专题24.4 弧长和扇形面积（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优讲练

专题24.4 弧长和扇形面积 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：弧长公式 2 知识点梳理02：扇形的面积公式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 求弧长 2 考点2 求扇形半径 3 考点3 求圆心角 4 考点4 求某点的弧形运动路径长度 6 考点5 求扇形面积 7 考点6 求图形旋转后扫过的面积 7 考点7 求弓形面积 9 考点8 求其他不规则图形的面积 10 考点9 求圆锥侧面积 10 考点10 求圆锥底面半径 11 考点11 求圆锥的高 12 考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角 12 考点13 圆锥的实际问题 13 考点14 圆锥侧面上最短路径问题 14 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 21 知识点梳理01：弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点梳理02：扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 考点1 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·月考）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 考点2 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格点上，，，将绕点顺时针旋转得到． (1)画出旋转后的； (2)求旋转过程中点经过的路径长． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 考点3 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则 ． 【变式训练】（2025·广东珠海·一模）如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交，于点E，F． … [自勉] 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根 任务： (1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：与相切于点D； (3)若，劣弧的长为，求度数． 考点4 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，，，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形） (1)在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形； (2)求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长． 考点5 求扇形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．则求阴影部分的面积为    【变式训练】（25-26九年级上·吉林·月考）已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． (1)当时，则扇形弧长______，扇形面积______． (2)直接写出弧长与半径的函数关系式______； (3)当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 考点6 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． (1)将向下平移个单位得到，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的顶点都在正方形网格格点上． (1)将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B对应点），画出． (2)请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O，并标明外心O的位置． (3)设每个小方格的边长为1，求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 考点7 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 考点8 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是 ． 考点9 求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 考点10 求圆锥底面半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是 ． 考点11 求圆锥的高 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，扇形ODE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上．若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高． 考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 考点13 圆锥的实际问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点14 圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【演练1】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【演练2】（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【演练3】（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ． 【演练4】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【演练5】2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 6．（25-26九年级上·广东广州·月考）一个扇形，半径为，圆心角为90度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ． 7．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ． 8．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在上找一点C，连接，使得平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 10．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出外接圆圆心的坐标________； (2)将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； (3)求（2）中线段扫过的面积（保留）． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 16．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形中, ，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是 ． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 18．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标_______； (3)在（2）的条件下，求旋转过程中线段扫过的面积（结果保留）． 19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 (1)求证：是的切线； (2)若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.4 弧长和扇形面积 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：弧长公式 2 知识点梳理02：扇形的面积公式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 求弧长 2 考点2 求扇形半径 4 考点3 求圆心角 7 考点4 求某点的弧形运动路径长度 10 考点5 求扇形面积 12 考点6 求图形旋转后扫过的面积 14 考点7 求弓形面积 17 考点8 求其他不规则图形的面积 20 考点9 求圆锥侧面积 22 考点10 求圆锥底面半径 24 考点11 求圆锥的高 26 考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角 27 考点13 圆锥的实际问题 30 考点14 圆锥侧面上最短路径问题 32 中考真题 实战演练 35 难度分层 拔尖冲刺 42 基础夯实 42 培优拔高 48 知识点梳理01：弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点梳理02：扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 考点1 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·月考）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解： 的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为， 点经过的路径长为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【规范解答】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 考点2 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格点上，，，将绕点顺时针旋转得到． (1)画出旋转后的； (2)求旋转过程中点经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路引导】本题考查旋转的性质，弧长公式，扇形的半径求解，画出旋转之后的图形是解题的关键． （1）根据题意先分别求出旋转后的各点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理求出半径的长，再利用弧长公式即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：，，将绕点顺时针旋转得到， 如图，即为所求作： ，； （2）解：如图所示： ， ， 由图可知：的长为． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【规范解答】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 考点3 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】72 【思路引导】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【规范解答】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（2025·广东珠海·一模）如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交，于点E，F． … [自勉] 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根 任务： (1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：与相切于点D； (3)若，劣弧的长为，求度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查尺规作图，圆的切线判定定理，弧长公式． （1）先作的角平分线，再作的垂直平分线交于，最后以为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，由平分，得，又因为，所以，即得，，从而，，即可得出结论； （3）设，根据，劣弧的长为，求出，进而得，再根据得． 【规范解答】（1）解：根据题目要求补全图形如下： （2）证明：连接，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切于点D； （3）解：设， ∵，劣弧的长为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴． 考点4 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，，，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了网格作图，熟练掌握中心对称性质，旋转性质，弧长公式，是解题的关键． （1）可得，顺次首尾连接各点，即得； （2），顺次首尾连接各点，即得： （3）可得旋转半径为，旋转角为，根据弧长公式即可计算点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【规范解答】（1）解：∵，，关于原点的中心对称的点为：， ∴顺次首尾连接各点，即得． （2）解：∵，，绕原点顺时针旋转的点为：， ∴顺次首尾连接各点，即得． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长为． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形） (1)在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形； (2)求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图-旋转变换，弧长公式； （1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用弧长公式求解． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：点所经过的路径的长为． 考点5 求扇形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．则求阴影部分的面积为    【答案】 【思路引导】连接，由，则，，，所以，由圆周角定理可得，所以，从而可得是等边三角形，则有，然后证明，故有，则，然后代入即可求解． 【规范解答】解：连接，如图， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林·月考）已知一扇形所在圆的半径为，弧长为，面积为，若扇形的周长为． (1)当时，则扇形弧长______，扇形面积______． (2)直接写出弧长与半径的函数关系式______； (3)当半径为何值时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？写出求解过程． 【答案】(1)32，64 (2)； (3)当时，S有最大值，为100 【思路引导】此题考查扇形的面积公式，二次函数的性质， （1）由题意得，，代入求出扇形面积S； （2）根据，即可得到函数关系式； （3）列函数解析式，根据二次函数的性质解答即可 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴扇形面积， 故答案为：32，64； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∵, ∴当时，S有最大值，为100 考点6 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． (1)将向下平移个单位得到，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 作图见解析，点的坐标为 (2)作图见解析，点的坐标为 (3) 【思路引导】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． （1）利用平移的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别作出点，绕点逆时针旋转的对应点，，再顺次连接即可； （3）先利用勾股定理求出的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为； （3）解：，， 在旋转过程中扫过的面积为． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的顶点都在正方形网格格点上． (1)将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B对应点），画出． (2)请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O，并标明外心O的位置． (3)设每个小方格的边长为1，求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． （3）解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的图形的面积为． 考点7 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由题意，结合垂径定理可得，，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）由图形可知，，在中，，则，从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示： 由题意，结合圆的对称性可知，，， 在中，，， 由勾股定理可得， ； （2）解：由（1）可知，，， 在中，，则， ， 则， ． 【考点剖析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及扇形面积公式是解决问题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线； （2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：点是的中点，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， ， 由（1）知， ， ， ，， ， ； ②由①知，， ，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 考点8 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，根据四边形是菱形，得，即是等边三角形，根据，所以图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 考点9 求圆锥侧面积 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 【变式训练】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知识，添加适当的辅助线是关键． （1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案； （2）利用勾股定理求出，再根据垂径定理得到是的中位线，即可求出答案； （3）证明在以为直径的圆上，即可求出的外接圆半径的值． 【规范解答】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是 （2）连接， ∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴是的中位线， ∴； （3）连接， ∵于点，于点， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴的外接圆半径的值为． 考点10 求圆锥底面半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【规范解答】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， 故答案为：． 考点11 求圆锥的高 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【答案】 【思路引导】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，扇形ODE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上．若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高． 【答案】圆锥的高为 【思路引导】垂直且平分的长度等于其所围成圆锥的底面周长，圆锥的高的平方等于母线与底面半径的平方差． 【规范解答】解：如图，连接OB，AC，相交于点F． 在菱形OABC中，，，，． 扇形ODE的半径为3，菱形OABC的边长为， ，， ， ， ， ，即为等边三角形，则， 的长为． 设圆锥的底面圆的半径为r，则底面圆的周长为，解得． 又∵圆锥的母线长为， ∴圆锥的高为． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质、扇形弧长公式、圆锥的高与母线和底面半径的关系，掌握扇形弧长等于圆锥底面周长，圆锥的高、底面半径与母线满足勾股定理是解题的关键. 考点12 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【规范解答】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180度 (2)120度；90度 (3) 【思路引导】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系． （1）运用弧长公式计算即可； （2）运用弧长公式计算即可； （3）由（1）、（2）可得规律为． 【规范解答】（1）解：设的度数为，则， ∵， ∴，即． （2）解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∴， 即， 同理：当时，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∴． 考点13 圆锥的实际问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【思路引导】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【规范解答】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为 ，进而得到 ，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【规范解答】解：设的长为 ， 四边形为正方形， 则 ，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得 ， 故选：C． 考点14 圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【演练1】（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【思路引导】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【规范解答】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 【演练2】（2023·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【规范解答】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点剖析】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【演练3】（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， 则是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，， ∴是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 则， 则 故答案为：． 【演练4】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【考点剖析】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【演练5】2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【规范解答】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【规范解答】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可． 【规范解答】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【规范解答】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东广州·月考）一个扇形，半径为，圆心角为90度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查求圆锥的底面半径，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，通过弧长公式计算弧长，再根据周长公式求底面半径即可． 【规范解答】解：由题意，圆锥的底面周长为：． 设圆锥的底面半径为，则，解得． 故答案为：5． 7．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ． 【答案】/9厘米 【思路引导】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【规范解答】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 8．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在上找一点C，连接，使得平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了确定圆的圆心，扇形面积计算，由于是半圆的直径，则点O是的中点，由于平分此半圆的面积，则，据此作线段的垂直平分线，分别交线段于O，交半圆于C，则点O和点C即为所求． 【规范解答】解：如图所示，即为所求． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求,． （2）解：， ∴点B的运动路径长为 10．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出外接圆圆心的坐标________； (2)将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； (3)求（2）中线段扫过的面积（保留）． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【思路引导】本题考查了求圆心，作旋转图形，扇形的面积公式，勾股定理． （1）作、的垂直平分线，交点即为外接圆圆心； （2）根据要求作图，进而写出此时点的坐标即可； （3）根据割补法计算即可； 【规范解答】（1）解：如图： 可知外接圆圆心的坐标． 故答案为：； （2）解：如图，可知； （3）解：如图， 可知扫过的面积， ∵，， ∴扫过的面积 ． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·月考）如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【规范解答】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 12．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【规范解答】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【规范解答】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 16．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形中, ，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了梯形面积、圆的切线性质及扇形面积的计算，解题的关键是利用切线性质得到，结合勾股定理求出的长度，进而计算阴影部分的面积（梯形面积减去扇形面积）． 连接，由切线性质得且；利用梯形面积的两种表示方法求出的长度；通过勾股定理求出；最后计算梯形与扇形的面积差得到阴影面积． 【规范解答】解：连接、． ∵是的切线， ∴，． ∵， ∴，梯形的面积． 又梯形面积， ∴，解得． 在中，，， ∴，解得． 扇形的面积， 梯形面积， 阴影面积． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接，先证明，可得当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，再根据弧长公式计算路径长． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标_______； (3)在（2）的条件下，求旋转过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，扇形面积公式的应用，正确得出对应点的位置是解题关键． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可； （3）先计算出的长，然后根据扇形面积公式计算旋转过程中线段扫过的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求．点的坐标为； （3）解：由勾股定理得，， ∴旋转过程中线段扫过的面积． 19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 (1)求证：是的切线； (2)若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图1，设交于点， 是的直径，是的中点， ，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【考点剖析】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 【答案】（1）①扇形的面积为；②能，理由见详解 （2）点O与点E的距离为，扇形的面积为 （3）扇形的面积S的取值范围 【思路引导】本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计算公式，数形结合分析是关键． （1）①根据题意得到线段是过圆心的直径，则，，是等腰直角三角形，由勾股定理得到，结合扇形面积公式即可求解； ②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解； （2）如图所示，过点作，连接，得到，即点共线，，，由扇形面积公式得到面积，在中，由勾股定理得到，由此得到点O与点E的距离； （3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解． 【规范解答】解：（1）①如图所示，连接， ∵， ∴线段是过圆心的直径，则，， ∵是扇形， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的面积； ②能，理由如下， 已知扇形的面积，， ∴剪下后剩余的面积为， ∵扇形的半径为， ∴扇形的弧长， ∴底面圆的周长， ∴底面圆的半径，底面圆的面积， ∵， ∴能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面； （2）如图所示，过点作，连接， ∴，即点是的中点， ∵是等腰直角三角形， ∴，即点共线， ∴，， ∴扇形的面积， 在中，， ∴， ∴； （3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形， ∴， ∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为， 由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，， ∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积； 当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴扇形的面积； 综上所述，扇形的面积S的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $