6.1.3全概率公式（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦样本空间划分、全概率公式及贝叶斯公式，通过复习乘法公式和互斥事件导入，以样本空间划分为桥梁构建“回顾-探究-应用”学习支架，衔接前后知识形成完整脉络。 其亮点是以摸球、元件次品率等现实问题为载体，通过追问引导学生抽象数学模型培养数学眼光，推导中强化逻辑推理发展数学思维，公式应用与符号表达提升数学语言能力。典例分析对比“由因导果”与“执果溯因”，助学生理解知识本质，既利学生建立联系，也为教师提供高效教学流程。

6.1.3全概率公式 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解样本空间的 “划分” 概念，掌握全概率公式的推导与应用条件. 能运用全概率公式解决 “由原因推结果” 的概率问题. 理解贝叶斯公式的意义，会用其解决 “由结果溯原因” 的概率问题. 知识回顾 问题1：乘法公式的形式是什么？ 互斥事件是 “不能同时发生” 的事件；这组事件覆盖所有可能，且两两互斥. 问题2：什么是 “互斥事件”？若B1,B2,…,Bn两两互斥，且B1∪B2∪…∪Bn = Ω，这组事件有什么特点？  新知探究 探究1：样本空间的划分 (1)BiBj= ∅,其中i≠j(i,j=1,2,…,n), (2)B1∪ B2∪…∪ Bₙ=Ω, 设Ω是试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一组事件，若 追问1： 条件(1)具有什么意义？ 追问2：条件(2)具有什么意义？ 条件(1)表示每次试验B1,B2,…,Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1,B2,…,Bn必有一个发生. 则称B₁,B₂,…,Bn为样本空间Ω的一个划分. 追问3：若事件A能且只能与划分B1,B2,…,Bn中的一个同时发生，P(A)可以如何表示？ P(A)= P(AB1) + P(AB2) + … + P(ABn) 新知探究 问题1：如图,有三个箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 探究2：全概率公式 1 2 3 追问1：分别直接从1号,2号,3号箱中任意摸出一球，求各情况取得红球的概率； p1 = ； 追问2：先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球包含哪些情况？ p2 = ； p3 = = 1. 红球取自1号箱； 红球取自2号箱； 红球取自3号箱. 新知探究 问题1：如图,有三个箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 探究2：全概率公式 分析 设事件B表示“球取自i号箱”(i=1,2,3), 事件A表示“取得红球”, 其中B₁,B₂,B₃两两互斥， 即A=B₁A∪B₂A∪B₃A, A发生总是伴随着B₁,B₂,B₃之一同时发生， 且B₁A,B₂A,B₃A两两互斥. 运用互斥事件概率的加法公式得到 P(A)=P(B₁A)+P(B₂A)+P(B₃A), 再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+P(B₃)P(A|B₃) = 1 2 3 因此取得红球的概率为 新知探究 问题2：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如右表的数据： 分析 设事件B表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i=1,2,3), 探究2：全概率公式 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率. 事件A表示“取到的是一件次品”.其中B₁,B₂,B₃两两互斥， A发生总是伴随着B₁,B₂,B₃之一同时发生. 即A=B₁A∪B₂A∪B₃A,且B₁A,B₂A,B₃A两两互斥. 运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 新知探究 问题2：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如右表的数据： 探究2：全概率公式 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率. 运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(B₁A)+P(B₂A)+P(B₃A) =P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+P(B₃)P(A|B₃) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.0125. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125. 新知探究 问题1： 从上述两个问题可以看出，某一事件A的发生有各种可能的原因， 1 2 3 问题2： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 若A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起,则A发生的概率是P(AB)=P(Bi)P(A|Bi), 由于每一个原因都可能导致A发生,且各原因涵盖所有可能的情形并彼此互斥, 故事件A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即 探究2：全概率公式 新知探究 设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对任意一个事件A有 追问1： 使用全概率公式的关键是什么？ 追问2：全概率公式的本质是什么？ 找到样本空间的合理划分（即事件A的所有可能 “原因”）. 事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均. 称上式为全概率公式. 探究2：全概率公式 典例分析 解 设事件B₁表示“取到的是含有4个次品的包”, 事件A表示“采购员拒绝购买”. 事件B₂表示“取到的是含有1个次品的包”, 则B₁,B₂构成样本空间的一个划分， 且P(B₁)=,P(B₂)=. 又由古典概型计算概率的公式，可知 P(A|B₁)=, 例1 采购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率. P(A|B₂)=. 从而由全概率公式，可知 P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂) = ×+× = . 因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为. 典例分析 例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.若飞机被一人击中，则被击落的概率为0.2;若被2人击中，则被击落的概率是0.6;若被三人击中，则飞机必定被击落.求飞机被击落的概率. 解 设事件A表示“飞机被击落”, 则B₀,B₁,B₂,B₃构成样本空间的一个划分, 且依题意P(A|B₀)=0,P(A|B₁)=0.2, 事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3), P(A|B₂)=0.6,P(A|B₃)=1. 再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i=1,2,3). 则P(B₁)=P(₁ ₃∪₁₂₃∪₁₂₃) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 =0.36. 同理P(B₂)=P(₁ ₃∪₁₂₃∪₁₂₃) =0.41. P(B₃)=P(₁ ₃) =0.14. P(B₀)=P(₁ ₃) =0.09. 由全概率公式,可知 P(A)=P(B₀)P(A|B₀)+P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+P(B₃)P(A|B₃) =0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458. 因此，飞机被击落的概率为0.458. 例题精讲 新知探究 运用全概率公式的一般步骤 (1)求出样本空间Ω的一个划分B₁,B₂,…,Bn; (2)求P(Bi)(i=1,2,…,n); (3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n); (4)求目标事件的概率P(A). 可以形象地把全概率公式看成“由因导果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.在实际中，还有一类问题是“已知结果求原因”.这类问题更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生的可能性大小. 典例分析 例3 如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大. 解 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2,3), 由全概率公式，可得 P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+P(B₃)P(A|B₃) 1 2 3 事件A表示“取得红球”. = ×+×+×=· 再由条件概率知， P(B₁|A) = = = . P(B₂|A) = = = . P(B₃|A) = = = . 因此，该球是取自1号箱的概率为,该球取自3号箱的可能性最大. 新知探究 探究3：贝叶斯(Bayes)公式. 设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则 追问1： 贝叶斯公式中的分母和分子分别对应什么？ 追问2：贝叶斯公式的思想是什么？ 分母是全概率公式的结果(结果A发生的总概率)； 分子是 “原因Bi导致结果A” 的概率. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率，贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”. 称上式为贝叶斯(Bayes)公式. 课堂小结 1.基本知识： 样本空间的划分： 全概率公式： 基本方法： 基本思想： 贝叶斯公式： 由因推果 执果溯因 化整为零思想 积零为整思想 两两互斥、覆盖全部 全概率公式： 贝叶斯公式： 基础作业： 课本194页练习第1，2题． 拓展练习： 课本习题6-1A组第7题． 布置作业 感谢聆听! $