专题27.3 位似（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

本讲义聚焦“位似”核心知识点，系统梳理位似图形的定义、性质、与平移轴对称旋转的异同及作图步骤，衔接相似图形与坐标变换，构建从概念到应用的完整知识支架。 资料以10个分层考点（含典例与变式）为核心，结合坐标系中求坐标、画图形等题型，培养几何直观与运算能力，中考真题与基础培优分层练助力课中教学实施，课后学生可通过易错点拨查漏补缺，强化推理意识与应用意识。

专题27.3 位似 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似图形的定义 1 知识点梳理02：位似图形的性质: 2 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 2 知识点梳理04：作位似图形的步骤 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：位似图形的识别 3 考点2：判断位似中心 3 考点3：位似图形相关概念辨析 4 考点4：求两个位似图形的相似比 5 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 5 考点6：求位似图形的对应坐标 7 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 8 考点8：在坐标系中画位似图形 9 考点9：在坐标系中画位似中心 11 考点10：坐标与图形综合 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 18 知识点梳理01：位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点梳理02：位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 知识点梳理04：作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 考点1：位似图形的识别 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 考点2：判断位似中心 【典例精讲】（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练1】（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 考点3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形． 考点4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是 ． 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． (1)以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：______． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出． (2)计算四边形的面积． 考点6：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，以点为位似中心，画，使它与位似，和的相似比为，点的对应点在第三象限，并写出点的对应点的坐标． 【变式训练1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【变式训练1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练2】（2025·重庆·二模）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 考点8：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·湖北·一模）如图，已知，，． (1)将向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，画出，并写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的平面直角坐标系中作出所有满足条件的图形． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，三个顶点的坐标分别是、、． (1)的外接圆半径是______； (2)请在第四象限的空白处画一个格点，使，且相似比为； (3)作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的； (4)绕点M顺时针旋转后可与重合，则点M的坐标是______． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均为格点（网格线的交点）． (1)以为位似中心，在网格中画出的位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 考点9：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为点 ． 考点10：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期末）已知点坐标为，点到两坐标轴的距离相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点B在y轴上，且，求B点坐标． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东佛山·月考）【综合运用】如图，将矩形放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点坐标为，点为对角线上一点，射线交轴于点，射线交轴于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求关于的函数表达式； (3)如图，连接，交于点，若，求点的坐标． 1．（2024·河南驻马店·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    3．（2024·四川成都·中考真题）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，中，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，在直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为则点的对应点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ． 5．（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 6．（24-25九年级下·山东威海·期末）放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为 ． 7．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）已知五边形的边长分别为2，3，4，5，6，五边形和五边形位似．若五边形的最短边长为6，则其周长为 ． 8．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 9．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画一个整点四边形． (1)在图1中画一个四边形，使得M的横、纵坐标相等，且被所分的两个三角形中，有一个三角形是等腰三角形； (2)在图2中画一个四边形，使得N的横、纵坐标之和大于4，且被所分的两个三角形中，至少有一个三角形是等腰三角形． 10．（24-25九年级下·广西·期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 培优拔高 11．（24-25九年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 13．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是 ． 15．（24-25九年级下·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 16．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，、两点的坐标分别为，，点为轴正半轴上一动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，为线段的中点．当点从点运动到点时，线段扫过图形的面积为 ． 17．（24-25九年级下·江苏常州·月考）在平面直角坐标中，，，点在轴上，点在平面内，使以，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标是 ． 18．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 19．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． (1)求k的值； (2)D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 位似 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似图形的定义 1 知识点梳理02：位似图形的性质: 2 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 2 知识点梳理04：作位似图形的步骤 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：位似图形的识别 3 考点2：判断位似中心 4 考点3：位似图形相关概念辨析 6 考点4：求两个位似图形的相似比 8 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 9 考点6：求位似图形的对应坐标 13 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 15 考点8：在坐标系中画位似图形 17 考点9：在坐标系中画位似中心 21 考点10：坐标与图形综合 23 中考真题 实战演练 29 难度分层 拔尖冲刺 35 基础夯实 35 培优拔高 42 知识点梳理01：位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点梳理02：位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 知识点梳理04：作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 考点1：位似图形的识别 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【答案】② 【思路点拨】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【规范解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【规范解答】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了平移和位似图形的定义，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行或位于同一直线上，这两个图形叫位似图形，根据定义判断即可。 【规范解答】解：（1）传动带上的电视机和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换； （3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换； 故答案为：3个． 考点2：判断位似中心 【典例精讲】（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【思路点拨】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【规范解答】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 【变式训练1】（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【规范解答】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 【变式训练2】（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路点拨】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【规范解答】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：A． 考点3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 【规范解答】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练1】（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【规范解答】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【规范解答】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 考点4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，得到，进而求出的值即可． 【规范解答】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查位似变换，由题意得，可得与的相似比为，进而可得与的面积比为． 【规范解答】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）已知与位似，位似比是，若的周长是12，则的周长是 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【规范解答】解：∵与位似，位似比是， ∴与相似，相似比是， ∴与的周长比为， ∵的周长是12， ∴周长为8； 故答案为：8． 考点5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． (1)以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求． （2）四边形的面积为 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 【答案】(1) (2)如图所示 【思路点拨】本题考查了位似图形的定义与作图． （1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【规范解答】（1）解：与的位似中心为点M， 位似中心的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示． ． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出． (2)计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【思路点拨】本题考查作图位似变换、三角形的面积，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． 考点6：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，以点为位似中心，画，使它与位似，和的相似比为，点的对应点在第三象限，并写出点的对应点的坐标． 【答案】作图见解析，点的坐标． 【思路点拨】根据位似的性质得到、、的位置，然后连线得出；再写出的坐标即可． 本题考查位似图形，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【规范解答】解：如图，即为所作， 点的坐标． 【变式训练1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据点A、点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【规范解答】解：∵将线段缩小后得到线段，点A的坐标为，点的坐标为， ∴线段与线段的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的对应点的坐标为， 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似图形对应点坐标的变化规律是解题的关键．根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标． 【规范解答】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的得到， ∴点与点的坐标关系为点的坐标是点坐标乘以的相反数（与在位似中心两侧）． ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 考点7：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 【变式训练1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【规范解答】解：∵和位似，位似中心为点O，点，点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选：C． 【变式训练2】（2025·重庆·二模）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【思路点拨】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【规范解答】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， ∵的周长为5， 的周长， 故选：C． 考点8：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·湖北·一模）如图，已知，，． (1)将向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，画出，并写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的平面直角坐标系中作出所有满足条件的图形． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形性质及作图——平移、旋转、位似．要求考生熟知平移、旋转和位似等图形变化的性质． （1）根据平移的性质，找出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接得出，根据旋转的性质，找出、、的对应点、、，然后顺次连接即可，写出点的坐标即可； （2）根据位似的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，如图所示，点的坐标为， （2）解：符合条件的有两个，如图所示． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，三个顶点的坐标分别是、、． (1)的外接圆半径是______； (2)请在第四象限的空白处画一个格点，使，且相似比为； (3)作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的； (4)绕点M顺时针旋转后可与重合，则点M的坐标是______． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 (4) 【思路点拨】（1）分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点为的外接圆圆心，再利用勾股定理计算即可． （2）在第四象限画格点，使，，即可． （3）根据旋转的性质、中心对称的性质作图即可． （4）分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：分别作线段的垂直平分线，相交于点， 则点为的外接圆圆心， 由勾股定理得，， ∴的外接圆半径是． 故答案为：． （2）如图，即为所求． 由勾股定理得，，， ∵，且相似比为，， ∴，，． （3）如图，和即为所求． （4）分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求， ∴点M的坐标是． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均为格点（网格线的交点）． (1)以为位似中心，在网格中画出的位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）由题意可知，与的位似比为 ∴与的面积比为， ∴的面积为． 考点9：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【规范解答】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：A． 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为点 ． 【答案】P 【思路点拨】本题考查确定位似中心，根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【规范解答】解：如图所示，连接，，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：． 考点10：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期末）已知点坐标为，点到两坐标轴的距离相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平面坐标系的相关概念，根据关键句“点到两坐标轴的距离相等”，可得出横纵坐标的绝对值相等，再进一步求解即可． 【规范解答】解：点P到两坐标轴的距离相等， ， 两边同时平方，得：， 化简得：， 解得：或． 故选：． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点B在y轴上，且，求B点坐标． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中求解三角形的面积问题．熟练掌握用割补法求面积是解题关键． 过点C作轴于点D，连接，可得，，得，，设,当点B在下面时，，得，得，由，得，得；当点B在x轴和之间时，，得，得，得，不合；当点B在x轴上面时，，得，得，得，． 【规范解答】解：过点C作轴于点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设, 当点B在下面时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点B在x轴和之间时，， ∴， ∴， ∴， 解得，不合， ∴点B不存在； 当点B在x轴上方时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上，或． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东佛山·月考）【综合运用】如图，将矩形放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点坐标为，点为对角线上一点，射线交轴于点，射线交轴于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求关于的函数表达式； (3)如图，连接，交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一次函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）可求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而得出坐标，进而得出直线的解析式，进一步得出结果； （2）作于，可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果； （3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果． 【规范解答】（1）解：，点坐标为，则， 直线的解析式为：， ， 直线的解析式为：， 当时，解得： 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为： （2）如图1， 四边形是矩形， ， ，， ， 作于， ，， ， ， ， 同理可得，， （3）如图2， 连接，交于，则， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，即， ，则， ， ， ， ， 1．（2024·河南驻马店·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似变换的性质解答即可． 【规范解答】解：以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形， 点A的坐标为， ，即 故答案为：． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【答案】2 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 3．（2024·四川成都·中考真题）平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意画图得出， P在A时， 线段 对应线段，P在B时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，要证与其对应线段有交有点，则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内，P在正方形内，可得当过点A时，r取得最大值，当与相切时，r取得最小值，记切点为，结合切线性质，解直角三角形等知识求解，即可解题． 【规范解答】解：根据题意画图可得， ⸪线段关于点“逆垂相关”， ⸫ P在A时， 线段 对应线段， P在B时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， 要证与其对应线段有交有点， 则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内， P在正方形内， 则当过点A时，r取得最大值，连接， ∵，， ∴， 此时， 当与相切时，r取得最小值，记切点为，交于点，作于点， ，． ，， ，即， 由正方形性质可知，即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查位似三角形，利用相似三角形的性质求解，根据两个位似三角形的相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可得出结果． 【规范解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为； 故选：D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，中，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质； 过点M作于点A，过点N作于点B，根据证明，可得，再结合坐标与图形即可解答． 【规范解答】解：如图：过点M作于点A，过点N作于点B， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵点P的坐标为，点N的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 基础夯实 1．（2025·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质、旋转变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似图形的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质求出位似变换后点的对应点的坐标，再根据旋转变换的性质求出旋转变换后的点的对应点的坐标． 【规范解答】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，， ∴点的对应点的坐标为，即， 绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形对应点坐标的变化规律． 确定位似中心为原点，相似比为，且位似图形在第三象限；根据位似图形对应点坐标的关系，原图形点A的坐标乘以得到位似图形对应点C的坐标． 【规范解答】解：A、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； B、因为以原点O为位似中心，相似比为，且在第三象限，原图形点的横纵坐标各乘以,得到对应的位似点C的坐标为，此选项符合题意； C、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； D、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，在直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为则点的对应点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以得到C点坐标． 【规范解答】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3， 而， 点的对应点C的坐标为， 即． 故选：A． 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出对应点的坐标． 【规范解答】解：∵与位似，原点O是位似中心，且， ∴相似比为3， 又∵， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案． 【规范解答】解：四边形与四边形关于点O位似，且， 四边形与四边形的相似比为， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为5， 四边形的面积为20． 故答案为：20． 6．（24-25九年级下·山东威海·期末）放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具．如图，点的位置固定不变，在点，处装有画笔，当画笔沿图1运动时，画笔画出图形2，图形就放大了；反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，点的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上．若，则图1与图2的相似比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似变换，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握位似变换的性质．利用位似变换的性质求解． 【规范解答】解：如图，因为O，A，在同一直线上，连接． ∵， ∴， ∴， ∴图1与图2的相似比为， 故答案为： 7．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）已知五边形的边长分别为2，3，4，5，6，五边形和五边形位似．若五边形的最短边长为6，则其周长为 ． 【答案】60 【思路点拨】本题考查位似变换、相似的性质，由题意得，五边形与五边形的相似比为，则可得五边形的边长分别为6，9，12，15，18，进而可得答案． 【规范解答】解：由题意得，五边形与五边形的相似比为， ∵五边形的边长分别为2，3，4，5，6， ∴五边形的边长分别为6，9，12，15，18， ∴五边形的周长为． 故答案为：60． 8．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【规范解答】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画一个整点四边形． (1)在图1中画一个四边形，使得M的横、纵坐标相等，且被所分的两个三角形中，有一个三角形是等腰三角形； (2)在图2中画一个四边形，使得N的横、纵坐标之和大于4，且被所分的两个三角形中，至少有一个三角形是等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、多边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）结合等腰三角形的判定按要求画图即可． 【规范解答】（1）解：如图1，四边形即为所求． （2）如图2，四边形即为所求答案不唯一 10．（24-25九年级下·广西·期中）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； (2)直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【答案】(1)见详解 (2)， 【思路点拨】本题考查了画位似图形及求对应点坐标．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求． （2）根据（1）中图象写出点坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵B，C两点的坐标分别为、， ∴，． 培优拔高 11．（24-25九年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【规范解答】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 12．（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．由矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形的位似比为，又由点B的坐标为，即可求得答案． 【规范解答】解：矩形的顶点O在坐标原点，，， 可得：， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， 点B的对应点的坐标是：或 故选：D 13．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：过点A作轴于点E， ∵点B坐标，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∵以点O为位似中心，作与位似，点C坐标， 且即点C的坐标， ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即 故选D． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，两个坐标的横坐标的比值的绝对值，以及纵坐标的比值的绝对值均为位似比，进行求解即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∵以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2， ∴两个三角形的位似比为2， ∴，即：； 故答案为：． 15．（24-25九年级下·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【规范解答】 解：∵在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，， ∵点的坐标为, ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，， ， ∵矩形的对角线交点 ，即， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，、两点的坐标分别为，，点为轴正半轴上一动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，为线段的中点．当点从点运动到点时，线段扫过图形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形，梯形的面积公式等知识，根据题意正确画出图形，添加辅助线是解决问题的关键．根据相似三角形分别求出和时，和的坐标，可以发现和的纵坐标不变，故线段扫过图形的面积为梯形面积，求出此梯形面积即可． 【规范解答】解：如答图1，为时，过作轴于， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴可得， ∵，，， ∴，，， ∴， 设，则，， 同理可得，从而， ∴，解得， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴； 如答图2，为时，过作轴于， 同理可得，； 如答图3，从运动到时，从运动到，同时从运动到， 故线段扫过图形的面积即为梯形的面积，， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·江苏常州·月考）在平面直角坐标中，，，点在轴上，点在平面内，使以，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标是 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了菱形的判定与性质，坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定. 当为菱形的对角线时，如图，设菱形的边长为，利用菱形的性质得到C，在中利用勾股定理得到，从而得到此时点坐标；当为菱形的边时，如图，先利用勾股定理计算出，再根据菱形的性质得到从而得到此时点坐标． 【规范解答】解：当为菱形的对角线时，如图， 设菱形的边长为， ∵，， ， ∵四边形为菱形， ， ， 在中，，解得， ； 当为菱形的边时，如图， ， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， 综上所述，点坐标为 或或， 故答案为： 或或． 18．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)16 【思路点拨】（1）平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可； （4）利用分割法计算四边形的面积即可． 本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特征，分割法求面积是解题的关键． 【规范解答】（1）解：平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换， 则，画图如下： 则即为所求． （2）解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，得，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求，且． （4）解：连接，如图所示， 则四边形的面积为： ． 19．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． (1)求k的值； (2)D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合和轴对称的知识．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）把点与代入反比例函数，然后即可求解； （2）过点A作轴，得到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，设所在直线的表达式为，把，代入，求得，然后即可求解点的坐标； 【规范解答】（1）解：∵反比例函数 的图像经过点与， ∴把点与代入反比例函数 ， 即， 解得：， 故的值为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）得， ∴和， ∵过点A作轴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，如图： ， 设所在直线的表达式为， 把，代入， 即， 解得：， ∴， 当时，， 故点的坐标为； 20．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【思路点拨】（1）作轴于，作轴于，则，证明，求出；将代入可得；同理可得，从而可得，再利用待定系数法求解即可； （3）求得，结合勾股定理可得，设，，根据菱形的性质，分两种情况：当为对角线时，此时；当为边时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：如图：作轴于，作轴于，则， ， ∵在平面直角坐标系中点，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 将代入可得：，即； 同理可得：， ∴，， ∴，即， 将代入可得：，即； （2）解：∵在平面直角坐标系中点，， ∴垂线为直线， 如图：作点关于垂线的对称点，连接，并延长交垂线于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为， 由（1）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：存在， 由（1）可得：，，， 当时，，即， ∴， 设，， ∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形， ∴当为对角线时，此时， 则， 解得：，即， 当为边时， 同理可得：或， 解得：或， 此时或； 综上所述，点的坐标为或或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $