4.2.1 等差数列的概念（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列概念及等差数列，通过设备价值折旧的实际情境导入，引导学生建立数列模型，连接数列概念与等差数列通项公式、性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过实际问题建模（如设备折旧）、性质几何直观解释（图4.2-2）及逻辑证明，采用对称设项法等教学方法，结合例题解析与方法总结，助力学生提升建模和推理能力，为教师提供结构化教学资源。

4.1 数列的概念(第1课时) 第四章　数列 应用新知 情境问题一： 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 思考： 如何根据实际意义建立数列模型? 题目条件中包含哪些不等关系? 利用什么公式列不等式? 等差数列 等差数列通项公式 应用新知 分析 解 析 应用新知 方法总结 建模 列约束 求解 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 如果插入数，那么的公差是多少？ 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 分析 证明 思考： 当公差 d = 0 时, 不一定成立; 当 d ≠ 0 时, 一定成立. 思考： 思考：例3是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. 解析 课本练习 解析 解析 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 典例精析 题型三：等差数列中对称设项法的应用 例3　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得，所以这三个数为4,3,2. 典例精析 题型三：等差数列中对称设项法的应用 例3　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解　 (2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 典例精析 题型三：等差数列中对称设项法的应用 反思与感悟　 等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、 …时，可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d. 若有6项、8项、…时，可同理设出． 课堂小结 等差数列 的性质 等差数列通项公式 的变形及推广 等差数列 的性质 这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内 （含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后， 这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得:， 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 根据题意，得：，即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组） 将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 由题意可知，，，于是， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式是： (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 例3：已知数列是等差数列，，且． 求证：． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件 即可得证． （1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由，易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列 的某一项和公差d表达第n项，即， 变形可得. 已知数列是等差数列，，且， 则成立么？ (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排 起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第 10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． 由， 其图象如下由图可知，通过图象上 所有点的直线的斜率为． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点 的直线的斜率． （方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得， ，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 3．在等差数列中，，且，求． $