24.4 第2课时　圆锥的侧面展开图及全面积 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆锥的侧面展开图及全面积计算，通过圣诞老人帽子生产问题导入，复习弧长和扇形面积公式，搭建旧知与新知的联系，引导学生从生活实例中抽象出数学问题，建立学习支架。 其亮点在于采用探究式教学，通过问题链引导学生发现圆锥侧面展开图与底面周长、母线的关系，培养几何直观和空间观念。结合中考真题及实际应用例题，如扇形纸片围成圆锥求半径，体现数学思维的推理能力和数学语言的应用意识。知识归纳清晰列出公式推导过程，学生能提升解决实际问题的能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第2课时　圆锥的侧面展开图及全面积 新课导入 1．(1)半径是R，n°的圆心角所对的弧长的计算公式是 ； (2)半径为R，圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 ； (3)半径为R，弧长为l的扇形面积的计算公式是 . 2．如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，OA＝15 cm，底面圆半径为10 cm，要生产这种帽子1 000个，你能帮玩具厂算一算至少需要多少平方米的材料吗？ 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 探究新知 我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线． 圆锥有无数条母线，它们都相等． 母线 S A B 圆锥的母线有什么性质？ 圆锥的侧面展开图是什么图形？ 圆锥的侧面展开图是扇形 探究新知 问题 l o r 扇形 思考：（1）沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 探究新知 （2）圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l . 知识归纳 l o 侧面 展开图 r l r 扇形 侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长2πr . 圆锥的侧面积计算公式 (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) 知识归纳 l o 侧面 展开图 l r 2πr 7 知识归纳 1．圆锥是由一个 和一个_______围成的几何体，连接圆锥 和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和 的线段叫做圆锥的高． 2．圆锥的侧面展开图是一个 ，其半径为圆锥的______，弧长是圆锥底面圆的______． 3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： ，圆锥的侧面积S＝____；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝ ． h O r 底面 侧面 顶点 底面圆心 扇形 母线 周长 l2＝h2＋r2 πrl πr2＋πrl 1. (2024·云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为 (　　) A. 700π平方厘米 B. 900π平方厘米 C. 1200π平方厘米 D. 1600π平方厘米 2. (2023·牡丹江)用一个圆心角为90°、半径为8的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的直径是 (　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,扇形OAB是圆锥的侧面展开图,点O,A,B在格点上.若小正方形方格的边长为2cm,则这个圆锥的底面圆的半径是 (　　) A. cm B. cm C. cm D. 3cm 4. 若圆锥的底面半径为3,侧面积为36π,则这个圆锥侧面展开图的圆心角是　　　　. D 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第3题 5. (2023·邵阳)如图,某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子(接缝忽略不计).如果做成的圆锥形帽子的底面圆半径为8cm,那么这张扇形纸板的面积为　　　　cm2.  　 　　 6. 如图,有一直径为2dm的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,用它剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆的半 径r=　　　　dm. 240π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,现有一张扇形纸片,圆心角∠AOB=120°,弦AB的长为2 cm,用它围成一个圆锥的侧面(接缝处不重叠),求该圆锥底面圆的半径. 设该圆锥底面圆的半径为r cm.过点O作OD⊥AB,垂足 为D.∵ OA=OB,∠AOB=120°,∴ AD=BD=AB=cm, ∠OAD=×(180°-120°)=30°.∴ OD=OA.由勾股定 理,得AD2+OD2=OA2,即()2+=OA2.∴ OA=2 cm. ∴ 2πr=,解得r=.∴ 该圆锥底面圆的半径为cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆和一个半径为R的扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥,试确定R与r之间的关系. 由题意,得=2πr,∴ R=4r 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成,如图所示为一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2m,圆锥的高AC=1.5m,圆柱的高CD=2.5m,则下列说法错误的是 (　　) A. 圆柱的底面积为4πm2 B. 圆柱的侧面积为10πm2 C. 圆锥的母线AB长为2.25m D. 圆锥的侧面积为5πm2 C 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,C为扇形OAB的半径OB上一点,将△OAC沿AC折叠,点O恰好落在上的点D处,且与的长度之比为1∶3.若将此扇形OAB围成一个圆锥,则圆锥的底面圆半径与母线长的比为 (　　) A. 1∶3 B. 1∶π C. 1∶4 D. 2∶9 D 解析:连接OD,交AC于点M.由折叠的性质,可得OM=OD=OA,∠OMA= 90°,∴ ∠OAM=30°.∴ ∠AOM=60°.∵ 与的长度之比为1∶3, ∴ 易得∠AOB=80°.设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,则=2πr,∴ r∶l=2∶9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (2023·自贡)如图,小珍同学用半径为8cm、圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面圆半径为2cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是 　　　　cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:如图,由题意,得的长为2π×2=4π(cm).设所对的圆心角为n°,则=4π,解得n=90,∴ 粘贴部分所对应的圆心角 为100°-90°=10°.∴ 圆锥上粘贴部分的面积是 =(cm2). 12. 如图,一个圆锥的高AO为3cm,侧面展开图是一个半圆.求: (1) 圆锥的母线长与底面圆的半径的比值; (2) ∠BAC的度数; (3) 圆锥的侧面积. 设圆锥的高为hcm,底面圆的半径为rcm,母线AC长为lcm. (1) 由题意,得=2πr,∴ =2,即圆锥的母线长与底面圆的 半径的比值为2　 (2) ∵ =2,∴ 易得圆锥的高与母线的夹角为30°.∵ AB=AC,AO⊥BC,∴ ∠BAC=2×30°=60°　 (3) 由题意,可知l2=h2+r2.又∵ =2,h=3,∴ (2r)2=(3)2+r2,解得r=3(负值舍去).∴ l=2r=6.∴ 圆锥的侧面积为=18π(cm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图①,某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径ED与母线AD的长之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时,AE,AF恰好重合. (1) 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数; (1) 设∠BAC=α.根据题意,得的长就是圆锥 底面圆的周长,∴ ×π×AD=ED×π.又 ∵ ED∶AD=1∶2,∴ AD=2ED.∴ α=90°,即 ∠BAC=90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π). (2) ∵ 圆锥底面圆的直径ED为5cm,∴ AD=2ED =10cm.∵ ∠BAC=90°,AB=AC,∴ △ABC是等 腰直角三角形.∵ AD⊥BC,∴ 易得BC=2AD= 20cm.∴ S涂色部分=S△ABC-S扇形AEF=BC·AD-=×20×10-= (100-25π)cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$