共3小题） 10．(24-25高二上·上海宜川中学·期末)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 11．(25-26高三·上海七宝中学·)已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 12．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型五 用空间向量求点到直线/点到平面的距离（共3小题） 13．(24-25高二上·浙江金华十校·期末)已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 14．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)在四面体ABCD中，，，点E在棱CD上，，F是BD的中点，若，则 ；点F到平面EAB的距离是 ． 15．(24-25高三下·浙江湖州县域联盟·月考)已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 题型六 已知线面角/二面角求参数（共3小题） 16．(25-26高二上·山西临汾第一中学校·月考)如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．    (1)求证：； (2)当与平面所成角取得最大值时，求； (3)若二面角的余弦值为，求． 17．(24-25高二上·广东肇庆·期末)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面，平面与平面的交线为． (1)证明：； (2)已知，点是上一动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 18．(24-25高二下·福建龙岩·期末)如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 题型七 求线面角/二面角最值或范围（共3小题） 19．(24-25高二上·贵州六盘水·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 20．(24-25高一下·四川南充·)如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点.将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点.    (1)当为的中点时. ①求证：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. (2)若，求二面角的正弦值的取值范围. 21．(24-25高二下·云南楚雄彝族楚雄等5地·期末)如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 题型八 用空间向量求立体几何外接球问题（共3小题） 22．(25-26高二上·安徽皖南八校·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上的动点（不与点，重合），且满足，实数. (1)当时，证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)求四面体的外接球半径的取值范围. 23．(24-25高二上·内蒙古赤峰赤峰二中·月考)如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点.    (1)是否存在一点，使得 面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； (2)若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的外接球半径的最小值. 24．(25-26高二上·安徽马鞍山第二中学·)在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 题型九 用空间向量求动点问题（共3小题） 25．(25-26高二上·广东深圳深圳盟校·期中)【多选题】在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 26．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)【多选题】在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为线段 B．当时，有且仅有一个点P使得 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点P使得平面 27．(25-26高二上·四川达州外国语学校·期中)【多选题】如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．三棱锥外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 题型十 （用空间向量求轨迹问题共3小题） 28．(25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是 ． 29．为单位正方体的中心，为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是 ． 30．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（    ）    A． B． C． D． $培优专题05 空间向量与立体几何核心重难点 题型1 空间向量的线性运算（重点） 题型6 已知线面角/二面角求参数（重点） 题型2 四点共面的推论及其应用（难点） 题型7 求线面角/二面角最值或范围（难点） 题型3 用数量积求模长/线段长度（重点） 题型8 用空间向量求立体几何中外接球问题（难点） 题型4 空间向量的数量积取值范围类（难点） 题型9 用空间向量求动点问题（难点） 题型5 用空间向量求点到直线/点到平面的距离（重点） 题型10 用空间向量求轨迹问题（难点） 21 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的线性运算（共3小题） 1．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．(24-25高二上·天津四校联考（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 3．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 题型二 四点共面的推论及其应用（共3小题） 4．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 5．(25-26高二上·广东江门新会区名冠实验学校·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 6．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【分析】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 题型三 用数量积求模长/线段长度（共3小题） 7．(24-25高二上·广西南宁·期末)在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量加法的几何意义有，再由向量数量积的运算律求的长. 【详解】如下图，， 所以 ， 所以. 故选：C. 8．(24-25高二上·广东汕尾·)两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长即可求解. 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 9．(24-25高二上·河南南阳·期末)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 题型四 空间向量的数量积取值范围类（共3小题） 10．(24-25高二上·上海宜川中学·期末)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 11．(25-26高三·上海七宝中学·)已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，结合配方法求出最小值. 【详解】依题意， ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 12．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 题型五 用空间向量求点到直线/点到平面的距离（共3小题） 13．(24-25高二上·浙江金华十校·期末)已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 14．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)在四面体ABCD中，，，点E在棱CD上，，F是BD的中点，若，则 ；点F到平面EAB的距离是 ． 【答案】 0 【分析】利用空间向量的线性运算表示，根据空间向量基本定理得到的值即可得到的值；以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合点到平面的距离公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴， ∵，∴，，， ∴． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面EAB的法向量为，则， 取，则，，∴， ∴点F到平面EAB的距离是． 故答案为：0；. 15．(24-25高三下·浙江湖州县域联盟·月考)已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离 . 故答案为： 题型六 已知线面角/二面角求参数（共3小题） 16．(25-26高二上·山西临汾第一中学校·月考)如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．    (1)求证：； (2)当与平面所成角取得最大值时，求； (3)若二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）连接，证得和，利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而证得. （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和，设且，求得向量，结合向量的夹角公式，得到，令，利用函数的单调性，即可求解； （3）由（1）知，平面的法向量为，且，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 又因为且为的中点，所以， 由，且平面，所以平面， 又由平面，所以. （2）解：因为，且，可得， 又因为为的中点，所以， 在直角中，由，可得， 所以，可得， 因为，且，平面，所以平面， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设，因为，可得， 可得，即，所以， 又因为为上的动点，设且，且， 可得，解得， 即，所以， 设与平面所成角为，则， 设，当时，取得最小值， 所以当时，取得最大值，即与平面所成角取得最大值， 即，且，所以. （3）解：由（1）知，平面的法向量为，且， 所以，且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为，可得， 因为二面角的余弦值为，所以， 整理得，解得或， 又因为且， 当时，可得；当时，可得， 即的长为或.    17．(24-25高二上·广东肇庆·期末)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面，平面与平面的交线为． (1)证明：； (2)已知，点是上一动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质得到. （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据写出点的坐标，从而得到平面的一个法向量，进而根据与平面所成角的正弦值为解出的值，得到. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （2）因为，平面平面，平面平面. 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 在平面内，与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则． ， 由（1）知，点在上且过点，故设， ， 设平面的一个法向量为， 则 取得，所以． 设与平面所成角为， 则， 解得，所以． 【点睛】方法点睛：线面平行的判定定理和性质定理 线面平行的判定定理：； 线面平行的性质定理：. 18．(24-25高二下·福建龙岩·期末)如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 题型七 求线面角/二面角最值或范围（共3小题） 19．(24-25高二上·贵州六盘水·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明平面PAD可完成证明； （2）过A点做平面ABCD的垂线，建立以A原点的空间直角坐标系，设，由空间向量知识可得关于的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因平面平面ABCD，，平面平面ABCD， 平面ABCD，则平面PAD，又平面PAD，则； （2）由（1）可得平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E， 连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 由题目数据可得：. 设，其中，则， 又，，则. 由题可得平面ABCD的法向量可取， 则， 则当时，取最小值，则. 即的最大值为. 20．(24-25高一下·四川南充·)如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点.将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点.    (1)当为的中点时. ①求证：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. (2)若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)①证明见解析；②； (2). 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）法一：由题设，令，根据几何关系法，结合余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围；法二：构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； ②由平面，平面，则，且 同理可得，则，故， 由， 若到平面的距离为，则，可得，而， 所以直线与平面所成角的正弦值； （2）法一：由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则； 法二：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，    所以，若是平面的一个法向量， 所以，令，则， 而平面的一个法向量为，则， 而，则，故， 所以，故二面角的正弦值范围. 21．(24-25高二下·云南楚雄彝族楚雄等5地·期末)如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接，设，连接，由线面平行的判定即可证明； 证法二：设的中点分别为，连接,由线面平行的判定及性质即可证明；． （2）建立空间直角坐标系，由面面角余弦的向量公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）证法一：连接，设，连接． 在中，分别是的中点，所以． 在中，分别是的中点，所以，则． 因为平面，平面，所以平面． 证法二：设的中点分别为，连接,如图所示． 因为， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，且，则． 设，则，即， 则． 设平面的法向量为，则， 所以可取． 易得平面的一个法向量为． ． 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故二面角的余弦值的最大值为． 题型八 用空间向量求立体几何外接球问题（共3小题） 22．(25-26高二上·安徽皖南八校·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上的动点（不与点，重合），且满足，实数. (1)当时，证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)求四面体的外接球半径的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解； （3）将四面体补成长方体，根据长方体的外接球就是四面体的外接球，结合点的位置确定外接球半径的取值范围. 【详解】（1）由题知在直三棱柱中，平面，平面，所以，当时，为中点，由题知为等腰直角三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，即平面EBC. （2）在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 又，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的一个法向量为， 又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为 . （3）设四面体的外接球球心的坐标为，半径为， 则， 故， 则，所以外接球球心I的坐标为， 又，代入得， 即，则，， 当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，，当时，取得最小值为， 当时，，所以，所以， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 23．(24-25高二上·内蒙古赤峰赤峰二中·月考)如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点.    (1)是否存在一点，使得 面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； (2)若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G为的中点，证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）当点为的中点，使得 面，用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设 ，求出平面的一个法向量，由线面角的向量法求得，确定的位置，再利用体积法转换后计算体积； （3）用向量法证明与平面垂直，证得三棱锥的外接球的球心在线段上，设，设，由，求得的关系，从而求得的范围，再由此求得半径的最小值． 【详解】（1）存在一点，当点为的中点，使得 面， 连接，如图所示：   点分别是的中点， ，又 ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，且平面 平面. （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，连接，    则， 设 ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面CFG所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去）， 为中点，取中点，则，因此在平面内，且， 所以； （3） 因为 所以即 因为平面平面，，所以平面， 又因为，所以与平面的交点是的外心，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球球心为， 设，则的坐标为，设， 则，即， 所以，设，则， 则， 而，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以， 三棱锥的外接球的半径， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为. 【点睛】方法点睛：立体几何中涉及空间角、距离问题，常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角和距离，此种方法把困难的空间想象转化为计算，减少了学生的思考难度，但对计算能力要求较高． 24．(25-26高二上·安徽马鞍山第二中学·)在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； （3）根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【详解】（1）∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴； （2） 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得，即平面的一个法向量为， ∴点M到平面PBC的距离为． （3）存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或， ∴当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 题型九 用空间向量求动点问题（共3小题） 25．(25-26高二上·广东深圳深圳盟校·期中)【多选题】在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 26．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)【多选题】在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为线段 B．当时，有且仅有一个点P使得 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点P使得平面 【答案】ACD 【分析】对于A，利用平面向量共线的充要条件推论可判定； 对于B，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于C，先确定点的运动轨迹，结合定高定底来判定体积是否为定值； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，， 所以，此时三点共线， 即线段，故A正确； 对于B，当时，， 取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段， 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，， 则，， ，显然始终不成立，故B错误； 对于C，当时，，取，中点为． 故此时点轨迹为线段，而，所以的面积不变， 又到平面的距离为定值，所以该三棱锥的体积为定值，故C正确． 对于D，当时，同上易知P点轨迹为线段．， 所以，， 若平面，所以， 此时存在且唯一，故D正确． 故选：ACD． 27．(25-26高二上·四川达州外国语学校·期中)【多选题】如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．三棱锥外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AD 【分析】先根据面面平行的判定定理证得平面平面，即可判断A正确；根据A的结论将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，求出体积即可判断B；根据三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，求得其体积，可判断C；设，根据线面角的向量求法，用表示出直线与平面所成角的正弦值，即可求得其最大值，判断D. 【详解】对于A选项，连接、、如图所示：在正四棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，B错； 对于C选项，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径， 设三棱锥的外接球半径为，则， 因此三棱锥外接球的体积为，C错； 对于D选项，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，则， 设，则，即，其中， ， 因为平面，，所以易得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故时，取最小值，则有最大值为，D对. 故选：AD. 题型十 （用空间向量求轨迹问题共3小题） 28．(25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平面向量给出的两个性质得出的轨迹分别为球体和平面，建立空间直角坐标系，结合图形计算点面距离即可. 【详解】由条件给出的向量性质可类比得出时，动点P的轨迹是以为直径的球体， 设在上的投影为F，由数量积的几何意义可知， 则，即动点Q的轨迹是垂直于且到的距离等于2的平面， 如下图所示， 建立空间直角坐标系，取中点M，则, 所以, 易知，， 又,可取为平面的一个法向量， 则到平面的距离， 由图形易知当三点共线，且平面时，此时. 故答案为： 29．为单位正方体的中心，为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是 ． 【答案】/ 【分析】建系利用坐标法求动点的轨迹进而可得. 【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，因为，所以， 所以，即. 面可表示为，所以，无解   面可表示为，所以，无解; 面可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面，可表示为，所以，点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 面，可表示为，所以，轨迹为以为端点的线段，长度为； 所以点的轨迹总长度： 故答案为： 30．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目建立空间直角坐标系，再利用题干给出的条件列方程，找出轨迹端点进而算出轨迹长度. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，    设平面的法向量为，则，令，则，，故， 设，则，，， 又，，整理得， 联立方程，则，可得，解得， 当时，；当时，， 记的中垂面为，又是内（包括边界）的动点， 在空间中满足， 点的轨迹是平面与三角形的公共部分， 即点的轨迹为线段,则, 故选：. $