专题28.1 锐角三角函数（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的概念及易错点，通过17个考点分层构建学习支架，从概念辨析、特殊角求值到综合应用，衔接中考真题与难度分层练，形成完整知识脉络。 资料亮点在于考点细化与情境融合，如利用正方形网格求正弦值培养几何直观（数学眼光），结合圆、菱形等图形的综合题提升推理能力（数学思维），分层练习助力学生用数学语言解决问题（应用意识），课中辅助系统教学，课后帮助查漏补缺。

专题28.1 锐角三角函数 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：正弦的概念辨析 3 考点2：求角的正弦值 3 考点3：已知正弦值求边长 4 考点4：求角的余弦值 4 考点5：余弦的概念辨析 4 考点6：已知余弦求边长 5 考点7：求角的正切值 6 考点8：正切的概念辨析 6 考点9：已知正切值求边长 7 考点10：特殊三角形的三角函数 8 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 9 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 9 考点13：用计算器求锐角三角函数值 9 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 10 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 11 考点16：利用同角三角函数关系求值 11 考点17：三角函数综合 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 16 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【变式训练】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（2024·湖南长沙·二模）【问题背景】如图，在边长为的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值．小马同学是这样解决的：连接格点、可得，则，连接，那么就变换到中．则的值为______； 【探索延伸】如图，在边长为的正方形网格中，和相交于点，求的值． 【变式训练】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·陕西渭南·二模）如图，正六边形的周长为12，交CD的延长线于点，则的长为 ． 【变式训练】（2025·云南昆明·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，以为直径作交、于点D、E，且D是的中点，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·贵州·二模）在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，将边绕点逆时针旋转至的位置，连接，，，若，且，则的面积为 ． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）在正方形中，是的中点，是上异于的点，且，求的值（　　） A． B． C． D． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·河南南阳·二模）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图所示，请根据图中信息，解答如下问题： (1)求反比例函数表达式； (2)画出此反比例函数图象的另一个分支； (3)直接写出点的坐标． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P． (1)如图1，若抛物线过原点，求抛物线的解析式； (2)如图2，动直线经过（1）中抛物线的顶点，与其交于另一点C，与y轴交于点B，若，求出B点坐标； (3)如图3，若，直线交抛物线y于点Q，令点Q到x轴的距离为d， ①请直接写出d关于a的函数关系式_________； ②令直线与y轴的夹角为，当时，d的取值范围是_________． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式训练】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中．．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，点是线段中点．将点、点同时绕点按逆时针方向旋转得到点、点，连结，得到． (1)当点运动到边的中点时，的长是______； (2)当时，点运动的路径长为______； (3)当时，求值； (4)在点（点不与点、重合）的运动过程中，当为直角三角形时，直接写出此时的值． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【变式训练】（2023·广东茂名·模拟预测）计算：． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）计算：． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）计算： 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【变式训练】（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 考点13：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·广东深圳·二模）（1）计算：． （2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程： 小玉：原式 …… 小强：原式 …… (1)小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上． (1)求k的值． (2)已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)． (3)求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由． (4)直接写出与的数量关系． 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（2024九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 考点16：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西西安·月考）（1）； （2）． 【变式训练】（2024·河南开封·一模）计算： (1)； (2)． 考点17：三角函数综合 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 【变式训练】（2025·甘肃平凉·三模）如图，抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接，E是的中点，过点E作直线轴，垂足为G，交抛物线于点F，过点F作于点N，与x轴交于点M．求线段的长； (3)连接，点H为线段上一动点，点J在x轴上，在右侧作平行四边形． ①如图②，当平行四边形为菱形，且点I在抛物线上时，求点I的坐标； ②如图③，当点H为的中点时，连接，，求的最小值． 1．（2024·广东·中考真题）中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）．证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．连接，若，，则的值为 ． 2．（2024·福建·中考真题）如图，标号为，，，的四个直角三角形和标号为的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，和分别是等腰和等腰，和分别是和，是正方形，直角顶点，，，分别在边，，，上．若，则的值是 ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，，切于，两点，切于点，分别交，于，，且，若的周长是半径的6倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2024·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级下·上海·阶段练习） 5．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）计算： ． 6．（24-25九年级下·四川内江·期中）求值： ． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 8．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组： 9．（2025·甘肃定西·一模）计算：． 10．（2025·江西抚州·二模）（1）计算：； （2）如图，，，，求证：． 培优拔高 11．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 12．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 13．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，已知菱形的顶点在圆上，将菱形绕点顺时针旋转至菱形，其中点落在圆弧上，连结，若，则 ． 15．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 16．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠与直径交于点D．若则 ． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 18．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A、B（点A在点B右侧），交y轴于点C，且满足． (1)用含a与c的代数式表示b； (2)过点C作交抛物线于点D． ①若，，求点D的坐标； ②连接，以、为边作矩形，连接对角线．若，求b的值． 19．（2025·上海·模拟预测）如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，且满足（参考材料：．） (1)设，，求证：； (2)连接交于，交于．求证：． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点． (1)求证； (2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明． ①；②；③． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 锐角三角函数 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：正弦的概念辨析 3 考点2：求角的正弦值 4 考点3：已知正弦值求边长 6 考点4：求角的余弦值 7 考点5：余弦的概念辨析 8 考点6：已知余弦求边长 11 考点7：求角的正切值 12 考点8：正切的概念辨析 14 考点9：已知正切值求边长 19 考点10：特殊三角形的三角函数 25 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 26 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 27 考点13：用计算器求锐角三角函数值 28 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 29 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 33 考点16：利用同角三角函数关系求值 34 考点17：三角函数综合 35 中考真题 实战演练 41 难度分层 拔尖冲刺 47 基础夯实 47 培优拔高 51 知识点梳理01：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【易错点拨】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 考点1：正弦的概念辨析 【典例精讲】（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【规范解答】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 【变式训练】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【规范解答】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 考点2：求角的正弦值 【典例精讲】（2024·湖南长沙·二模）【问题背景】如图，在边长为的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值．小马同学是这样解决的：连接格点、可得，则，连接，那么就变换到中．则的值为______； 【探索延伸】如图，在边长为的正方形网格中，和相交于点，求的值． 【答案】（1）3；（2）． 【思路点拨】（1）在中，利用正切函数的定义求出即可； （2）如图，连接，，作于先证明四边形是平行四边形，得出，那么利用割补法求出的面积，由勾股定理求出，那么根据三角形的面积公式得出，然后利用正弦函数定义求出即可． 【规范解答】解：（1）如图， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，连接，，作于． ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的面积， ， ， ， ， ． 【变式训练】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 考点3：已知正弦值求边长 【典例精讲】（2025·陕西渭南·二模）如图，正六边形的周长为12，交CD的延长线于点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正六边形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是求出正六边形的边长，并利用其内角性质得出相关角度，再结合直角三角形的性质求解． 先根据正六边形周长求出边长，再确定其内角大小，进而得出中的度数，最后利用含角的直角三角形的性质求出的长． 【规范解答】正六边形的周长为12， 其边长， ， ， 在中， ， ，已知，则， ． 故答案为：． 【变式训练】（2025·云南昆明·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】C 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，如图，过点作于点C，根据平行线的性质得到，利用正弦的定义求出，再根据无理数的估算，估算出，即可得出结果． 【规范解答】解：如图，过点作于点C， 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴重合部分构成的菱形的边长大约在到之间． 故选：C． 考点4：求角的余弦值 【典例精讲】（24-25九年级下·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【规范解答】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，，， ． 故选项D符合题意． 故选：D． 考点5：余弦的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，以为直径作交、于点D、E，且D是的中点，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接、，由直径所对的圆周角是直角可得，由是的中点可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，再结合，利用可证得，于是可得，再结合，可知是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，则，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）连接，由（1）得，于是可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由此可证得，于是可得，进而可得，在中，由可得，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：如图，连接、， 是直径， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图，连接， 由（1）得：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【变式训练】（2025九年级下·浙江·专题练习）比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：. 考点6：已知余弦求边长 【典例精讲】（2025·贵州·二模）在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据余弦的定义得出与的比值，设未知数后利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 【变式训练】（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，将边绕点逆时针旋转至的位置，连接，，，若，且，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由，利用等角的三角函数值相等，由的三角函数值，在中解三角形，求出，在中解三角形中解三角形求出，最后代入面积公式即可． 【规范解答】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， 又 ∴ ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点7：求角的正切值 【典例精讲】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【规范解答】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）在正方形中，是的中点，是上异于的点，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据平行线的性质及等腰三角形的判定得到，再根据平行线的性质及全等三角形的判定与性质得到，，最后利用勾股定理列方程即可解答． 【规范解答】解：延长交于点，过作，如图所示： ∵，     ∴． ∵，     ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，，，         ∴， ∴，， ∴，，     ∴． 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去） ∴在中，． 故选：A． 考点8：正切的概念辨析 【典例精讲】（2025·河南南阳·二模）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图所示，请根据图中信息，解答如下问题： (1)求反比例函数表达式； (2)画出此反比例函数图象的另一个分支； (3)直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题考查反比例函数的图像和性质、反比例函数与几何图形的综合，锐角三角函数等知识． （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）求出反比例函数第四象限内的两个点的坐标，然后画出反比例函数图像即可． （3）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【规范解答】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：当时，则，记作点 当时，则，记作点， 然后画出此反比例函数图象第四象限上的分支即可． （3）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P． (1)如图1，若抛物线过原点，求抛物线的解析式； (2)如图2，动直线经过（1）中抛物线的顶点，与其交于另一点C，与y轴交于点B，若，求出B点坐标； (3)如图3，若，直线交抛物线y于点Q，令点Q到x轴的距离为d， ①请直接写出d关于a的函数关系式_________； ②令直线与y轴的夹角为，当时，d的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)或 (3)①（）；② 【思路点拨】（1）根据抛物线经过原点，可得，求出a的值，即可解答； （2）根据抛物线的解析式得到顶点，令，得到．分两种情况讨论：①点B在y轴的正半轴时，由，得到点B为的中点，从而，把点代入抛物线，即可求出b的值，进而得到点B的坐标；②点B在y轴的负半轴时，由得到，从而，同①方法即可求解； （3）①求出抛物线顶点的坐标为，运用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立抛物线与直线的函数解析式组成方程组，求解得到点Q的坐标，即可解答； ②设直线与y轴交于点F，过点作轴于点E，在中，求得，根据，得到，即，进而根据即可求得． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， ∵直线与y轴交于点B， ∴令，则， ∴， ①若点B在y轴的正半轴时， ∵， ∴点B为的中点， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； ②若点B在y轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点B的坐标为或． （3）解：①∵抛物线， ∴顶点的坐标为， 设过点，的直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 解方程组得或， ∴， ∴点Q到x轴的距离为（）； ②设直线：与y轴交于点F，则， 过点作轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴当时，d随a的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴d的取值范围是． 故答案为：①（）；②． 考点9：已知正切值求边长 【典例精讲】（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【思路点拨】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于，先证明，得到，再证明，得到，则四边形是菱形，得到，，在中， ，，，求出，，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中．．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．连接，点是线段中点．将点、点同时绕点按逆时针方向旋转得到点、点，连结，得到． (1)当点运动到边的中点时，的长是______； (2)当时，点运动的路径长为______； (3)当时，求值； (4)在点（点不与点、重合）的运动过程中，当为直角三角形时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理得出结果； （2）点运动的路径是的中位线，即可求解； （3）作于，作，交的延长线于，可证得，从而得出，当时，，即可求解； （4）当在中点的左侧时，过点作，过点作于点，则四边形，是矩形，设，进而证明，确定的值，进而求得的值，当在的左侧时，相同的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：，点是的中点， ，， ， 故答案为：； （2）解：点运动的路径是的中位线， 当，中位线长是，即点运动的路径长为， 故答案为：； （3）解：如图1， 作于，作，交的延长线于， ， ， 点绕点按逆时针方向旋转得到点， ，， ， ， ， ， 当时， ∴， ∴， ∴， ， ， ； （4）解：如图，当在中点的左侧时，过点作，过点作于点，则四边形，是矩形， 设， ∵是的中点，， ∴， 由（3）可得， 则， ， ∵为的中点，， ∴，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴； 当在的左侧时，如图， ∵， ∴，， 同理得，，， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， 综上所述，或． 考点10：特殊三角形的三角函数 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】先证明为等边三角形得到．再证明为的中垂线得到，则，进而求得，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由及旋转性质可知，， 为等边三角形． ， ． 又， ， 为的中垂线， ． ， ， 又D为中点， ， ． 故答案为：． 【变式训练】（2023·广东茂名·模拟预测）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和化简二次根式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和化简二次根式，然后计算加减． 【规范解答】解： ． 考点11：特殊角三角函数值的混合运算 【典例精讲】（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】4 【思路点拨】本题考查含特殊角的三角函数值的计算，解题的关键是掌握，，．先分别进行零指数幂的计算、负指数幂的计算、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可． 【规范解答】解： 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数幂及负整数指数幂的意义、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键． 先算乘方，再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后加减． 【规范解答】解： ． 考点12：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【思路点拨】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【变式训练】（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【规范解答】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 考点13：用计算器求锐角三角函数值 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【规范解答】（1） 解：依次按键， 显示结果为2.144506921，即； （2） 依次按键， 显示结果为0.4101298895，即． 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【规范解答】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：    故选：A． 考点14：根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·广东深圳·二模）（1）计算：． （2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程： 小玉：原式 …… 小强：原式 …… (1)小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1) (2)②，③；见解析 【思路点拨】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、算术平方根等知识进行计算即可； （2）（1）根据分式的基本性质和乘法分配律进行解答即可；（2）根据分式的运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：小玉解法的依据是分式的基本性质；小强解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 解：小玉：原式 ； 小强：原式 ． 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上． (1)求k的值． (2)已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)． (3)求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由． (4)直接写出与的数量关系． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)矩形，见解析 (4) 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的，作已知直线的垂线，画出图形，即可求解； （3）先证明四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形；根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m，可设点B的坐标为，则，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得点，，点M的坐标为，再求出直线的关系式为，再判断出点M在直线上，即可； （4）延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴，可得，在中，根据勾股定理可求出，可得到，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点代入得： ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：四边形是矩形，理由如下： ∵轴，轴， ∴轴， ∵轴， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； ∵点A 的坐标为， ∴， ∵， ∴， 根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m， ∴可设点B的坐标为，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴或（舍去）， ∴点，， ∴点M的坐标为， 设直线的关系式为， 把点代入得：， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点M在直线上， 即点O、N、M在同一条直线上． （4）解：如图，延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴， ∴， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴． 考点15：已知角度比较三角函数值的大小 【典例精讲】（2024九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【规范解答】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 考点16：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西西安·月考）（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【思路点拨】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【变式训练】（2024·河南开封·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）利用零指数幂法则，二次根式性质，以及同角三角函数基本关系式计算即可得到结果． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解： ． 考点17：三角函数综合 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】(1)设，的半径为r，则， 利用勾股定理解答即可． (2) 连接，根据直径于点E，得到，，根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且， ∴，. 设，的半径为r， 则， 连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如上图，连接， ∵直径于点E，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·甘肃平凉·三模）如图，抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接，E是的中点，过点E作直线轴，垂足为G，交抛物线于点F，过点F作于点N，与x轴交于点M．求线段的长； (3)连接，点H为线段上一动点，点J在x轴上，在右侧作平行四边形． ①如图②，当平行四边形为菱形，且点I在抛物线上时，求点I的坐标； ②如图③，当点H为的中点时，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【思路点拨】（1）利用待定系数法计算即可； （2）根据题意，求得点，，，， 结合已知得到，求得． （3）①先确定直线的解析式为：，根据点I在抛物线上，不妨设，确定点，计算出，，根据菱形的性质，得到，解方程解答即可； ②作出点关于x轴的对称点，根据点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点H，故将向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，此时，连接，则四边形是平行四边形，连接， 证明四边形是平行四边形，得到，根据，故当三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度，计算，得到故的最小值为． 【规范解答】（1）解：抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点． 根据题意，得， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴， ∵E是的中点，， ∴点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：①设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点I在抛物线上， 不妨设， ∵平行四边形为菱形， ∴， ∴，代入解析式得， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴点； ②解：根据题意，得，点，H是的中点， ∴， 作出点关于x轴的对称点， ∵点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点H， ∴将向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，此时 连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度， ∴， 故的最小值为． 1．（2024·广东·中考真题）中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）．证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．设，可得，在中，根据勾股定理列方程求解，进而可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，从而根据锐角三角函数的计算公式求得的值． 【规范解答】解：设，则， 在中，，即， 整理得， 解得，（舍去）， ， 在中，， ． 故答案为：． 2．（2024·福建·中考真题）如图，标号为，，，的四个直角三角形和标号为的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，和分别是等腰和等腰，和分别是和，是正方形，直角顶点，，，分别在边，，，上．若，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】设，根据，设，，则，再根据正方形和等腰三角形性质得，，根据四边形ABCD的对角互补得，则，进而得，根据正切函数的定义得，由此解出，继而可得的值． 【规范解答】解：设，则， ， 设，，则， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 又四边形是对角互补的四边形， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 故答案为：． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F作，分别交于点N，M，证明四边形是矩形和，设，利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出x的值，进而求解即可． 【规范解答】解：过点F作，分别交于点N，M， ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是边的中点，把沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质．连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，证明，推出，，设，则，在中，由勾股定理求得，，再利用正切函数的定义求解即可． 【规范解答】解：如图， 连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T， 设，， ∵沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，，切于，两点，切于点，分别交，于，，且，若的周长是半径的6倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据切线长定理得到，，，根据题意得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到，再根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【规范解答】解：切于，切于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ，切于，两点，切于点， ，，， ， 的周长， 的周长是半径的倍， ， 设，，则，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故选：． 基础夯实 1．（2024·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【规范解答】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值等整式，根据无理数的定义进行判断即可． 【规范解答】解：在数字，，π，，中，无理数有，π，，共3个， 故选：C． 4．（23-24九年级下·上海·阶段练习） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，直接求解即可． 【规范解答】解：． 故答案为： 5．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算题，准确掌握每一个知识点的运算规则，考查乘方运算、根式运算、负指数幂运算、零指数幂运算以及绝对值运算；需要分别根据它们各自的运算法则进行计算，然后再进行加减运算． 【规范解答】解： 故答案为：． 6．（24-25九年级下·四川内江·期中）求值： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂．先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，根据二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ； 故答案为：． 8．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤． （1）代入特殊角的三角函数值，然后化简计算各数，再进行计算即可； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【规范解答】解：（1） ； （2） 由①得； 由②得， ∴原不等式的解集为． 9．（2025·甘肃定西·一模）计算：． 【答案】 【思路点拨】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握是解题关键． 先计算零次幂、立方根、特殊角的三角函数值、化简绝对值，然后计算负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【规范解答】解： ． 10．（2025·江西抚州·二模）（1）计算：； （2）如图，，，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【思路点拨】本题主要考查了特殊角锐角函数值，全等三角形的判定和性质： （1）根据特殊角锐角函数值和乘方计算即可； （2）证明，可得，即可求证． 【规范解答】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 培优拔高 11．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 12．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查正方形，全等三角形，解直角三角形，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键． 过A作，交延长线于G，根据题意可证，，可得，设，则，在中，根据勾股定理，可得，继而可由求解． 【规范解答】解：如图所示，过A作，交延长线于G， ，， ， 即， ， ，， ， ， ， ，， 设，则， 点 F是的中点， ， ， 在中，， 即， 解得或(舍去)， ， ， 故选：D． 13．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，，，根据切线长定理求出，根据切线的性质得到，再根据正切的定义计算即可． 【规范解答】如图，连接，， ∵， ∴， ∵、是圆的切线， ∴，， ∴， 故选：C． 14．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，已知菱形的顶点在圆上，将菱形绕点顺时针旋转至菱形，其中点落在圆弧上，连结，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】过点作，垂足为点，连接，如图所示，先由菱形的性质得到，由平行线的性质得到，再结合旋转的性质，由得到，进而确定，根据，设，得到相关线段长度，在中，由勾股定理求出长，最后根据正切函数值定义求解即可得到答案． 【规范解答】解：过点作，垂足为点，连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转可知，， ∴， ∴， ， ， ∴可设， 则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 即， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知中，满足则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了三角形的内切圆的性质，正切函数的定义，切线长定理，综合性较强，有一定难度．关键是作辅助线． 作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、，则、、平分的三个内角．根据正切函数的定义及已知条件，可得，然后根据切线长定理即可求出的值． 【规范解答】解：如图，作的内切圆，设为圆心，为半径，圆与三边、、的切点依次为、、，连接、、、、、． 则，，． ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：6． 16．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠与直径交于点D．若则 ． 【答案】/ 【思路点拨】连接并延长，使得，连接，交于点，连接，根据轴对称性质，得到，，利用勾股定理得到，结合三角形外角性质，推出，再根据正切定义求解，即可解题． 【规范解答】解：连接并延长，使得，连接，交于点，连接， 则，关于对称， ，， 为直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算．直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：4． 18．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A、B（点A在点B右侧），交y轴于点C，且满足． (1)用含a与c的代数式表示b； (2)过点C作交抛物线于点D． ①若，，求点D的坐标； ②连接，以、为边作矩形，连接对角线．若，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查二次函数综合，涉及求解析式，三角函数等知识点； （1）抛物线得到与y轴交点位于正半轴，对称轴在轴左边，由，得到，把代入得计算即可； （2）①由（1）可得，设，过作轴于，由和得到，则即可得到，解得，将，代入计算即可； ②由①可得，设，，则，，，，根据得到，则，代入解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线交轴于点A、B（点A在点B右侧），交y轴于点C， ∴与y轴交点位于正半轴，对称轴在轴左边， ∴点横坐标为负数， ∵， ∴， ∴， 把代入得到， 整理得 ∴； （2）解：①由（1）可得， ∴， 设， 过作轴于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 若，，则， ∴，， ∴， ∴； ②由①可得，设，， ∴，，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 当时，，，整理得，解得或（舍去）， ∴； 当时，，，整理得，即，方程无解， ∴． 19．（2025·上海·模拟预测）如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，且满足（参考材料：．） (1)设，，求证：； (2)连接交于，交于．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【思路点拨】（1）通过旋转三角形，将分散的线段和角集中，构造全等三角形，再结合三角函数和角公式推导等式． （2）先证明四点共圆得出直角，得到等腰直角三角形，再证明三角形相似，利用相似三角形性质推导线段关系． 【规范解答】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到． ∵旋转， ∴，，，． ∵， ∴，即、、三点共线． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵，，， ∴，且，即． 根据，令，，则 ． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）证明：连接， 四边形是正方形， ， ，且， ， 点、、、四点共圆， ． 又， 是等腰直角三角形， ． 同理，． ， ， ． ， ． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点． (1)求证； (2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明． ①；②；③． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定与性质，熟记相关定理是解题关键． （1）证推出，得四边形是平行四边形，即可求证； （2）由题意得四边形是平行四边形；若选②③，根据，得，推出四边形是菱形；根据，，推出是等腰直角三角形，即可求证；若选①②：先证得，得到，进而可推出是等腰直角三角形，即可求证；若选①③：先证，得到四边形是矩形，再通过线段之间的关系和三角函数定义得到为直角三角形，且，进而，即可求证． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴； ∵点为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； （2）解：由（1）可知：， 若为的中点，为的中点， 则， ∴四边形是平行四边形； 若选②③： ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∴四边形是正方形； 若选①②： ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵为的中点， ∴， ∴四边形是正方形； 若选①③； ∵，， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据三角函数定义，∴为直角三角形，且， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是正方形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $