第6讲 搭配中的学问（4个知识点+5个易错点+40题强化练习）三年级数学寒假专项提升（北师大版·新教材）

第6讲 搭配中的学问 （4个知识点+5个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、搭配的核心分类（有序搭配 vs 无序搭配） 定义： 有序搭配（又称 “排列”）：搭配结果与元素顺序有关，交换元素位置会产生新的搭配（如数字组成两位数、排队顺序）； 无序搭配（又称 “组合”）：搭配结果与元素顺序无关，交换元素位置仍为同一种搭配（如握手、选水果组合）。 核心区别：判断 “交换两个元素是否算新搭配”，算则为有序搭配，不算则为无序搭配。 示例： 有序搭配：用数字 1、2 组成两位数，可组成 12 和 22，共 2 种（顺序不同，结果不同）； 无序搭配：3 人（甲、乙、丙）握手，甲和乙握手与乙和甲握手是同一种情况，共 3 种（甲 - 乙、甲 - 丙、乙 - 丙）。 知识点二、搭配的 3 种基本方法 枚举法：按固定顺序逐一列出所有可能的搭配，确保不重复、不遗漏。 示例：上衣有 A、B 两件，裤子有 1、2、3 三条，枚举为 A1、A2、A3、B1、B2、B3，共 6 种。 连线法：用线条将不同类别中的元素两两连接，连接的线条数即为搭配总数，直观易懂。 示例：左边列上衣 A、B，右边列裤子 1、2、3，从 A 向 1、2、3 各连一条线，从 B 向 1、2、3 各连一条线，共 6 条线，对应 6 种搭配。 乘法原理：完成一件事需要分 n 个步骤，第一步有 a 种方法，第二步有 b 种方法，…… 第 n 步有 n 种方法，那么总搭配数 = 第一步方法数 × 第二步方法数 ×……× 第 n 步方法数（核心方法，适用于两步及多步搭配）。 示例：上衣 2 件（第一步选上衣有 2 种），裤子 3 条（第二步选裤子有 3 种），总搭配数 = 2×3=6 种。 知识点三、两步搭配的计算（基础题型） 核心逻辑：两步完成的搭配（如 “选上衣 + 选裤子”“选主食 + 选饮品”），直接用乘法原理计算，无需枚举。 公式：总搭配数 = 第一类元素数量 × 第二类元素数量。 示例：早餐有 3 种主食（面包、包子、粥）和 2 种饮品（牛奶、豆浆），选 1 种主食 + 1 种饮品，总搭配数 = 3×2=6 种。 知识点四、多步搭配与实际场景应用 常见场景：服装搭配（上衣 + 裤子 + 鞋子）、路线搭配（A→B→C→D）、早餐搭配（主食 + 饮品 + 小菜）等。 计算逻辑：多步搭配需依次列出每一步的选择方法数，再用乘法原理相乘，即总搭配数 = 第一步方法数 × 第二步方法数 × 第三步方法数…… 示例：上衣 2 件、裤子 3 条、鞋子 2 双，选 1 件上衣 + 1 条裤子 + 1 双鞋子，总搭配数 = 2×3×2=12 种；从家到学校有 2 条路，从学校到图书馆有 3 条路，从家经学校到图书馆的路线数 = 2×3=6 种。 易错点剖析 易错点一、混淆有序搭配（排列）和无序搭配（组合） 错误示例： 计算 3 人握手次数时，误算为 3×2=6 次（按有序搭配计算）； 用数字 1、2、3 组成没有重复数字的两位数时，误算为 3 种（按无序搭配计算，遗漏 12、21、13、31、23、32 中的部分）。 正确解答： 3 人握手是无序搭配，次数 = 3 种（甲 - 乙、甲 - 丙、乙 - 丙）； 组成两位数是有序搭配，个数 = 3×2=6 种（先选十位有 3 种，再选个位有 2 种，不重复）。 错误分析：未理解 “顺序是否影响结果”，把无序搭配当成有序搭配计算（如握手），或把有序搭配当成无序搭配计算（如组数字）。 避坑技巧：先判断搭配类型 —— 若 “交换元素位置是新结果”（如数字、排队），用有序搭配（乘法原理分步算）；若 “交换元素位置还是同一结果”（如握手、选组合），用无序搭配（避免重复计算）。 易错点二、枚举法漏算或重复计算 错误示例：上衣 A、B，裤子 1、2、3，枚举时漏写 A2，或重复写 B1（写成 A1、A3、B1、B2、B3，共 5 种；或 A1、A2、A3、B1、B1、B2，共 6 种但重复）。 正确解答：按 “固定一类，依次搭配另一类” 的顺序枚举，先固定上衣 A，搭配所有裤子（A1、A2、A3），再固定上衣 B，搭配所有裤子（B1、B2、B3），共 6 种。 错误分析：枚举时无固定顺序，想到哪写到哪，导致遗漏或重复。 避坑技巧：枚举前先明确 “先固定哪一类”，如先选完所有上衣，再依次配裤子；或给元素标序号，按序号顺序枚举，避免混乱。 易错点三、乘法原理应用错误（混淆 “步骤” 与 “类别”） 错误示例： 上衣 2 件、裤子 3 条，误算为 2+3=5 种（用加法代替乘法，混淆 “分步” 与 “分类”）； 上衣 2 件、裤子 3 条、鞋子 2 双，误算为 2×(3+2)=10 种（漏算步骤，把裤子和鞋子归为一类）。 正确解答： 选上衣和裤子是两步，总搭配数 = 2×3=6 种； 选上衣、裤子、鞋子是三步，总搭配数 = 2×3×2=12 种。 错误分析：不理解乘法原理的核心 ——“分步完成，每步缺一不可”，把 “分步” 当成 “分类” 用加法，或漏算多步搭配中的某一步。 避坑技巧：先画 “步骤流程图”，明确完成搭配需要几步（如 “选上衣→选裤子→选鞋子” 是三步），每步有几种选择，再用乘法依次相乘；记住 “分步用乘法，分类用加法”（如 “选上衣或选裤子” 用加法，“选上衣且选裤子” 用乘法）。 易错点四、忽略实际场景的限制条件 错误示例：题目要求 “上衣 A 不能搭配裤子 3”，仍按 2×3=6 种计算（未排除无效搭配）；或 “必须选 1 种主食和 2 种饮品”，误算为 3×2=6 种（未按 “选 2 种饮品” 的要求计算）。 正确解答： 上衣 A 不能配裤子 3，有效搭配 = 总搭配数 - 无效搭配数 = 6-1=5 种（或直接枚举 A1、A2、B1、B2、B3）； 主食 3 种、饮品 2 种，选 1 种主食 + 2 种饮品，搭配数 = 3×1=3 种（饮品选 2 种只有 1 种方法）。 错误分析：只关注数字计算，忽略题目中 “不能搭配”“至少选几种”“最多选几种” 等限制条件，导致结果错误。 避坑技巧：读题时圈出限制条件，先判断限制类型（排除类、数量要求类），再计算 —— 排除类可先算总数再减无效搭配，数量要求类先算每步符合要求的方法数再相乘。 易错点五、多步搭配漏算步骤 错误示例：路线 A→B 有 2 条，B→C 有 3 条，C→D 有 2 条，误算为 2×3=6 条（漏算 C→D 的步骤）。 正确解答：从 A 到 D 需三步（A→B、B→C、C→D），总路线数 = 2×3×2=12 条。 错误分析：未理清 “完成事件的全部步骤”，多步搭配中遗漏某一步，导致结果偏小。 避坑技巧：用 “箭头” 梳理完整步骤（如 A→B→C→D），在每个箭头后标注方法数，确保每一步都被纳入计算，再依次相乘。 强化练习 一、选择题 1．一辆客车往返郑州、北京和上海三地载客，需要准备（    ）种不同的汽车票。 A．3 B．6 C．4 2．用0、1、5、7四张数字卡片，可以组成（    ）个没有重复数字的两位数。 A．6 B．9 C．12 3．小妮想要搭配成一套服装（一件外套＋一件上装＋一件下装），有（    ）种不同的搭配方法。 A．8 B．18 C．12 4．小凯要吃早餐，他只能选择一种饮料和一种点心，他可以有（    ）种搭配。 A．3 B．5 C．6 5．一份盒饭含一种主食和一种炒菜，食堂周三一共有（    ）种配餐方法。 A．6 B．5 C．4 6．甲、乙、丙和丁4人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。甲已经下了3盘，乙下了2盘，丙下了1盘，这时丁下了（    ）盘。 A．1 B．2 C．3 7．用2、3、4、5、6这五个数字可以组成不同的五位数，在这些数中，大约是5万的有（    ）个。 A．30 B．24 C．18 8．张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有（    ）种不同的搭配方法。 营养早餐 饮品：牛奶  豆浆 主食：面包  鸡蛋饼  包子  馒头 A．8 B．10 C．12 9．甲乙两地有7个停车站（包括起点站和终点站）。需要准备（    ）种不同的单程车票。 A．15 B．7 C．21 10．学校开运动会，亮亮、明明、壮壮和强强参加接力赛，强强冲刺能力最强，老师把他定在第四位，那么这次接力赛一共有（    ）种不同的排法。 A．4 B．5 C．6 二、填空题 11．妈妈准备了牛奶、豆浆、鸡蛋和面包，东东可以带一种饮品和一种食物，一共有( )种不同的选法。 12．如下表，明明打算买报纸、杂志各一份，他一共有( )种不同的购买方式。 报纸 《小学生习报》《数学报》《作文报》 杂志 《新闻周刊》《学习周刊》 13．7个小朋友参加围棋比赛，每人和其他人都要下一局，他们一共要下( )局。 14．如图，小文从家出发经过博物馆到小轩家，一共有( )条路线。 15．用下面的2个偏旁和3个字可以组成( )个新的字。 16．算盘是我国古代人民的一种伟大发明，通常一颗上珠表示5，一颗下珠表示1。如果同时使用1颗上珠和1颗下珠表示三位数，一共可以表示出( )个不同的三位数，其中最大的数是( )，最小的数是( )。 17．快餐店的盒饭包含一份主食和一种菜品，一共有( )种不同的搭配方式。 18．用红、黄、蓝三种颜色给两个同样的气球涂上不同的颜色，一共有( )种涂色方法。 19．用2、0、6三张卡片可以摆出( )个不同的两位数，其中最大的两位数是( )，最小的两位数是( )。 20．毕业前夕，5位好朋友准备拍毕业照作为留念。他们先每两个人拍一张，再一起合拍一张。他们一共拍了( )张照片。 21．为了完善乡村交通网络，方便人们出行，客运公司在乡村之间开设了客运专线，往返一共需准备( )种不同的车票。 22．小红有3件不同颜色的上衣和3条不同颜色的裙子，她要将1件上衣和1条裙子搭配起来穿，共有( )种不同的搭配方法。 23．在三年级4名男生和3名女生中各选出1名参加阳信县“梨乡形象大使”评选活动，共有( )种不同的参赛方案。 24．用0、1、3、7这四个数可以组成( )个没有重复数字的两位数；其中最大的两位数是( )，其中最大的两位数与最小的两位数的差是( )。 25．李孟国庆节去西安旅游，她带了3件上衣和4条裤子，她任意拿一件上衣和一条裤子穿上，共有( )种搭配穿法。 三、判断题 26．用0、1、6、9组成没有重复数字的两位数，一共能组成12个。( ) 27．三位小朋友，每两位进行一次跳棋比赛，一共要比赛3次。( ) 28．玲玲、乐乐、阳阳每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，一共要拍6张照片。( ) 29．甲、乙、丙、丁4个人，每2个人通一次电话，一共要通4次电话。( ) 30．亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有6种不同的搭配方法。( ) 四、解答题 31．李华参加跑步比赛，和参加比赛的每个人握一次手，他一共握了7次，参加比赛的一共有多少人？ 32．用红、黄、蓝三种颜色给下面每组中的两个正方形涂上不同的颜色，一共有多少种涂色方法？ 33．小林有3双不同的袜子，还有3双不同的鞋，如果她要穿上鞋和袜子，有几种不同的穿法？ 34．用1，2，3，4这四张卡片可以组成不同的四位数，如果把它们从小到大依次排列出来，第一个数是1234，第二个数是1243，第十五个数是多少？ 35．用 ，，， 四个数字，每次选出两个数字相乘。 （1）能写出几种不同的算式？请写出来。 （2）能得到几种不同的积？它们分别是多少？ 36．书架上有故事书3本，科技书3本，王红想要从书架上任意取一本故事书和一本科技书，一共有多少种不同的取法？（请画图说明） 37．有8名小选手参加乒乓球比赛（两两比赛，胜者进入下一轮），要打7场才能决出冠、亚军。如果有32名小选手参加乒乓球比赛，要打多少场才能决出冠、亚军？ 38．食堂周五的菜谱如下表。每名学生可以选择一种荤菜、一种素菜。 荤菜 素菜 木耳炒肉、虾 冬瓜、豆腐、白菜 （1）共有几种不同的配菜方法？ （2）请你写出各种不同的搭配。 39．李叔叔从重庆路过武汉到南京，出行方式如下：如果他从重庆到武汉可以乘飞机、轮船或火车，从武汉到南京可以乘轮船、飞机、火车或汽车。那么他从重庆到南京有多少种不同的出行方法？ 40．姐姐和弟弟一起把妈妈买来的8块巧克力吃完了。姐姐说：“我们两个人都吃了，我比弟弟吃得多。”弟弟说：“我们每人吃的块数不同。”你知道他们俩一共有几种不同的吃法吗？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 搭配中的学问 （4个知识点+5个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、搭配的核心分类（有序搭配 vs 无序搭配） 定义： 有序搭配（又称 “排列”）：搭配结果与元素顺序有关，交换元素位置会产生新的搭配（如数字组成两位数、排队顺序）； 无序搭配（又称 “组合”）：搭配结果与元素顺序无关，交换元素位置仍为同一种搭配（如握手、选水果组合）。 核心区别：判断 “交换两个元素是否算新搭配”，算则为有序搭配，不算则为无序搭配。 示例： 有序搭配：用数字 1、2 组成两位数，可组成 12 和 22，共 2 种（顺序不同，结果不同）； 无序搭配：3 人（甲、乙、丙）握手，甲和乙握手与乙和甲握手是同一种情况，共 3 种（甲 - 乙、甲 - 丙、乙 - 丙）。 知识点二、搭配的 3 种基本方法 枚举法：按固定顺序逐一列出所有可能的搭配，确保不重复、不遗漏。 示例：上衣有 A、B 两件，裤子有 1、2、3 三条，枚举为 A1、A2、A3、B1、B2、B3，共 6 种。 连线法：用线条将不同类别中的元素两两连接，连接的线条数即为搭配总数，直观易懂。 示例：左边列上衣 A、B，右边列裤子 1、2、3，从 A 向 1、2、3 各连一条线，从 B 向 1、2、3 各连一条线，共 6 条线，对应 6 种搭配。 乘法原理：完成一件事需要分 n 个步骤，第一步有 a 种方法，第二步有 b 种方法，…… 第 n 步有 n 种方法，那么总搭配数 = 第一步方法数 × 第二步方法数 ×……× 第 n 步方法数（核心方法，适用于两步及多步搭配）。 示例：上衣 2 件（第一步选上衣有 2 种），裤子 3 条（第二步选裤子有 3 种），总搭配数 = 2×3=6 种。 知识点三、两步搭配的计算（基础题型） 核心逻辑：两步完成的搭配（如 “选上衣 + 选裤子”“选主食 + 选饮品”），直接用乘法原理计算，无需枚举。 公式：总搭配数 = 第一类元素数量 × 第二类元素数量。 示例：早餐有 3 种主食（面包、包子、粥）和 2 种饮品（牛奶、豆浆），选 1 种主食 + 1 种饮品，总搭配数 = 3×2=6 种。 知识点四、多步搭配与实际场景应用 常见场景：服装搭配（上衣 + 裤子 + 鞋子）、路线搭配（A→B→C→D）、早餐搭配（主食 + 饮品 + 小菜）等。 计算逻辑：多步搭配需依次列出每一步的选择方法数，再用乘法原理相乘，即总搭配数 = 第一步方法数 × 第二步方法数 × 第三步方法数…… 示例：上衣 2 件、裤子 3 条、鞋子 2 双，选 1 件上衣 + 1 条裤子 + 1 双鞋子，总搭配数 = 2×3×2=12 种；从家到学校有 2 条路，从学校到图书馆有 3 条路，从家经学校到图书馆的路线数 = 2×3=6 种。 易错点剖析 易错点一、混淆有序搭配（排列）和无序搭配（组合） 错误示例： 计算 3 人握手次数时，误算为 3×2=6 次（按有序搭配计算）； 用数字 1、2、3 组成没有重复数字的两位数时，误算为 3 种（按无序搭配计算，遗漏 12、21、13、31、23、32 中的部分）。 正确解答： 3 人握手是无序搭配，次数 = 3 种（甲 - 乙、甲 - 丙、乙 - 丙）； 组成两位数是有序搭配，个数 = 3×2=6 种（先选十位有 3 种，再选个位有 2 种，不重复）。 错误分析：未理解 “顺序是否影响结果”，把无序搭配当成有序搭配计算（如握手），或把有序搭配当成无序搭配计算（如组数字）。 避坑技巧：先判断搭配类型 —— 若 “交换元素位置是新结果”（如数字、排队），用有序搭配（乘法原理分步算）；若 “交换元素位置还是同一结果”（如握手、选组合），用无序搭配（避免重复计算）。 易错点二、枚举法漏算或重复计算 错误示例：上衣 A、B，裤子 1、2、3，枚举时漏写 A2，或重复写 B1（写成 A1、A3、B1、B2、B3，共 5 种；或 A1、A2、A3、B1、B1、B2，共 6 种但重复）。 正确解答：按 “固定一类，依次搭配另一类” 的顺序枚举，先固定上衣 A，搭配所有裤子（A1、A2、A3），再固定上衣 B，搭配所有裤子（B1、B2、B3），共 6 种。 错误分析：枚举时无固定顺序，想到哪写到哪，导致遗漏或重复。 避坑技巧：枚举前先明确 “先固定哪一类”，如先选完所有上衣，再依次配裤子；或给元素标序号，按序号顺序枚举，避免混乱。 易错点三、乘法原理应用错误（混淆 “步骤” 与 “类别”） 错误示例： 上衣 2 件、裤子 3 条，误算为 2+3=5 种（用加法代替乘法，混淆 “分步” 与 “分类”）； 上衣 2 件、裤子 3 条、鞋子 2 双，误算为 2×(3+2)=10 种（漏算步骤，把裤子和鞋子归为一类）。 正确解答： 选上衣和裤子是两步，总搭配数 = 2×3=6 种； 选上衣、裤子、鞋子是三步，总搭配数 = 2×3×2=12 种。 错误分析：不理解乘法原理的核心 ——“分步完成，每步缺一不可”，把 “分步” 当成 “分类” 用加法，或漏算多步搭配中的某一步。 避坑技巧：先画 “步骤流程图”，明确完成搭配需要几步（如 “选上衣→选裤子→选鞋子” 是三步），每步有几种选择，再用乘法依次相乘；记住 “分步用乘法，分类用加法”（如 “选上衣或选裤子” 用加法，“选上衣且选裤子” 用乘法）。 易错点四、忽略实际场景的限制条件 错误示例：题目要求 “上衣 A 不能搭配裤子 3”，仍按 2×3=6 种计算（未排除无效搭配）；或 “必须选 1 种主食和 2 种饮品”，误算为 3×2=6 种（未按 “选 2 种饮品” 的要求计算）。 正确解答： 上衣 A 不能配裤子 3，有效搭配 = 总搭配数 - 无效搭配数 = 6-1=5 种（或直接枚举 A1、A2、B1、B2、B3）； 主食 3 种、饮品 2 种，选 1 种主食 + 2 种饮品，搭配数 = 3×1=3 种（饮品选 2 种只有 1 种方法）。 错误分析：只关注数字计算，忽略题目中 “不能搭配”“至少选几种”“最多选几种” 等限制条件，导致结果错误。 避坑技巧：读题时圈出限制条件，先判断限制类型（排除类、数量要求类），再计算 —— 排除类可先算总数再减无效搭配，数量要求类先算每步符合要求的方法数再相乘。 易错点五、多步搭配漏算步骤 错误示例：路线 A→B 有 2 条，B→C 有 3 条，C→D 有 2 条，误算为 2×3=6 条（漏算 C→D 的步骤）。 正确解答：从 A 到 D 需三步（A→B、B→C、C→D），总路线数 = 2×3×2=12 条。 错误分析：未理清 “完成事件的全部步骤”，多步搭配中遗漏某一步，导致结果偏小。 避坑技巧：用 “箭头” 梳理完整步骤（如 A→B→C→D），在每个箭头后标注方法数，确保每一步都被纳入计算，再依次相乘。 强化练习 一、选择题 1．一辆客车往返郑州、北京和上海三地载客，需要准备（    ）种不同的汽车票。 A．3 B．6 C．4 【答案】B 【分析】从北京出发，可以到达郑州和上海，共2种票；从郑州出发，可以到达北京（与北京到郑州的票不同）和上海，又是2种票；从上海出发，可以到达郑州（与郑州到上海的票不同）和北京（与北京到上海的票不同），也是2种票。因此，总共需要准备2×3＝6（种）不同的汽车票。据此解答。 【详解】2×3＝6（种） 所以一辆客车往返郑州、北京和上海三地载客，需要准备6种不同的汽车票。 故答案为：B 2．用0、1、5、7四张数字卡片，可以组成（    ）个没有重复数字的两位数。 A．6 B．9 C．12 【答案】B 【分析】由题意得，用0、1、5、7四张数字卡片组成没有重复数字的两位数。如果两位数的十位上是1，那么个位上可能是0，5，7。如果两位数的十位上是5，那么个位上可能是0，1，7。如果两位数的十位上是7，那么个位上可能是0，1，5。据此解答。 【详解】根据题意列表如下： 十位 个位 1 0 1 5 1 7 5 0 5 1 5 7 7 0 7 1 7 5 由表格可知，一共可以组成9个没有重复数字的两位数。 故答案为：B 3．小妮想要搭配成一套服装（一件外套＋一件上装＋一件下装），有（    ）种不同的搭配方法。 A．8 B．18 C．12 【答案】B 【分析】根据题意可知，外套有3件，上装有2件，下装有3件，每件上装都可以与3件下装搭配，所以有3种穿法；那么2件上装就可以和3件下装有2个3种搭配穿法。则2件上装搭配3件下装一共就有3×2种不同的穿法；即可以搭成6套，再与3件外套搭配，每件外套与6套衣服搭成6种，3件外套可以搭成3个6种搭配穿法，共有3×6种不同的搭配方法。据此解答即可。 【详解】由分析可知：3×2＝6（种） 3×6＝18（种） 所以有18种不同的搭配方法。 故答案为：B 4．小凯要吃早餐，他只能选择一种饮料和一种点心，他可以有（    ）种搭配。 A．3 B．5 C．6 【答案】C 【分析】从2种不同的饮料中选一种有2种选法，从3种不同的点心中选一种有3种选法，共有（2×3）种选法。 【详解】2×3＝6（种） 小凯要吃早餐，他只能选择一种饮料和一种点心，他可以有6种搭配。 故答案为：C 5．一份盒饭含一种主食和一种炒菜，食堂周三一共有（    ）种配餐方法。 A．6 B．5 C．4 【答案】A 【分析】由题意得，主食有馒头和米饭，一共有2种主食。炒菜有西红柿炒鸡蛋、土豆烧排骨，鱼香肉丝，一共有3种炒菜。任意选择1种主食，都有3种炒菜与之搭配。一共有2种主食，那么一共有（3×2）种配餐方法。 【详解】3×2＝6（种），即食堂周三一共有6种配餐方法。 故答案为：A 6．甲、乙、丙和丁4人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。甲已经下了3盘，乙下了2盘，丙下了1盘，这时丁下了（    ）盘。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】一共4个人，甲已经下了3盘，分别与乙、丙和丁下的，此时丙与甲下了1盘，乙与甲也下了一盘。丙下了1盘，他不在与其他人下。乙下了2盘，那么乙还需要和丁下1盘。即丁分别与甲和乙下了1盘，共下了2盘。 【详解】由分析得： 此时甲与乙、甲与丙、甲与丁以及乙与丁各下了1盘，丁一共下了2盘。 故答案为：B 7．用2、3、4、5、6这五个数字可以组成不同的五位数，在这些数中，大约是5万的有（    ）个。 A．30 B．24 C．18 【答案】A 【分析】根据“四舍五入”法，大约是5万的数，万位可能是4（千位大于等于5），也可能是5（千位小于5） ，我们分情况列举： 万位是4的情况 千位是5时：剩下数字2、3、6，组成的数有：45236、45263、45326、45362、45623、45632，共6个。 千位是6时：剩下数字2、3、5，组成的数有：46235、46253、46325、46352、46523、46532，共6个。 万位是5的情况 千位是2时：剩下数字3、4、6，组成的数有：52346、52364、52436、52463、52634、52643，共6个。 千位是3时：剩下数字2、4、6，组成的数有：53246、53264、53426、53462、53624、53642，共6个。 千位是4时：剩下数字2、3、6，组成的数有：54236、54263、54326、54362、54623、54632，共6个。 把所有情况的数量相加：6＋6＋6＋6＋6＝30（个）所以大约是5万的数有30个。 【详解】根据分析：用2、3、4、5、6这五个数字可以组成不同的五位数，在这些数中，大约是5万的有30个。 故答案为：A 8．张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有（    ）种不同的搭配方法。 营养早餐 饮品：牛奶  豆浆 主食：面包  鸡蛋饼  包子  馒头 A．8 B．10 C．12 【答案】A 【分析】根据题意，饮品有2种（牛奶、豆浆），主食有4种（面包、鸡蛋饼、包子、馒头）。张叔叔需要选择一种饮品和一种主食，所有搭配均无限制。根据乘法原理，不同搭配方法的总数为饮品数量乘主食数量，即2×4＝8（种）。 【详解】根据分析可知： 2×4＝8（种） 张叔叔早餐要喝一种饮品，吃一种主食，如右图所示，有8种不同的搭配方法。 故答案为：A 9．甲乙两地有7个停车站（包括起点站和终点站）。需要准备（    ）种不同的单程车票。 A．15 B．7 C．21 【答案】C 【分析】由题意可得，从甲地到乙地一共有7个汽车站（包括起点站和终点站），相当于两两握手，每站都与其他6站有6种组合，且为单程，因此去掉重复的，根据握手公式：n×（n－1）÷2解答即可。 【详解】7×（7－1）÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（种） 所以需要准备21种不同的单程车票。 故答案为：C 10．学校开运动会，亮亮、明明、壮壮和强强参加接力赛，强强冲刺能力最强，老师把他定在第四位，那么这次接力赛一共有（    ）种不同的排法。 A．4 B．5 C．6 【答案】C 【分析】根据题意可知，强强是第四位，剩下的三名同学进行排队，若亮亮排第一，（1）亮亮、明明、壮壮、强强；（2）亮亮、壮壮、明明、强强；共有2种排法。若明明排第一，（1）明明、亮亮、壮壮、强强；（2）明明、壮壮、亮亮、强强；共有2种排法。若壮壮排第一，（1）壮壮、亮亮、明明、强强；（2）壮壮、明明、亮亮、强强；共有2种排法。把上面的排法相加即可解答。 【详解】根据分析可得： 2＋2＋2＝6（种） 所以，这次接力赛一共有6种不同的排法。 故答案为：C 二、填空题 11．妈妈准备了牛奶、豆浆、鸡蛋和面包，东东可以带一种饮品和一种食物，一共有( )种不同的选法。 【答案】4 【分析】解题核心是“分类搭配”思想，先明确两类物品：饮品（牛奶、豆浆）和食物（鸡蛋、面包），要求每种选法包含1种饮品＋1种食物。需按顺序将每种饮品与所有食物逐一搭配，避免重复或遗漏。 【详解】牛奶搭配鸡蛋、牛奶搭配面包（2种选法）； 豆浆搭配鸡蛋、豆浆搭配面包（2种选法）； 2＋2＝4（种） 妈妈准备了牛奶、豆浆、鸡蛋和面包，东东可以带一种饮品和一种食物，一共4种不同的选法。 12．如下表，明明打算买报纸、杂志各一份，他一共有( )种不同的购买方式。 报纸 《小学生习报》《数学报》《作文报》 杂志 《新闻周刊》《学习周刊》 【答案】6 【分析】根据题意可知，有3种报纸，2种杂志，可以先选择一种报纸分别和两种杂志搭配，就有2种购买方式，三种报纸分别和两种杂志搭配，就有3个2种购买方式。据此解答。 【详解】 2×3＝6（种） 所以，他一共有6种不同的购买方式。 13．7个小朋友参加围棋比赛，每人和其他人都要下一局，他们一共要下( )局。 【答案】21 【分析】第1个人与另外6人各下一局，后面依次递减，一共是6＋5＋4＋3＋2＋1局。 【详解】6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋4＋3＋2＋1 ＝15＋3＋2＋1 ＝18＋2＋1 ＝20＋1 ＝21（局） 所以他们一共要下21局。 14．如图，小文从家出发经过博物馆到小轩家，一共有( )条路线。 【答案】12 【分析】从小文家到博物馆有3条路线，从博物馆到小轩家有4条路线，所以小文从家出发经过博物馆到小轩家一共有3×4条路线。 【详解】3×4＝12（条） 所以一共有12条路线。 15．用下面的2个偏旁和3个字可以组成( )个新的字。 【答案】6 【分析】由题意得，有2个偏旁和3个字。任选其中一个偏旁，都有3个字可以与其组成一个新的字，所以一共可以组成2×3个新字。 【详解】2×3＝6（个） 用下面的2个偏旁和3个字可以组成（6）个新的字。 16．算盘是我国古代人民的一种伟大发明，通常一颗上珠表示5，一颗下珠表示1。如果同时使用1颗上珠和1颗下珠表示三位数，一共可以表示出( )个不同的三位数，其中最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 5 600 105 【分析】①把1颗上珠和1颗下珠全部放到百位，表示6个百即是600； ②百位保留1颗上珠，表示5个百，1颗下珠放在十位，表示1个十，合起来即是510； ③百位保留1颗上珠，表示5个百，1颗下珠放在个位，表示1个一，合起来即是501； ④百位保留1颗下珠，表示一个百，1颗上珠放在十位，表示5个十，合起来即是150； ⑤百位保留1颗下珠，表示一个百，1颗上珠放在个位，表示5个一，合起来即是105； 据此得出有几个不同的三位数，并比较大小，确定最大和最小三位数即可。 【详解】同时使用1颗上珠和1颗下珠表示三位数有：600、510、501、150、105，共有5个； 600＞510＞501＞150＞105 填空如下： 如果同时使用1颗上珠和1颗下珠表示三位数，一共可以表示出（5）个不同的三位数，其中最大的数是（600），最小的数是（105）。 17．快餐店的盒饭包含一份主食和一种菜品，一共有( )种不同的搭配方式。 【答案】6 【分析】根据搭配问题，每一种主食都可以和另外三种菜品搭配，一共有2种主食，用2×3即可求出一共有多少种不同的搭配方式。 【详解】2×3＝6（种） 快餐店的盒饭包含一份主食和一种菜品，一共有6种不同的搭配方式。 18．用红、黄、蓝三种颜色给两个同样的气球涂上不同的颜色，一共有( )种涂色方法。 【答案】3 【分析】根据题意，给两个同样的气球涂不同的颜色，可将涂色的方法列举出来进行解答。 【详解】涂色方法如下： ①一个涂红色，另一个涂黄色；②一个涂红色，另一个涂蓝色；③一个涂黄色，另一个涂蓝色。 即一共有3种涂色方法。 19．用2、0、6三张卡片可以摆出( )个不同的两位数，其中最大的两位数是( )，最小的两位数是( )。 【答案】 4 62 20 【分析】按顺序、不重复、不遗漏的依次数出，0不能放在最高位；把2放在最高位可以组成的两位数有：20，26，把6放在最高位可以组成的两位数有：60，62；再比较四个两位数，找出最大的两位数和最小的两位数即可。 【详解】根据分析可得： 2＋2＝4（个） 用2、0、6三张卡片可以摆出4个不同的两位数； 62＞60＞26＞20 故最大的两位数是62，最小的两位数是20。 20．毕业前夕，5位好朋友准备拍毕业照作为留念。他们先每两个人拍一张，再一起合拍一张。他们一共拍了( )张照片。 【答案】11 【分析】两人照，每人都与其他人照一张，共照5×（5－1）张，这样重复计算了一遍，再除以2，是两个人照的次数，再加上大合照的1次即可。 【详解】5×（5－1）÷2＋1 ＝5×4÷2＋1 ＝20÷2＋1 ＝10＋1 ＝11（张） 毕业前夕，5位好朋友准备拍毕业照作为留念。他们先每两个人拍一张，再一起合拍一张。他们一共拍了11张照片。 21．为了完善乡村交通网络，方便人们出行，客运公司在乡村之间开设了客运专线，往返一共需准备( )种不同的车票。 【答案】90 【分析】 ，从第一站出发，有9种车票；从第二站出发，有8种车票；从第三站出发，有7种车票；从第四站出发，有6种车票；从第五站出发，有5种车票；从第六站出发，有4种车票；从第七站出发，有3种车票；从第八站出发，有2种车票；从第九站出发，有1种车票；加在一起后再乘2即为往返车票的总种数。 【详解】9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（种） 45×2＝90（种） 为了完善乡村交通网络，方便人们出行，客运公司在乡村之间开设了客运专线，往返一共需准备90种不同的车票。 22．小红有3件不同颜色的上衣和3条不同颜色的裙子，她要将1件上衣和1条裙子搭配起来穿，共有( )种不同的搭配方法。 【答案】9 【分析】已知小红有3件不同颜色的上衣和3条不同颜色的裙子，她要将1件上衣和1条裙子搭配起来穿，那么从3件上衣中选择1件，有3种不同的选择方法；从3条裙子中选择1条，也有3种不同的选择方法；所以一共有（3×3）种不同的搭配方法。 【详解】3×3＝9（种） 共有9种不同的搭配方法。 23．在三年级4名男生和3名女生中各选出1名参加阳信县“梨乡形象大使”评选活动，共有( )种不同的参赛方案。 【答案】12 【分析】假设男生分别是男1、男2、男3、男4，女生分别是女1、女2、女3。当选择男1时，可以搭配女1、女2、女3，这就有3种不同的参赛方案。当选择男2时，同样可以搭配女1、女2、女3，又有3种不同的参赛方案。当选择男3时，还是可以搭配女1、女2、女3，又有3种不同的参赛方案。当选择男4时，依旧可以搭配女1、女2、女3，还是3种不同的参赛方案。那么总的参赛方案数就是把这些情况加起来即可。 【详解】 （种） 在三年级4名男生和3名女生中各选出1名参加阳信县“梨乡形象大使”评选活动，共有12种不同的参赛方案。 24．用0、1、3、7这四个数可以组成( )个没有重复数字的两位数；其中最大的两位数是( )，其中最大的两位数与最小的两位数的差是( )。 【答案】 9 73 63 【分析】0不能在最高位上，先排十位有3种选择，再排个位有3种选择，十位上是1时，可组成10、13、17；十位上是3时，可组成30、31、37；十位上是7时，可组成70、71、73。再比较各个数字的大小，再写出其中最大与最小的两位数求差即可。 【详解】3×3＝9（个） 73＞71＞70＞37＞31＞30＞17＞13＞10 73－10＝63 用0、1、3、7这四个数可以组成9个没有重复数字的两位数；其中最大的两位数是73，其中最大的两位数与最小的两位数的差是63。 25．李孟国庆节去西安旅游，她带了3件上衣和4条裤子，她任意拿一件上衣和一条裤子穿上，共有( )种搭配穿法。 【答案】12 【分析】根据题意，带了3件上衣和4条裤子，从上衣中选择一件，有3种不同的选择方法；从裤子中选择一条，有4种不同的选择方法；所以一共有（3×4）种不同的搭配穿法。 【详解】3×4＝12（种） 共有12种搭配穿法。 三、判断题 26．用0、1、6、9组成没有重复数字的两位数，一共能组成12个。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，组成没有重复数字的两位数，0不能在最高位，1、6、9都可以在十位上，可以分别和另外三个数字组成两位数，一共有（3×3）个，据此判断即可。 【详解】3×3＝9（个） 用0、1、6、9组成没有重复数字的两位数，一共能组成9个，原题说法错误。 故答案为：× 27．三位小朋友，每两位进行一次跳棋比赛，一共要比赛3次。( ) 【答案】√ 【分析】假设三位小朋友为A、B、C，列举出所有可能的两两组合，数一数即可得解。 【详解】假设三位小朋友为A、B、C； 所有可能的两两组合为： ①A和B比赛 ②A和C比赛 ③B和C比赛 一共有3种不同的组合方式，因此一共要比赛3次。 原题说法正确。 故答案为：√ 28．玲玲、乐乐、阳阳每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，一共要拍6张照片。( ) 【答案】× 【分析】结合题意可知，3名同学每人都想单独和语文老师、数学老师、英语老师分别合影一次，意味着一名同学要合影3次，也就是一名同学要拍3张照片，则3名同学一共要拍的照片数量为：3×3＝9（张），据此解答即可。 【详解】3×3＝9（张） 因此一共要拍9张照片。 故答案为：× 29．甲、乙、丙、丁4个人，每2个人通一次电话，一共要通4次电话。( ) 【答案】× 【分析】甲与其余3人通电话，要通电话3次，乙已经和甲通过电话，所以只需要和丙、丁通电话，要通电话2次，丙已经和甲、乙通过电话，只需要与丁通电话，要通电话1次，丁已经和其他三人都通个电话，据此将所有通话次数相加即可。 【详解】 （次） 所以甲、乙、丙、丁4个人，每2个人通一次电话，一共要通6次电话，原题表达错误。 故答案为：× 30．亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有6种不同的搭配方法。( ) 【答案】× 【分析】从4条裤子中选一条有4种选法、从2件上衣中选一件有2种选法，共有4×2＝8种不同的搭配方法，据此判断即可。 【详解】根据分析可知：亮亮有4条不同的裤子和2件不同的上衣，选一条裤子和一件上衣搭配。一共有8种不同的搭配方法，原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 31．李华参加跑步比赛，和参加比赛的每个人握一次手，他一共握了7次，参加比赛的一共有多少人？ 【答案】8人 【分析】李华与参加比赛的人都握手，共握手7次，说明参加比赛的除了李华之外还有7人，再加上李华本人，则参加比赛的共有8人。 【详解】7＋1＝8（人） 答：参加比赛的一共有8人。 32．用红、黄、蓝三种颜色给下面每组中的两个正方形涂上不同的颜色，一共有多少种涂色方法？ 【答案】6种 【分析】当第1个小正方形涂红色，那么第2个小正方形可以是黄色或者蓝色。当第1个小正方形涂黄色，那么第2个小正方形可以是红色或者蓝色。当第1个小正方形涂蓝色，那么第2个小正方形可以是红色或者黄色。所以，总共有2×3＝6种涂色方法。 【详解】2×3＝6（种） 答：一共6种方法。 33．小林有3双不同的袜子，还有3双不同的鞋，如果她要穿上鞋和袜子，有几种不同的穿法？ 【答案】9种 【分析】根据题意可知：每一双不同的袜子，都可以与3双不同的鞋搭配，不同的袜子有3双，总的搭配种类用乘法计算。据此解答。 【详解】3×3＝9（种） 答：有9种不同的穿法。 34．用1，2，3，4这四张卡片可以组成不同的四位数，如果把它们从小到大依次排列出来，第一个数是1234，第二个数是1243，第十五个数是多少？ 【答案】 3214 【分析】将所有组成的四位数列举出来，找到第15个数即可。 【详解】由1、2、3、4这四个数字组成的24个数为： 1234；1243；1324；1342；1423；1432； 2134；2143；2314；2341；2413；2431； 3124；3142；3214；3241；3412；3421； 4123；4132；4213；4231；4312；4321。 答：将它们从小到大依次排列，第15个数是3214。 35．用 ，，， 四个数字，每次选出两个数字相乘。 （1）能写出几种不同的算式？请写出来。 （2）能得到几种不同的积？它们分别是多少？ 【答案】（1） 种；，，，，，，，，，，，； （2） 种；，，，，， 【分析】（1）每个数字可以组成3个算式，一共有4个数字，几种算式用乘法计算得出，据此依次、按顺序写出所有算式； （2）计算出每个算式的结果，再数出有几种不同的积；据此解答。 【详解】（1）3×4＝12（种） ，，，，，，，，，，， 答：能写出12种不同的算式。 （2）＝30，＝35，＝40，＝42，＝48，＝56，＝30，＝35，＝40，＝42，＝48，＝56 答：能得到6种不同的积，它们分别是，，，，，。 【点睛】搭配问题做到按顺序、不重复、不遗漏。 36．书架上有故事书3本，科技书3本，王红想要从书架上任意取一本故事书和一本科技书，一共有多少种不同的取法？（请画图说明） 【答案】9种，画图见详解 【分析】故事书有3本，分别是故事书1，故事书2，故事书3，科技书有3本，分别是科技书1，科技书2，科技书3；假如先取故事书1，那么可以和任意一本科技书搭配；则共有（3×3）种不同的取法。 【详解】3×3＝9（种） 画图如下： 答：一共有9种不同的取法。 【点睛】认真读题，理清题意，是解题的关键。 37．有8名小选手参加乒乓球比赛（两两比赛，胜者进入下一轮），要打7场才能决出冠、亚军。如果有32名小选手参加乒乓球比赛，要打多少场才能决出冠、亚军？ 【答案】31场 【分析】根据比赛规则，32个小选手两两比赛要打16场，16人进入下一轮；接着16个小选手两两比赛要打8场，8人进入下一轮；由题可知这8人还要打7场才能决出冠、亚军。最后将几轮比赛所有场次加起来即可。 【详解】16＋8＋7 ＝24＋7 ＝31（场） 答：要打31场才能决出冠、亚军。 【点睛】本题是典型的单场淘汰赛，在没有轮空的情况下每次都会淘汰一半的人数。 38．食堂周五的菜谱如下表。每名学生可以选择一种荤菜、一种素菜。 荤菜 素菜 木耳炒肉、虾 冬瓜、豆腐、白菜 （1）共有几种不同的配菜方法？ （2）请你写出各种不同的搭配。 【答案】（1）6种 （2）①木耳炒肉和冬瓜；②木耳炒肉和豆腐；③木耳炒肉和白菜；④虾和冬瓜；⑤虾和豆腐；⑥虾和白菜。 【分析】根据题意，把2种荤菜和3种素菜进行搭配，一种荤菜、一种素菜搭配，一种荤菜可搭配三种素菜就有3种搭配方法，两种荤菜就有6种搭配方法，再采用一一列举的方法列举出来即可解答。 【详解】（1）由分析可知：3×2＝6（种） 答：一共有6种不同的配菜方法。 （2）据题意，配菜方法如下： ①木耳炒肉和冬瓜；②木耳炒肉和豆腐；③木耳炒肉和白菜；④虾和冬瓜；⑤虾和豆腐；⑥虾和白菜。 【点睛】本题考查简单的排列组合，列举注意按一定的顺序，做到不重不漏。 39．李叔叔从重庆路过武汉到南京，出行方式如下：如果他从重庆到武汉可以乘飞机、轮船或火车，从武汉到南京可以乘轮船、飞机、火车或汽车。那么他从重庆到南京有多少种不同的出行方法？ 【答案】12种 【分析】根据题意可知，李叔叔从重庆路过武汉到南京，他从重庆到武汉可以乘飞机、轮船、火车，一共有3种选择；从武汉到南京可以乘轮船、飞机、火车、汽车，一共有4种选择，根据乘法原理，他从重庆到南京一共有3×4种不同的出行方法，据此解答。 【详解】3×4＝12（种） 答：他从重庆到南京有12种不同的出行方法。 【点睛】本题考查搭配问题，也可以用列举法进行解答。 40．姐姐和弟弟一起把妈妈买来的8块巧克力吃完了。姐姐说：“我们两个人都吃了，我比弟弟吃得多。”弟弟说：“我们每人吃的块数不同。”你知道他们俩一共有几种不同的吃法吗？ 【答案】3种 【分析】把8拆分成2个数相加，从1开始有顺序地一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理。 【详解】8＝7＋1＝6＋2＝5＋3＝4＋4 因为两人都吃了，且吃的块数不相等，所以他们吃的块数都不等于4块。 用表格整理： 姐姐吃的（块） 7 6 5 弟弟吃的（块） 1 2 3 答：他们俩一共有3种不同的吃法。 【点睛】本题可通过列举和表格法来解决问题。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $