第4讲 多边形的面积（5个知识点+7个易错点+40题强化练习）五年级数学寒假专项提升（北师大版）

第4讲 多边形的面积 （5个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、 平行四边形的面积 推导过程：通过“割补法”将平行四边形转化为长方形。沿高剪开平行四边形，平移后拼成长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此平行四边形面积=长方形面积=长×宽。 计算公式：平行四边形面积 = 底×高（用字母表示：，其中为底，为对应的高） 关键要点：底和高必须是对应的（即底与高互相垂直），一个平行四边形有两组对应的底和高。 示例：一个平行四边形底是6cm，对应的高是4cm，面积为。 知识点二、三角形的面积 推导过程：通过“拼摆法”将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。三角形的底=平行四边形的底，三角形的高=平行四边形的高，因此三角形面积=平行四边形面积÷2。 计算公式：三角形面积 = 底×高÷2（用字母表示：，其中为底，为对应的高） 关键要点：必须是“完全相同”的三角形才能拼成平行四边形；底和高需对应；面积公式中“÷2”是核心，不可遗漏。 示例：一个三角形底是5m，对应的高是3m，面积为。 知识点三、梯形的面积 推导过程： 方法一（拼摆法）：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形的（上底+下底）=平行四边形的底，梯形的高=平行四边形的高，因此梯形面积=平行四边形面积÷2。 方法二（割补法）：将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，分别求面积后相加。 计算公式：梯形面积 =（上底+下底）×高÷2（用字母表示：，其中为上底，为下底，为对应的高） 关键要点：上底和下底是梯形中平行的两组对边，需明确区分；高是两底之间的垂直距离；公式中“（上底+下底）”和“÷2”不可遗漏。 示例：一个梯形上底4dm，下底6dm，高2dm，面积为。 知识点四、不规则图形的面积估计 方法： 数方格法：在方格纸上，满格按1格计算，不满格按半格计算（或根据实际情况估算）。 转化法：将不规则图形近似转化为规则图形（如梯形、三角形），再用公式估算面积。 知识点五、面积单位的关系（回顾） 相邻两个常用面积单位间的进率：，（高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率）。 易错点剖析 易错点一、混淆图形的“底”和“高”，使用非对应底和高计算面积 错误表现：计算面积时，底和高不垂直（如用三角形的斜边作为高，或平行四边形的邻边作为高）。 正确理解：“底”和“高”必须是互相垂直的一组线段，高是底边上的垂线段。 例题：判断对错：一个平行四边形相邻两边长分别为5cm和4cm，其中一条边上的高是3cm，则面积为。（×） 解析：平行四边形面积=底×对应高，不能用邻边相乘。若高3cm对应底边5cm，则面积为；若对应底边4cm，则面积为。 易错点二、三角形、梯形面积公式中遗漏“÷2” 错误表现：计算三角形面积时直接用“底×高”，计算梯形面积时用“（上底+下底）×高”，忘记除以2。 正确理解：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半，梯形面积是等底（上底+下底）等高平行四边形面积的一半，必须“÷2”。 例题：一个三角形底6cm，高4cm，面积是多少？ 错误解答： 正确解答： 易错点三、面积单位换算错误（进率混淆） 错误表现：认为面积单位进率是10（如），或换算时小数点移动位数错误。 正确理解：相邻面积单位进率是100（因为长度单位进率是10，面积=长度×长度，所以进率是）。 例题：3.5平方米=（ ）平方分米 错误解答：35（进率记为10） 正确解答：350（） 易错点四、误用“周长不变，面积也不变”的错误逻辑 错误表现：认为用同一根铁丝围成的平行四边形和长方形，面积相等（或平行四边形拉成长方形后面积不变）。 正确理解：周长不变时，图形形状变化会导致面积变化（如平行四边形拉成长方形，底不变，高变大，面积变大）。 例题：用一根长20cm的铁丝围成一个长方形和一个平行四边形，它们的面积（ ）。 A. 长方形大 B. 平行四边形大 C. 一样大 解析：长方形是特殊的平行四边形，当平行四边形拉成长方形时，高达到最大，面积最大，因此长方形面积大于普通平行四边形面积，选A。 易错点五、梯形的“上底”和“下底”概念混淆 错误表现：认为梯形中较长的边是下底，较短的边是上底，忽略“平行对边”的本质。 正确理解：梯形的上底和下底是指互相平行的两组对边，与长度无关（通常较短的叫上底，较长的叫下底，但需以平行为前提）。 例题：一个梯形有一组对边分别长3cm和5cm，另一组对边不平行，则上底=（ ）cm，下底=（ ）cm。 解析：平行的两边是上底和下底，因此上底=3cm，下底=5cm（或上底=5cm，下底=3cm，通常按长短区分）。 易错点六、计算三角形面积时，误用“两条直角边”以外的边作为底和高 错误表现：在直角三角形中，用斜边和一条直角边相乘再÷2（斜边和直角边不垂直）。 正确理解：直角三角形的两条直角边互为底和高（互相垂直），若以斜边为底，则高需是斜边上的垂线段（需额外计算）。 例题：一个直角三角形两条直角边分别为3cm和4cm，斜边为5cm，面积是多少？ 错误解答：（斜边和直角边不垂直） 正确解答：（两条直角边互为底和高） 强化练习 一、选择题 1．一个三角形的面积是26平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（    ）。 A．13平方米 B．26平方米 C．52平方米 D．不确定 【答案】C 【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。已知三角形面积为26平方米，则平行四边形面积为26×2＝52平方米。 【详解】三角形的面积公式为S△＝×底×高， 平行四边形的面积公式为S平行四边形＝底×高。 当两者等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的2倍。 因此，平行四边形面积为：26×2＝52（平方米）。 故答案为：C。 2．计算图中平行四边形的面积，正确的列式是（    ）。 A．8×4.6 B．6×4.8 C．6×8 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据题意，平行四边形的面积＝底×高。图中给出的底是6厘米，对应的高是8厘米，所以用6×8即可求出面积。据此解答。 【详解】平行四边形面积＝6×8＝48（平方厘米） 故答案为：C 3．如图中，大平行四边形的底是20厘米、高是5厘米，虚线将大平行四边形分成两个小平行四边形。涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．100 B．50 C．25 D．无法确定 【答案】B 【分析】已知平行四边形的面积＝底×高，虚线将大平行四边形分成两个小平行四边形，先求出大平行四边形的面积，虚线将大平行四边形分成两个小平行四边形，涂色部分三角形的面积＝底×高÷2，也就是每个涂色部分三角形的面积为其所在的小平行四边形面积的一半，因此，两个涂色三角形的面积之和是大平行四边形面积的一半，求出涂色面积即可。 【详解】20×5＝100（平方厘米） 涂色部分的面积：100÷2＝50（平方厘米） 故答案为：B 【点睛】本道题明确涂色部分三角形与大平行四边形的关系，利用平行四边形公式，求出涂色部分面积即可。 4．一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米，它的面积是（    ）平方分米。 A．6 B．7.5 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，直角三角形中斜边最长，所以5分米是斜边，3分米和4分米是两条直角边（3分米为底，4分米为高）。求其面积利用直角三角形面积公式：面积＝底×高÷2，用3×4÷2即可求出面积。据此解答。 【详解】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（平方分米） 故答案为：A 5．用总长48米的篱笆，靠墙围成一块梯形菜地（如图），这个梯形的高是16米，菜地的面积是（    ）平方米。 A．512 B．384 C．256 D．96 【答案】C 【分析】根据题意，用篱笆的长减去梯形的高16米，计算出梯形上底与下底的和，然后再利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”进行计算即可。 【详解】（48－16）×16÷2 ＝32×16÷2 ＝32×8 ＝256（平方米） 则菜地的面积是256平方米。 故答案为：C 6．淡竹分布在我国长江流域和黄河流域附近。已知一块梯形竹林的面积是96m2，涂色部分种植的是淡竹，则种植淡竹的面积是（    ）m2。 A．36 B．48 C．60 D．96 【答案】A 【分析】已知梯形竹林的面积是m2，空白部分是以梯形的下底为底、梯形的高为高的三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，求出空白部分的面积，用竹林的总面积减去空白部分的面积，即可求出涂色部分的面积。 【详解】 （m2） 所以种植淡竹的面积是36m2。 故答案为：A 7．乐思用12厘米和7厘米长的木条各2根，钉成了一个长方形。然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．8厘米 B．12厘米 C．7厘米 D．5厘米 【答案】D 【分析】用12厘米和7厘米长的木条各2根钉成的长方形，长是12厘米，宽是7厘米。把长方形拉成平行四边形后，底的长度不变（这里底是12厘米），但是高会变小，因为平行四边形的高是从一边向对边作的垂线段，拉的过程中倾斜程度变大，高小于原来长方形的宽（7厘米）。 【详解】A．8厘米＞7厘米，不符合高小于7厘米的要求，该选项错误。 B．12厘米＞7厘米，不符合高小于7厘米的要求，该选项错误。 C．7厘米等于原来长方形的宽，拉成平行四边形后高应小于7厘米，该选项错误。 D．5厘米＜7厘米，符合高小于7厘米的要求，该选项正确。 所以平行四边形的高可能是5厘米。 故答案为：D 8．在研究梯形的面积公式时，淘气把梯形转化成了一个平行四边形。下列面积计算方法的思路和淘气的想法相对应的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，把梯形转化成了一个平行四边形，梯形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形高的一半，根据平行四边形的面积＝底×高，即可得出梯形的面积。 【详解】平行四边形的面积＝底×高 S＝（a＋b）×（h÷2） 梯形的面积＝平行四边形的面积 所以梯形的面积S ＝（a＋b）×（h÷2） 故答案为：B 9．如图，平行四边形的面积是，是一个长方形，的长度是的3倍，三角形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为的长度是的3倍，所以EF的长度是BE的倍，是一个长方形，EF＝AC，三角形ABC，与三角形AEB的高相等，三角形ABC的底是三角形AEB的底的倍，根据，所以三角形ABC的面积是三角形AEB的倍，由图可知，三角形ABC的面积是平行四边形的面积的一半，所以可以先计算三角形ABC的面积，再用三角形ABC的面积除以，即可得解。 【详解】 （cm2） 三角形的面积是9cm2。 故答案为：A 10．一个直角梯形的高是12厘米，如果把它的上底向一端延长3厘米就成为一个正方形，这个梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．379 B．252 C．218 D．126 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方形的特征可知，这个梯形的下底是12厘米，上底比下底少3厘米，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。 【详解】上底：12－3＝9（厘米） 梯形的面积是：（9＋12）×12÷2 ＝21×12÷2 ＝252÷2 ＝126（平方厘米） 故答案为：D 二、填空题 11．一个平行四边形与一个和它等底等高的三角形的面积和是48平方厘米。三角形的面积是( )平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 16 32 【分析】根据题目，一个平行四边形与一个和它等底等高的三角形的面积之和是48平方厘米。由于平行四边形的面积公式为底×高，而等底等高的三角形面积公式为底×高÷2，所以等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 设三角形的面积为S，则平行四边形的面积为2S。根据题意，它们的面积之和为48平方厘米，可列出方程：S＋2S＝3S，据此解答。 【详解】解：设三角形的面积为S，则平行四边形的面积为2S， S＋2S＝3S 3S＝48 3S÷3＝48÷3 S＝16 16×2＝32（平方厘米） 所以三角形的面积是16平方厘米，平行四边形的面积是32平方厘米。 12．下图平行四边形的面积是( )m2，周长是( )m。 【答案】 60 50 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出平行四边形面积；再根据底＝面积÷高，代入数据，求出平行四边形的另外一条底的长，再把四条边的长度相加即可求出平行四边形的周长，据此解答。 【详解】15×4＝60（m2） 60÷6＝10（m） （15＋10）×2 ＝25×2 ＝50（m） 平行四边形的面积是60m2，周长是50m。 13．一个直角三角形的两条直角边长分别是30cm和40cm，它的面积是( )cm2。如果这个三角形的第三条边长是50cm，那么这条边上的高是( )cm。 【答案】 600 24 【分析】直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。已知两条直角边分别为30cm和40cm，可先求出面积。这个直角三角形的面积也可以用第三条边长乘对应边上的高再除以2。那么用面积乘2除以第三条边的长度就是这条边上高的长度。 【详解】30×40÷2 ＝1200÷2 ＝600（cm2） 600×2÷50 ＝1200÷50 ＝24（cm） 所以，直角三角形的面积是600cm2。第三条边上的高是24cm。 14．把4个底边为5厘米、高为4厘米的等腰三角形拼成一个大三角形（如图），这个大三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】这个大三角形的底是5×2＝10厘米，高是4×2＝8厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2解决。 【详解】（5×2）×（4×2）÷2 ＝10×8÷2 ＝40（平方厘米） 所以，这个大三角形的面积是40平方厘米。 15．过三角形的一个顶点可以画( )条高。一个三角形的高是8厘米，面积是40平方厘米，它的底是( )厘米。 【答案】 1 10 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。根据三角形的底＝面积×2÷高，列式计算即可。 【详解】40×2÷8＝10（厘米） 过三角形的一个顶点可以画1条高。一个三角形的高是8厘米，面积是40平方厘米，它的底是10厘米。 16．下图中，平行四边形的面积是4.7，那么涂色三角形的面积是( )。 【答案】2.35 【分析】看图可知，涂色三角形和平行四边形等底等高，则三角形面积是平行四边形面积的一半，直接用平行四边形面积÷2，即可求出涂色三角形的面积。 【详解】4.7÷2＝2.35（） 涂色三角形的面积是2.35。 17．下图每个小方格边长为1分米，阴影部分面积约为( )平方分米。 【答案】15 【分析】正方形的面积=边长×边长，每个小方格的边长表示1分米，则1格的面积为1×1＝1（平方分米）。不规则图形的面积＝整格数＋半格数÷2（不满1格的按半格计算），整格的有10格，半格的有10格，据此计算解答即可。 【详解】10＋10÷2＝10＋5＝15（平方分米） 所以阴影部分面积约为15平方分米。 18．如图，如果把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的新梯形的面积是( )；如果把这个梯形的上底减少2cm，下底增加2cm，得到的新梯形的面积是( )。你的发现是( )。 【答案】 45 45 上底增加或减少的数量、下底减少或增加的数量相同，则梯形的面积不变 【分析】上底增加3cm，下底减少3cm，新梯形的上底是5＋3＝8cm，下底是10－3＝7cm，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出新梯形的面积； 上底减少2cm，下底增加2cm，新梯形的上底是5－2＝3cm，下底是10＋2＝12cm；代入梯形面积公式，求出新梯形的面积；再根据新梯形面积和原来梯形面积进行比较，进而说出发现。 【详解】上底增加3cm，下底减少3cm的梯形面积： [（5＋3）＋（10－3）]×6÷2 ＝[8＋7]×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 上底减少2cm，下底增加2cm的梯形面积： [（5－2）＋（10＋2）]×6÷2 ＝[3＋12]×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 原梯形面积： （5＋10）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 45cm2＝45cm2＝45cm2；由此可知，上底增加或减少的数量、下底减少或增加的数量相同，则梯形的面积不变。 19．如图，两个等腰直角三角形和一个正方形拼成了一个平行四边形。若正方形的面积为4平方厘米，则平行四边形的面积为( )平方厘米。 【答案】8 【分析】正方形的面积＝边长×边长，图中正方形的面积为4平方厘米，4＝2×2，则这个正方形的边长是2厘米，图中平行四边形的高是2厘米，两个等腰三角形的两条直角边长度也是2厘米。那么平行四边形的底是2＋2＝4（厘米），根据平行四边形的面积＝底×高，用4乘2即可求出它的面积。 【详解】通过分析可得： 因为4＝2×2，所以正方形的边长是2厘米。 （2＋2）×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 则平行四边形的面积是8平方厘米。 20．五年级同学分别用两段40m长的篱笆，围成了两块一面靠墙的梯形菜地（如下图）。( )号图形围的面积大，它的面积是( )。 【答案】 ② 128 【分析】由图可知，第一个梯形的上底与下底的和是（40－8）m，高是5m，第二个梯形的上底与下底的和是（40－8）m，高是8米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出两个梯形的面积，再进行比较即可解答。 【详解】（40－8）×5÷2 ＝32×5÷2 ＝160÷2 ＝80（） （40－8）×8÷2 ＝32×8÷2 ＝256÷2 ＝128（） 80＜128 所以②号图形围的面积大，它的面积是128。 三、判断题 21．两个等底等高的三角形，可以拼成一个平行四边形。( ) 【答案】× 【分析】两个三角形等底等高，只能说明它们的面积相等，但形状不一定相同。要拼成一个平行四边形，必须保证两个三角形完全一样，并且能够通过平移或旋转后对应边重合。等底等高的三角形可能形状不同，因此不一定能拼成平行四边形。 【详解】两个等底等高的三角形，若形状不同（如一个为锐角三角形，另一个为钝角三角形），则无法拼成平行四边形。只有当它们完全一样时，才能拼成平行四边形。因此原题说法错误。 故答案为：× 22．如果三角形和平行四边形面积相等，底也相等，如果三角形的高是20厘米，那么平行四边形的高是40厘米。( ) 【答案】× 【分析】设三角形和平行四边形的底为10厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入先算出三角形的面积，再由二者的面积相等，进而求得平行四边形的高。 【详解】假设三角形和平行四边形的底为10厘米。 三角形的面积为 10×20÷2 ＝200÷2 ＝100（平方厘米） 因为三角形和平行四边形面积相等，所以平行四边形的面积也为100平方厘米。 100÷10＝10（厘米） 所以平行四边形的高是10厘米。 故答案为：× 23．一个梯形的高不变，上底减少1cm（上底大于1cm），下底增加1cm，则梯形面积不变。( ) 【答案】√ 【分析】梯形面积公式为（上底＋下底）×高÷2。可以通过举例子的方法，来验证上底减少，下底增加时，面积是否发生改变。 【详解】假设梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是10cm。原来梯形的面积是： （3＋7）×10÷2 ＝10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（cm2） 现在上底减少1cm，变成2cm。下底增加1cm，变成8cm。高还是10cm。现在梯形的面积是： （2＋8）×10÷2 ＝10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（cm2） 因此，梯形面积不变，原题正确。 故答案为：√ 24．面积相等的两个图形，形状一定相同。( ) 【答案】× 【分析】面积是图形所占平面的大小，形状不同的图形可能具有相同的面积。例如，不同形状的长方形或不同种类的图形（如平行四边形和三角形或梯形）可能面积相等但形状不同，举例说明即可。 【详解】面积相等的两个图形形状不一定相同。例如：一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形，面积为5×4＝20（平方厘米）；另一个长为10厘米、宽为2厘米的长方形，面积为10×2＝20（平方厘米）。两者面积相等，但形状不同。因此，原题说法错误。 故答案为：× 25．如图。若图中平行四边形的面积是12.6cm2，则阴影部分的面积是6.3cm2。( ) 【答案】√ 【分析】根据图形可知，阴影部分面积是一个三角形面积；三角形的底等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高，根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，三角形面积等于平行四边形面积的一半；据此解答。 【详解】12.6÷2＝6.3（cm2） 如图。若图中平行四边形的面积是12.6cm2，则阴影部分的面积是6.3cm2。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键明确等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 四、计算题 26．计算下面图形的面积。 【答案】108m2；176cm2；16cm2 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2解决。 【详解】9×12＝108（m2） 平行四边形的面积是108平方米。 （20＋12）×11÷2 ＝32×11÷2 ＝176（cm2） 梯形的面积是176平方厘米。 8×4÷2＝16（cm2） 三角形的面积是16平方厘米。 27．计算图中阴影部分的面积。 【答案】112dm2 【分析】由图可知，平行四边形的总面积减去空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积。 空白部分由一个长方形和一个平行四边形组成，且二者有重叠部分（重叠部分为一个2×2的小正方形），在计算空白部分面积时，重叠部分多算了一次，需要减去。 根据平行四边形面积公式S＝底×高，长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长；代入数据解答即可。 【详解】平行四边形的总面积：16×10＝160（dm2） 长方形的面积：16×2＝32（dm2） 小平行四边形的面积为：2×10＝20（dm2） 重叠部分小正方形的面积为：2×2＝4（dm2） 所以空白部分的面积为：32＋20−4＝48（dm2） 阴影部分的面积为：160−48＝112（dm2） 28．求阴影部分的面积。 【答案】22dm2 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝上底是3dm，下底是（3＋5）dm，高是4dm的梯形面积，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（3＋3＋5）×4÷2 ＝（6＋5）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（dm2） 五、解答题 29．共青团中央规定，小号红领巾的标准尺寸如下图所示，已知这条红领巾底边上的高是33厘米。做一条这样的红领巾需要多少平方厘米的红布？ 【答案】1650平方厘米 【分析】三角形面积＝底×高÷2，把数据代入即可算出做一条这样的红领巾需要多少平方厘米的红布。 【详解】100×33÷2 ＝3300÷2 ＝1650（平方厘米） 答：做一条这样的红领巾需要1650平方厘米的红布。 30．如图所示，平行四边形ABCD的底BC是20cm，以BC为底的高是14cm，以CD为底的高是16cm。求CD的长。 【答案】17.5厘米 【分析】从图中可知，平行四边形的高14厘米对应的底BC长20厘米，根据平行四边形的＝底×高，求出平行四边形的面积； 已知这个平行四边形的底CD对应的高是16厘米，根据平行四边形的高＝面积÷底，据此求出CD的长。 【详解】20×14÷16 ＝280÷16 ＝17.5（厘米） 答：CD的长是17.5厘米。 31．一块梯形麦田（如图）里有一条长60m、宽1.5m的长方形小路（阴影部分）。麦田的面积是多少m2？ 【答案】6510 m2 【分析】麦田的面积是梯形面积减去长方形面积。梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，代入数据即可。 【详解】（70＋150）×60÷2－60×1.5 ＝220×60÷2－90 ＝6600－90 ＝6510（m2） 答：麦田的面积是6510 m2。 32．王叔叔用一张长方形彩纸剪成了一个平行四边形装饰材料，如图，你知道另一边的长度是多少米吗？（结果保留两位小数） 【答案】22.86米 【分析】根据题意可知，平行四边形长时16米的底对应的高是20米，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出平行四边形面积，再根据底＝面积÷高，用平行四边形的面积除以另一条边对应的高14米，即可求出另一边的长度，据此解答。 【详解】16×20÷14 ＝320÷14 ≈22.86（米） 答：另一边的长度是22.86米。 33．如图，一条水渠的横截面是梯形，渠口宽36分米，渠底宽12分米，渠高8分米。这个水渠横截面的面积是多少平方分米？ 【答案】192平方分米 【分析】求这个水渠横截面的面积，就是求梯形的面积，根据公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可解答。 【详解】（36＋12）×8÷2 ＝48×8÷2 ＝192（平方分米） 答：这个水渠横截面的面积是192平方分米。 34．小区广场有一个平行四边形广告牌，底是4.8米，高是3.5米。如果粉刷广告牌，一千克油漆可以粉刷2.5平方米，要粉刷这个广告牌，至少需要准备多少千克油漆？ 【答案】6.72千克 【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式求出这块广告牌的面积，再根据除法的意义求出平行四边形的面积里有多少个2.5即可。 【详解】4.8×3.5÷2.5 ＝16.8÷2.5 ＝6.72（千克） 答：至少需要准备6.72千克油漆。 35．刘伯伯家有一块梯形菜地（如图）。他把空白的部分用来种西红柿，阴影部分用来种土豆。 （1）种西红柿的面积有多少平方米？ （2）如果平均每平方米收获10千克土豆，刘伯伯的这块菜地一共可收获多少千克土豆？ 【答案】（1）40平方米 （2）750千克 【分析】（1）种西红柿面积是底8米，高是10米的三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出种西红柿的面积。 （2）种土豆的面积等于上底是8米，下底是15米，高是10米的梯形面积减去种西红柿的面积；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形面积，再减去种西红柿的面积，即可求出种土豆的面积，再乘10，即可解答。 【详解】（1）8×10÷2 ＝80÷2 ＝40（平方米） 答：种西红柿的面积是40平方米。 （2）（8＋15）×10÷2－40 ＝23×10÷2－40 ＝230÷2－40 ＝115－40 ＝75（平方米） 75×10＝750（千克） 答：刘伯伯的这块菜地一共可收获750千克土豆。 36．在一块平行四边形空地中开垦出来一块梯形地种花，剩下的空地种草坪，种草坪的面积是多少平方米？ 【答案】1035平方米 【分析】种草坪的面积等于平行四边形的面积减去梯形的面积，根据“平行四边形的面积＝底×高、梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，据此代入数值作答即可。 【详解】45×30－（15＋27）×15÷2 ＝1350－42×15÷2 ＝1350－630÷2 ＝1350－315 ＝1035（平方米） 答：种草坪的面积是1035平方米。 37．如下图，紧靠小溪有一块梯形苗圃，它的面积是8000平方米。现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。 （1）需要测量线段（    ）的长度。 （2）如果测出这条线段长50米，那么护栏的长度是多少米？ 【答案】（1）CD （2）370米 【分析】（1）由于要计算护栏的长度，相当于：上底（AD线段）＋下底（BC线段）＋高（CD线段），根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，由于面积已知，如果知道高的长度（即CD线段），那么可以求出上底AD线段加下底BC线段的和，只需要测量一个长度即可，所以测量CD线段的长度。 （2）由于测出这条线段长是50米，也就相当于高是50米，根据梯形的面积公式：面积×2÷高＝（上底＋下底），把数代入即可求解，之后再把上底和下底还有高这三个线段长度相加即可求出护栏的长度。 【详解】（1）根据梯形面积公式，如果知道梯形的高（CD线段），即可求出上底（AD线段）和下底（BC线段）的和，由此即可知测量CD线段的长。 （2）8000×2÷50 ＝16000÷50 ＝320（米） 320＋50＝370（米） 答：护栏的长共是370米。 【点睛】本题主要考查梯形的面积公式，熟练掌握梯形的面积公式并灵活运用。 38．实验学校的劳动基地有一块平行四边形的实验田，底是26米，高是15米，中间有两条宽1米的小路（如图）。这块实验田的种植面积是多少平方米？ 【答案】360平方米 【分析】观察图形可知，这块试验田的种植面积是长为26－1－1＝24米，高为15米的平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，据此进行计算即可。 【详解】（26－1－1）×15 ＝24×15 ＝360（平方米） 答：这块实验田的种植面积是360平方米。 39．如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 【答案】189克 【分析】由长方形的面积＝长×宽，可推导出长＝长方形的面积÷宽，据此用小路的面积（9平方米）除以小路的宽（1米）可求出小路的长（9米），即平行四边形的高； 观察图形可知，种太阳花的面积相当于一个底（16－1）米、宽9米的平行四边形的面积；根据平行四边形的面积＝底×高求出种太阳花的面积；最后用种太阳花的面积乘1.4求出一共需要太阳花种子的质量。 【详解】9÷1＝9（米） （16－1）×9×1.4 ＝15×9×1.4 ＝135×1.4 ＝189（克） 答：这个花园一共需要189克太阳花种子。 40．李爷爷把一块长方形菜地分为三块，第①块种西红柿，第②块种茄子，第③块种黄瓜，这三种菜各占地多少平方米？ 【答案】第①块占地2.09平方米；第②块占地6.6平方米；第③块占地4.73平方米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可。 【详解】①：1.9×2.2÷2＝2.09（平方米） ②：3×2.2＝6.6（平方米） ③：1.9＋3＋1.2－3＝3.1（米） （3.1＋1.2）×2.2÷2 ＝4.3×2.2÷2 ＝4.73（平方米） 答：第①块占地2.09平方米，第②块占地6.6平方米，第③块占地4.73平方米。 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式、平行四边形的面积公式、梯形的面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 多边形的面积 （5个知识点+6个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、 平行四边形的面积 推导过程：通过“割补法”将平行四边形转化为长方形。沿高剪开平行四边形，平移后拼成长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此平行四边形面积=长方形面积=长×宽。 计算公式：平行四边形面积 = 底×高（用字母表示：，其中为底，为对应的高） 关键要点：底和高必须是对应的（即底与高互相垂直），一个平行四边形有两组对应的底和高。 示例：一个平行四边形底是6cm，对应的高是4cm，面积为。 知识点二、三角形的面积 推导过程：通过“拼摆法”将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。三角形的底=平行四边形的底，三角形的高=平行四边形的高，因此三角形面积=平行四边形面积÷2。 计算公式：三角形面积 = 底×高÷2（用字母表示：，其中为底，为对应的高） 关键要点：必须是“完全相同”的三角形才能拼成平行四边形；底和高需对应；面积公式中“÷2”是核心，不可遗漏。 示例：一个三角形底是5m，对应的高是3m，面积为。 知识点三、梯形的面积 推导过程： 方法一（拼摆法）：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形的（上底+下底）=平行四边形的底，梯形的高=平行四边形的高，因此梯形面积=平行四边形面积÷2。 方法二（割补法）：将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，分别求面积后相加。 计算公式：梯形面积 =（上底+下底）×高÷2（用字母表示：，其中为上底，为下底，为对应的高） 关键要点：上底和下底是梯形中平行的两组对边，需明确区分；高是两底之间的垂直距离；公式中“（上底+下底）”和“÷2”不可遗漏。 示例：一个梯形上底4dm，下底6dm，高2dm，面积为。 知识点四、不规则图形的面积估计 方法： 数方格法：在方格纸上，满格按1格计算，不满格按半格计算（或根据实际情况估算）。 转化法：将不规则图形近似转化为规则图形（如梯形、三角形），再用公式估算面积。 知识点五、面积单位的关系（回顾） 相邻两个常用面积单位间的进率：，（高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率）。 易错点剖析 易错点一、混淆图形的“底”和“高”，使用非对应底和高计算面积 错误表现：计算面积时，底和高不垂直（如用三角形的斜边作为高，或平行四边形的邻边作为高）。 正确理解：“底”和“高”必须是互相垂直的一组线段，高是底边上的垂线段。 例题：判断对错：一个平行四边形相邻两边长分别为5cm和4cm，其中一条边上的高是3cm，则面积为。（×） 解析：平行四边形面积=底×对应高，不能用邻边相乘。若高3cm对应底边5cm，则面积为；若对应底边4cm，则面积为。 易错点二、三角形、梯形面积公式中遗漏“÷2” 错误表现：计算三角形面积时直接用“底×高”，计算梯形面积时用“（上底+下底）×高”，忘记除以2。 正确理解：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半，梯形面积是等底（上底+下底）等高平行四边形面积的一半，必须“÷2”。 例题：一个三角形底6cm，高4cm，面积是多少？ 错误解答： 正确解答： 易错点三、面积单位换算错误（进率混淆） 错误表现：认为面积单位进率是10（如），或换算时小数点移动位数错误。 正确理解：相邻面积单位进率是100（因为长度单位进率是10，面积=长度×长度，所以进率是）。 例题：3.5平方米=（ ）平方分米 错误解答：35（进率记为10） 正确解答：350（） 易错点四、误用“周长不变，面积也不变”的错误逻辑 错误表现：认为用同一根铁丝围成的平行四边形和长方形，面积相等（或平行四边形拉成长方形后面积不变）。 正确理解：周长不变时，图形形状变化会导致面积变化（如平行四边形拉成长方形，底不变，高变大，面积变大）。 例题：用一根长20cm的铁丝围成一个长方形和一个平行四边形，它们的面积（ ）。 A. 长方形大 B. 平行四边形大 C. 一样大 解析：长方形是特殊的平行四边形，当平行四边形拉成长方形时，高达到最大，面积最大，因此长方形面积大于普通平行四边形面积，选A。 易错点五、梯形的“上底”和“下底”概念混淆 错误表现：认为梯形中较长的边是下底，较短的边是上底，忽略“平行对边”的本质。 正确理解：梯形的上底和下底是指互相平行的两组对边，与长度无关（通常较短的叫上底，较长的叫下底，但需以平行为前提）。 例题：一个梯形有一组对边分别长3cm和5cm，另一组对边不平行，则上底=（ ）cm，下底=（ ）cm。 解析：平行的两边是上底和下底，因此上底=3cm，下底=5cm（或上底=5cm，下底=3cm，通常按长短区分）。 易错点六、计算三角形面积时，误用“两条直角边”以外的边作为底和高 错误表现：在直角三角形中，用斜边和一条直角边相乘再÷2（斜边和直角边不垂直）。 正确理解：直角三角形的两条直角边互为底和高（互相垂直），若以斜边为底，则高需是斜边上的垂线段（需额外计算）。 例题：一个直角三角形两条直角边分别为3cm和4cm，斜边为5cm，面积是多少？ 错误解答：（斜边和直角边不垂直） 正确解答：（两条直角边互为底和高） 强化练习 一、选择题 1．一个三角形的面积是26平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（    ）。 A．13平方米 B．26平方米 C．52平方米 D．不确定 2．计算图中平行四边形的面积，正确的列式是（    ）。 A．8×4.6 B．6×4.8 C．6×8 D．以上都不对 3．如图中，大平行四边形的底是20厘米、高是5厘米，虚线将大平行四边形分成两个小平行四边形。涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．100 B．50 C．25 D．无法确定 4．一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米，它的面积是（    ）平方分米。 A．6 B．7.5 C．10 D．12 5．用总长48米的篱笆，靠墙围成一块梯形菜地（如图），这个梯形的高是16米，菜地的面积是（    ）平方米。 A．512 B．384 C．256 D．96 6．淡竹分布在我国长江流域和黄河流域附近。已知一块梯形竹林的面积是96m2，涂色部分种植的是淡竹，则种植淡竹的面积是（    ）m2。 A．36 B．48 C．60 D．96 7．乐思用12厘米和7厘米长的木条各2根，钉成了一个长方形。然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．8厘米 B．12厘米 C．7厘米 D．5厘米 8．在研究梯形的面积公式时，淘气把梯形转化成了一个平行四边形。下列面积计算方法的思路和淘气的想法相对应的是（    ）。 A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的面积是，是一个长方形，的长度是的3倍，三角形的面积是（    ）。 A． B． C． D． 10．一个直角梯形的高是12厘米，如果把它的上底向一端延长3厘米就成为一个正方形，这个梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．379 B．252 C．218 D．126 二、填空题 11．一个平行四边形与一个和它等底等高的三角形的面积和是48平方厘米。三角形的面积是( )平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 12．下图平行四边形的面积是( )m2，周长是( )m。 13．一个直角三角形的两条直角边长分别是30cm和40cm，它的面积是( )cm2。如果这个三角形的第三条边长是50cm，那么这条边上的高是( )cm。 14．把4个底边为5厘米、高为4厘米的等腰三角形拼成一个大三角形（如图），这个大三角形的面积是( )平方厘米。 15．过三角形的一个顶点可以画( )条高。一个三角形的高是8厘米，面积是40平方厘米，它的底是( )厘米。 16．下图中，平行四边形的面积是4.7，那么涂色三角形的面积是( )。 17．下图每个小方格边长为1分米，阴影部分面积约为( )平方分米。 18．如图，如果把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的新梯形的面积是( )；如果把这个梯形的上底减少2cm，下底增加2cm，得到的新梯形的面积是( )。你的发现是( )。 19．如图，两个等腰直角三角形和一个正方形拼成了一个平行四边形。若正方形的面积为4平方厘米，则平行四边形的面积为( )平方厘米。 20．五年级同学分别用两段40m长的篱笆，围成了两块一面靠墙的梯形菜地（如下图）。( )号图形围的面积大，它的面积是( )。 三、判断题 21．两个等底等高的三角形，可以拼成一个平行四边形。( ) 22．如果三角形和平行四边形面积相等，底也相等，如果三角形的高是20厘米，那么平行四边形的高是40厘米。( ) 23．一个梯形的高不变，上底减少1cm（上底大于1cm），下底增加1cm，则梯形面积不变。( ) 24．面积相等的两个图形，形状一定相同。( ) 25．如图。若图中平行四边形的面积是12.6cm2，则阴影部分的面积是6.3cm2。( ) 四、计算题 26．计算下面图形的面积。 27．计算图中阴影部分的面积。 28．求阴影部分的面积。 五、解答题 29．共青团中央规定，小号红领巾的标准尺寸如下图所示，已知这条红领巾底边上的高是33厘米。做一条这样的红领巾需要多少平方厘米的红布？ 30．如图所示，平行四边形ABCD的底BC是20cm，以BC为底的高是14cm，以CD为底的高是16cm。求CD的长。 31．一块梯形麦田（如图）里有一条长60m、宽1.5m的长方形小路（阴影部分）。麦田的面积是多少m2？ 32．王叔叔用一张长方形彩纸剪成了一个平行四边形装饰材料，如图，你知道另一边的长度是多少米吗？（结果保留两位小数） 33．如图，一条水渠的横截面是梯形，渠口宽36分米，渠底宽12分米，渠高8分米。这个水渠横截面的面积是多少平方分米？ 34．小区广场有一个平行四边形广告牌，底是4.8米，高是3.5米。如果粉刷广告牌，一千克油漆可以粉刷2.5平方米，要粉刷这个广告牌，至少需要准备多少千克油漆？ 35．刘伯伯家有一块梯形菜地（如图）。他把空白的部分用来种西红柿，阴影部分用来种土豆。 （1）种西红柿的面积有多少平方米？ （2）如果平均每平方米收获10千克土豆，刘伯伯的这块菜地一共可收获多少千克土豆？ 36．在一块平行四边形空地中开垦出来一块梯形地种花，剩下的空地种草坪，种草坪的面积是多少平方米？ 37．如下图，紧靠小溪有一块梯形苗圃，它的面积是8000平方米。现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。 （1）需要测量线段（    ）的长度。 （2）如果测出这条线段长50米，那么护栏的长度是多少米？ 38．实验学校的劳动基地有一块平行四边形的实验田，底是26米，高是15米，中间有两条宽1米的小路（如图）。这块实验田的种植面积是多少平方米？ 39．如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 40．李爷爷把一块长方形菜地分为三块，第①块种西红柿，第②块种茄子，第③块种黄瓜，这三种菜各占地多少平方米？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $