第3讲 倍数与因数（6个知识点+6个易错点+40题强化练习）五年级数学寒假专项提升（北师大版）

第3讲 倍数与因数 （6个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、因数与倍数的意义 定义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 示例：因为3×4=12，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 知识点二、找一个数的因数 方法： 1.列乘法算式：从1开始，一对一对地找，直到两个因数重复为止。 2.列除法算式：用这个数分别除以1,2,3,...，商是整数且没有余数，除数和商都是这个数的因数。 特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 示例：12的因数有1,2,3,4,6,12（共6个） 知识点三、找一个数的倍数 方法：用这个数依次乘1,2,3,...得到的积都是这个数的倍数。 特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 示例：5的倍数有5,10,15,20,...（无限个） 知识点四、2、5、3的倍数特征 2的倍数：个位上是0,2,4,6,8的数（能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数） 5的倍数：个位上是0或5的数 3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数的数 同时是2和5的倍数：个位上必须是0 知识点五、质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数（最小质数是2，也是唯一的偶质数） 合数：一个数除了1和它本身还有别的因数（最小合数是4） 特殊数：1既不是质数也不是合数 知识点六、分解质因数 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 方法： 1.树枝分解法：把合数分解成质数相乘的形式 2.短除法：用质数依次去除合数，直到商是质数为止 示例：12=2×2×3（或12=2²×3） 易错点剖析 易错点一、混淆因数与倍数的依存关系 错误表现：单独说"12是倍数"或"3是因数" 正确理解：因数和倍数是相互依存的，应该说"12是3的倍数"或"3是12的因数" 例题：判断对错：因为6×5=30，所以6是因数，30是倍数。（×） 解析：应该说"6是30的因数，30是6的倍数"，因数和倍数不能单独存在。 易错点二、忽略"非0自然数"的前提条件 错误表现：认为0是任何数的倍数，或者说"0.5是1的因数" 正确理解：因数和倍数研究的范围是非0自然数（正整数） 例题：判断对错：0是5的倍数。（×） 解析：在因数和倍数的概念中，不包括0，因为0乘任何数都得0，没有研究意义。 易错点三、混淆奇数、偶数与质数、合数的概念 错误表现： 认为所有奇数都是质数（如9是奇数但不是质数） 认为所有偶数都是合数（2是偶数却是质数） 认为1是质数或合数（1既不是质数也不是合数） 例题：选择：下列说法正确的是（C） A. 所有奇数都是质数 B. 所有偶数都是合数 C. 2是最小的质数 D. 1是最小的质数 解析：9是奇数但不是质数，2是偶数却是质数，1既不是质数也不是合数，所以正确答案是C。 易错点四、找因数和倍数时出现遗漏或重复 错误表现： 找因数时无序寻找导致遗漏（如找18的因数只找到1,2,3,6,9,漏掉18） 找倍数时忘了"无限性"，给倍数下"最大"的定义 例题：写出15的所有因数：1,3,5,15（注意按顺序从小到大排列，避免遗漏） 例题：判断对错：10的最大倍数是100。（×） 解析：一个数的倍数是无限的，没有最大倍数。 易错点五、3的倍数特征理解错误 错误表现：认为个位上是3,6,9的数就是3的倍数 正确理解：3的倍数特征是"各个数位上的数字之和是3的倍数" 例题：判断对错：13是3的倍数。（×） 解析：1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数；而12：1+2=3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。 易错点六、分解质因数不彻底或形式错误 错误表现： 分解质因数时出现合数（如12=2×6，6是合数，应继续分解为2×2×3） 写成"因数×因数=合数"的形式（如2×2×3=12，这是乘法算式，不是分解质因数的正确书写形式） 例题：把18分解质因数：18=2×3×3（正确） 错误写法：18=2×9（9是合数）或2×3×3=18（书写格式错误） 强化练习 一、选择题 1．如果B＝2×3×5，那么B的因数有（    ）个。 A．3 B．30 C．5 D．8 【答案】D 【分析】先求出B的值，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，由此求出B的因数，据此解答。 【详解】B＝2×3×5＝30 30÷1＝30 30÷2＝15 30÷3＝10 30÷5＝6 所以，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，即B的因数有8个。 故答案为：D 2．在下面的数中，因数个数最少的是（    ）。 A．12 B．20 C．23 D．27 【答案】C 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；由此求出选项中各数的因数，再找出因数个数最少的选项，据此解答。 【详解】A．12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12的因数有1、2、3、4、6、12，一共6个因数。 B．20÷1＝20 20÷2＝10 20÷4＝5 20的因数有1、2、4、5、10、20，一共6个因数。 C．23÷1＝23 23的因数有1、23，一共2个因数。 D．27÷1＝27 27÷3＝9 27的因数有1、3、9、27，一共4个因数。 综上所述，因数个数最少的是23。 故答案为：C 3．2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（    ） A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块） C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块） 【答案】C 【分析】找到90的因数，每盒装的块数恰好为90的因数时，则礼盒规格正好装完所有月饼；若每盒装的块数不是90的因数时，则礼盒规格无法正好装完所有月饼。 【详解】90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10； A．90÷2＝45（盒），即90块月饼刚好能装45盒； B．90÷3＝30（盒），即90块月饼刚好能装30盒； C．90÷4＝22（盒）……2（块），即这种礼盒规格无法正好装完所有月饼； D．90÷5＝18（盒），即90块月饼刚好能装18盒。 故答案为：C 4．a、b都是自然数，若a＋b＝c，下列说法正确的是（    ）。 A．如果a和b都是奇数，那么c也是奇数 B．如果a和b都是偶数，那么c也是偶数 C．如果a和b都是质数，那么c也是质数 D．如果a和b都是合数，那么c一定是偶数 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 偶数±偶数＝偶数；奇数±奇数＝偶数；偶数±奇数＝奇数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此解答。 【详解】A．因为奇数＋奇数＝偶数，则c是偶数，不符合题意。 B．因为偶数＋偶数＝偶数，则c是偶数，符合题意。 C．例如：2和7均为质数，则2与7的和9不是质数；2和3均为质数，则2与3的和是质数，即c不一定是质数，不符合题意。 D．例如：6与9均为合数，则6与9的和15不是偶数；6与8均为合数，则6与8的和14是偶数，即c不一定是偶数，不符合题意。 故答案为：B 5．关于诗句“亭台六七座，八九十枝花”中划横线的几个数：6、7、8、9、10说法错误的是（    ）。 A．9的因数最多 B．有3个数是偶数 C．7和9都是奇数 D．只有7是质数，其余都是合数 【答案】A 【分析】是2的倍数的是叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。一个数除了1和它本身以外还有其他的因数，这个数叫合数。 可以通过乘法算式找一个数的因数。据此分析4句话，找到错误的即可。 【详解】A．6的因数有1、2、3、6，7的因数有1和7，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，10的因数有1、2、5、10。所以9的因数不是最多的。原句错误。 B．6、8、10都是偶数，所以有3个数是偶数。是正确的。 C．7和9都是奇数，是正确的。 D．只有7是质数，6和8、9、10都是合数。是正确的。 故答案为：A 6．一个四位数3□80同时是2、3、5的倍数，百位上最小能填（    ）。 A．0 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】一个数同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。据此逐项分析即可。 【详解】A．3＋0＋8＋0＝11，11不是3的倍数，该选项错误。 B．3＋9＋8＋0＝20，20不是3的倍数，该选项错误。 C．3＋7＋8＋0＝18，18是3的倍数，但不是最小，该选项错误。 D．3＋1＋8＋0＝12，12是3的倍数，且最小，该选项正确。 故答案为：D 7．从3，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．753 B．735 C．750 D．730 【答案】C 【分析】要解决这个问题，需同时满足的倍数和的倍数的条件，再找出最大的三位数。的倍数特征：个位是或；的倍数特征：三位数各位数字之和必须是的倍数。所以先确定个位数字，然后再选择剩余两个数字，保证三个数字的和为的倍数。因为题目要求最大，所以把符合条件的数列举出来比较大小即可。 【详解】要找的三位数需同时是和的倍数。所以个位只能是或，三位数各位数字之和必须是的倍数。 1、若个位是：剩下两个数字需满足和是的倍数。选择和（，不是的倍数）、选择和（，不是的倍数）、选择和（，是的倍数），组成的数有、。 2、若个位是：剩下两个数字需满足和是的倍数（且加上后总和是的倍数）。选择和（，不是的倍数）；选择和（，是的倍数），组成的数有；选择和（，是的倍数），组成的数有、。 因为，所以最大是。 故答案为：C 8．下面类似“NNKN”的符号表示一个四位数，其中，N是小于10的非零自然数，那么一定能被3和5整除的数是（    ）。 A．NNKN B．NKNN C．NNNK D．NKNK 【答案】C 【分析】一定能被3和5整除，则根据既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数即可选择。 【详解】A．由于K＝0，N＋N＋K＋N＝3N，3N一定为3的倍数，则NNKN一定为3的倍数，但是个位上N不一定是0或5，则NNKN不一定是5的倍数，不符合题意； B．由于K＝0，N＋K＋N＋N＝3N，3N一定为3的倍数，则NKNN一定为3的倍数，但是个位上N不一定是0或5，则NKNN不一定是5的倍数，不符合题意； C．由于K＝0，N＋N＋N＋K＝3N，3N一定为3的倍数，则NNNK一定为3的倍数，并且个位上K＝0，则NNNK一定是5的倍数，符合题意； D．由于K＝0，N＋K＋N＋K＝2N，2N不一定为3的倍数，虽然个位上K＝0，则NKNK一定是5的倍数，但是不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：C 9．有一种叫“数7”的数字游戏。这个游戏的规则是从1开始一个一个往后数，遇到7的倍数时要说“过”，五（1）班45名同学围成一圈玩这个游戏，一圈数下来，一共要说（    ）次“过”字。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】游戏规则是遇到“7”的倍数说“过”，需要找出1到45之间所有7的倍数，据此解答。 【详解】7的倍数有：7，14，21，28，35，42，……，45以内7的倍数一共有6个，即一共要说6次“过”字。 有一种叫“数7”的数字游戏。这个游戏的规则是从1开始一个一个往后数，遇到7的倍数时要说“过”，五（1）班45名同学围成一圈玩这个游戏，一圈数下来，一共要说6次“过”字。 故答案为：B 10．下面一列数：8，15，22，29，36，43，……从第二个数开始，每个都比它前面相邻的数大7。它们前n个数相乘所得积的末尾0的个数比前（n－1）个数相乘所得积的末尾0的个数至少多4个，n的最小值是（    ）。 A．178 B．700 C．267 D．357 E．358 【答案】D 【分析】若干个数相乘所得积的末尾0的个数是由这些乘数的因数2的个数和因数5的个数共同决定的，因数2的个数明显多于因数5的个数，因此主要是需要确定因数5的个数。前n个数相乘所得积的末尾0的个数比前（n－1）个数相乘所得积的末尾0的个数至少多4个，即第n个数最少含有4个因数5，即可以设第n个数为：。再根据这个等差数列第n项为：。最后根据k、n均为整数即可求解。 【详解】根据前n个数相乘所得积的末尾0的个数比前（n－1）个数相乘所得积的末尾0的个数至少多4个， 设第n个数为： 因此可知 即 当k＝1时，n＝，不符合题意； 当k＝2时，n＝，不符合题意； 当k＝3时，n＝，不符合题意； 当k＝4时，n＝357，符合题意。 因此n的最小值是357。 故答案为：D 二、填空题 11．把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 【答案】 9 2 【分析】因为每个盒子装得同样多，所以每个盒子装的苹果数必须是总苹果数的因数。因此，装法数就是总苹果数的因数个数，分别列举36和37的因数，然后确定答案。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数，所以有9种装法。 37的因数有：1、37，共2个因数，所以有2种装法。 把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有9种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有2种装法。 12．24的最小倍数、最大因数、最小因数的和是( )。 【答案】49 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数；由此可知，一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此解答。 【详解】分析可知，24的最小倍数是24，最大因数也是24，最小因数是1。 24＋24＋1＝49 所以，24的最小倍数、最大因数、最小因数的和是49。 13．在1、10、13、37、298、417中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 1、13、37、417 10、298 13、37 10、298、417 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【详解】分析可知，在1、10、13、37、298、417中，奇数有1、13、37、417，偶数有10、298，质数有13、37，合数有10、298、417。 14．广东的剪纸艺术独具特色，常以对称图案展现岭南风情。一位剪纸艺人要剪一个长方形红纸，面积是65平方厘米，且长和宽都是质数（单位：厘米），用来制作具有广东特色的窗花。这个长方形红纸的周长是( )厘米。 【答案】36 【分析】首先明确质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。已知长方形面积＝长×宽，已知面积是65平方厘米，将65分解因数：65＝5×13，其中5和13都符合质数的定义，所以长方形的长是13厘米，宽是5厘米。最后，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形红纸周长即可。 【详解】因为65＝13×5，所以长方形红纸的长是13厘米，宽是5厘米； （13＋5）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 所以，这个长方形红纸的周长是36厘米。 15．小齐在网上订购了话剧《山河为证》的观影票，取票码由6个数字组成，从左往右看第一个数字是最小的合数，第二个数字是10以内3的最大倍数，第四个数字是8的最大因数，第六个数字是最小的质数，其余数字都是0，这个取票码是( )。 【答案】490802 【分析】合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的数，最小的合数是4。10以内3的倍数有3、6、9（因为3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9，而3×4＝12＞10）。8的因数有1、2、4、8（因为8÷1＝8，8÷2＝4，8÷4＝2，8÷8＝1）。质数是指大于1且只有1和本身两个因数的数，最小的质数是2（因为2的因数只有1和2）。据此解答即可。 【详解】第1位：最小的合数是4； 第2位：10以内3的最大倍数是9； 第4位：8的最大因数是8； 第6位：最小的质数是2； 其余数字（第3位和第5位）都是0； 所以取票码为：490802。 16．小东爸爸的年龄是介于30与50之间的一个偶数，且十位数字与个位数字的乘积是12，小东爸爸今年( )岁。 【答案】34 【分析】这道题要确定小东爸爸的年龄，需要结合年龄的范围、偶数的特征以及十位与个位数字的乘积这些条件来分析。首先明确年龄在30到50之间，所以十位数字只能是3或4；然后根据十位数字与个位数字的乘积是12，找出可能的数字组合；最后依据偶数的特征（个位是0、2、4、6、8），筛选出符合条件的年龄。 【详解】根据分析： （1）确定十位数字的可能值：因为小东爸爸的年龄介于30与50之间，所以这个数的十位数字只能是3或者4。 （2）找出十位与个位数字乘积为12的组合：当十位数字是3时，个位数字为，此时这个数是34。当十位数字是4时，个位数字为，此时这个数是43。 （3）根据偶数特征筛选：偶数是能被2整除的数，其个位数字为0、2、4、6、8。34的个位是4，是偶数，符合要求；43的个位是3，不是偶数，不符合要求。 所以，小东爸爸今年34岁。 17．2024至少加上( )才是3的倍数，2024至少减去( )才是5的倍数。 【答案】 1 4 【分析】3的倍数特征：各位上数字相加的和是3的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数，据此解答。 【详解】2＋0＋2＋4＝8，8＋1＝9，9是3的倍数，所以2024至少加上1才是3的倍数；2024－4＝2020，2020是5的倍数，所以2024至少减去4才是5的倍数。 18．麻黄和紫苏叶是辛温解表、行气和胃的中药，常用于治疗感冒。采药师采集麻黄的重量大于紫苏叶的质量，且它们的重量是两个和为56的连续奇数，则采药师采摘了( )克麻黄，( )克紫苏叶。 【答案】 29 27 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。像1、3是两个连续的奇数，1＋3＝4，4÷2＝2，2－1＝1，2＋1＝3。像7、9也是两个连续的奇数，7＋9＝16，16÷2＝8，8－1＝7，8＋1＝9。这两个连续奇数的和是56，56除以2再加上1可以算出这两个连续奇数中较大的奇数，56除以2再减去1可以算出这两个连续奇数中较小的奇数。 【详解】56÷2＋1 ＝28＋1 ＝29（克） 56÷2－1 ＝28－1 ＝27（克） 麻黄和紫苏叶是辛温解表、行气和胃的中药，常用于治疗感冒。采药师采集麻黄的重量大于紫苏叶的质量，且它们的重量是两个和为56的连续奇数，则采药师采摘了29克麻黄，27克紫苏叶。 19．大毛、二毛、三毛三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，大毛( )岁，三毛( )岁。 【答案】 14 10 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，用这三个连续偶数的和除以3，求出平均数，即是中间的偶数，也就是二毛的年龄；再用二毛的年龄分别加2、减2，求出相邻的另外两个偶数，也就是大毛、三毛的年龄。 【详解】二毛：36÷3＝12（岁） 大毛：12＋2＝14（岁） 三毛：12－2＝10（岁） 所以，大毛14岁，三毛10岁。 20．小于30的最大质数是( )，大于30的最小合数是( )。两位数中，最大的偶数是( )，最小的3的倍数是( )。 【答案】 29 32 98 12 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数；1既不是质数，也不是合数。偶数是能被2整除的数；3的倍数需满足各位数字之和是3的倍数。据此分别找出对应条件下的数。 【详解】小于30的最大质数：从29开始检查，29只能被1和29整除，是质数，因此填29。 大于30的最小合数：31是质数，32除了1和它本身外还能被2、4、8等整除，是合数，因此填32。 两位数中最大的偶数：最大的两位数是99（奇数），99－1＝98，98是偶数，因此填98。 两位数中最小的3的倍数：两位数最小是10，但10不能被3整除，不是3的倍数，同理，11也不是3的倍数。12能被3整除，12是3的倍数且是两位数，因此填12。 所以，小于30的最大质数是29，大于30的最小合数是32。两位数中，最大的偶数是98，最小的3的倍数是12。 三、判断题 21．3×8＝24，所以24是倍数，8是因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义，因数和倍数是相互依存的关系，必须明确指出某个数是另一个数的因数或倍数。题目中未说明是哪个数的倍数，是哪个数的因数，因此表述不完整。 【详解】在算式中，是和的倍数，和是的因数。单独说“是倍数，是因数”未指明对应的数，不符合因数和倍数的定义。 故答案为：× 22．只有1和它本身两个因数的一定是质数。( ) 【答案】√ 【详解】根据质数的意义可知，一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数。 【分析】一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数，正确。 故答案为：√ 23．1不是合数，它是一个质数。( ) 【答案】× 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数。 合数：除了1和它本身还有别的因数的数。 1的因数只有它本身，既不是质数也不是合数。 据此判断。 【详解】根据分析可知： 1既不是质数，也不是合数。原说法错误。 故答案为：× 24．一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数一定是15。( ) 【答案】√ 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此求出15的因数，再在其中找出15的倍数即可判断。 【详解】15＝1×15＝3×5，则15的因数有1、3、5、15。 15×1＝15，15×2＝30，15×3＝45，则15的倍数有15、30、45。 则15既是15的倍数，又是15的因数。原说法正确。 故答案为：√ 25．一个合数至少有2个因数。( ) 【答案】× 【分析】一个数，除了1和它本身两个因数，还有其它因数，这样的数叫做合数，一个合数至少有3个因数，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个合数至少有3个因数。 原题干说法错误。 故答案为：× 四、计算题 26．把下面各数写成质数相乘的形式。 81       48      121      91 【答案】见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【详解】81＝3×3×3×3； 48＝2×2×2×2×3； 121＝11×11； 91＝13×7 27．用短除式把140分解质因数． 【答案】 140=2×2×5×7 【解析】略 五、解答题 28．五（1）班有36名同学参加社区的服务活动。如果每2人分为一组，能正好分完吗？如果每5人分为一组，能正好分完吗？如果不能正好分完，至少再添几人才能正好分完？ 【答案】能正好分完；不能正好分完，至少再添4人 【分析】要正好分完，总人数必须是2的倍数。可根据2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数，据此可得出答案。 要正好分完，总人数必须是5的倍数且要比36大。可根据5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，可得到离36最近的5的倍数，据此可得出答案。 【详解】36的个位数字是6，36是2的倍数。 40－36＝4 答：如果每2人分为一组，能正好分完；如果每5人分为一组，不能正好分完；至少再添4人才能正好分完。 29．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 【答案】选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解 【分析】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。 【详解】93÷3＝31（盒） 93÷6＝15（盒）……3（个） 93÷8＝11（盒）……5（个） 答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。 30．北京世界园艺博览会中，中国馆作为核心景观区，不仅外形亮眼，它还是一座“会呼吸”“有生命”的绿色建筑。中国馆的钢结构屋盖安装有ABCD块光伏玻璃。ABCD是一个四位数，其中A既不是质数，也不是合数；B是最小的自然数；C是最小的质数；D是最小的合数。一共安装了多少块光伏玻璃？ 【答案】 1024块 【分析】在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，被称为质数。在大于1的自然数中，除了1和它本身以外还有其他因数的自然数，被称为合数。像0、1、2、3、4、5这样的数叫自然数。 【详解】0和1既不是质数，也不是合数。A是四位数的首位，不能为0，则A是1； 最小的自然数是0，则B是0； 最小的质数是2，则C是2； 最小的合数是4，则D是4。 即这个四位数是1024。 答：一共安装了1024块光伏玻璃。 31．观察下面各数。（填“奇”或“偶”） (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数，从右边任取两个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数。 【答案】(1) 奇 偶 (2) 偶 偶 (3) 偶 偶 奇 【分析】（1）观察每个数的个位数字，个位数是0、2、4、6、8的数为偶数，个位数是1、3、5、7、9的数为奇数； （2）分别代入一个具体的数相加，看结果是奇数还是偶数即可； （3）奇数和偶数的和的规律是：如果两个数都是奇数或都是偶数，那么它们的和也是偶数。如果一个数是奇数，另一个数是偶数，那么它们的和是奇数。据此解答。 【详解】（1）左边的数的个位数字都是1、3、5、7、9中的一个，它们都是奇数，右边的数的个位数字都是0、2、4、6、8中的一个，它们都是偶数。 （2）比如,，14和230都是偶数，所以从左边任取两个数相加，和是偶数。比如,,32和116都是偶数，所以从右边任取两个数相加，和是偶数。 （3）比如,17是奇数，所以一个奇数与一个偶数的和是奇数。我发现：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 32．王老师到文具店买了一些笔记本，付了100元，售货员找回23元，找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】笔记本的单价是5元，根据单价×数量＝总价，也就是买笔记本的总价钱等于5的倍数；根据5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，因此买笔记本的总价钱个位上的数字是0或者是5；应找回的钱的个位上的数字也应该是0或者是5；据此解答。 【详解】找回的钱＝100－买笔记本的总价钱 买笔记本的总价钱的个位上的数字是0或者5，因此找回的钱的个位上的数字也是0或者5，所以售货员找回23元，是不对的。 答：不对。理由是：因为笔记本的单价是5元，无论买几本找回的钱数个位上的数字要么是0，要么是5，不可能是3。 33．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是36分米，则长与宽的和是36÷2＝18（分米）。再把18写成两个质数相加的和有：11＋7和13＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×7＝77（平方分米）。 【详解】长与宽的和：36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅画的面积最大是77平方分米。 34．一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少厘米？当长和宽都是几厘米时，这个图形是正方形？ 【答案】5种；长和宽分别是36cm，1cm；18cm，2cm；12cm，3cm；9cm，4cm；6cm，6cm。当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 【分析】长方形的面积＝长×宽，长方形的长和宽都是整厘米数，长方形的面积是36平方厘米，找出36可以是哪两个因数相乘的积（0除外），就是长和宽，当长和宽相等时就是正方形。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 答：这样的长方形有5种、长和宽分别是36厘米，1厘米；18厘米，2厘米；12厘米，3厘米；9厘米，4厘米；6厘米，6厘米；当长和宽都是6cm时，这个图形是正方形。 35．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 【答案】4种 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和50之外50的所有因数即可。 【详解】50＝1×50＝2×25＝5×10 50的因数有1、2、5、10、25、50。 可以分成2堆，每堆25个；分成5堆，每堆10个；分成10堆，每堆5个；分成25堆，每堆2个。 答：共有4种分法。 36．用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 【答案】351 【分析】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。 【详解】 ＝34×10＋11 ＝340＋11 ＝351 答：这5个两位数的和是351。 【点睛】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。 37．某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【分析】此题满分为（分），即总分为偶数，若错1题要从100分里面扣去5＋1＝6（分），6为偶数，若不答从中扣去5－1＝4（分），4也为偶数，根据偶数－偶数＝偶数可知，一人的得分总是偶数，再根据偶数×奇数＝偶数确定21名学生的总和是偶数。 【详解】如全对得（分），即总分是偶数；如答错1题要从100分中减去（分），即94分，94也是偶数；如有1题不答，要从100分中减去（分），即96分，96还是偶数。根据偶数－偶数＝偶数，以此类推，每名同学的分数肯定是偶数。 所以这21名同学分数的总和就是偶数。 【点睛】此题结合实际考查整数的奇偶性，完成本题的关键在与弄明白错题和不答题所扣的分数的奇偶性。 38．在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串数中，是否会出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134… 【答案】不会 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，第五个数是6（偶数），第六个数是1（奇数），第七个数是9（奇数）……， 继续往下，发现总结规律，用规律判断即可。 【详解】仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数从第五个数依次写出来，得到：偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数……可以看出，这串数是按照一个偶数、四个奇数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。 答：不会出现相邻的四个数是“2000”。 【点睛】发现数的奇偶排列规律是按照一个偶数、四个奇数循环出现的，是解答此题的关键。 39．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 40．太极拳刚柔并济、博大精深，融汇中华传统文化精髓，是中华武术文化的宝藏。和平小学六年级120名同学排成5排表演太极拳，如果前4排的人数都是奇数，那么第5排的人数是偶数还是奇数？ 【答案】偶数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数； 偶数－偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。 【详解】前4排的人数之和是：奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数 120是偶数，第5排的人数是：偶数－偶数＝偶数 答：第5排的人数是偶数。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 倍数与因数 （6个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、因数与倍数的意义 定义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 示例：因为3×4=12，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 知识点二、找一个数的因数 方法： 1.列乘法算式：从1开始，一对一对地找，直到两个因数重复为止。 2.列除法算式：用这个数分别除以1,2,3,...，商是整数且没有余数，除数和商都是这个数的因数。 特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 示例：12的因数有1,2,3,4,6,12（共6个） 知识点三、找一个数的倍数 方法：用这个数依次乘1,2,3,...得到的积都是这个数的倍数。 特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 示例：5的倍数有5,10,15,20,...（无限个） 知识点四、2、5、3的倍数特征 2的倍数：个位上是0,2,4,6,8的数（能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数） 5的倍数：个位上是0或5的数 3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数的数 同时是2和5的倍数：个位上必须是0 知识点五、质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数（最小质数是2，也是唯一的偶质数） 合数：一个数除了1和它本身还有别的因数（最小合数是4） 特殊数：1既不是质数也不是合数 知识点六、分解质因数 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 方法： 1.树枝分解法：把合数分解成质数相乘的形式 2.短除法：用质数依次去除合数，直到商是质数为止 示例：12=2×2×3（或12=2²×3） 易错点剖析 易错点一、混淆因数与倍数的依存关系 错误表现：单独说"12是倍数"或"3是因数" 正确理解：因数和倍数是相互依存的，应该说"12是3的倍数"或"3是12的因数" 例题：判断对错：因为6×5=30，所以6是因数，30是倍数。（×） 解析：应该说"6是30的因数，30是6的倍数"，因数和倍数不能单独存在。 易错点二、忽略"非0自然数"的前提条件 错误表现：认为0是任何数的倍数，或者说"0.5是1的因数" 正确理解：因数和倍数研究的范围是非0自然数（正整数） 例题：判断对错：0是5的倍数。（×） 解析：在因数和倍数的概念中，不包括0，因为0乘任何数都得0，没有研究意义。 易错点三、混淆奇数、偶数与质数、合数的概念 错误表现： 认为所有奇数都是质数（如9是奇数但不是质数） 认为所有偶数都是合数（2是偶数却是质数） 认为1是质数或合数（1既不是质数也不是合数） 例题：选择：下列说法正确的是（C） A. 所有奇数都是质数 B. 所有偶数都是合数 C. 2是最小的质数 D. 1是最小的质数 解析：9是奇数但不是质数，2是偶数却是质数，1既不是质数也不是合数，所以正确答案是C。 易错点四、找因数和倍数时出现遗漏或重复 错误表现： 找因数时无序寻找导致遗漏（如找18的因数只找到1,2,3,6,9,漏掉18） 找倍数时忘了"无限性"，给倍数下"最大"的定义 例题：写出15的所有因数：1,3,5,15（注意按顺序从小到大排列，避免遗漏） 例题：判断对错：10的最大倍数是100。（×） 解析：一个数的倍数是无限的，没有最大倍数。 易错点五、3的倍数特征理解错误 错误表现：认为个位上是3,6,9的数就是3的倍数 正确理解：3的倍数特征是"各个数位上的数字之和是3的倍数" 例题：判断对错：13是3的倍数。（×） 解析：1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数；而12：1+2=3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。 易错点六、分解质因数不彻底或形式错误 错误表现： 分解质因数时出现合数（如12=2×6，6是合数，应继续分解为2×2×3） 写成"因数×因数=合数"的形式（如2×2×3=12，这是乘法算式，不是分解质因数的正确书写形式） 例题：把18分解质因数：18=2×3×3（正确） 错误写法：18=2×9（9是合数）或2×3×3=18（书写格式错误） 强化练习 一、选择题 1．如果B＝2×3×5，那么B的因数有（    ）个。 A．3 B．30 C．5 D．8 2．在下面的数中，因数个数最少的是（    ）。 A．12 B．20 C．23 D．27 3．2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（    ） A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块） C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块） 4．a、b都是自然数，若a＋b＝c，下列说法正确的是（    ）。 A．如果a和b都是奇数，那么c也是奇数 B．如果a和b都是偶数，那么c也是偶数 C．如果a和b都是质数，那么c也是质数 D．如果a和b都是合数，那么c一定是偶数 5．关于诗句“亭台六七座，八九十枝花”中划横线的几个数：6、7、8、9、10说法错误的是（    ）。 A．9的因数最多 B．有3个数是偶数 C．7和9都是奇数 D．只有7是质数，其余都是合数 6．一个四位数3□80同时是2、3、5的倍数，百位上最小能填（    ）。 A．0 B．9 C．7 D．1 7．从3，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．753 B．735 C．750 D．730 8．下面类似“NNKN”的符号表示一个四位数，其中，N是小于10的非零自然数，那么一定能被3和5整除的数是（    ）。 A．NNKN B．NKNN C．NNNK D．NKNK 9．有一种叫“数7”的数字游戏。这个游戏的规则是从1开始一个一个往后数，遇到7的倍数时要说“过”，五（1）班45名同学围成一圈玩这个游戏，一圈数下来，一共要说（    ）次“过”字。 A．5 B．6 C．7 D．8 10．下面一列数：8，15，22，29，36，43，……从第二个数开始，每个都比它前面相邻的数大7。它们前n个数相乘所得积的末尾0的个数比前（n－1）个数相乘所得积的末尾0的个数至少多4个，n的最小值是（    ）。 A．178 B．700 C．267 D．357 E．358 二、填空题 11．把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 12．24的最小倍数、最大因数、最小因数的和是( )。 13．在1、10、13、37、298、417中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 14．广东的剪纸艺术独具特色，常以对称图案展现岭南风情。一位剪纸艺人要剪一个长方形红纸，面积是65平方厘米，且长和宽都是质数（单位：厘米），用来制作具有广东特色的窗花。这个长方形红纸的周长是( )厘米。 15．小齐在网上订购了话剧《山河为证》的观影票，取票码由6个数字组成，从左往右看第一个数字是最小的合数，第二个数字是10以内3的最大倍数，第四个数字是8的最大因数，第六个数字是最小的质数，其余数字都是0，这个取票码是( )。 16．小东爸爸的年龄是介于30与50之间的一个偶数，且十位数字与个位数字的乘积是12，小东爸爸今年( )岁。 17．2024至少加上( )才是3的倍数，2024至少减去( )才是5的倍数。 18．麻黄和紫苏叶是辛温解表、行气和胃的中药，常用于治疗感冒。采药师采集麻黄的重量大于紫苏叶的质量，且它们的重量是两个和为56的连续奇数，则采药师采摘了( )克麻黄，( )克紫苏叶。 19．大毛、二毛、三毛三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，大毛( )岁，三毛( )岁。 20．小于30的最大质数是( )，大于30的最小合数是( )。两位数中，最大的偶数是( )，最小的3的倍数是( )。 三、判断题 21．3×8＝24，所以24是倍数，8是因数。( ) 22．只有1和它本身两个因数的一定是质数。( ) 23．1不是合数，它是一个质数。( ) 24．一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数一定是15。( ) 25．一个合数至少有2个因数。( ) 四、计算题 26．把下面各数写成质数相乘的形式。 81       48      121      91 27．用短除式把140分解质因数． 五、解答题 28．五（1）班有36名同学参加社区的服务活动。如果每2人分为一组，能正好分完吗？如果每5人分为一组，能正好分完吗？如果不能正好分完，至少再添几人才能正好分完？ 29．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 30．北京世界园艺博览会中，中国馆作为核心景观区，不仅外形亮眼，它还是一座“会呼吸”“有生命”的绿色建筑。中国馆的钢结构屋盖安装有ABCD块光伏玻璃。ABCD是一个四位数，其中A既不是质数，也不是合数；B是最小的自然数；C是最小的质数；D是最小的合数。一共安装了多少块光伏玻璃？ 31．观察下面各数。（填“奇”或“偶”） (1)左边的数都是( )数，右边的数都是( )数。 (2)从左边任取两个数相加，和是( )数，从右边任取两个数相加，和是( )数。 (3)我发现：偶数＋偶数＝( )数，奇数＋奇数＝( )数，奇数＋偶数＝( )数。 32．王老师到文具店买了一些笔记本，付了100元，售货员找回23元，找回的钱对吗？为什么？ 33．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，已知画整体是长方形，长和宽都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最大是多少平方分米？ 34．一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少厘米？当长和宽都是几厘米时，这个图形是正方形？ 35．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，现在要把它们全部取出来，至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？ 36．用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 37．某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 38．在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串数中，是否会出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134… 39．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 40．太极拳刚柔并济、博大精深，融汇中华传统文化精髓，是中华武术文化的宝藏。和平小学六年级120名同学排成5排表演太极拳，如果前4排的人数都是奇数，那么第5排的人数是偶数还是奇数？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $