（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（七大专题32个易错点）-2025-2026学年六年级上册数学期末复习（北师大版）

该小学数学讲义以七大专题32个易错点为核心构建知识体系，通过目录系统梳理圆、分数混合运算等模块，每个专题聚焦易错点分布，用框架呈现知识点内在联系，突出重点难点。 讲义亮点在于易错专练贴近生活，如油桶滚动、共享单车问题，培养空间观念与数据意识。每题针对易错点设计，基础题巩固方法，综合题提升思维，助力学生自主复习，教师可精准教学。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级上册数学 （七大专题32个易错点） 目录 专题一圆 3 易错点1：混淆圆的直径和半径 3 易错点2：圆周长的公式应用错误 4 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 5 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 7 易错点5：环形面积计算错误 8 易错点6：圆周率π的取值不准确 9 专题二分数混合运算 11 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 11 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 13 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 14 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 15 专题三观察物体 18 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 18 易错点2：根据两个视图推测小正方体数量范围时，考虑不全面。 19 易错点3：不理解“观察点越高，观察范围越大”的原理。 20 易错点4：在判断拍摄顺序时,没有明确拍摄者行走的路线。 23 专题四百分数 24 易错点1：百分数的意义理解不清，将百分数直接参与计算。 24 易错点2：百分数与小数、分数互化时出错。 25 易错点3：对常见百分率的含义理解不够。 26 易错点4：在解答百分数问题时,找不准单位“1”。 28 专题五数据处理 29 易错点1：扇形统计图中“部分”与“整体”的关系混淆。 29 易错点2：混淆三种统计图的特征。 33 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 35 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 37 专题六比的认识 42 易错点1：比的意义理解不清，书写不规范 42 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆。 43 易错点3：求比值与化简比混淆。 44 易错点4：化简比时要注意单位统一。 45 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 46 专题七百分数的应用 47 易错点1：求“一个数比另一个数多（少）百分之几”时，找错“单位1”。 47 易错点2：求解“已知单位1，求比较量”和“已知比较量，求单位1”两类问题混 48 淆 48 易错点3：在解决有关百分数的实际问题时,没有找准单位“1”。 49 易错点4：对“折扣”、“成数”、“利率”等概念理解不透彻。 51 易错点5：解决复杂问题时分不清连续的“单位1”。 52 专题一圆 易错点1：混淆圆的直径和半径 【易错专练1】看图填一填。 每个圆的直径是（ ）cm，半径是（ ）cm。 【易错专练2】如图，圆的半径是（ ）厘米，长方形的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是（ ）cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是（ ）cm。 【易错专练4】笑笑用下面的一张硬纸板，可以剪（ ）个直径是2dm的圆形纸片。 【易错专练5】求下面各圆的半径或直径。 圆的半径是（ ）厘米             圆的直径是（ ）厘米 圆的直径是（ ）厘米             长方形的长是（ ）厘米 易错点2：圆周长的公式应用错误 【易错专练1】一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 【易错专练2】用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是（ ）cm。一个时钟的时针长5cm，经过6小时，时针的尖端移动了（ ）cm。 【易错专练3】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚（ ）圈。 【易错专练4】如图，这个海棠花形的铁艺相框，由四个同样大的半圆围成。相框高度和宽度都是20厘米，共需（ ）厘米长的铁丝。 【易错专练5】我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是（ ）cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 【易错专练1】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm。 【易错专练2】一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是（ ）。 【易错专练3】在一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸里，最多可以剪（ ）个半径是1厘米的圆。如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，该半圆的周长应该是（ ）厘米。 【易错专练4】利用圆规，先把下面的圆画完整，再求出半圆的周长。 【易错专练5】爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 【易错专练1】用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【易错专练2】在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。 【易错专练3】冰壶被称作“冰上溜石”或“冰上国际象棋”，是冬奥会比赛项目之一。冰壶底面直径约是30cm，周长约是（ ）cm，面积约是（ ）cm2。 【易错专练4】计算下面各圆的面积。      【易错专练5】根据下面的条件，求各圆的面积。 （1）r＝4cm （2）d＝1.4dm （3）C＝6.28cm 易错点5：环形面积计算错误 【易错专练1】一个环形，外圆半径是8厘米，内圆半径是5厘米，这个环形的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练2】两个不同的同心圆，内圆直径为6是米，外圆直径为10厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】2020年6月21日，在我国境内观测到天文奇观日环食。乐乐把自己看到的日环食画下来（如图），内圆、外圆直径分别是10厘米，12厘米，则图中圆环的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练4】计算下图阴影部分的面积。 【易错专练5】玉壁最早产生于距今约五、六千年前的新石器时代，是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一。有一块环形玉璧，尺寸如图要为这个玉壁做一个同规格的环形保护垫，保护垫一面的面积是多少？ 易错点6：圆周率π的取值不准确 【易错专练1】中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【易错专练2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 【易错专练3】军军以每分钟62.8米的速度绕一个圆形体育场步行一周，恰好用了5分钟。这个体育场的面积是多少？（取3.14） 【易错专练4】一个圆形花坛半径是20米，将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长。改变后花坛的面积是多少平方米？取 【易错专练5】李叔叔购置了一款可折叠的餐桌（如图）。这款餐桌完全展开后，桌面面积是多少平方米？（π取3） 专题二分数混合运算 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 【易错专练1】计算。                              【易错专练2】计算下面各题。                                                                      【易错专练3】计算题。 ××             ÷5÷             ÷× ××5             ×15÷           ÷÷× 【易错专练4】计算下面各题。 ×14×             45×× ××              ×× 【易错专练5】计算下面各题。                                  易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 【易错专练1】列计算下面各题，怎样简便就怎样算。             【易错专练2】下面的各题，能简算的要简算。                                                   【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                                            【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                          【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 【易错专练1】一段公路施工，第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，这时还剩120米未施工，则需要施工的这段公路有多长？ 【易错专练2】某工程队要修一段铁路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下440米没有修，第一天比第二天少修了多少米？ 【易错专练3】某水果店购进一批水果共240千克，第一天卖了，第二天卖了余下的，这家水果店还剩下多少千克水果？ 【易错专练4】妈妈买来一瓶蜂蜜，玲玲第一天用去，第二天用去50克，还剩一半。这瓶蜂蜜原来有多少克？ 【易错专练5】某库房里有一批检测试剂，第一天用了总瓶数的，第二天比第一天少用了60瓶，还剩这些检测试剂总瓶数的，这批检测试剂一共有多少瓶？ 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 【易错专练1】修一条公路，第一天修了全长的，第二天比第一天多修600米，还剩1800米没有修。这条公路全长多少米？ 【易错专练2】新华书店运来一批童话故事书，售出后，还剩350本，这批童话故事书共有多少本？ 【易错专练3】学校开展班级文化建设评比，淘气小组要为班级折一些千纸鹤来装饰教室。现在已经折了总数的，还剩90只就可以折完。你知道淘气小组一共要折多少只千纸鹤吗？ 【易错专练4】学校创客节活动中，五年级共上交了36件作品，五年级比六年级少交。六年级交了多少件作品？ 【易错专练5】某电冰箱厂今年生产5400台冰箱，比去年多生产，去年生产了多少台冰箱？（列方程解决问题） 【易错专练6】驼鹿是某岛上狼的重要食物来源，从1965年至1975年，驼鹿的数量增加了，达到1200只。1965年之前，驼鹿的数量是多少只？ 【易错专练7】敦煌莫高窟是世界著名的石窟，其中的一个石窟宽30米，宽比高少，这个石窟的高是多少米？ 【易错专练8】据统计，2022年我国高铁的营业里程达到42000千米，比2021年增加了。2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了多少千米？ 【易错专练9】服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【易错专练10】共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 专题三观察物体 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 【易错专练1】一个立体图形是由一些完全相同的小正方体搭成的，从不同方向看到的形状如下图所示。这个图形一共用了（ ）个小正方体。 从左面看        从上面看            从正面看 【易错专练2】淘气用几个1立方厘米的正方体木块搭成一个立体图形，下面是从不同方向看到的形状，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【易错专练3】一个立体图形由若干个小正方体搭成，从正面，上面和左面观察到的图形如图所示，那么搭这样的一个立体图形需要 个小正方体。 【易错专练4】如图是从三个不同方向看到的立体图形的形状，如果要搭出这个立体图形，则需要（ ）个小正方体。 易错点2：根据两个视图推测小正方体数量范围时，考虑不全面。 【易错专练1】下图是从不同方向观察同一几何体看到的图形。          从前面看        从左面看 填一填：摆成这个几何体最少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【易错专练2】一个立体图形，从上面和正面看到的形状都是，搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。最多可以用（ ）个小正方体。 【易错专练3】一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）块小正方体。 【易错专练4】一个长方体从上面看是，左面看是，则它的棱长总和是（ ）cm，体积是（ ）。 易错点3：不理解“观察点越高，观察范围越大”的原理。 【易错专练1】如图，有一只小狗，看到院内的房顶上有许多小鸟，便走向院子。 （1）小狗走到A位置时，能看到房子上的小鸟。当它继续向前，它看到小鸟的只数怎么变化。请你画一画。 （2）小狗走到B位置时，它能看到小鸟吗？为什么？画一画。 【易错专练2】客车行驶到位置①时，司机能够看到建筑物B的一部分，客车行驶到位置②时，司机还能看到建筑物B吗？为什么？ 【易错专练3】淘气在楼上向下张望，楼下有一堵墙。 （1）请画出淘气在A处时看到墙外离墙最近的点A′。 （2）淘气在C处时能看到墙外的地面吗？ （    ）（填能或不能） 【易错专练4】如下图，按要求画一画并回答。 （1）请画出小花在A处时看到墙外地面上离墙最近的点。 （2）在点B处观察的小鹏能看到墙外的小猫吗？为什么？ 【易错专练5】学校教学楼的后方有一座塔。 （1）淘气走到位置A时，他能看到塔吗？如果能请你画出来。 （2）淘气继续向前走，能够看到的塔的部分会变得越来越（    ）。 （3）当淘气走到位置B时，他还能够看到塔吗？为什么？ 易错点4：在判断拍摄顺序时,没有明确拍摄者行走的路线。 【易错专练1】小猫看到一辆车驶来，请按时间顺序给下面的3幅图编号。（标出①、②、③） （ ）      （ ）     （ ） 【易错专练2】下面是体育记者连续拍下的运动员撑竿跳高的一组照片。请你在里用①②③④标出拍摄的顺序。 【易错专练3】下面是公路摄像头拍到的照片。请你按时间顺序给照片编号。 【易错专练4】小红乘坐热气球观光，在热气球从起飞到离地面150m的过程中，小红看到的景物有什么变化呢？请你把下面这些图按时间顺序排一排： 专题四百分数 易错点1：百分数的意义理解不清，将百分数直接参与计算。 【易错专练1】一袋盐重千克，也就是48%千克。（ ） 【易错专练2】吨＝0.05吨＝5%吨。（ ） 【易错专练3】1千克瓜子，吃去30%，还剩70%千克。（ ） 【易错专练4】一根绳子长128%米。（ ） 【易错专练5】千米可以改写成37.5%千米。（ ） 易错点2：百分数与小数、分数互化时出错。 【易错专练1】把下面的百分数化成分数。 30%     28%     125%     36% 【易错专练2】把下列的百分数化成最简分数。 28%            160%            75%            32% 【易错专练3】把48%、1.6%、3%、0.25%化成分数。 【易错专练4】把下面的百分数改写成小数或分数。 6.25%＝       0.2%＝        18%＝ 125%＝        7%＝         300%＝ 【易错专练5】把下面的百分数化成小数。 56%    137%    3.6%    46.8% 易错点3：对常见百分率的含义理解不够。 【易错专练1】国家安全是头等大事。2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，主题为“总体国家安全观•创新引领10周年”，维护国家安全，共筑人民防线。某校举行了“国家安全”知识竞赛。竞赛以小组为单位，采取抢答方式，答对1题得10分，答错1题倒扣5分，第三小组一共抢到12道题，最终得分75分，第三小组答题正确率是多少？ 【易错专练2】下面古诗中“春”的字数占全诗总字数的百分之几？（不算标点） 春水春池满，春进春草生。 春树绽春蕊，春雨伴春风。 春人饮春酒，春鸟弄春色。 【易错专练3】某锅炉房有360吨煤，第一周烧掉了48吨煤，第二周烧掉了42吨煤。两周一共烧掉了这堆煤的百分之几？ 【易错专练4】市场监管部门对市场上的新产品进行抽样调查，从甲产品中随机抽取25份进行检查，有2份不合格；从乙产品中随机抽取30份进行检查，有3份不合格。甲、乙两种产品，哪一个的合格率高？ 【易错专练5】下表所示的是几名射击运动员在某次射击训练中的命中情况。 运动员 ① ② ③ ④ ⑤ 射击次数 120 80 100 50 120 没射中次数 20 15 13 8 15 命中率 （1）命中率是什么意思？ （2）填写各运动员的命中率。 （3）命中率最高的是（    ）号运动员，最低的是（    ）号运动员。 易错点4：在解答百分数问题时,找不准单位“1”。 【易错专练1】笑笑看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了70页，这本书一共有多少页？ 【易错专练2】笑笑看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了70页，这本书一共有多少页？ 【易错专练3】西昌卫星发射中心的气象专家们为了寻找卫星发射的最佳时间，查阅和分析了若干天的天气数据，其中阴天占18%，多云占35%，多云比阴天多34天，气象专家们一共查阅和分析了多少天的天气数据？（用方程解） 【易错专练4】淘气收集了一些图片，其中名山图片占50%，河流图片占20%，名山图片比河流图片多60张，淘气一共收集了多少张图片？（列方程解答） 【易错专练5】某社会实践小组从市场上采集了某品牌牛奶的信息，如下图所示。请你计算出这种品牌的家庭装牛奶1升中所含蛋白质的质量。 信息一：每100毫升牛奶中脂肪所占的百分比为6%，脂肪质量为3.6g。 信息二：每100毫升牛奶中蛋白质所占的百分比为3.3%。 专题五数据处理 易错点1：扇形统计图中“部分”与“整体”的关系混淆。 【易错专练1】每年的5月31日为“世界无烟日”。今年的“世界无烟日”宣传活动中，六（1）班在学校附近开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，将调查结果整理分析后，统计出支持强制戒烟的有90人，支持替代品戒烟的有20人，并绘制成下面的扇形统计图。 （1）六（1）班同学一共调查了多少人？ （2）把扇形统计图补充完整。 【易错专练2】每年的4月2日是“国际儿童图书日”。为深入推进全民阅读，培养儿童良好阅读习惯，育才小学新购进一批图书，情况统计如图。 （1）育才小学新购进其他图书占这批图书的（    ）%。 （2）育才小学新购进多少本《童话故事》？ 【易错专练3】根据统计图中的信息解答问题。 （1）梨树棵树占果树的（    ）%。     （2）已知张掖农场杏树有300棵，苹果树有多少棵？ 【易错专练4】下图是某小学六年级学生的视力情况统计图。 （1）六年级有学生300人，那么视力不良的有多少人？ （2）针对这个学校六年级学生的视力状况，你有什么建议？ 【易错专练5】下面分别是甜甜家上个月支出情况统计图和鹏鹏家上个月支出情况统计图，请看图回答下列问题。 （1）如果甜甜家上个月旅游费支出是720元，那么甜甜家上个月支出的总费用是多少元？ （2）如果鹏鹏家上个月的旅游费用与甜甜家上个月的旅游费用一样多，那么鹏鹏家上个月在服装方面的支出是多少元？ 【易错专练6】下面是明明家去年一年的水、电、煤气费用统计图。 （1）已知煤气费比水费多150元，那么明明家去年一年的水、电、煤气费用共多少元？ （2）明明家去年一年的电费是多少元？ 【易错专练7】下面的统计图显示了智慧小学六（3）班学生喜欢各种球类活动的人数占比情况。 （1）最受欢迎的是哪种球类活动？ （2）你认为图中的“足球21%”是如何得到的？所有百分比之和是多少？ （3）如果你是这个班的体育委员，准备组织全班同学去观看球类比赛，为了吸引更多同学参与，你会组织观看哪种比赛？ 【易错专练8】某小区实行垃圾分类，物业管理员统计了一个星期中居民垃圾分类的情况，统计如图： （1）四种垃圾数量按从多到少排列：可回收物、厨余垃圾、其他垃圾和有害垃圾。根据以上信息，将图例补充完整。 （2）这个星期中该小区共产生了35吨可回收物，一星期中产生的垃圾总量是（    ）吨。 （3）在35吨的可回收物中有20%的塑料垃圾，每回收1吨塑料垃圾可获得0.7吨二级原料。这个小区一星期回收的塑料垃圾共产生多少吨二级原料？ 易错点2：混淆三种统计图的特征。 【易错专练1】2024年6月25日，嫦娥六号返回器从月球背面采样带回1935300毫克月壤，实现了世界首次月球背面自动采样返回。横线上的数读作（ ），省略“万”位后面的尾数约是（ ）毫克。我国科学家研究“月壤”中各种物质的含量占总量的百分比，绘制（ ）统计图比较合适。 【易错专练2】“六一”儿童节，某书城举行“快乐购书节”活动。 （1）书城张经理要统计当天各类图书分别销售了多少册，他采用 统计图比较合适。 （2）果果到书城买了4本故事书，每本a元，还余下18元，他一共带了 元钱。 【易错专练3】本学期初，同学们通过电视、央视网、央视频APP、其他网络平台观看了“开学第一课”。如果想要直观的看到六（1）班的同学每种观看方式的人数，应选择（ ）统计图，如果想要知道这四种观看方式人数分别占班级总人数的百分比，应选用（ ）统计图。 【易错专练4】要表示淘气家每个月饮食、服装、教育、旅游等各项支出占总支出的百分比，选择（ ）统计图较合适；要表示一年教育支出增减变化情况，选择（ ）统计图较合适。 【易错专练5】人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出来的水。以上调查结果用（ ）统计图比较合适。一个成年人如果想每天体内维持约2500升的水，那么他每天需要喝（ ）毫升水。 【易错专练6】要反映六（1）班同学一次体质测试中优、良、中、差的人数占全班人数的情况，应选用（ ）统计图；要反映果园里各种果树的具体棵数，应选用（ ）统计图；要反映一个高烧的病人一周内每天体温的变化情况，应选用（ ）统计图。（填“条形”“折线”或“扇形”） 【易错专练7】统计成绩时，要反映出各个分数段人数各占全班人数的百分比最好选用（ ）统计图；要反映某城市一天气温变化情况，最好选用（ ）统计图；要反映学校学生对各电视节目喜欢的人数，最好选用（ ）统计图。 【易错专练8】要统计王阿姨家一年伙食、水电、购物、教育等各项支出的费用，可以绘制（ ）统计图，要统计她家这一年各项支出占总支出的百分比，应绘制（ ）统计图，要统计分析她家近几年旅游支出的变化情况，应绘制（ ）统计图。 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】下面是调查一些同学参加课外兴趣小组的统计图（每人只参加一个兴趣小组）。 （1）一共调查了（ ）名同学。 （2）参加（ ）小组的人数最多，参加（ ）小组的人数最少，相差（ ）人。 （3）参加科技小组的人数比参加美术小组的人数多（ ）人。 【易错专练2】下面是某校六年级全体女生的身高情况统计图。 （1）该校六年级一共有女生（ ）人，身高在（ ）的人数最多，身高在（ ）的人数最少。 （2）该校六年级女生身高在149厘米以上的人数是身高在135~139厘米的（ ）%。 【易错专练3】如下图是某旅游城市近三年来游客人数统计图。 （1）这是（ ）统计图，纵轴上每个单位长度表示（ ）万人；近三年平均每年游客人数为（ ）万人。 （2）2018年游客人数是2017年的（ ）%。 【易错专练4】下面是五（1）班数学期中考试成绩。（单位：分） 100 89 94 56 87 75 69 83 75 98 99 76 85 91 64 95 60 81 96 74 78 65 73 85 93 100 77 58 60 67 74 76 80 84 88 95 63 65 76 88 100 95 82 89 95 （1）按分数段填写下表。 分数/分 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2）这个班同学的考试成绩在（ ）分数段的人数最多，在（ ）分数段的人数最少。 （3）如果把满分定为一等奖，90～99分定为二等奖，80～89分定为三等奖，那么一等奖有（ ）人，二等奖有（ ）人，三等奖有（ ）人；全班有（ ）人获奖。 【易错专练5】下面是某班一组学生一次月考的语文成绩记录。（单位：分） 80  85  88  92  75  67  96  83  85  73 75  58  93  98  100  69  89  99  86  100 （1）根据上面的成绩填写统计表。 分数 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 人数 （2）成绩超过90分的有（    ）人，占总人数的（    ）%；成绩在（    ）分数段的人数最多，占总人数的（    ）%；及格率是（    ）%。 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下面是乐乐一至六年级的肺活量与全国小学女生肺活量的平均值的对比统计表。 年级 一 二 三 四 五 六 全国小学女生肺活量的平均值/mL 1213 1354 1516 1685 1883 2077 乐乐的肺活量/mL 1188 1416 1560 1670 1780 1940 （1）根据统计表的数据完成折线统计图。 （2）乐乐的肺活量在（    ）年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最大；在（    ）年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最小。 （3）乐乐的肺活量在哪个阶段增长最快？与全国小学女生肺活量的平均值的增长情况一致吗？ 【易错专练2】下面是一至六年级球球的体重与全市同年级男生的平均体重的统计表。 年级 一 二 三 四 五 六 全市同年级的男生平均体重/kg 21.5 23 26.5 29.4 31.2 37 球球的体重/kg 20.8 22.7 27 29.8 30.9 36.8 （1）根据上面的数据，完成下面的统计图。 （2）根据统计图回答问题。 ①球球的体重在哪个年级与全市同年级男生的平均体重差距最大？在哪个年级差距最小？ ②球球的体重在哪个阶段长得最快？与全市同年级男生的平均体重的增长情况一致吗？ ③球球的体重在全市同年级男生中所处的位置有变化吗？ 【易错专练3】下面是一至六年级笑笑的身高与全市同年级女生的平均身高的记录表。 年级 一 二 三 四 五 六 全市同年级女生的平均身高/厘米 115 121 128 132 140 151 笑笑的身高/厘米 113 120 130 135 145 158 （1）根据上面的数据完成下面的统计图。 （2）结合上面的统计图，回答下列问题。 ①笑笑的身高在（    ）年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最大。 ②笑笑的身高在（    ）年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最小。 ③笑笑的身高在哪个阶段长得最快？与全市同年级女生的平均身高的增长情况一致吗？ 【易错专练4】下表为某市两个图书超市2019~2022年营业额情况统计表。 （1）根据上表的数据，制成统计图。 （2）看图回答问题。 甲图书超市在（    ）年营业额最多，在（    ）年营业额最少。 乙图书超市在（    ）年营业额最多，在（    ）年营业额增长最快。 （3）从图中你还获得了哪些信息？ 【易错专练5】笑笑的爸爸开了一家鞋店，笑笑把过去一年售出的凉鞋数量做了一个统计，结果如下。 去年凉鞋销售量统计表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数量/双 30 20 60 70 140 230 350 320 180 80 30 10 你能帮笑笑完成下面的统计图，表示出去年凉鞋销售量的变化情况吗？ 根据统计图回答下列问题。 （1）说一说销售量的变化情况，想一想变化的原因。 （2）如果每月卖出60双凉鞋便能收回成本，那么有哪几个月盈利？哪几个月亏本？哪几个月不亏不盈？ （3）你认为去年销售量的统计对以后鞋店确定进货数量有什么帮助？ 专题六比的认识 易错点1：比的意义理解不清，书写不规范 【易错专练1】一杯糖水，糖和水的质量比是1∶16，喝掉一半后，糖和水的质量比是（    ）。 A．1∶8 B．1∶16 C．1∶17 D．1∶32 【易错专练2】如图，一个长方形遮住甲、乙两条线段的一部分，甲、乙两条线段的长度比是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（    ）。 A．1∶99 B．1∶100 C．1∶101 D．100∶101 【易错专练4】六（1）班女生人数是男生人数的，则女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数与全班人数的比是（ ）。 【易错专练5】大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是（ ），两圆的面积比是（ ）。 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆。 【易错专练1】18∶（    ）＝（    ）∶20＝（    ）÷40。 【易错专练2】如果5∶9的后项加上27，要使比值不变，前项应该加上（ ）。 【易错专练3】6∶7的后项加上21，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【易错专练4】25∶（    ）＝＝＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 【易错专练5】把4∶7的前项乘8，要使比值不变，后项应变成（ ）；若把前项加上8，要使比值不变，后项应变成（ ）。 易错点3：求比值与化简比混淆。 【易错专练1】化简比。 4∶＝    0.25∶0.125＝ 【易错专练2】化简比并求比值。         0.125∶                10∶0.02 【易错专练3】化简。 48∶36    0.25∶0.5     【易错专练4】化简比。 15∶21    0.64∶1.6         【易错专练5】把下面各比化成最简单的整数比。 15∶21              0.64∶1.6       易错点4：化简比时要注意单位统一。 【易错专练1】化简比并求比值。 千克∶500克                  公顷∶750平方米 【易错专练2】化简比。 3吨∶650千克＝            0.3克∶0.09千克＝     1.5小时∶45分＝             30分∶1.5时＝ 【易错专练3】化简下面的比，求出比值。 时∶15分        200克∶千克 【易错专练4】化简下面各比。 0.5吨∶25千克      15分∶1时 【易错专练5】化简下列各比。 吨∶125千克         公顷∶400平方米 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 【易错专练1】一辆汽车从甲地到乙地，已经走了全程的，如果再行36km，已行路程和剩下路程的比是5∶2，甲地到乙地全长多少千米？ 【易错专练2】某繁华街道上，停着小轿车、小客车、公共汽车共300辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 【易错专练3】淘气先往210毫升的酸梅原汁中加了350毫升水后，才发现调制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是3∶7时，口感最佳”。请你帮淘气判断：为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加水，还是加酸梅原汁？加多少？为什么？请说明理由。 【易错专练4】淘气和笑笑在一条3.6千米长的公园小路上跑步。淘气平均每分钟跑200米，与笑笑的速度比是5∶4。如果两人分别同时从小路的两端出发，那么几分钟后相遇？ 【易错专练5】盛华商都计划在地下停车场建造260个停车位，分为普通车位和充电桩车位。普通车位和充电桩车位的数量比是10∶3，这个停车场充电桩车位有多少个？ 专题七百分数的应用 易错点1：求“一个数比另一个数多（少）百分之几”时，找错“单位1”。 【易错专练1】某项科学研究，投资450万元，比计划节省了30万元，节省了百分之几？ 【易错专练2】为了防止灯丝过快燃尽，白炽灯的灯泡内通常填充有一种惰性气体。近年来随着科技的进步，LED节能灯以亮度高、更加节能环保等优势逐渐占领了消费市场。为了适应市场的变化，某灯泡厂加大了新型LED灯泡的生产规模，2024年1～3月份，共计生产了15.6万只LED灯泡，比去年同期生产量增加了3.6万只，增产了百分之几？ 【易错专练3】中国铁路经过第六次提速后，“复兴号”高铁正式进入“350时代”，最近一次“复兴号”高铁的标准速度从每小时300千米提高到350千米，这次“复兴号”高铁的速度提高了百分之几？（结果保留一位小数） 【易错专练4】乐乐家上个月的水费是125元，这个月他家实行“家庭低碳计划”后，水费是100元。乐乐家这个月的水费比上个月少了百分之几？ 【易错专练5】哈尔滨到大连的铁路线全长大约是900千米。从哈尔滨乘高铁列车去大连的时间比乘普通列车去大连的时间节省百分之几？（百分号前保留一位小数） 易错点2：求解“已知单位1，求比较量”和“已知比较量，求单位1”两类问题混 淆 【易错专练1】张爷爷家去年收获土豆14吨，今年改种新品种后比去年增产20%。今年收获土豆多少吨？ 【易错专练2】2007年4月18日，中国铁路第六次大面积提速，部分路段列车最高运营速度达到每小时250千米。2008年8月1日，京津城际高速铁路开通运营，列车最高运营速度比第六次大面积提速的最高运营速度提高了40%，京津城际高速铁路的最高运营速度是多少？（先画图理解题意，再解决问题） 【易错专练3】河南省洛阳龙门石窟约有100000尊佛像，山西省大同云冈石窟的佛像数比洛阳龙门石窟少49%。大同云冈石窟约有多少尊佛像？ 【易错专练4】格陵兰岛的面积约有216万平方千米，台湾岛的面积比格陵兰岛的面积约少98.3%，台湾岛的面积约是多少万平方千米？ 【易错专练5】某服装厂接到一批志愿者服装生产的订单，第一周生产了1200套，第二周生产的比第一周多50%，两周一共生产了多少套志愿者服装？ 易错点3：在解决有关百分数的实际问题时,没有找准单位“1”。 【易错专练1】冰融化成水后，体积会减少10%。杯子中现在有一满杯的冰，杯子中的冰块融化后的水经测量体积为180毫升，原杯子中冰的体积是多少立方厘米？ 【易错专练2】红星小学举行捐书活动。五年级共捐了126本书，比六年级少捐，六年级捐了多少本书？ 【易错专练3】据统计，2023年我国谷物单位面积产量428公斤/亩，比2022年增长了0.6%。每亩大约增产多少公斤？（得数保留一位小数） 【易错专练4】一辆快车和一辆慢车从A、B两地同时出发相向而行，在距离中点5千米处相遇，这时快车距离B地还剩全程的40%，A、B两地之间相距多少千米？ 【易错专练5】李伯伯采摘了一批含水量为95%的葡萄600千克。晾晒两天后再测，发现含水量降低到85%。现在这批葡萄的质量是多少千克？ 易错点4：对“折扣”、“成数”、“利率”等概念理解不透彻。 【易错专练1】某县区2023~2024年销售季沃柑产量125万吨，该县区农业农村部门在2025年工作计划中提出着力推动城区农业绿色优质、高质发展，力争实现增产二成，则该县区计划2025年沃柑产量达多少万吨？ 【易错专练2】李叔叔购买了一套石桌凳放在凉亭，购买时恰逢石材厂打八折促销活动，打折后的价钱比原来则便宜了320元，这套石桌凳的原价是多少元？ 【易错专练3】王叔叔2021年元旦把一笔钱存入银行，存定期一年，到2022年元旦时取出，本金和利息共取回20350元（年利率为1.75%），王叔叔的本金是多少元？ 【易错专练4】李明因一项科技发明获得20000元奖金，按规定应缴纳20%的个人所得税。他将实际获得的奖金存入银行，定期三年，年利率是2.20%。到期时，可得本金和利息共多少元？ 【易错专5】根据现行规定，公民月工资不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税部分，超过部分需要缴纳个税，此项税款按下表累加计算： 全月应纳税部分 税率 3000元以内（含3000元） 3% 3000－12000元（含12000元） 10% 12000－25000元（含25000元） 20% （1）如小明的妈妈本月工资为8500元，那么她本月应纳税多少元？ （2）如果小明爸爸本月应缴纳税款1036元，那么他本月的工资是多少元？ 易错点5：解决复杂问题时分不清连续的“单位1”。 【易错专练1】某书店运来一批儿童读物，第一天卖了这批读物的30%，第二天卖了这批读物的36%，比第一天多卖了30本．书店运来的这批儿童读物一共有多少本？(列方程解答) 【易错专练2】京东商城运来一批电视机，第一天卖了总数的25%，第二天卖了总数的，第一天比第二天多卖了10台，运来的电视机共有多少台？ 【易错专练3】水果店进一批水果，第一天卖了50%，第二天卖了余下的30%，这时还有35千克没有卖．这批水果共有多少千克？ 【易错专练4】水果店有一批苹果，第一天卖出总数的20%，第二天卖出总数的25%。第二天比第一天多卖了7.5千克。这批苹果共有多少千克？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级上册数学 （七大专题33个易错点） 目录 专题一圆 3 易错点1：混淆圆的直径和半径 3 易错点2：圆周长的公式应用错误 5 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 8 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 10 易错点5：环形面积计算错误 13 易错点6：圆周率π的取值不准确 16 专题二分数混合运算 18 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 18 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 23 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 31 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 34 专题三观察物体 40 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 40 易错点2：根据两个视图推测小正方体数量范围时，考虑不全面。 42 易错点3：不理解“观察点越高，观察范围越大”的原理。 44 易错点4：在判断拍摄顺序时,没有明确拍摄者行走的路线。 48 专题四百分数 50 易错点1：百分数的意义理解不清，将百分数直接参与计算。 50 易错点2：百分数与小数、分数互化时出错。 52 易错点3：对常见百分率的含义理解不够。 54 易错点4：在解答百分数问题时,找不准单位“1”。 58 专题五数据处理 60 易错点1：扇形统计图中“部分”与“整体”的关系混淆。 61 易错点2：混淆三种统计图的特征。 68 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 72 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 77 专题六比的认识 86 易错点1：比的意义理解不清，书写不规范 86 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆。 87 易错点3：求比值与化简比混淆。 90 易错点4：化简比时要注意单位统一。 93 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 96 专题七百分数的应用 99 易错点1：求“一个数比另一个数多（少）百分之几”时，找错“单位1”。 99 易错点2：求解“已知单位1，求比较量”和“已知比较量，求单位1”两类问题混 101 淆 101 易错点3：在解决有关百分数的实际问题时,没有找准单位“1”。 103 易错点4：对“折扣”、“成数”、“利率”等概念理解不透彻。 106 易错点5：解决复杂问题时分不清连续的“单位1”。 109 专题一圆 易错点1：混淆圆的直径和半径 【易错专练1】看图填一填。 每个圆的直径是（ ）cm，半径是（ ）cm。 【答案】9 4.5 【分析】看图，两个圆的直径和是18cm，那么将18cm除以2，即可求出每个圆的直径。将每个圆的直径再除以2，即可求出每个圆的半径。 【解答】18÷2＝9（cm） 9÷2＝4.5（cm） 所以，每个圆的直径是9cm，半径是4.5cm。 【易错专练2】如图，圆的半径是（ ）厘米，长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】4 160 【分析】观察图形可知，长方形的长等于圆的半径的5倍，长方形的宽等于圆的直径；已知圆的直径是8厘米，根据圆的半径＝圆的直径÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 【解答】圆的半径：8÷2＝4（厘米） 长方形的长：4×5＝20（厘米） 长方形的宽：4×2＝8（厘米） 长方形的面积：20×8＝160（平方厘米） 所以，圆的半径是4厘米，长方形的面积是160平方厘米。 【易错专练3】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是（ ）cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是（ ）cm。 【答案】1 4 【分析】圆规两脚间的距离等于圆的半径，据此求出圆的半径；直径＝半径×2，据此求出圆的直径。 【解答】圆规两脚间的距离是1cm，圆的半径是1cm。 2×2＝4（cm） 用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是1cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是4cm。 【易错专练4】笑笑用下面的一张硬纸板，可以剪（ ）个直径是2dm的圆形纸片。 【答案】12 【分析】长方形的纸片剪成小圆，首先算一行剪几个，长方形的长12dm，小圆的直径是2dm，就是算12dm里有多少个2dm，用除法计算，再算有几行，长方形的宽5dm，同样算5dm里有多少个2dm，用除法计算，得数保留整数部分，小数点后的都舍去，不够的只能舍去。最后用每行的个数去乘行数，据此解答。 【解答】（个） （行） （个） 因此，可以剪12个直径是2dm的圆形纸片。 【易错专练5】求下面各圆的半径或直径。 圆的半径是（ ）厘米             圆的直径是（ ）厘米 圆的直径是（ ）厘米             长方形的长是（ ）厘米 【答案】2.5 9.4 5 23.5 【分析】（1）由图可知，梯形的高为2.5厘米，即圆的半径也为2.5厘米，根据直径＝半径×2，代入数据计算，即可求出直径； （2）由图可知，半径是4.7厘米，根据直径＝半径×2，代入数据计算，即可求出直径；由图可知，长方形的长＝2条直径＋1条半径，代入数据计算，即可求出长方形的长。 【解答】（1）2.5×2＝5（厘米） 圆的半径是2.5厘米，圆的直径是5厘米。 （2）4.7×2＝9.4（厘米） 9.4×2＋4.7 ＝18.8＋4.7 ＝23.5（厘米） 圆的直径是9.4厘米，长方形的长是23.5厘米。 易错点2：圆周长的公式应用错误 【易错专练1】一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】根据C＝2πr求出圆周长，它也是铁丝长，也是等边三角形周长，用周长除以3就是三角形的边长，据此解答。 【解答】2×3.14×6÷3 ＝37.68÷3 ＝12.56（厘米） 故这个三角形的边长是12.56厘米。 【易错专练2】用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是（ ）cm。一个时钟的时针长5cm，经过6小时，时针的尖端移动了（ ）cm。 【答案】4 15.7 【分析】在同一个圆内半径是直径的一半，用圆规画圆时，两脚尖的距离就是圆的半径。根据r＝d÷2，直径是8cm，则半径是（8÷2）cm；时针长度是5cm，这指的是从钟表中心到时针尖端的距离，即半径cm；根据生活经验可知，时针12小时转一圈，经过6小时，也就是时针转了半圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出该圆周长的一半即可。 【解答】8÷2＝4（cm） 用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是4cm。 2×3.14×5÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（cm） 时针的尖端移动了15.7cm。 【易错专练3】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚（ ）圈。 【答案】8 【分析】根据题意可知，油桶滚动的距离＝两墙之间的距离－油桶的底面直径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出油桶的底面周长，再用两墙之间的距离与油桶底面直径的差÷油桶的底面周长，即可解答。 【解答】（26.12－0.5×2）÷（3.14×0.5×2） ＝（26.12－1）÷（1.57×2） ＝25.12÷3.14 ＝8（圈） 底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚8圈。 【易错专练4】如图，这个海棠花形的铁艺相框，由四个同样大的半圆围成。相框高度和宽度都是20厘米，共需（ ）厘米长的铁丝。 【答案】62.8 【分析】由题意可知，半圆的直径等于20÷2＝10（厘米），需要铁丝的长度等于直径是10厘米的两个圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径解答即可。 【解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×10×2 ＝31.4×2 ＝62.8（厘米） 所以共需62.8厘米长的铁丝。 【易错专练5】我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是（ ）cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 【答案】8 20.56 【分析】根据C＝πd，可以推出d＝C÷π，将数据代入求出该圆的直径； 半圆的周长，等于圆周长的一半加上一条直径的长度，即C半圆＝C÷2＋d，将数据代入求解即可。 【解答】由分析可得： 25.12÷3.14＝8（cm） 25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 综上所述：先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是8cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是20.56cm。 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 【易错专练1】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm。 【答案】5 25.7 【分析】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，则最大的半圆直径是长方形的长10cm，则半径为5cm，根据半圆周长＝计算得出半圆的周长。 【解答】10÷2＝5（cm） 3.14×5＋2×5 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是5cm，周长是25.7cm。 【易错专练2】一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是（ ）。 【答案】51.4cm 【分析】用圆的周长公式：C＝πd的逆运算，计算圆的直径；再利用半圆的周长的计算方法：圆的周长的一半加直径，计算半圆的周长。 【解答】62.8÷3.14＝20（cm） 62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 得到的其中一个半圆的周长是51.4cm。 【易错专练3】在一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸里，最多可以剪（ ）个半径是1厘米的圆。如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，该半圆的周长应该是（ ）厘米。 【答案】48 41.12 【分析】如果圆的半径是1厘米，则直径是2厘米，要看长方形纸能剪多少个圆，则用16÷2即可求出长有多少个2厘米，再用12÷2算出宽有多少个2厘米，最后用乘法计算出最多可以剪出多少个半径是1厘米的圆；如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，则半圆的直径是16厘米，半圆的周长相当于圆周长的一半加上直径，根据圆周长公式，则用3.14×16÷2＋16即可求出半圆的周长；据此解答。 【解答】1×2＝2（厘米） （16÷2）×（12÷2） ＝8×6 ＝48（个） 3.14×16÷2＋16 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 最多可以剪48个半径是1厘米的圆。该半圆的周长应该是41.12厘米。 【点评】本题主要考查了长方形和圆的关系以及圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【易错专练4】利用圆规，先把下面的圆画完整，再求出半圆的周长。 【答案】见详解；10.28cm 【分析】半圆所在圆的直径为4cm，根据直径是半径的2倍求出半径，找到圆心，把圆画完整，再根据半圆的周长（C＝πd）是圆周长的一半＋直径，据此解答。 【解答】半径：4÷2＝2（cm） 以此画图，如图： 3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 这个半圆的周长是10.28cm。 【易错专练5】爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 【答案】25.7米；15.7米 【分析】根据题意可知，第一问，求直径是10米的半圆的周长，半圆周长＝πd÷2＋d，第二问中，有一面靠墙，那么篱笆的长度就是直径是10米的圆的周长的一半，即πd÷2，据此解答。 【解答】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 3.14×10÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 答：在空地上需要篱笆25.7米；一面靠墙，菜地现在需要篱笆15.7米。 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 【易错专练1】用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】6 18.84 28.26 【分析】画圆时，圆规两脚张开的距离就是圆的半径，再根据直径＝半径×2，据此求出直径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是6厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 【易错专练2】在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。 【答案】15.42 14.13 【分析】 如图，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【解答】3.14×6÷2＋6 ＝18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（米） 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 半圆形铁板的周长是15.42米，面积是14.13平方米。 【易错专练3】冰壶被称作“冰上溜石”或“冰上国际象棋”，是冬奥会比赛项目之一。冰壶底面直径约是30cm，周长约是（ ）cm，面积约是（ ）cm2。 【答案】94.2 706.5 【分析】已知冰壶底面直径约是30cm，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出它的周长和面积。 【解答】3.14×30＝94.2（cm） 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（cm2） 周长约是94.2cm，面积约是706.5cm2。 【易错专练4】计算下面各圆的面积。      【答案】78.5平方分米；314平方厘米 【分析】根据圆的面积＝，第一个圆的半径为5分米，第二个圆的直径为20厘米，则半径为10厘米，据此计算得出答案。 【解答】第一个圆的面积为： （平方分米） 圆的面积是78.5平方分米。 第二个圆面积为： （平方厘米） 圆的面积是314平方厘米。 【易错专练5】根据下面的条件，求各圆的面积。 （1）r＝4cm （2）d＝1.4dm （3）C＝6.28cm 【答案】（1）50.24cm2 （2）1.5386dm2 （3）3.14cm2 【分析】（1）已知圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； （2）已知圆的直径，先根据r＝d÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； （3）已知圆的周长，先根据r＝C÷π÷2，求圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 【解答】（1）3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 圆的面积是50.24cm2。 （2）3.14×（1.4÷2）2 ＝3.14×0.72 ＝3.14×0.49 ＝1.5386（dm2） 圆的面积是1.5386dm2。 （3）6.28÷3.14÷2＝1（cm） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 圆的面积是3.14cm2。 易错点5：环形面积计算错误 【易错专练1】一个环形，外圆半径是8厘米，内圆半径是5厘米，这个环形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】122.46 【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，用字母表示为S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【解答】3.14×（82－52） ＝3.14×（64－25） ＝3.14×39 ＝122.46（平方厘米） 所以，这个环形的面积是122.46平方厘米。 【易错专练2】两个不同的同心圆，内圆直径为6是米，外圆直径为10厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。 【答案】50.24 【分析】分别用内圆的直径和外圆直径除以2，求出内圆半径和外圆半径，再根据圆环的面积＝×（－）解答。 【解答】6÷2＝3（厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×（－） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 所以圆环的面积是50.24平方厘米。 【易错专练3】2020年6月21日，在我国境内观测到天文奇观日环食。乐乐把自己看到的日环食画下来（如图），内圆、外圆直径分别是10厘米，12厘米，则图中圆环的面积是（ ）平方厘米。 【答案】34.54 【分析】圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积。圆的面积公式为 S＝πr2，其中r是圆的半径，将数据代入公式计算出结果即可。 【解答】外圆的半径＝12÷2＝6（厘米）外圆的面积＝π×62＝36π（平方厘米） 内圆的半径＝10÷2＝5（厘米）；内圆的面积＝π×52＝25π（平方厘米） 圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积＝36π－25π＝11π＝11×3.14＝34.54（平方厘米） 则图中圆环的面积是34.54平方厘米。 【易错专练4】计算下图阴影部分的面积。 【答案】251.2 cm2 【分析】圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此解答即可。 【解答】3.14×（122－82） ＝3.14×（144－64） ＝3.14×80 ＝251.2（cm2） 【易错专练5】玉壁最早产生于距今约五、六千年前的新石器时代，是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一。有一块环形玉璧，尺寸如图要为这个玉壁做一个同规格的环形保护垫，保护垫一面的面积是多少？ 【答案】172.7平方厘米 【分析】圆环的面积可以通过计算外圆的面积减去內圆面积得到。题目中给出了外圆的半径为8厘米，內圆的半径为8－5＝3厘米，圆的面积＝πr2，分别计算出外圆和內圆的面积，然后再将外圆的面积减去內圆的面积得到整个圆环的面积。 【解答】外圆的面积＝π×82＝3.14×64＝200.96（平方厘米） 內圆的面积＝π×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 圆环的面积＝200.96－28.26＝172.7（平方厘米） 答：保护垫一面的面积是172.7平方厘米。 易错点6：圆周率π的取值不准确 【易错专练1】中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】2.28平方米 【分析】根据圆的面积S＝πr2 可知，r2 ＝S÷π。从图中可知，圆的直径就是大正方形的边长，而大正方形的面积＝边长×边长＝r×r＝r2  ；小正方形的面积可以看出两个等腰直角三角形组成，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积，再乘2即可求出小正方形的面积；最后用圆形的面积减去小正方形的面积即可。 【解答】解：设圆半径为r。 r2＝6.28÷3.14＝2（平方米） 2r×r÷2＝r2＝2（平方米） 2×2＝4（平方米） 6.28－4＝2.28（平方米） 答：整个图形中所有空白部分的面积是2.28平方米。 【易错专练2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 【答案】31.4米 【分析】两边弯道可以拼成一个完整的圆，跑一周的长度＝圆的周长＋直道×2，直道长度一样，求出内外两个圆的周长差即可，圆的周长＝2×圆周率×直径，据此列式解答。 【解答】2×3.14×20－2×3.14×15 ＝125.6－94.2 ＝31.4（米） 答：小敏比小露多跑31.4米。 【易错专练3】军军以每分钟62.8米的速度绕一个圆形体育场步行一周，恰好用了5分钟。这个体育场的面积是多少？（取3.14） 【答案】7850平方米 【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出圆形体育场的周长，再利用“”求出圆形体育场的半径，最后根据“”求出这个圆形体育场的面积，据此解答。 【解答】62.8×5＝314（米） 314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个体育场的面积是7850平方米。 【易错专练4】一个圆形花坛半径是20米，将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长。改变后花坛的面积是多少平方米？取 【答案】900平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出圆形花坛的周长；将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长，根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形花坛的边长，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 【解答】3×20×2÷4 ＝60×2÷4 ＝120÷4 ＝30（米） 30×30＝900（平方米） 答：改变后花坛的面积是900平方米。 【点评】熟练掌握圆的周长公式、正方形周长公式、正方形面积公式是解答本题的关键。 【易错专练5】李叔叔购置了一款可折叠的餐桌（如图）。这款餐桌完全展开后，桌面面积是多少平方米？（π取3） 【答案】0.95平方米 【分析】根据题意可知，桌面是一个长是100cm，宽是20cm的长方形面积＋半径为（100÷2）cm圆的面积，根据长方形面积公式：长×宽；圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】100×20＋3×（100÷2）2 ＝2000＋3×502 ＝2000＋3×2500 ＝2000＋7500 ＝9500（cm2） 9500cm2＝0.95m2 答：桌面面积是0.95平方米。 【点评】本题考查长方形面积公式，圆的面积公式的应用，关键是熟记公式。 专题二分数混合运算 易错点1：分数连乘、连除或乘除混合运算时运算顺序错误​ 【易错专练1】计算。                              【答案】4； ；21 【分析】分数连乘运算，是同级运算，先约分再计算即可。据此解答。 【解答】 ＝ ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝21 【易错专练2】计算下面各题。                                                                      【答案】；10 ； 【分析】××，先约分，再进行计算； 15÷×，把除法换算成乘法，原式化为：15××，先约分，再进行计算； ×÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，先约分，再进行计算； ÷×，把除法换算成乘法，原式化为：××，先约分，再进行计算。 【解答】×× ＝ ＝ 15÷× ＝15×× ＝ ＝10 ×÷ ＝×× ＝ ＝ ÷× ＝×× ＝ ＝ 【易错专练3】计算题。 ××             ÷5÷             ÷× ××5             ×15÷           ÷÷× 【答案】；；； ；； 【分析】分数连乘的计算方法：先约分，再计算； 计算分数连除或乘除混合运算，先把其中的除法转化为乘法，再按照分数连乘的方法计算。 【解答】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【易错专练4】计算下面各题。 ×14×             45×× ××              ×× 【答案】；20 ； 【分析】计算分数连乘，可以在计算过程中分别把分数的分子和分母进行约分，再计算出结果。 【解答】×14× ＝     ＝         45×× ＝ ＝20 ××   ＝   ＝           ×× ＝ ＝ 【易错专练5】计算下面各题。                                  【答案】15；；4 【分析】×42×，先约分，再按照从左到右的顺序进行计算； 15÷×，把除法换算成乘法，约分，再进行计算； ×33÷，先把除法换算成乘法，约分，再进行计算。 【解答】×42× ＝ ＝15 15÷× ＝15×× ＝ ＝ ×33÷ ＝×33× ＝ ＝4 易错点2：分数四则混合运算顺序错误。 【易错专练1】列计算下面各题，怎样简便就怎样算。             【答案】13； 【分析】（1）先把乘法转化成乘法，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算。 （2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法。 【解答】（1） （2） 【易错专练2】下面的各题，能简算的要简算。                                                   【答案】14；19 1； 【分析】除以一个数等于乘它的倒数，将除法转化为乘法，即，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，分别计算出×32、×32、×32，再进行加减运算； 观察式子发现，前后两项都有，可根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将式子转化为，再进行计算； 先去小括号，根据去括号法则：括号前是减号，去掉括号后，括号内的加号变减号，得到，然后连同数字前面的符号一起交换数字位置，调整运算顺序为，按顺序计算中括号里面的，最后算括号外的乘法； 先分别计算出两个小括号里面的，即1－和＋，再将两个结果相乘。 【解答】 ＝ ＝×32＋×32－×32 ＝12＋8－6 ＝20－6 ＝14 ＝ ＝ ＝×10 ＝19 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5× ＝ ＝1 ＝×（＋） ＝× ＝ 【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                                            【答案】；29； 19； 【分析】式子符合乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c形式，提取，先算凑整，再相乘； 除以等于乘28，利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，分别让和乘28，再相加，简化计算； 依据减法性质a－b－c＝a－（b＋c），与分母相同，相加和为1，先凑整相加，再用20减它们的和； 除法变乘法（除以7等于乘），式子变为，符合乘法分配律，提取，先算凑整，再相乘。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                          【答案】；； ；；4 【分析】（1）先把除法转化成乘法，然后根据乘法交换律a×b＝b×a把变成进行简算； （2）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算括号外面的加法； （3）先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的乘法； （4）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算； （5）先把56拆成55＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算； （6）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法。 【解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【易错专练5】脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                【答案】；；168 7；28； 【分析】×7×，根据乘法结合律即可简便计算。 ×－×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（－），再进行计算。 28÷（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的除法。 24×（＋－），根据乘法分配律，原式化为：24×＋24×－24×，再进行计算。 ÷＋×65，把除法换算成乘法，原式化为：×35＋×65，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（35＋65），再进行计算。 ÷[（－0.75）÷]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法，据此解答。 【解答】×7× ＝×（7×） ＝×3 ＝ ×－× ＝×（－） ＝× ＝ 28÷（－） ＝28÷（－） ＝28÷ ＝28×6 ＝168 24×（＋－） ＝24×＋24×－24× ＝6＋4－3 ＝10－3 ＝7 ÷＋×65 ＝×35＋×65 ＝×（35＋65） ＝×100 ＝28 ÷[（－0.75）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[÷] ＝÷[×] ＝÷ ＝×5 ＝ 易错点3：实际问题中数量关系理解错误。 【易错专练1】一段公路施工，第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，这时还剩120米未施工，则需要施工的这段公路有多长？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，这段公路的长度看作单位“1”；第一天完成总量的，第二天完成了剩下的，也就是完成的，即；再用1分别减去第一天与第二天占的分率，求出还剩120米占的分率，再用120米除以所对应的分率即可。 【解答】 （米） 答：需要施工的这段公路长200米。 【易错专练2】某工程队要修一段铁路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下440米没有修，第一天比第二天少修了多少米？ 【答案】40米 【分析】将铁路全长看作单位“1”，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下全长的，还剩下的长度÷对应分率＝铁路全长，铁路全长×第一天和第二天对应分率的差＝第一天比第二天少修的长度，据此列式解答。 【解答】 （米） 答：第一天比第二天少修了40米。 【易错专练3】某水果店购进一批水果共240千克，第一天卖了，第二天卖了余下的，这家水果店还剩下多少千克水果？ 【答案】84千克 【分析】把水果的总质量看作单位“1”，第一天之后还剩下，把余下的水果质量看作单位“1”，用乘法求出第二天卖出的水果质量，再用总质量减去第一天、第二天卖的水果质量即可。 【解答】 （千克） （千克） 240－120－36＝84（千克） 答：这家水果店还剩下84千克水果。 【易错专练4】妈妈买来一瓶蜂蜜，玲玲第一天用去，第二天用去50克，还剩一半。这瓶蜂蜜原来有多少克？ 【答案】500克 【分析】把这瓶蜂蜜原来的总重量看作单位“1”，两天后还剩一半，即还剩总量的，那么用去总量的（1－），第一天用去，则第二天用去总量的（1－－），已知第二天用去50克，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用50除以（1－－）即可求出这瓶蜂蜜原来有多少克。 【解答】50÷（1－－） ＝50÷（1－－） ＝50÷ ＝50×10 ＝500（克） 答：这瓶蜂蜜原来有500克。 【易错专练5】某库房里有一批检测试剂，第一天用了总瓶数的，第二天比第一天少用了60瓶，还剩这些检测试剂总瓶数的，这批检测试剂一共有多少瓶？ 【答案】800瓶 【分析】设这批检测试剂一共有x瓶，则第一天用了x瓶，第二天用了（x－60）瓶，还剩下x瓶。根据题意，总瓶数－第一天用的瓶数－第二天用的瓶数＝剩下的瓶数，据此列方程即可解答。 【解答】解：设这批检测试剂一共有x瓶。 x－x－（x－60）＝x x－x＋60＝x x＋60＝x x－x＝60 x－x＝60 x＝60 x＝60× x＝800 答：这批检测试剂一共有800瓶。 易错点4：在解决有关分数的应用题时，找不准单位“1"。 【易错专练1】修一条公路，第一天修了全长的，第二天比第一天多修600米，还剩1800米没有修。这条公路全长多少米？ 【答案】6000米 【分析】根据题意，设这条公路全长米，第一天修了全长的，则第一天修了米；第二天比第一天多修600米，则第二天修了（＋600）米； 根据“还剩1800米没有修”可得出等量关系：全长－第一天修的长度－第二天修的长度＝还剩的长度，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设这条公路全长米。 －－（＋600）＝1800 －－－600＝1800 －600＝1800 －600＋600＝1800＋600 ＝2400 ÷＝2400÷ ＝2400× ＝6000 答：这条公路全长6000米。 【易错专练2】新华书店运来一批童话故事书，售出后，还剩350本，这批童话故事书共有多少本？ 【答案】560本 【分析】将总本数看作单位“1”，售出后，还剩，还剩的本数÷对应分率＝总本数，据此列式解答。 【解答】 （本） 答：这批童话故事书共有560本。 【易错专练3】学校开展班级文化建设评比，淘气小组要为班级折一些千纸鹤来装饰教室。现在已经折了总数的，还剩90只就可以折完。你知道淘气小组一共要折多少只千纸鹤吗？ 【答案】120只 【分析】以千纸鹤总数为单位“1”，已经折了总数的，还剩下总数的（1－），对应数量是剩下90只，单位“1”未知，用剩下的只数÷（1－），即可求出千纸鹤总数。 【解答】90÷（1－） ＝90÷ ＝90× ＝120（只） 答：淘气小组一共要折120只千纸鹤。 【易错专练4】学校创客节活动中，五年级共上交了36件作品，五年级比六年级少交。六年级交了多少件作品？ 【答案】42件 【分析】根据题意，把六年级上交的作品数看作单位“1”，则六年级的作品数量的（1－）是五年级的作品数量，根据分数除法的意义解答即可。 【解答】36÷（1－） ＝36÷ ＝36× ＝42（件） 答：六年级交了42件作品。 【易错专练5】某电冰箱厂今年生产5400台冰箱，比去年多生产，去年生产了多少台冰箱？（列方程解决问题） 【答案】4500台 【分析】以去年生产的冰箱数量为单位“1”，则今年生产5400台冰箱是去年的（1＋），则去年的冰箱数量×（1＋）＝今年生产的冰箱数量，据此设去年生产了台冰箱，根据等量关系，列方程求解即可。 【解答】解：设去年生产了台冰箱。 （1＋）＝5400 ＝5400 ÷＝5400÷ ＝5400× ＝4500 答：去年生产了4500台冰箱。 【易错专练6】驼鹿是某岛上狼的重要食物来源，从1965年至1975年，驼鹿的数量增加了，达到1200只。1965年之前，驼鹿的数量是多少只？ 【答案】750只 【分析】由题意可知，把驼鹿1965年之前的数量看作单位“1”，根据已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，先用加计算数已知数对应的分率，再用除法计算求出单位“1”的具体量，即可得解。 【解答】 （只） 答：驼鹿的数量是750只。 【易错专练7】敦煌莫高窟是世界著名的石窟，其中的一个石窟宽30米，宽比高少，这个石窟的高是多少米？ 【答案】40米 【分析】将石窟的高看作单位“1”，宽是高的（1－），宽÷对应分率＝高，据此列式解答。 【解答】30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝40（米） 答：这个石窟的高是40米。 【易错专练8】据统计，2022年我国高铁的营业里程达到42000千米，比2021年增加了。2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了多少千米？ 【答案】2000千米 【分析】由题意可知，把2021年我国高铁的营业里程看作单位“1”，2021年的营业里程×（1＋）＝42000，据此先用除法求出2021年我国高铁的营业里程，再用减法求2022和2021年高铁的营业里程的差即可。 【解答】 （千米） 答：2022年我国高铁的营业里程比2021年增加了2000千米。 【易错专练9】服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【答案】赔了；思考过程见详解 【分析】假设2件上衣的售价都是99元，则一件上衣赚了，相当于进价的（1＋）是99元，另一件上衣赔了，相当于进价的（1－）是99元，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此分别用除法求出2件上衣的进价，再和卖价比较即可解答。 【解答】假设2件上衣的售价都是99元。 99÷（1＋） ＝99÷ ＝99× ＝90（元） 99÷（1－） ＝99÷ ＝99× ＝110（元） 赚了：99－90＝9（元） 赔了：110－99＝11（元） 9＜11 答：赔了。 【易错专练10】共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 【答案】2200辆 【分析】把2023年投放共享单车的数量看作单位“1”，2024年投放共享单车的数量是2023年的（1＋），对应的是2024年投放共享单车8400辆，求单位“1”，用8400÷（1＋），求出2023年投放共享单车的数量；再把2024年投放共享单车的数量与2023年投放共享单车的数量相加，求出2024年和2023年一共投放共享单车的数量，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量看作单位“1”，据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量×，求出单车损坏数量；再把单车损坏数量看作单位“1”，加私锁、损毁二维码的数量占，用单车损坏数量×，求出加私锁、损毁二维码的数量，再用单车损坏数量－加私锁、损毁二维码的数量，即可解答。 【解答】8400÷（1＋） ＝8400÷ ＝8400× ＝7000（辆） （8400＋7000）× ＝15400× ＝3080（辆） 3080×＝880（辆） 3080－880＝2200（辆） 答：需要补充2200辆。 专题三观察物体 易错点1：根据三个视图还原立体图形时，空间想象不足。 【易错专练1】一个立体图形是由一些完全相同的小正方体搭成的，从不同方向看到的形状如下图所示。这个图形一共用了（ ）个小正方体。 从左面看        从上面看            从正面看 【答案】7 【分析】从正面看，这个图形中的小正方体共摆放了2层下面一层是4个，上面一层靠左是2个；从上面看，这个图形中的小正方体共摆放了2排，第一排是靠左有1个，第二排共有4个；从左面看，这个图形中的小正方体共摆放了2层，下面一层有2个，上面一层靠左有1个；所以组成的这个图形的小正方体的个数就是前排1个靠左，后排共有2层，下面一层是4个，上面一层是2个靠左。共有1＋4＋2＝7（个）。 【解答】综上分析所述，这个图形一共用了7个小正方体。 【易错专练2】淘气用几个1立方厘米的正方体木块搭成一个立体图形，下面是从不同方向看到的形状，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【答案】5 【分析】观察图形可知，这个立体图形有2层，底层有2排，前排有3个，后排有1个，靠右边；上层有1个，在前排的右边；所以这个立体图形一共有（3＋1＋1）个，每个小正方体是1立方厘米，据此得出这个立体图形的体积。 【解答】3＋1＋1＝5（个） 5×1＝5（立方厘米） 这个立体图形的体积是5立方厘米。 【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何体以及三视图的画法，目的是训练学生的观察能力。 【易错专练3】一个立体图形由若干个小正方体搭成，从正面，上面和左面观察到的图形如图所示，那么搭这样的一个立体图形需要 个小正方体。 【答案】5 【分析】根据从正面看到的图形和从左边看到的图形可知，这个立体图形一共2层，上层最少需要1个小正方形体，根据从上面看到的图形可知，这个立体图形下层最少需要4个小正方体；搭这样一个立体图形一共最少需要1＋4＝5个小正方体，据此解答。 【解答】根据分析可知，一共需要： 4＋1＝5（个） 一个立体图形由若干个小正方体搭成，从正面，上面和左面观察到的图形如图所示，那么搭这样的一个立体图形需要5个小正方体。 【点评】本题主要考查三视图以及立体图形的拼接，需要有一定的空间想象能力。 【易错专练4】如图是从三个不同方向看到的立体图形的形状，如果要搭出这个立体图形，则需要（ ）个小正方体。 【答案】5 【分析】根据从正面看到图形和左面看到的图形可知，这个立体图形有2层，上层有2个小正方形体，从上面看到的图形可知，下层有3个小正方形体，一共有2＋3＝5个小正方体组成，据此解答。 【解答】根据分析可知，2＋3＝5（个） 如图是从三个不同方向看到的立体图形的形状，如果要搭出这个立体图形，则需要5个小正方体。 【点评】本题考查根据从不同方向看到的图形确定几何体，认真观察，培养空间想象能力。 易错点2：根据两个视图推测小正方体数量范围时，考虑不全面。 【易错专练1】下图是从不同方向观察同一几何体看到的图形。          从前面看        从左面看 填一填：摆成这个几何体最少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【答案】5 6 【分析】 从前面看是，前面有4个小正方体。从左面看是，后面最少放1个小正方体才符合视图所示，所以摆成这个几何体最少需要4＋1＝5个小正方体。 前面4个小正方体固定不动，要使小正方体个数最多，结合从左面的视图可知，只能在后面最多放2个小正方体（并排放），所以摆成这个几何体最多需要4＋2＝6个小正方体。 【解答】4＋1＝5（个） 4＋2＝6（个） 摆成这个几何体最少需要5个小正方体，最多需要6个小正方体。 【易错专练2】一个立体图形，从上面和正面看到的形状都是，搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。最多可以用（ ）个小正方体。 【答案】5 6 【分析】 由从上面看到的形状是可知，底层最少有4个正方体，前排1个，左齐，后排3个；由从正面看到的形状是可知，上层至少有1个正方体，左齐； 从上面和正面看到的形状都是，底层最多有4个正方体，前排1个，左齐，后排3个；上层最多有2个正方体，居左，前排后排各1个。 【解答】4＋1＝5（个） 4＋2＝6（个） 所以搭成这样的立体图形，最少需要5个小正方体，最多可以用6个小正方体。 【易错专练3】一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）块小正方体。 【答案】5 【分析】 根据观察物体的方法，一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，可知这样的立体图形有2层，底层最少有4块小正方体，上层最少有1块小正方体，与下层左齐，据此解答即可。 【解答】 分析可知，一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要5块小正方体。 【易错专练4】一个长方体从上面看是，左面看是，则它的棱长总和是（ ）cm，体积是（ ）。 【答案】52 48 【分析】结合长方体从上面、左面看到的图形可知，这个长方体的长是8cm、宽是3cm、高是2cm，根据棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出棱长总和、长方体的体积。 【解答】（8＋3＋2）×4 ＝（11＋2）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 8×3×2 ＝24×2 ＝48（） 所以它的棱长总和是52cm，体积是48。 易错点3：不理解“观察点越高，观察范围越大”的原理。 【易错专练1】如图，有一只小狗，看到院内的房顶上有许多小鸟，便走向院子。 （1）小狗走到A位置时，能看到房子上的小鸟。当它继续向前，它看到小鸟的只数怎么变化。请你画一画。 （2）小狗走到B位置时，它能看到小鸟吗？为什么？画一画。 【答案】见详解 【分析】（1）小狗在位置A时，能看到房子上的小鸟．小狗跑向房子时，它能看到房顶上面小鸟的视线区越来越小，所以它能看到的小鸟的只数是越来越少的； （2）小狗跑到位置B时，它就不能看到小鸟了，因为大树遮挡住小狗的视线，小鸟处于小狗的视觉盲区，据此即可解答问题。 【解答】（1）小狗在位置A时，能看到房子上的小鸟；小狗跑向房子时，它能看到房顶上面小鸟的视线区越来越小，所以它能看到的小鸟的只数是越来越少的。 （2）小狗跑到位置B时，它就不能看到小鸟了，因为大树遮挡住小狗的视线，小鸟处于小狗的视觉盲区。 【易错专练2】客车行驶到位置①时，司机能够看到建筑物B的一部分，客车行驶到位置②时，司机还能看到建筑物B吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】在②的位置时，过司机的眼睛和A建筑物的顶端作射线与A建筑物相交，A建筑物射线以上的部分是司机能够看到的部分。根据作图即可判定此时是否能看到建筑B。 【解答】当司机行驶到位置②的时候（如图），他不能看到建筑B，因为被建筑A挡住了。 【点评】关键明白视线如同光线是沿直线传播的。 【易错专练3】淘气在楼上向下张望，楼下有一堵墙。 （1）请画出淘气在A处时看到墙外离墙最近的点A′。 （2）淘气在C处时能看到墙外的地面吗？ （    ）（填能或不能） 【答案】（1）见详解 （2）不能 【分析】（1）以淘气的眼睛为端点向墙的顶端作射线，射线与地面的交点以外的地方，淘气能看见，交点处是看到的最近处A'点；墙外射线与地面交点以内为淘气的盲区； （2）通过（1）可知，淘气在C处是看不到墙外的，因为射线是墙与在C点观察到的最低平行线，所以淘气在C处时不能看到墙外的地面。 【解答】 （1） （2）淘气在C处时不能看到墙外的底面。 【点评】解答本题的关键明确：视线如同光线，是沿直线方向传播的。 【易错专练4】如下图，按要求画一画并回答。 （1）请画出小花在A处时看到墙外地面上离墙最近的点。 （2）在点B处观察的小鹏能看到墙外的小猫吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）由A点与墙的顶点连接成一条直线，并延长至地面，阴影部分的长度就是小花能看到离墙最近的点，据此即可画图。 （2）把点B和墙的顶端连接成一条直线，如果小猫在这条直线的下方，则看不到，如果在这条直线的上方，则能看到，据此即可解答。 【解答】（1）（2）图如下所示： （2）如图，小鹏不能看到小猫，因为他的视线从墙的最上面看也不能看到小猫。 【点评】本题要注意，两点确定一条直线，同时光是沿直线传播。 【易错专练5】学校教学楼的后方有一座塔。 （1）淘气走到位置A时，他能看到塔吗？如果能请你画出来。 （2）淘气继续向前走，能够看到的塔的部分会变得越来越（    ）。 （3）当淘气走到位置B时，他还能够看到塔吗？为什么？ 【答案】（1）能；图见详解 （2）少 （3）不能；理由见详解 【分析】（1）淘气走到位置A时，将他的眼睛与楼顶的左端连接并延长，与塔的交点以上部分即为看到的部分。 （2）观察点离障碍物越远，观察的范围越大；观察点离障碍物越近，观察的范围越小。 （3）当淘气走到位置B时，将他的眼睛与与楼顶的左端连接并延长，如果与塔没有交点，则淘气不能看到塔；反之，能看到塔。 【解答】（1）淘气走到位置A时，他能看到塔，如下图。 （2）淘气继续向前走，能够看到的塔的部分会变得越来越少。 （3）当淘气走到位置B时，他不能看到塔，因为视线完全被楼房挡住了。 易错点4：在判断拍摄顺序时,没有明确拍摄者行走的路线。 【易错专练1】小猫看到一辆车驶来，请按时间顺序给下面的3幅图编号。（标出①、②、③） （ ）      （ ）     （ ） 【答案】② ③ ① 【分析】车子向小猫驶来时，小猫看到车子的距离是由远到近，据此解答。 【解答】 【易错专练2】下面是体育记者连续拍下的运动员撑竿跳高的一组照片。请你在里用①②③④标出拍摄的顺序。 【答案】①；④；②；③ 【分析】撑竿跳高的一般顺序是先助跑并将撑竿插好，然后利用撑竿将身体翻越横杆，接着落到海绵垫上，最后起身庆祝。对照四幅图，可知抱竿跑动在最前，过杆在中间，落垫紧随其后，最后才是双臂张开庆祝。据此编号即可。 【解答】根据分析可得： 【易错专练3】下面是公路摄像头拍到的照片。请你按时间顺序给照片编号。 【答案】2；3；1 【分析】根据题意，刚开始两辆车车头对车头行驶，两辆车距离比较远，然后会慢慢接近，相遇在道路两侧的同一位置，最后两辆车会车尾对车尾行驶，距离会变远。 【解答】由分析得： 【易错专练4】小红乘坐热气球观光，在热气球从起飞到离地面150m的过程中，小红看到的景物有什么变化呢？请你把下面这些图按时间顺序排一排： 【答案】DBCA 【分析】根据题意可知，在热气球从起飞到离地面150m的过程中，小红看到的景物是不断发生变化的，刚起飞时，可以看到建筑物的侧面和树的一部分枝干，如图D；上升一部分后，可以看到建筑物的顶部和侧面及树顶端的枝叶，如图B；再上升后，树的枝叶会看不见，只能看到建筑物的顶部，如图C；当飞到150m高空后，俯视下来，只能看到建筑物顶部的轮廓和树的顶部轮廓，据此解答。 【解答】根据分析可知，这些图按时间顺序为DBCA。 【点评】解答此题的关键是掌握判断物体的观察顺序与观察地点，考查了学生分析解决问题的能力。 专题四百分数 易错点1：百分数的意义理解不清，将百分数直接参与计算。 【易错专练1】一袋盐重千克，也就是48%千克。（ ） 【答案】× 【分析】百分数是一种特殊的分数，表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。 【解答】根据分析，百分数后面不能带单位名称，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】吨＝0.05吨＝5%吨。（ ） 【答案】× 【分析】分数可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以表示一个具体的数量，百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，表示倍比关系，后面不能带单位，据此判断。 【解答】＝1÷20＝0.05 所以吨＝0.05吨，但0.05吨不能写成5%吨，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】1千克瓜子，吃去30%，还剩70%千克。（ ） 【答案】× 【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比；百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。 把1千克瓜子看作单位“1”，吃去30%，那么还剩下全部的（1－30%），据此判断。 【解答】1－30%＝70% 1千克瓜子，吃去30%，还剩70%。 70%的后面不能带单位。 原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】一根绳子长128%米。（ ） 【答案】× 【分析】根据百分数只表示两个数之间的倍比关系，不能表示具体的量，不能带单位，据此解答。 【解答】由分析可知： 一根绳子长128%米，此说法错误。 故答案为：× 【点评】此题考查的是百分数的意义，掌握百分数只表示两个数之间的倍比关系是解题关键。 【易错专练5】千米可以改写成37.5%千米。（ ） 【答案】× 【分析】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，它只能表示两数的倍数关系，而不能表示一个具体的数，所以百分数后面不能有单位名称。 【解答】百分数后面不能有单位名称，千米不能改写成37.5%千米。 故答案为：× 【点评】本题主要考查了百分数的意义，要熟练掌握。 易错点2：百分数与小数、分数互化时出错。 【易错专练1】把下面的百分数化成分数。 30%     28%     125%     36% 【答案】；；； 【分析】先把百分数写成分母是100的分数，分子和分母再同时除以它们的最大公因数，把结果化为最简分数，据此解答。 【解答】30%＝＝＝ 28%＝＝＝ 125%＝＝＝ 36%＝＝＝ 所以，30%＝，28%＝，125%＝，36%＝。 【易错专练2】把下列的百分数化成最简分数。 28%            160%            75%            32% 【答案】；；； 【分析】百分数化成分数：先把百分数改写成分母为100的分数，然后能约分的要约成最简分数。 【解答】28%＝＝＝ 160%＝＝＝ 75%＝＝＝ 32%＝＝＝ 即： 28%＝    160%＝     75%＝     32%＝ 【易错专练3】把48%、1.6%、3%、0.25%化成分数。 【答案】；；； 【分析】把百分数化成分数的方法是，先把百分数改写成分母是100的分数，再看能否约分，能约分的要化成最简分数；若百分号前是小数的百分数化成分数，先利用分数的基本性质把分子的小数点去掉，然后再化成最简分数。 【解答】48%＝＝； 1.6%＝＝＝； 3%＝； 0.25%＝＝＝ 【易错专练4】把下面的百分数改写成小数或分数。 6.25%＝       0.2%＝        18%＝ 125%＝        7%＝         300%＝ 【答案】；；； ；；3 【分析】根据百分数化分数可知，先把百分号去掉，数字部分除以100，得到一个小数，再把换成分母为10的倍数的形式，如：0.5＝ ，最后约分即可。 【解答】（1）6.25% ＝0.0625 ＝ ＝ （2）0.2% ＝0.002 ＝ ＝ （3）18% ＝0.18 ＝ ＝ （4）125% ＝1.25 ＝ ＝ （5）7% ＝0.07 ＝ （6）300%＝3 【易错专练5】把下面的百分数化成小数。 56%    137%    3.6%    46.8% 【答案】0.56；1.37；0.036；0.468 【分析】百分数化为小数，先去掉百分号，然后将小数点向左移动2位，据此解答。 【解答】56%＝0.56 137%＝1.37 3.6%＝0.036 46.8%＝0.468 易错点3：对常见百分率的含义理解不够。 【易错专练1】国家安全是头等大事。2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，主题为“总体国家安全观•创新引领10周年”，维护国家安全，共筑人民防线。某校举行了“国家安全”知识竞赛。竞赛以小组为单位，采取抢答方式，答对1题得10分，答错1题倒扣5分，第三小组一共抢到12道题，最终得分75分，第三小组答题正确率是多少？ 【答案】75% 【分析】假设全部答对，应该得（10×12）分，比实际得分多了（10×12－75）分，因为答对一道题比答错一道题多（10＋5）分，那么多的总分（10×12－75）里面有几个（10＋5），就有几道答错的题，然后用题目的总数量减去答错题目的数量，求出答对的题数； 最后根据正确率＝答对题目的数量÷题目的总数量×100%，代入数据计算，求出第三小组答题的正确率。 【解答】答错的题： （10×12－75）÷（10＋5） ＝（120－75）÷15 ＝45÷15 ＝3（道） 答对的题：12－3＝9（道） 正确率： 9÷12×100% ＝0.75×100% ＝75% 答：第三小组答题正确率是75%。 【易错专练2】下面古诗中“春”的字数占全诗总字数的百分之几？（不算标点） 春水春池满，春进春草生。 春树绽春蕊，春雨伴春风。 春人饮春酒，春鸟弄春色。 【答案】40% 【分析】古诗中每句有5个字，一共有6句，那么总字数为：5×6＝30（个），通过仔细数一数，“春”的字数是12个，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，代入数据计算，即可求出古诗中“春”的字数占全诗总字数的百分之几，据此解答。 【解答】12÷30＝40% 答：古诗中“春”的字数占全诗总字数的40%。 【易错专练3】某锅炉房有360吨煤，第一周烧掉了48吨煤，第二周烧掉了42吨煤。两周一共烧掉了这堆煤的百分之几？ 【答案】25% 【分析】先用第一周烧掉煤的重量＋第二周烧掉煤的重量，求出两周一共烧掉煤的重量，再用两周烧掉煤的重量÷这堆煤的总重量，再乘100%，即可解答。 【解答】（48＋42）÷360×100% ＝90÷360×100% ＝0.25×100% ＝25% 答：两周一共烧掉了这堆煤的25%。 【易错专练4】市场监管部门对市场上的新产品进行抽样调查，从甲产品中随机抽取25份进行检查，有2份不合格；从乙产品中随机抽取30份进行检查，有3份不合格。甲、乙两种产品，哪一个的合格率高？ 【答案】甲产品合格率高。 【分析】根据合格率＝合格数量÷抽取的数量×100%，分别求出甲产品的合格率和乙产品的合格率，再进行比较，即可解答。 【解答】甲产品合格率： （25－2）÷25×100% ＝23÷25×100% ＝0.92×100% ＝92%； 乙产品合格率： （30－3）÷30×100% ＝27÷30×100% ＝0.9×100% ＝90% 92%＞90%，甲产品合格率高。 答：甲产品合格率高。 【易错专练5】下表所示的是几名射击运动员在某次射击训练中的命中情况。 运动员 ① ② ③ ④ ⑤ 射击次数 120 80 100 50 120 没射中次数 20 15 13 8 15 命中率 （1）命中率是什么意思？ （2）填写各运动员的命中率。 （3）命中率最高的是（    ）号运动员，最低的是（    ）号运动员。 【答案】见详解 【分析】（1）命中率就是射击射中的次数占射击总次数的百分之几； （2）计算命中率时，通常用命中率＝射击命中数÷射击总次数×100%来计算（除不尽一般保留3位小数，即百分号“%”前保留一位小数）； （3）比较命中率的高低时一般把命中率看做分母是100的分数，利用同分母分数比较大小的方法比较。 【解答】（1）命中率就是射击射中的次数占射击总次数的百分之几； （2）①（120－20）÷120×100% ＝100÷120×100% ≈0.833×100% ＝83.3% ②（80－15）÷80×100% ＝65÷80×100% ≈0.813×100% ＝81.3% ③（100－13）÷100×100% ＝87÷100×100% ＝0.87×100% ＝87% ④（50－8）÷50×100% ＝42÷50×100% ＝0.84×100% ＝84% ⑤（120－15）÷120×100% ＝105÷120×100% ＝0.875×100% ＝87.5% 运动员 ① ② ③ ④ ⑤ 射击次数 120 80 100 50 120 没射中次数 20 15 13 8 15 命中率 83.3% 81.3% 87% 84% 87.5% （3）87.5%＞87%＞84%＞83.3%＞81.3% 即命中率：⑤＞③＞④＞①＞② 命中率最高的是⑤号运动员，最低的是②号运动员。 易错点4：在解答百分数问题时,找不准单位“1”。 【易错专练1】笑笑看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了70页，这本书一共有多少页？ 【答案】200页 【分析】先统一单位：将第一天看的全书的转化为百分数，＝20% 。找数量关系：两天看的页数和是70页，对应的分率是第一天看的20%与第二天看的15%之和，即20%＋15%＝35% 。用“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，用除法计算，公式为“总页数＝两天看的页数和÷对应分率”。 【解答】＝0.2＝20% 两天看的分率和：20%＋15%＝35% 总页数：70÷35%＝70÷0.35＝200（页） 答：这本书一共有200页。 【易错专练2】笑笑看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看了70页，这本书一共有多少页？ 【答案】200页 【分析】先统一单位：将第一天看的全书的转化为百分数，＝20% 。找数量关系：两天看的页数和是70页，对应的分率是第一天看的20%与第二天看的15%之和，即20%＋15%＝35% 。用“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，用除法计算，公式为“总页数＝两天看的页数和÷对应分率”。 【解答】＝0.2＝20% 两天看的分率和：20%＋15%＝35% 总页数：70÷35%＝70÷0.35＝200（页） 答：这本书一共有200页。 【易错专练3】西昌卫星发射中心的气象专家们为了寻找卫星发射的最佳时间，查阅和分析了若干天的天气数据，其中阴天占18%，多云占35%，多云比阴天多34天，气象专家们一共查阅和分析了多少天的天气数据？（用方程解） 【答案】200天 【分析】设气象专家们一共查阅和分析了x天的天气数据，将查阅和分析的总天数看作单位“1”，求一个数的百分之几是多少用乘法，根据查阅和分析的总天数×多云对应百分率－查阅和分析的总天数×阴天对应百分率＝34天，列出方程解答即可。 【解答】解：设气象专家们一共查阅和分析了x天的天气数据。 35%x－18%x＝34 0.17x＝34 0.17x÷0.17＝34÷0.17 x＝200 答：气象专家们一共查阅和分析了200天的天气数据。 【易错专练4】淘气收集了一些图片，其中名山图片占50%，河流图片占20%，名山图片比河流图片多60张，淘气一共收集了多少张图片？（列方程解答） 【答案】200张 【分析】设一共收集张图片，将图片总数量看作单位“1”，根据图片总数量×名山图片对应百分率－图片总数量×河流图片对应百分率＝60，列出方程解答即可。 【解答】解：设一共收集张图片。 答：淘气一共收集了200张图片。 【易错专练5】某社会实践小组从市场上采集了某品牌牛奶的信息，如下图所示。请你计算出这种品牌的家庭装牛奶1升中所含蛋白质的质量。 信息一：每100毫升牛奶中脂肪所占的百分比为6%，脂肪质量为3.6g。 信息二：每100毫升牛奶中蛋白质所占的百分比为3.3%。 【答案】19.8克 【分析】把100毫升牛奶的质量看作单位“1”，已知100毫升牛奶中脂肪所占的百分比为6%，对应的脂肪质量为3.6克，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，据此用3.6除以6%求出100毫升牛奶的质量，再根据百分数乘法的意义：求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，求出每100毫升牛奶中蛋白质的质量，再把1升化成1000毫升，用1000除以100，求出1000毫升里有几个100毫升，再用每100毫升牛奶中蛋白质的质量乘这个数即可解答。 【解答】3.6÷6%×3.3% ＝60×0.033 ＝1.98（克） 1升＝1000毫升 1.98×（1000÷100） ＝1.98×10 ＝19.8（克） 答：家庭装牛奶1升中所含蛋白质的质量是19.8克。 专题五数据处理 易错点1：扇形统计图中“部分”与“整体”的关系混淆。 【易错专练1】每年的5月31日为“世界无烟日”。今年的“世界无烟日”宣传活动中，六（1）班在学校附近开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，将调查结果整理分析后，统计出支持强制戒烟的有90人，支持替代品戒烟的有20人，并绘制成下面的扇形统计图。 （1）六（1）班同学一共调查了多少人？ （2）把扇形统计图补充完整。 【答案】（1）200人 （2）图见详解 【分析】（1）根据统计图可知，支持替代品戒烟占总调查人数的10%，对应的是支持替代品戒烟人数20人，求单位“1”，用20÷10%解答。 （2）用强制戒烟的人数÷调查的总人数×100%，求出强制戒烟占调查总人数的百分比，再把调查总人数看作单位“1”，用1减去强制戒烟占调查总人数的百分比，减去替代品戒烟占调查总人数的百分比，减去药剂戒烟占调查总人数的百分比，求出警示戒烟炸调查总人数的百分比，完成统计图即可。 【解答】（1）20÷10%＝200（人） 答：六（1）班同学一共调查200人。 （2）90÷200×100% ＝0.45×100% ＝45% 1－45%－10%－15% ＝55%－10%－15% ＝45%－15% ＝30% 如图： 【易错专练2】每年的4月2日是“国际儿童图书日”。为深入推进全民阅读，培养儿童良好阅读习惯，育才小学新购进一批图书，情况统计如图。 （1）育才小学新购进其他图书占这批图书的（    ）%。 （2）育才小学新购进多少本《童话故事》？ 【答案】（1）18；（2）750本 【分析】（1）根据扇形统计图的特点，把育才小学购进的这批图书总量看作单位“1”，育才小学新购进其他图书占这批图书的百分之几＝1－30%－27%－25%，由此解答本题； （2）先根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，《童话故事》数量＝其他图书数量÷其他图书占这批图书的百分之几×25%，由此列式计算。 【解答】（1）1－30%－27%－25%＝18% 育才小学新购进其他图书占这批图书的18%。 （2）540÷18%×25% ＝3000×25% ＝750（本） 答：育才小学新购进750本《童话故事》。 【易错专练3】根据统计图中的信息解答问题。 （1）梨树棵树占果树的（    ）%。     （2）已知张掖农场杏树有300棵，苹果树有多少棵？ 【答案】（1）30 （2）1100棵 【分析】（1）把果树的总棵数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去苹果树、杏树的棵数占总棵数的百分之几，即是梨树棵树占果树的百分之几。 （2）已知杏树有300棵，占总棵数的15%，单位“1”未知，用杏树的棵数除以15%，求出果树的总棵数； 从图中可知，苹果树的棵数占总棵数的55%，单位“1”已知，用总棵数乘55%，求出苹果树的棵数。 【解答】（1）1－55%－15%＝30% 梨树棵树占果树的（30）%。     （2）300÷15% ＝300÷0.15 ＝2000（棵） 2000×55% ＝2000×0.55 ＝1100（棵） 答：苹果树有1100棵。 【易错专练4】下图是某小学六年级学生的视力情况统计图。 （1）六年级有学生300人，那么视力不良的有多少人？ （2）针对这个学校六年级学生的视力状况，你有什么建议？ 【答案】（1）180人 （2）饮食合理，营养均衡，微量元素和维生素摄入充足，增加户外运动，注意用眼卫生，控制电子产品使用时间。 【分析】（1）根据扇形统计图的特征可知，把六年级学生的人数看作单位“1”，视力不良的占，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用六年级的人数乘视力不良对应的百分率即可。 （2）可从日常生活中保护视力的相关行为提建议，例如：饮食要注意营养均衡；多运动；合理用眼等。 【解答】（1） （人） 答：视力不良的有180人。 （2）答：建议：饮食合理，营养均衡，微量元素和维生素摄入充足，增加户外运动，注意用眼卫生，控制电子产品使用时间。 【易错专练5】下面分别是甜甜家上个月支出情况统计图和鹏鹏家上个月支出情况统计图，请看图回答下列问题。 （1）如果甜甜家上个月旅游费支出是720元，那么甜甜家上个月支出的总费用是多少元？ （2）如果鹏鹏家上个月的旅游费用与甜甜家上个月的旅游费用一样多，那么鹏鹏家上个月在服装方面的支出是多少元？ 【答案】（1）4000元 （2）480元 【分析】（1）把甜甜家上个月支出的总费用看作单位“1”，其中旅游费支出占18%；根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算；用旅游费支出720除以18%，所得结果即为甜甜家上个月支出的总费用。 （2）把鹏鹏家上个月支出的总费用看作单位“1”，其中旅游费支出占15%；用旅游费支出720除以15%，计算出鹏鹏家上个月支出的总费用；其中服装方面的费用支出占总费用的10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算；用鹏鹏家上个月支出的总费用乘10%，所得结果即为鹏鹏家上个月在服装方面的支出费用。 【解答】（1）720÷18%＝4000（元） 答：甜甜家上个月支出的总费用是4000元。 （2）720÷15%＝4800（元） 4800×10%＝480（元） 答：鹏鹏家上个月在服装方面的支出是480元。 【易错专练6】下面是明明家去年一年的水、电、煤气费用统计图。 （1）已知煤气费比水费多150元，那么明明家去年一年的水、电、煤气费用共多少元？ （2）明明家去年一年的电费是多少元？ 【答案】（1）3000元 （2）1650元 【分析】（1）可将明明家去年一年的水、电、煤气费总和看作单位“1”，煤气费占25%，水费占20%，电费占55%，根据煤气费-水费＝150，运用百分数的除法计算得出答案。 （2）电费占总费用的55%，运用百分数乘法可计算得出答案。 【解答】（1）根据题意得：煤气费占25%，水费占20%，电费占55%，则、电、煤气费用总和为： 150÷（25%－20%） ＝150÷5% ＝3000（元） 答：明明家去年一年的水、电、煤气费用共3000元。 （2）3000×55%＝1650（元） 答：明明家去年一年的电费是1650元。 【易错专练7】下面的统计图显示了智慧小学六（3）班学生喜欢各种球类活动的人数占比情况。 （1）最受欢迎的是哪种球类活动？ （2）你认为图中的“足球21%”是如何得到的？所有百分比之和是多少？ （3）如果你是这个班的体育委员，准备组织全班同学去观看球类比赛，为了吸引更多同学参与，你会组织观看哪种比赛？ 【答案】（1）最受欢迎的是乒乓球活动。 （2）“足球21%”是喜欢足球活动人数与六（3）班学生总人数之比；所有百分比之和是100%。。 （3）组织同学们观看乒乓球比赛。 【分析】（1）喜欢各种球类活动的人数占比最多的就是最受欢迎的，根据扇形统计图可发现最受欢迎的是乒乓球活动。 （2）扇形统计图中各个百分比是各个活动喜欢人数与六（3）班学生总人数之比；把喜欢各种球类活动的人数占总人数的百分比加起来求出所有百分比之和即可。 （3）根据学生最受欢迎的活动来选择哪种比赛即可。 【解答】（1）35%＞21%＞16%＞14%＞11%＞3% 答：最受欢迎的是乒乓球活动。 （2）35%＋14%＋21%＋16%＋3%＋11%＝100% 答：“足球21%”是喜欢足球活动人数与六（3）班学生总人数之比；所有百分比之和是100%。 （3）因为最受欢迎的是乒乓球活动，为了吸引更多同学参与，会组织同学们观看乒乓球比赛。 【易错专练8】某小区实行垃圾分类，物业管理员统计了一个星期中居民垃圾分类的情况，统计如图： （1）四种垃圾数量按从多到少排列：可回收物、厨余垃圾、其他垃圾和有害垃圾。根据以上信息，将图例补充完整。 （2）这个星期中该小区共产生了35吨可回收物，一星期中产生的垃圾总量是（    ）吨。 （3）在35吨的可回收物中有20%的塑料垃圾，每回收1吨塑料垃圾可获得0.7吨二级原料。这个小区一星期回收的塑料垃圾共产生多少吨二级原料？ 【答案】（1）可回收物 有害垃圾 其他垃圾 厨余垃圾 （2）62.5 （3）4.9吨 【分析】（1）把垃圾总量看作单位“1”，用1减去已知的三类垃圾占总体的百分率，再用1减去这三类垃圾占单位“1”的百分率，再比较大小即可； （2）由（1）可知，可回收物占单位“1”的56%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法解答，据此用35除以56%即可解答； （3）求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，据此用35乘20%求出这个小区一星期回收物中有多少吨塑料垃圾，有多少吨塑料垃圾就有多少个0.7吨二级原料，据此，再用塑料垃圾的吨数乘0.7即可求出这个小区一星期回收的塑料垃圾共产生多少吨二级原料。 【解答】（1）1－56%－10%－4% ＝44%－10%－4% ＝34%－4% ＝30% 56%＞30%＞10%＞4% 如图： （2）35÷56%＝62.5（吨） 一星期中产生的垃圾总量是62.5吨。 （3）35×20%×0.7 ＝7×0.7 ＝4.9（吨） 答：这个小区一星期回收的塑料垃圾共产生4.9吨二级原料。 易错点2：混淆三种统计图的特征。 【易错专练1】2024年6月25日，嫦娥六号返回器从月球背面采样带回1935300毫克月壤，实现了世界首次月球背面自动采样返回。横线上的数读作（ ），省略“万”位后面的尾数约是（ ）毫克。我国科学家研究“月壤”中各种物质的含量占总量的百分比，绘制（ ）统计图比较合适。 【答案】一百九十三万五千三百 194万 扇形 【分析】分级读数，先将数按 “四位一级” 划分为个级（个位、十位、百位、千位）和万级（万位、十万位、百万位、千万位），再从高位到低位依次读取。省略“万”位后面的尾数时，看千位数字，比5小都省略，等于5或大于5向万位进1，最后再加一个万字；要表示各个数量和总数量之间的关系绘制扇形统计图更合适，所以扇形统计图能表示出“月壤”中各种物质的含量占总量的百分比。 【解答】根据分析可知，横线上的数读作一百九十三万五千三百，省略“万”位后面的尾数约是194万毫克。我国科学家研究“月壤”中各种物质的含量占总量的百分比，绘制扇形统计图比较合适。 【易错专练2】“六一”儿童节，某书城举行“快乐购书节”活动。 （1）书城张经理要统计当天各类图书分别销售了多少册，他采用 统计图比较合适。 （2）果果到书城买了4本故事书，每本a元，还余下18元，他一共带了 元钱。 【答案】（1）条形 （2）4a＋18 【分析】（1）三种统计图的特点： 条形统计图可以直观地显示数量的多少。 折线统计图除了显示数量的多少，还可以清楚地反应数量的增减变化情况。 扇形统计图可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系。 根据各种统计图的特点，选择合适的统计图，据此解答。 （2）先根据总价＝单价×数量，求出买了4本故事书的价钱，再加上还余下的钱数，即可求出果果一共带了多少钱，据此解答。 【解答】（1）由分析可得：书城张经理要统计当天各类图书分别销售了多少册，他采用条形统计图比较合适。 （2）4×a＋18＝（4a＋18）元 即他一共带了（4a＋18）元钱。 【易错专练3】本学期初，同学们通过电视、央视网、央视频APP、其他网络平台观看了“开学第一课”。如果想要直观的看到六（1）班的同学每种观看方式的人数，应选择（ ）统计图，如果想要知道这四种观看方式人数分别占班级总人数的百分比，应选用（ ）统计图。 【答案】条形 扇形 【分析】条形统计图能够清楚地表示出数量的多少，并且易于比较数据之间的差别‌；折线统计图表示的是事物的变化情况；扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据，据此解答即可。 【解答】本学期初，同学们通过电视、央视网、央视频APP、其他网络平台观看了“开学第一课”。如果想要直观的看到六（1）班的同学每种观看方式的人数，应选择条形统计图，如果想要知道这四种观看方式人数分别占班级总人数的百分比，应选用扇形统计图。 【易错专练4】要表示淘气家每个月饮食、服装、教育、旅游等各项支出占总支出的百分比，选择（ ）统计图较合适；要表示一年教育支出增减变化情况，选择（ ）统计图较合适。 【答案】扇形 折线 【分析】条形统计图可以清楚地看出数量的多少； 折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况； 扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系。 【解答】要表示淘气家每个月饮食、服装、教育、旅游等各项支出占总支出的百分比，选择扇形统计图较合适；要表示一年教育支出增减变化情况，选择折线统计统计图较合适。 【点评】理解掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图的特点是选择统计图的关键。 【易错专练5】人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出来的水。以上调查结果用（ ）统计图比较合适。一个成年人如果想每天体内维持约2500升的水，那么他每天需要喝（ ）毫升水。 【答案】扇形 1175000 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。 用一个成年人每天需要的水量乘靠喝水占人体需用水分的分率就是一个成年人每天大约需要喝水多少毫升。 【解答】人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出来的水。以上调查结果用扇形统计图比较合适。 2500×47%＝1175（升）＝1175000毫升 一个成年人如果想每天体内维持约2500升的水，那么他每天需要喝1175000毫升水。 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。 【易错专练6】要反映六（1）班同学一次体质测试中优、良、中、差的人数占全班人数的情况，应选用（ ）统计图；要反映果园里各种果树的具体棵数，应选用（ ）统计图；要反映一个高烧的病人一周内每天体温的变化情况，应选用（ ）统计图。（填“条形”“折线”或“扇形”） 【答案】扇形 条形 折线 【分析】扇形统计图的特点：能够反应出部分和整体之间的关系；折线统计图：能够反应数量的多少，能够反映出数量的增减变化情况；条形统计图：能够清楚的反映出数量的多少；据此即可填空。 【解答】要反映六（1）班同学一次体质测试中优、良、中、差的人数占全班人数的情况，应选用扇形统计图；要反映果园里各种果树的具体棵数，应选用条形统计图；要反映一个高烧的病人一周内每天体温的变化情况，应选用折线统计图。 【点评】本题主要考查统计图的特点，熟练掌握三种统计图的特点并灵活运用。 【易错专练7】统计成绩时，要反映出各个分数段人数各占全班人数的百分比最好选用（ ）统计图；要反映某城市一天气温变化情况，最好选用（ ）统计图；要反映学校学生对各电视节目喜欢的人数，最好选用（ ）统计图。 【答案】扇形 折线 条形 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少； 折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况； 扇形统计图能反映部分与整体的关系，据此解答。 【解答】统计成绩时，要反映出各个分数段人数各占全班人数的百分比最好选用扇形统计图，要反映某城市一天气温变化情况，最好选用折线统计图；要反映学校学生对各电视节目喜欢的人数，最好选用条形统计图。 【点评】根据统计图的各自的特征进行解答。 【易错专练8】要统计王阿姨家一年伙食、水电、购物、教育等各项支出的费用，可以绘制（ ）统计图，要统计她家这一年各项支出占总支出的百分比，应绘制（ ）统计图，要统计分析她家近几年旅游支出的变化情况，应绘制（ ）统计图。 【答案】条形 扇形 折线 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。 【解答】要统计王阿姨一年伙食、水电购物、教育等各项支出的费用，可以绘制条形统计图，要统计她家这一年各项支出占总支出的百分比，则应绘制扇形统计图，而要统计分析她家近几年旅游支出的变化情况，应绘制折线统计图。 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。 易错点3：分段统计时易忽略数据段的起点和终点。 【易错专练1】下面是调查一些同学参加课外兴趣小组的统计图（每人只参加一个兴趣小组）。 （1）一共调查了（ ）名同学。 （2）参加（ ）小组的人数最多，参加（ ）小组的人数最少，相差（ ）人。 （3）参加科技小组的人数比参加美术小组的人数多（ ）人。 【答案】（1）35 （2）足球 趣味数学 6 （3）3 【分析】（1）根据统计图中的信息，将每个兴趣小组的人数加起来即可；趣味数学小组有6人；美术小组有7人；科技小组有10人；足球小组有12人； （2）哪一个小组对应的条状最长，参加这个小组的人数就最多；哪一个小组对应的条状最短，参加这个小组的人数就最少；然后再将这两个小组的人数相减即可； （3）用一个小组的人数乘2刚好得到另一个小组的人数即可。 【解答】（1）6＋7＋10＋12＝35（名） （2）根据观察可知：参加足球小组的人数最多，参加趣味数学小组的人数最少，相差：12－6＝6（人） （3）10－7＝3（人） 因此参加科技小组的人数比参加美术小组的人数多3人。 【易错专练2】下面是某校六年级全体女生的身高情况统计图。 （1）该校六年级一共有女生（ ）人，身高在（ ）的人数最多，身高在（ ）的人数最少。 （2）该校六年级女生身高在149厘米以上的人数是身高在135~139厘米的（ ）%。 【答案】（1）72 145~149厘米/145~149cm 130厘米以下/130cm以下 （2）50 【分析】（1）横轴表示女生的身高情况，纵轴表示女生的人数。将各个阶段的女生人数相加即可求得女生的总人数；观察统计图可知，身高在145~149厘米的人数最多，身高在130厘米以下的人数最少。 （2）用六年级女生身高在149厘米以上的人数除以身高在135~139厘米的人数即可解答。 【解答】（1）2＋4＋12＋22＋26＋6＝72（人） 该校六年级一共有女生72人，身高在145~149厘米的人数最多，身高在130厘米以下的人数最少。 （2）（6÷12）×100% ＝0.5×100% ＝50% 该校六年级女生身高在149厘米以上的人数是身高在135~139厘米的50%。 【点评】本题考查了从统计图中读出信息并根据信息解决问题的能力。 【易错专练3】如下图是某旅游城市近三年来游客人数统计图。 （1）这是（ ）统计图，纵轴上每个单位长度表示（ ）万人；近三年平均每年游客人数为（ ）万人。 （2）2018年游客人数是2017年的（ ）%。 【答案】（1）条形 4 12.8 （2）150 【分析】（1）从图中可以看出，这是条形统计图，每个单位长度表示4万人，求近三年游客平均有多少万人，用总人数除以3即可； （2）求2018年游客人数是2017年的百分之几，用2018年人数除以2017年人数，求出结果，再把结果乘100，加个百分号即可； 【解答】（1）这是条形统计图，每个单位长度表示4万人；近三年游客平均有： （8＋12＋18.4）÷3 ＝38.4÷3 ＝12.8（万人） （2）12÷8＝150% 答：2018年游客人数是2017年的150%； 【点评】此题主要考查的是如何从统计图中获取信息，然后再根据所得到的信息进行计算、预测即可。 【易错专练4】下面是五（1）班数学期中考试成绩。（单位：分） 100 89 94 56 87 75 69 83 75 98 99 76 85 91 64 95 60 81 96 74 78 65 73 85 93 100 77 58 60 67 74 76 80 84 88 95 63 65 76 88 100 95 82 89 95 （1）按分数段填写下表。 分数/分 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2）这个班同学的考试成绩在（ ）分数段的人数最多，在（ ）分数段的人数最少。 （3）如果把满分定为一等奖，90～99分定为二等奖，80～89分定为三等奖，那么一等奖有（ ）人，二等奖有（ ）人，三等奖有（ ）人；全班有（ ）人获奖。 【答案】3 10 12 10 8 2 45 80～89 60以下 3 10 12 25 【分析】（1）数出每一个分数段的人数，填写在统计表内。 （2）根据统计表中数据找出人数最多与最少的分数段即可； （3）找出统计表中相应的人数即可，求获奖总人数，将获奖人数相加即可。 【解答】（1）根据数据填表如下： 分数/分 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计 人数 3 10 12 10 8 2 45 （2）由统计表可知。成绩在80～89分数段的人数最多，有12人；成绩在60以下分数段的人数最少，只有2人。 （3）如果把满分定为一等奖，90～99 分定为二等奖，80～89分定为三等奖，那么由统计表可知，一等奖有3人，二等奖有10人，三等奖有12人。全班有3＋10十12＝25人获奖。 【点评】本题主要考查数据的搜集与整理。 【易错专练5】下面是某班一组学生一次月考的语文成绩记录。（单位：分） 80  85  88  92  75  67  96  83  85  73 75  58  93  98  100  69  89  99  86  100 （1）根据上面的成绩填写统计表。 分数 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 人数 （2）成绩超过90分的有（    ）人，占总人数的（    ）%；成绩在（    ）分数段的人数最多，占总人数的（    ）%；及格率是（    ）%。 【答案】（1）2；5；7；3；2；1 （2）7；35；80～89；35；95 【分析】（1）将这些成绩分段整理，填写入统计表中即可。 （2）成绩超过90分的包括90～99分和100分的，把这两个分数段的人数相加，再除以全班总人数，求出成绩超过90分的人数占总人数的百分之几； 比较统计表中各分数段的人数，找出成绩在哪个分数段的人数最多，再用这个分数段的人数除以全班总人数，求出这个分数段的人数占总人数的百分之几； 用全班总人数减去60分以下的人数，即是及格的人数，再除以全班总人数，即是及格率。 【解答】（1）填表如下： 分数 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 人数 2 5 7 3 2 1 （2）总人数：2＋5＋7＋3＋2＋1＝20（人） 成绩超过90分的有：2＋5＝7（人） 7÷20×100% ＝0.35×100% ＝35% 7＞5＞3＞2＞1 7÷20×100% ＝0.35×100% ＝35% 及格率： （20－1）÷20×100% ＝19÷20×100% ＝0.95×100% ＝95% 成绩超过90分的有（7）人，占总人数的（35）%；成绩在（80～89）分数段的人数最多，占总人数的（35）%；及格率是（95）%。 易错点4：对复式折线统计图的特点和绘制方法掌握不牢。 【易错专练1】下面是乐乐一至六年级的肺活量与全国小学女生肺活量的平均值的对比统计表。 年级 一 二 三 四 五 六 全国小学女生肺活量的平均值/mL 1213 1354 1516 1685 1883 2077 乐乐的肺活量/mL 1188 1416 1560 1670 1780 1940 （1）根据统计表的数据完成折线统计图。 （2）乐乐的肺活量在（    ）年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最大；在（    ）年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最小。 （3）乐乐的肺活量在哪个阶段增长最快？与全国小学女生肺活量的平均值的增长情况一致吗？ 【答案】（1）见详解 （2）六；四 （3）乐乐肺活量在1~2年级增长最快，与全国小学女生肺活量的平均值的增长情况不一致。 【分析】（1）根据表格中全国小学女生肺活量的平均值和乐乐的肺活量数据，在统计图中找到对应的年级和肺活量数值点，然后分别用实线（全国小学女生肺活量的平均值）和虚线（乐乐的肺活量）依次连接各点即可。 （2）观察统计图在统计图上分别找出每个年级乐乐的肺活量与该地区小学生肺活量的平均值，两个点离得越远，说明差距越大；两个点离得越近，说明差距越小。据此求出乐乐的肺活量在几年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最大；在几年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最小。 （3）分别观察统计图上的虚线（乐乐的肺活量）与实线（全国小学女生肺活量的平均值），看线段的倾斜程度：线段越陡，说明这段时间数据增长越快。据此找出乐乐的肺活量在哪个阶段增长最快，再与此阶段的实线（全国小学女生肺活量的平均值）相比较判断出与全国小学女生肺活量的平均值的增长情况是否一致。 【解答】（1） （2）从统计图上可以看出在六年级时，乐乐的肺活量与该地区小学生肺活量的平均值，离得最远，所以乐乐的肺活量在六年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最大；在四年级时，乐乐的肺活量与该地区小学生肺活量的平均值，离得最近，所以乐乐的肺活量在四年级时与全国小学女生肺活量的平均值差距最小。 （3）从统计图上可以看出虚线在1~2年级这一段最陡，所以乐乐的肺活量在1~2年级增长最快。而实线看出实线在4~5年级这一段最陡，所以全国小学女生肺活量的平均值在4~5年级增长最快。所以乐乐肺活量与全国小学女生肺活量的平均值的增长情况不一致。 【易错专练2】下面是一至六年级球球的体重与全市同年级男生的平均体重的统计表。 年级 一 二 三 四 五 六 全市同年级的男生平均体重/kg 21.5 23 26.5 29.4 31.2 37 球球的体重/kg 20.8 22.7 27 29.8 30.9 36.8 （1）根据上面的数据，完成下面的统计图。 （2）根据统计图回答问题。 ①球球的体重在哪个年级与全市同年级男生的平均体重差距最大？在哪个年级差距最小？ ②球球的体重在哪个阶段长得最快？与全市同年级男生的平均体重的增长情况一致吗？ ③球球的体重在全市同年级男生中所处的位置有变化吗？ 【答案】（1）见详解； （2）①一年级；六年级； ②五~六年级；一致； ③有变化； 【分析】（1）根据所给数据，绘图纵轴1个代表3kg，先看横轴找到纵轴的对应点，先描点再连线，可以画出折线统计图； （2）①观察折线统计图，图中同一年级对应的两点间距离越远平均体重差距越大，同一年级对应的两点间距离越近平均体重差距小，由于数据较为接近，需要通过计算各年的差值才可确定； ②图中，哪个阶段折线越陡，长得越快，折线越平缓，体重变化越慢； ③如果代表球球的体重折线始终在另一条折线上方或下方则说明球球的体重在全市同年级男生中所处的位置没有变化，否则发生变化。据此解答。 【解答】 （1） （2）①21.5－20.8＝0.7（千克） 23－22.7＝0.3（千克） 27－26.5＝0.5（千克） 29.8－29.4＝0.4（千克） 31.2－30.9＝0.3（千克） 37－36.8＝0.2（千克） 答：球球的体重在一年级与全市同年级男生的平均体重差距最大。在六年级差距最小。 ②五~六年级折线最陡，两条折线变化情况相同。 答：球球的体重在五~六年级长得最快。与全市同年级男生的平均体重的增长情况一致。 ③球球的体重在一、二、五、六年级低于男生平均体重，在三、四年级低于男生平均体重。 答：球球的体重在全市同年级男生中所处的位置有变化。 【易错专练3】下面是一至六年级笑笑的身高与全市同年级女生的平均身高的记录表。 年级 一 二 三 四 五 六 全市同年级女生的平均身高/厘米 115 121 128 132 140 151 笑笑的身高/厘米 113 120 130 135 145 158 （1）根据上面的数据完成下面的统计图。 （2）结合上面的统计图，回答下列问题。 ①笑笑的身高在（    ）年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最大。 ②笑笑的身高在（    ）年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最小。 ③笑笑的身高在哪个阶段长得最快？与全市同年级女生的平均身高的增长情况一致吗？ 【答案】（1）见详解 （2）①六 ②二 ③五年级到六年级；一致 【分析】（1）可以用虚线表示全市同年级女生的平均身高，实线表示笑笑的身高；观察身高数据，最高的158厘米，最低的113厘米，起始格可以表示113厘米，上边每格表示9厘米即可；根据各数量的多少，在方格图的纵线或横线（或纵、横的交点）上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）①观察复式折线统计图，两数据点相距越远表示身高水平差距越大； ②两数据点相距越近表示身高水平差距越小； ③实线表示笑笑的身高，折线往上坡度越陡表示长得越快；折线往上表示上升趋势，对照笑笑和全市同年级女生的平均身高即可。 【解答】（1）一至六年级笑笑的身高与全市同年级女生的平均身高统计图 （2）①笑笑的身高在六年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最大。 ②笑笑的身高在二年级时与全市同年级女生的平均身高水平差距最小。 ③笑笑的身高在五年级到六年级长得最快，与全市同年级女生的平均身高的增长情况一致，都呈上升趋势。 【易错专练4】下表为某市两个图书超市2019~2022年营业额情况统计表。 （1）根据上表的数据，制成统计图。 （2）看图回答问题。 甲图书超市在（    ）年营业额最多，在（    ）年营业额最少。 乙图书超市在（    ）年营业额最多，在（    ）年营业额增长最快。 （3）从图中你还获得了哪些信息？ 【答案】（1）画图见详解； （2）2022；2019 2022；2021 （3）见详解 【分析】（1）根据统计表的数据，在统计图中，找到甲、乙图书超市每一年的营业额对应位置并标记好点位，将点位连起来即可。 （2）在折线统计图纵向轴中找到甲、乙图书超市的最高点，在横向轴找到相应的年份，相交的点位即是这个年份即是营业额最多的一年，在折线统计图纵向轴中找到甲、乙图书超市营业额最低点位，并在横向轴中找到相应的年份，相交的点位即是这个年份营业额最低的一年，据此解答。 （3）在折线统计图中还可以找找甲或乙图书超市哪一年到哪一年增长最多，据此解答。 【解答】（1）如图： （2）甲图书超市在2022年营业额最多，在2019年营业额最少。 乙图书超市在2022年营业额最多，在2021年营业额增长最快。 （3）乙图书超市营业额哪一年到哪一年增长最多。 乙图书超市的营业额在2020－2021增长最多。（答案不唯一） 【易错专练5】笑笑的爸爸开了一家鞋店，笑笑把过去一年售出的凉鞋数量做了一个统计，结果如下。 去年凉鞋销售量统计表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数量/双 30 20 60 70 140 230 350 320 180 80 30 10 你能帮笑笑完成下面的统计图，表示出去年凉鞋销售量的变化情况吗？ 根据统计图回答下列问题。 （1）说一说销售量的变化情况，想一想变化的原因。 （2）如果每月卖出60双凉鞋便能收回成本，那么有哪几个月盈利？哪几个月亏本？哪几个月不亏不盈？ （3）你认为去年销售量的统计对以后鞋店确定进货数量有什么帮助？ 【答案】统计图见详解 （1）见详解 （2）盈利：4月、5月、6月、7月、8月、9月、10月；亏本：1月、2月、11月、12月；不亏不盈：3月 （3）见详解 【分析】根据统计表中的数据，先在统计图中描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，完成折线统计图的绘制。 （1）根据折线统计图中折线的变化情况，结合穿凉鞋的季节情况得出销售量的变化原因。 （2）根据“每月卖出60双凉鞋便能收回成本”可知，销售量高于60双为盈利，低于60双为亏本，等于60双为不亏不盈；据此用每个月的销售量与60双作比较，得出盈利、亏本、不亏不盈的月份。 （3）根据折线统计图的特点，从统计图中获取信息，写出对以后鞋店确定进货数量有哪些帮助，合理即可。 【解答】 （1）2月～7月凉鞋销售量呈上升趋势，1月～2月、7月～12月凉鞋销售量呈下降趋势，变化的主要原因是2月～7月气温越来越高，1月～2月、7月～12月气温越来越低。（答案不唯一） （2）1月：30＜60，亏本； 2月：20＜60，亏本； 3月：60＝60，不亏不盈； 4月：70＞60，盈利； 5月：140＞60，盈利； 6月：230＞60，盈利； 7月：350＞60，盈利； 8月：320＞60，盈利； 9月：180＞60，盈利； 10月：80＞60，盈利； 11月：30＜60，亏本； 12月：10＜60，亏本。 答：4月、5月、6月、7月、8月、9月、10月这7个月盈利，1月、2月、11月、12月这4个月亏本，3月不亏不盈。 （3）可以根据去年销售量的变化情况来确定这一年的进货数量，销售量高的月份多进一些，销售量低的月份少进一些。（答案不唯一） 专题六比的认识 易错点1：比的意义理解不清，书写不规范 【易错专练1】一杯糖水，糖和水的质量比是1∶16，喝掉一半后，糖和水的质量比是（    ）。 A．1∶8 B．1∶16 C．1∶17 D．1∶32 【答案】B 【分析】一杯糖水，糖和水的质量比是1∶16，喝了一半后，糖水的浓度不变，剩下的糖水中糖和水的质量比不变。据此解答。 【解答】喝了一半后，糖水的浓度不变，剩下的糖水中糖和水的质量比不变，还是1∶16。 故答案为：B 【易错专练2】如图，一个长方形遮住甲、乙两条线段的一部分，甲、乙两条线段的长度比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知，甲的等于乙的，假设它们都等于2，则甲×＝乙×＝2，根据一个因数等于积除以另一个因数，据此分别求出甲和乙，再列比即可。 【解答】假设甲的等于乙的等于2。 甲： 乙： 如图，一个长方形遮住甲、乙两条线段的一部分，甲、乙两条线段的长度比是7：5。 故答案为：D 【易错专练3】把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（    ）。 A．1∶99 B．1∶100 C．1∶101 D．100∶101 【答案】C 【分析】用盐的重量＋水的重量，求出盐水的重量，再根据比的意义，用盐的重量∶盐水的重量，即可解答。 【解答】1∶（1＋100） ＝1∶101 把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是1∶101。 故答案为：C 【易错专练4】六（1）班女生人数是男生人数的，则女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数与全班人数的比是（ ）。 【答案】3∶7 7∶10 【分析】比的意义：两个数相除又叫两个数的比。女生人数是男生人数的，可以将男生人数看作7份，则女生人数为3份。女生人数与男生人数的比即为3∶7；全班人数为男生和女生的总和，即7份＋3份＝10份，因此男生人数与全班人数的比是7∶10。 【解答】设男生人数为7份，则女生人数为3份，全班人数为7份＋3份＝10份。 所以，女生人数与男生人数的比是3∶7。男生人数与全班人数的比是7∶10。 【易错专练5】大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是（ ），两圆的面积比是（ ）。 【答案】4∶3 16∶9 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可知，两个圆的周长比等于它们的半径之比； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，两个圆的面积比等于它们半径的平方之比。 【解答】两圆的周长比＝两圆的半径比＝4∶3 两圆的面积比＝两圆半径的平方比＝42∶32＝16∶9 大小两个圆的半径比是4∶3，则两圆的周长比是（4∶3），两圆的面积比是（16∶9）。 易错点2：将比的基本性质与分数的基本性质混淆。 【易错专练1】18∶（    ）＝（    ）∶20＝（    ）÷40。 【答案】45；8；10；16 【分析】分数和比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项； 分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数； 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； 据此解答。 【解答】＝2∶5＝2÷5 因为18÷2＝9，5×9＝45，所以＝18∶45； 因为20÷5＝4，2×4＝8，所以＝8∶20； 因为25÷5＝5，2×5＝10，所以＝； 因为40÷5＝8，2×8＝16，所以＝16÷40； 所以＝18∶45＝8∶20＝＝16÷40。 【易错专练2】如果5∶9的后项加上27，要使比值不变，前项应该加上（ ）。 【答案】15 【分析】原来的比是5∶9，后项加上27后，新的后项为9＋27＝36。后项从9变为36，36÷9＝4，即后项乘4。据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。因此，前项也应乘4，原来的前项是5，乘4后变为5×4＝20。前项从5变为20，需要加上的数为20－5＝15。 【解答】9＋27＝36 36÷9＝4 5×4＝20 20－5＝15 所以前项应该加上15。 【易错专练3】6∶7的后项加上21，要使比值不变，前项应加上（ ）。 【答案】18 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。此题是后项加上21，先算出后项是7＋21＝28，28是后项7乘4所得，要使比值不变，前项也得乘4，算出得数再减去前项6即可。 【解答】7＋21＝28 28÷7＝4 6×4＝24 24－6＝18 所以，6∶7的后项加上21，要使比值不变，前项应加上18。 【易错专练4】25∶（    ）＝＝＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 【答案】40；20；62.5；0.625 【分析】根据分数与比的关系得＝5∶8，然后根据比的基本性质，前项和后项同时乘5，计算出后项； 根据分数的基本性质，分子、分母同时乘4，计算出分数中的分子； 根据分数与除法的关系得＝5÷8，计算出用小数表示的商是0.625； 小数化为百分数，将小数的小数点向右移动两位，再加上百分号。 【解答】＝5∶8 ＝（5×5）∶（8×5） ＝25∶40 ＝＝ ＝5÷8＝0.625 将0.625的小数点向右移动两位得62.5，再加上百分号是62.5%。 综上，25∶40＝＝＝62.5%＝0.625。 【易错专练5】把4∶7的前项乘8，要使比值不变，后项应变成（ ）；若把前项加上8，要使比值不变，后项应变成（ ）。 【答案】56 21 【分析】根据比的基本性质，前项乘8，要使比值不变，后项也应乘8，据此解答； 若把前项加上8，即4＋8＝12，12÷4＝3，相当于前项乘3，要使比值不变，后项应乘3，据此解答。 【解答】由分析可得： 7×8＝56 4＋8＝12，12÷4＝3，7×3＝21 所以把4∶7的前项乘以8，要使比值不变，后项应变成56；若把前项加上8，要使比值不变，后项应变成21。 易错点3：求比值与化简比混淆。 【易错专练1】化简比。 4∶＝    0.25∶0.125＝ 【答案】5∶1；2∶1 【分析】（1）比的前项和后项同时乘5，把分数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以4，把整数比转化为最简比； （2）比的前项和后项同时乘1000，把小数比转化为整数比，比的前项和后项再同时除以125，把整数比转化为最简比，据此解答。 【解答】（1）4∶ ＝（4×5）∶（×5） ＝20∶4 ＝（20÷4）∶（4÷4） ＝5∶1 （2）0.25∶0.125 ＝（0.25×1000）∶（0.125×1000） ＝250∶125 ＝（250÷125）∶（125÷125） ＝2∶1 【易错专练2】化简比并求比值。         0.125∶                10∶0.02 【答案】5∶12，；1∶5，；14∶9，；500∶1，500 【分析】要化简比并求比值，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变，进行化简，再通过“前项÷后项”求比值。 对于，前项和后项同时乘15，再用前项除以后项得出比值；对于0.125∶，前项和后项同时乘8，再用前项除以后项得出比值；对于，前项和后项同时乘24，再用前项除以后项得出比值；对于10∶0.02，前项和后项同时乘50，再用前项除以后项得出比值。 【解答】 ＝ ＝5∶12 5∶12 ＝5÷12 ＝ 0.125∶ ＝（0.125×8）∶（×8） ＝1∶5 1∶5 ＝1÷5 ＝ ＝ ＝14∶9 14∶9 ＝14÷9 ＝ 10∶0.02 ＝（10×50）∶（0.02×50） ＝500∶1 500∶1 ＝500÷1 ＝500 【易错专练3】化简。 48∶36    0.25∶0.5     【答案】4∶3；1∶2；14∶25 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化简。 【解答】48∶36 ＝（48÷12）∶（36÷12） ＝4∶3 0.25∶0.5 ＝（0.25×100）∶（0.5×100） ＝25∶50 ＝（25÷25）∶（50÷25） ＝1∶2 ∶ ＝（×35）∶（×35） ＝14∶25 【易错专练4】化简比。 15∶21    0.64∶1.6         【答案】5∶7；2∶5；4∶3；3∶28 【分析】依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变，据此进行比的化简。 【解答】15∶21 ＝（15÷3）∶（21÷3） ＝5∶7 0.64∶1.6 ＝（0.64×100）∶（1.6×100） ＝（64÷32）∶（160÷32） ＝2∶5 ＝（×9）∶（×9） ＝4∶3 ＝（×7）∶（8×7） ＝6∶56 ＝（6÷2）∶（56÷2） ＝3∶28 【易错专练5】把下面各比化成最简单的整数比。 15∶21              0.64∶1.6       【答案】5∶7；1∶14；2∶5；4∶3 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简比的结果还是一个比。 【解答】15∶21＝（15÷3）∶（21÷3）＝5∶7 0.64∶1.6＝64∶160＝（64÷32）∶（160÷32）＝2∶5     易错点4：化简比时要注意单位统一。 【易错专练1】化简比并求比值。 千克∶500克                  公顷∶750平方米 【答案】1∶4；；20∶3； 【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；用比的前项除以后项即可求比值。 【解答】千克∶500克＝125克∶500克＝125∶500＝1∶4    千克∶500克＝125克∶500克＝125÷500＝                  公顷∶750平方米＝5000平方米∶750平方米＝（5000÷250）∶（750÷250）＝20∶3 公顷∶750平方米＝5000平方米∶750平方米＝（5000÷250）÷（750÷250）＝ 【易错专练2】化简比。 3吨∶650千克＝            0.3克∶0.09千克＝     1.5小时∶45分＝             30分∶1.5时＝ 【答案】70∶13；1∶300 2∶1；1∶3 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘后除以一个相同的数（0除外），比值不变；注意单位名数的统一。 【解答】3吨∶650千克 3吨＝3500千克 3500∶650 ＝（3500÷50）∶（650÷50） ＝70∶13 0.3克∶0.09千克 0.09千克＝90克 0.3∶90 ＝（0.3×10）∶（90×10） ＝3∶900 ＝（3÷3）∶（900÷3） ＝1∶300 1.5小时∶45分 1.5小时＝90分 90∶45 ＝（90÷45）∶（45÷45） ＝2∶1 30分∶1.5时 1.5时＝90分 30∶90 ＝（30÷30）∶（90÷30） ＝1∶3 【易错专练3】化简下面的比，求出比值。 时∶15分        200克∶千克 【答案】8∶5，；4∶5， 【分析】化简比根据比的基本性质，求比值直接用前项÷后项即可，注意化简比的结果还是一个比，求比值的结果是一个数。 【解答】时∶15分＝24∶15＝8∶5＝ 200克∶千克＝200∶250＝4∶5＝ 【易错专练4】化简下面各比。 0.5吨∶25千克      15分∶1时 【答案】20∶1；1∶4 【分析】根据比的性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）化简比，单位不同时要先统一单位再化简。 【解答】0.5吨∶25千克＝500千克∶25千克＝（500÷25）∶（25÷25）＝20∶1 15分∶1时＝15分∶60分＝（15÷15）∶（60÷15）＝1∶4 【易错专练5】化简下列各比。 吨∶125千克         公顷∶400平方米 【答案】2∶1； 【分析】（1）先把吨化成250千克，再把比的前后项同时除以125即可； （2）先把公顷化成300平方米，再把比的前后项同时除以100即可。 【解答】吨∶125千克          ＝250千克∶125千克 ＝（250÷125）∶（125÷125） ＝2∶1 公顷∶400平方米 ＝300平方米∶400平方米 ＝（300÷100）∶（400÷100） ＝3∶4 易错点5：在解决问题时,要注意已知量对应的份数。 【易错专练1】一辆汽车从甲地到乙地，已经走了全程的，如果再行36km，已行路程和剩下路程的比是5∶2，甲地到乙地全长多少千米？ 【答案】84千米 【分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，已经行了全程的，如果再行36千米，已行路程和剩下路程的比是5∶2，这时行了全程的，则36千米占甲、乙两地距离的，根据分数除法的意义，利用量÷对应的分率＝单位“1”的量，用36除以这个分率就能求出全长。 【解答】 （千米） 答：甲地到乙地全长84千米. 【易错专练2】某繁华街道上，停着小轿车、小客车、公共汽车共300辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 【答案】小轿车：60辆；小客车：90辆；公共汽车：150辆 【分析】根据题意，三种车的辆数比是2∶3∶5，即把三种车的辆数分成了2＋3＋5＝10份，用三种车的总辆数÷总份数，求出1份是多少，进而求出小轿车、小客车、公共汽车的辆数，据此解答。 【解答】2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（份） 小轿车： 300÷10×2 ＝30×2 ＝60（辆） 小客车： 300÷10×3 ＝30×3 ＝90（辆） 公共汽车： 300÷10×5 ＝30×5 ＝150（辆） 答：小轿车有60辆，小客车有90辆，公共汽车有150辆。 【易错专练3】淘气先往210毫升的酸梅原汁中加了350毫升水后，才发现调制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是3∶7时，口感最佳”。请你帮淘气判断：为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加水，还是加酸梅原汁？加多少？为什么？请说明理由。 【答案】水；140毫升；理由见详解 【分析】加了350毫升水后，酸梅原汁与水的比是210∶350＝3∶5，每份水是350÷5＝70毫升。因为酸梅原汁与水的比是3∶7时，口感最佳，所以还需要加入7份水－5份的水＝2份水，据此解答。 【解答】210∶350 ＝（210÷70）∶（350÷70） ＝3∶5 350÷5＝70（毫升） 70×（7－5） ＝70×2 ＝140（毫升） 答：应该加水，加140毫升。理由：因为酸梅原汁与水的比是3∶7时，口感最佳，210∶350＝3∶5，7－5＝2，还需要加2份水，即加140毫升水才是7份水。 【易错专练4】淘气和笑笑在一条3.6千米长的公园小路上跑步。淘气平均每分钟跑200米，与笑笑的速度比是5∶4。如果两人分别同时从小路的两端出发，那么几分钟后相遇？ 【答案】10分钟 【分析】根据比的意义，淘气的速度看作5份，则笑笑的速度是4份，用200除以5得到每份表示的距离，再乘4即可得笑笑的速度，再根据，代入数据计算即可得解，计算时要把单位千米转化为米。 【解答】 （米/分钟） 3.6千米＝3600米 （分钟） 答：10分钟后相遇。 【易错专练5】盛华商都计划在地下停车场建造260个停车位，分为普通车位和充电桩车位。普通车位和充电桩车位的数量比是10∶3，这个停车场充电桩车位有多少个？ 【答案】60个 【分析】分析题目，根据比的意义把普通车位的数量看作10份，把充电桩车位的数量看作3份，据此可知260是（10＋3）份，用除法求出一份是多少个，再乘3即可求出充电桩车位的数量。 【解答】260÷（10＋3）×3 ＝260÷13×3 ＝20×3 ＝60（个） 答：这个停车场充电桩车位有60个。 专题七百分数的应用 易错点1：求“一个数比另一个数多（少）百分之几”时，找错“单位1”。 【易错专练1】某项科学研究，投资450万元，比计划节省了30万元，节省了百分之几？ 【答案】6.25% 【分析】先根据“计划投资金额＝实际投资金额＋节省金额”求出计划投资金额；再根据“节省百分比＝节省金额÷计划投资金额×100%”，即可得到节省的百分比。 【解答】30÷（450＋30）×100% ＝30÷480×100% ＝0.0625×100% ＝6.25% 答：节省了6.25%。 【易错专练2】为了防止灯丝过快燃尽，白炽灯的灯泡内通常填充有一种惰性气体。近年来随着科技的进步，LED节能灯以亮度高、更加节能环保等优势逐渐占领了消费市场。为了适应市场的变化，某灯泡厂加大了新型LED灯泡的生产规模，2024年1～3月份，共计生产了15.6万只LED灯泡，比去年同期生产量增加了3.6万只，增产了百分之几？ 【答案】30% 【分析】已知2024年1～3月份生产了15.6万只 LED 灯泡，比去年同期增加了3.6万只，那么去年同期的生产量为2024年的生产量减去增加的量，即15.6－3.6＝12（万只）；增产量是3.6万只，去年同期生产量是12万只，根据“增产百分比＝增产量÷去年同期生产量×100%”即可计算出增产百分比。 【解答】3.6÷（15.6－3.6）×100% ＝3.6÷12×100% ＝0.3×100% ＝30% 答：增产了30%。 【易错专练3】中国铁路经过第六次提速后，“复兴号”高铁正式进入“350时代”，最近一次“复兴号”高铁的标准速度从每小时300千米提高到350千米，这次“复兴号”高铁的速度提高了百分之几？（结果保留一位小数） 【答案】16.7% 【分析】已知“复兴号”高铁的标准速度从每小时300千米提高到350千米，先用减法求出现在高铁的速度比原来高铁的速度提高的量，再除以原来高铁的速度，即是这次“复兴号”高铁的速度提高了百分之几。 【解答】（350－300）÷300 ＝50÷300 ≈0.167 ＝16.7% 答：这次“复兴号”高铁的速度提高了16.7%。 【易错专练4】乐乐家上个月的水费是125元，这个月他家实行“家庭低碳计划”后，水费是100元。乐乐家这个月的水费比上个月少了百分之几？ 【答案】20% 【分析】已知乐乐家上个月的水费是125元，这个月水费是100元，先用减法求出这个月比上个月少的水费，再除以上个月的水费，即是乐乐家这个月的水费比上个月少了百分之几。 【解答】（125－100）÷125×100% ＝25÷125×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：乐乐家这个月的水费比上个月少了20%。 【易错专练5】哈尔滨到大连的铁路线全长大约是900千米。从哈尔滨乘高铁列车去大连的时间比乘普通列车去大连的时间节省百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】66.7% 【分析】求哈尔滨乘高铁列车去大连的时间比乘普通列车去大连的时间节省百分之几，把乘普通列车去大连的时间看作单位“1”，用哈尔滨乘高铁列车去大连的时间比乘普通列车去大连的时间节省的时间除以乘普通列车去大连的时间即可。 【解答】节省： 答：从哈尔滨乘高铁列车去大连的时间比乘普通列车去大连的时间节省66.7%。 易错点2：求解“已知单位1，求比较量”和“已知比较量，求单位1”两类问题混 淆 【易错专练1】张爷爷家去年收获土豆14吨，今年改种新品种后比去年增产20%。今年收获土豆多少吨？ 【答案】16.8吨 【分析】把去年收获的土豆总吨数看作单位“1”，今年改种新品种后比去年增产20%，则今年收获土豆的总吨数是去年的（1＋20%），根据求比一个数多百分之几的数是多少，用乘法计算，即可求出今年收获土豆多少吨，据此解答。 【解答】14×（1＋20%） ＝14×1.2 ＝16.8（吨） 答：今年收获土豆16.8吨。 【易错专练2】2007年4月18日，中国铁路第六次大面积提速，部分路段列车最高运营速度达到每小时250千米。2008年8月1日，京津城际高速铁路开通运营，列车最高运营速度比第六次大面积提速的最高运营速度提高了40%，京津城际高速铁路的最高运营速度是多少？（先画图理解题意，再解决问题） 【答案】350千米/时 【分析】把第六次大面积提速的最高运营速度看作单位“1”，京津城际高速铁路的最高运营速度比第六次大面积提速的最高运营速度提高了40%，也就是京津城际高速铁路的最高运营速度是第六次大面积提速的最高运营速度的（1＋40%）；用250乘（1＋40%），所得结果即为京津城际高速铁路的最高运营速度。 【解答】如图所示： 250×（1＋40%） ＝250×1.4 ＝350（千米/时） 答：京津城际高速铁路的最高运营速度是350千米/时。 【易错专练3】河南省洛阳龙门石窟约有100000尊佛像，山西省大同云冈石窟的佛像数比洛阳龙门石窟少49%。大同云冈石窟约有多少尊佛像？ 【答案】51000尊 【分析】已知大同云冈石窟的佛像数比龙门石窟少49%，把龙门石窟的佛像数量看作单位“1”，则大同云冈石窟的佛像数量是龙门石窟的（1－49%），单位“1”已知，用龙门石窟的佛像数量乘（1－49%），即是大同云冈石窟的佛像数量。 【解答】100000×（1－49%） ＝100000×（1－0.49） ＝100000×0.51 ＝51000（尊） 答：大同云冈石窟约有51000尊佛像。 【易错专练4】格陵兰岛的面积约有216万平方千米，台湾岛的面积比格陵兰岛的面积约少98.3%，台湾岛的面积约是多少万平方千米？ 【答案】3.672万平方千米 【分析】台湾岛的面积比格陵兰岛的面积约少98.3%，则台湾岛的面积占格陵兰岛的面积的，用格陵兰岛的面积乘台湾岛的面积占格陵兰岛的面积的分率，求出台湾岛的面积约是多少万平方千米即可。 【解答】台湾岛的面积约是： （万平方千米） 答：台湾岛的面积约是3.672万平方千米。 【易错专练5】某服装厂接到一批志愿者服装生产的订单，第一周生产了1200套，第二周生产的比第一周多50%，两周一共生产了多少套志愿者服装？ 【答案】3000套 【分析】把第一周生产的套数看作单位“1”，第二周生产的比第一周多50%，即第二周生产的套数是第一周的（1＋50%），根据求比一个数多百分之几的数是多少，用乘法计算，求出第二周生产的套数，再把第一周生产的套数和第二周生产的套数加起来即可。 【解答】1200×（1＋50%） ＝1200×1.5 ＝1800（套） 1200＋1800＝3000（套） 答：两周一共生产了3000套志愿者服装。 易错点3：在解决有关百分数的实际问题时,没有找准单位“1”。 【易错专练1】冰融化成水后，体积会减少10%。杯子中现在有一满杯的冰，杯子中的冰块融化后的水经测量体积为180毫升，原杯子中冰的体积是多少立方厘米？ 【答案】200立方厘米 【分析】1毫升等于1立方厘米，所以180毫升等于180立方厘米，那冰的体积看作是单位“1”，冰的体积×（1－10%）＝水的体积，所以冰的体积＝水的体积÷（1－10%），用180除以（1－10%）就是原来杯子中冰的体积。 【解答】180毫升＝180立方厘米 180÷（1－10%） ＝180÷90% ＝180÷0.9 ＝200（立方厘米） 答：原杯子中冰的体积是200立方厘米。 【易错专练2】红星小学举行捐书活动。五年级共捐了126本书，比六年级少捐，六年级捐了多少本书？ 【答案】140本 【分析】已知五年级共捐了126本书，比六年级少捐，将六年级捐书的数量看作单位“1”，则五年级是六年级捐书数量的（1－10%），单位“1”未知，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出六年级捐书的数量即可。 【解答】126÷（1－10%） ＝126÷0.9 ＝140（本） 答：六年级捐了140本书。 【易错专练3】据统计，2023年我国谷物单位面积产量428公斤/亩，比2022年增长了0.6%。每亩大约增产多少公斤？（得数保留一位小数） 【答案】2.6公斤 【分析】把2022年我国谷物单位面积产量看作单位“1”，2023年我国谷物单位面积产量比2022年增长了0.6%，是2022年的（1＋0.6%），再用2023年我国谷物单位面积产量428公斤/亩来除以（1＋0.6%），就能得到2022年我国谷物单位面积产量，最后把2023年的谷物单位面积产量减去2022年谷物单位面积产量，就能得出每亩大约增产多少公斤，最后结果保留一位小数。 【解答】428﹣428÷（1＋0.6%） ＝428－428÷1.006 ≈428－425.4 ＝2.6（公斤） 答：每亩大约增产2.6公斤。 【点评】本题主要考查了百分数的实际应用，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。 【易错专练4】一辆快车和一辆慢车从A、B两地同时出发相向而行，在距离中点5千米处相遇，这时快车距离B地还剩全程的40%，A、B两地之间相距多少千米？ 【答案】50千米 【分析】把全程看作单位“1”，两车在距离中点5千米处相遇，这时快车距离B地还剩全程的40%，则5千米占全程的（50%－40%），求单位“1”的量用除法计算，用5÷（50%－40%）即可得解。 【解答】5÷（50%－40%） ＝5÷（0.5－0.4） ＝5÷0.1 ＝50（千米） 答：A、B两地之间相距50千米。 【易错专练5】李伯伯采摘了一批含水量为95%的葡萄600千克。晾晒两天后再测，发现含水量降低到85%。现在这批葡萄的质量是多少千克？ 【答案】200千克 【分析】干葡萄的质量不变，先将含水量为95%的葡萄质量看作单位“1”，干葡萄的质量占（1－95%），含水量为95%的葡萄质量×干葡萄对应百分率＝干葡萄质量；再将含水量为85%的葡萄质量看作单位“1”，干葡萄的质量占（1－85%），干葡萄质量÷对应百分率＝现在葡萄的质量，据此列式解答。 【解答】600×（1－95%）÷（1－85%） ＝600×0.05÷0.15 ＝30÷0.15 ＝200（千克） 答：现在这批葡萄的质量是200千克。 易错点4：对“折扣”、“成数”、“利率”等概念理解不透彻。 【易错专练1】某县区2023~2024年销售季沃柑产量125万吨，该县区农业农村部门在2025年工作计划中提出着力推动城区农业绿色优质、高质发展，力争实现增产二成，则该县区计划2025年沃柑产量达多少万吨？ 【答案】150万吨 【分析】增产二成，就是指2025年沃柑产量占2023~2024年销售季沃柑产量的（1＋20%），利用2023~2024年销售季沃柑产量乘（1＋20%）即可求出2025年沃柑产量。 【解答】125×（1＋20%） ＝125×120% ＝ 150（万吨） 答：该县区计划2025年沃柑产量达150万吨。 【易错专练2】李叔叔购买了一套石桌凳放在凉亭，购买时恰逢石材厂打八折促销活动，打折后的价钱比原来则便宜了320元，这套石桌凳的原价是多少元？ 【答案】1600元 【分析】根据题意可知原价折后价。所以题目中便宜了的元对应的是原价的，根据“部分量分率”可以求出原价。 【解答】 （元） 答：这套石桌凳的原价是元。 【易错专练3】王叔叔2021年元旦把一笔钱存入银行，存定期一年，到2022年元旦时取出，本金和利息共取回20350元（年利率为1.75%），王叔叔的本金是多少元？ 【答案】20000元 【分析】设王叔叔存入的本金是x元，根据，利息再加上本金就得到取出金额，据此列出方程，解方程即可求出本金。 【解答】解：设王叔叔的本金是x元。 答：王叔叔的本金是20000元。 【易错专练4】李明因一项科技发明获得20000元奖金，按规定应缴纳20%的个人所得税。他将实际获得的奖金存入银行，定期三年，年利率是2.20%。到期时，可得本金和利息共多少元？ 【答案】17056元 【分析】已知获得20000元奖金，按规定应缴纳20%的个人所得税，根据求一个数的百分之几是多少，用获得的奖金乘20%，求出要缴纳的个人所得税；再用获得的奖金减去个人所得税，就是实际获得的奖金； 将实际获得的奖金存入银行，定期三年，年利率是2.20%，先根据“利息＝本金×利率×存期”求出到期时可得到的利息，再加上本金，即是到期时一共可取回的钱数。 【解答】实际获得的奖金： 20000－20000×20% ＝20000－20000×0.2 ＝20000－4000 ＝16000（元） 本金和利息： 16000×2.20%×3＋16000 ＝16000×0.022×3＋16000 ＝1056＋16000 ＝17056（元） 答：可得本金和利息共17056元。 【易错专5】根据现行规定，公民月工资不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税部分，超过部分需要缴纳个税，此项税款按下表累加计算： 全月应纳税部分 税率 3000元以内（含3000元） 3% 3000－12000元（含12000元） 10% 12000－25000元（含25000元） 20% （1）如小明的妈妈本月工资为8500元，那么她本月应纳税多少元？ （2）如果小明爸爸本月应缴纳税款1036元，那么他本月的工资是多少元？ 【答案】（1）140元 （2）17230元 【分析】（1）（元）先求出应纳税的金额，其中3000元的税率是3%，剩下的（元）确定税率是10%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。 （2）因应纳税部分是3000元以内（含3000元）的最高纳税款是（元），应纳税部分是3000－12000元（含12000元）的最高纳税款是（元），（元），可确定小明爸爸本月应缴三个档次的纳税，其中前两个档次都是最高金额，第三个档次的纳税款是46元，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，可得第三档纳税部分的工资，再加前两档最高金额，最后再加5000即可得解。 【解答】（1）（元） （元） 答：她本月应纳税140元。 （2）（元） （元） （元） （元） （元） 答：他本月的工资是17230元。 易错点5：解决复杂问题时分不清连续的“单位1”。 【易错专练1】某书店运来一批儿童读物，第一天卖了这批读物的30%，第二天卖了这批读物的36%，比第一天多卖了30本．书店运来的这批儿童读物一共有多少本？(列方程解答) 【答案】500本 【解答】解：设书店运来的这批儿童读物一共有x本． 36%x－30%x＝30 0.36x－0.3x＝30 0.06x＝30 x＝500 答：书店运来的这批儿童读物一共有500本． 【易错专练2】京东商城运来一批电视机，第一天卖了总数的25%，第二天卖了总数的，第一天比第二天多卖了10台，运来的电视机共有多少台？ 【答案】120台 【分析】根据题意，设运来电视机共有x台，第一天卖出了总数的25%，第一天卖出25%x台电视机，第二天卖出总数的，第二天卖出x台，第一天比第二天多卖了10台，列方程：25%x－x＝10，解方程，即可解答。 【解答】解：设运来电视机共有x台 25%x－x＝10 x－x＝10 x－x＝10 x＝10 x＝10÷ x＝10×12 x＝120 答：运来电视机共120台。 【点评】本题考查方程的实际应用，关键明确第一天比第二天多卖10台电视机，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【易错专练3】水果店进一批水果，第一天卖了50%，第二天卖了余下的30%，这时还有35千克没有卖．这批水果共有多少千克？ 【答案】这批水果共有100千克． 【解答】试题分析：此题从后向前推算，把第一天卖完后余下的数量看作单位“1”，那么余下的数量为35÷（1﹣30%）=50千克；第一天卖了50%，余下50千克，再把总数看作单位“1”，那么这批水果共有50÷（1﹣50%），解决问题． 解答：解：35÷（1﹣30%）÷（1﹣50%）， =35÷0.7÷0.5， =50÷0.5， =100（千克）； 答：这批水果共有100千克． 点评：因为此题中单位“1”发生了变化，找准单位“1”是解题的关键． 【易错专练4】水果店有一批苹果，第一天卖出总数的20%，第二天卖出总数的25%。第二天比第一天多卖了7.5千克。这批苹果共有多少千克？ 【答案】150千克 【分析】把这批苹果总数看成单位“1”，第二天比第一天多卖了总数的（25%－20%），它对应的数量是7.5千克，根据百分数除法的意义求出苹果的总重量。 【解答】7.5÷（25%－20%） ＝7.5÷5% ＝150（千克） 答：这批苹果一共有150千克。 【点评】本题的关键是找出单位“1”，并找出单位“1”的百分之几对应的数量，用除法就可以求出单位“1”的量。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $