专题24.3 正多边形和圆（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

本讲义聚焦正多边形和圆这一核心知识点，系统梳理正多边形的概念（中心、半径等）、有关计算（内角、中心角等）及画法（量角器与尺规作图），结合易错点拨构建从基础到应用的学习支架，衔接圆的性质与综合应用。 资料以知识梳理为基础，通过4个考点讲练（含典例与变式）、中考真题及分层练习（基础夯实、培优拔高）设计，融入古代建筑藻井等实例培养数学眼光，尺规作图提升几何直观，助力课中教学与课后查漏补缺，发展推理能力和应用意识。

专题24.3 正多边形和圆 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形及有关概念（重点） 1 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 2 知识点梳理03：正多边形的画法 3 优选题型 考点讲练 4 考点1 求正多边形的中心角 4 考点2 已知正多边形的中心角求边数 7 考点3 正多边形和圆的综合 9 考点4 尺规作图——正多边形 12 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 30 知识点梳理01：正多边形及有关概念（重点） 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【易错点拨】 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【易错点拨】 （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 【易错点拨】 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【易错点拨】 画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【规范解答】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 【变式训练2】（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【规范解答】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【考点剖析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 考点2 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，设正多边形的外接圆为，连接，，所以，则这个正多边形为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ∵， ∴， ∴这个正多边形为， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形的外接圆，圆周角定理，中心角，掌握正多边形与圆的关系是解题的关键； 先标字母，为正边形的外接圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 【规范解答】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点3 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·月考）我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【思路引导】由题意得，根据圆的面积公式可得圆的半径，从而得到圆的直径，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得的长，从而可得答案． 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，知道正多边形之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，四边形是正方形， ，， ， 设圆的半径为r，内层圆井的面积为， ， ， 由图可知内层圆是正方形的内接圆，根据正多边形与圆的关系可知：内层圆的直径即为正方形的边长， ∴， 由题意可知：点E为的中点，是等腰直角三角形， ， ； 故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【思路引导】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质等，由六边形是正六边形， 可得，，即得，得到，即得到，再利用勾股定理可得，再根据四边形是菱形即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理可得，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积为， 故选：． 考点4 尺规作图——正多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式训练1】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【考点剖析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式训练2】2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【思路引导】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【规范解答】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【考点剖析】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 【演练1】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【演练2】（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【规范解答】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 【演练3】（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【规范解答】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 【演练4】（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 【答案】54 【思路引导】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解． 【规范解答】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图， ∵六边形MNGHPO是正六边形， ∴∠GNM=∠NMO=120°， ∴∠FNM=∠FMN=60°， ∴△FMN是等边三角形， 同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形， ∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE， ∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE， ∵等边△ABC≌等边△DEF， ∴AB=DE， ∵AB=27cm， ∴DE=27cm， ∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm， 故答案为：54． 【考点剖析】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键． 【演练5】（2024·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 【答案】D 【思路引导】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【规范解答】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质，正多边形和圆的综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出，再证明等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长． 【规范解答】解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为 ， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【规范解答】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【规范解答】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故选：C． 5．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是劣弧的中点，连接，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【思路引导】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 7．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，正n边形两条对角线、的延长线交于点P，若，则n的值是 ． 【答案】15 【思路引导】本题主要考查了正多边形与圆的相关知识及平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，，得，进而可得正n边形中心角为，即可求得边数． 【规范解答】解：连接，， 多边形是正n边形， ， ， ∴所对的圆心角为， ∴所对的圆心角为， 正n边形中心角为， ， 故答案为：15． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】(1)为的切线．理由见解析； (2)线段的长为 【思路引导】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【规范解答】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【考点剖析】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）（1）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． （2）如图3，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转后得到，画出，并直接写出顶点的坐标． 【答案】（1）这个正六边形地基的周长为；（2）图见解析， 【思路引导】本题考查作图-旋转变换、圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． （1）根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论 （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵六边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， ∴正六边形的周长， 答：这个正六边形地基的周长为． （2）画图如下： 则即为所求，得． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题的关键，连接、、，由于图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，所以点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，再根据，，，可得，，即可得到． 【规范解答】解：连接、、，如下图所示： ∵图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B，点C，点D都是对应点， ∴点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点， 作该正八边形的外接圆，则点B，点C，点D都在上， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 【规范解答】解：多边形是正五边形， ， ， ， ； 故选：C． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【规范解答】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【规范解答】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为18， 故答案为：18． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，先求得，的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【规范解答】解：∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24． 故答案为：24． 16．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，设与相交于点，则，， ∵多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路引导】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【规范解答】（1）解：直径如图所示； （2）解：如图所示，即为所求． 19．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—复杂作图，涉及正方形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理，理解相关知识是解答的关键． （1）利用正方形的对角线互相垂直可得点P为对角线的交点； （2）作等边三角形，则，作外接圆交、于点E、F，根据圆周角定理可得，弧上的所有点均为所求点P． 【规范解答】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）解：如图，弧上的所有点均为所求点P． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【答案】(1)①见解析②见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形； （2）连接交弧于点，连接，，即为所求； （3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 【规范解答】（1）解：①如图1中， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴线段即为所求； ②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求； ∵由题意为正方形的内切圆， ∴过圆心， 由正方形性质知， ∴； （2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 由作法知，互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵相等， ∴为矩形； ∵， ∴矩形为正方形． 【考点剖析】本题考查作图，正方形的判定和性质，正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 正多边形和圆 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形及有关概念（重点） 1 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） 2 知识点梳理03：正多边形的画法 2 优选题型 考点讲练 4 考点1 求正多边形的中心角 4 考点2 已知正多边形的中心角求边数 4 考点3 正多边形和圆的综合 5 考点4 尺规作图——正多边形 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：正多边形及有关概念（重点） 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【易错点拨】 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【易错点拨】 （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理02：正多边形的有关计算（重点） (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 【易错点拨】 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【易错点拨】 画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 【变式训练1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 考点2 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正边形中，，则的值是 ． 考点3 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·月考）我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 考点4 尺规作图——正多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【变式训练2】2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【演练1】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 【演练2】（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【演练3】（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【演练4】（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 【演练5】（2024·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是劣弧的中点，连接，则的度数是 ． 6．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 7．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，正n边形两条对角线、的延长线交于点P，若，则n的值是 ． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）（1）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． （2）如图3，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转后得到，画出，并直接写出顶点的坐标． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为 ． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 16．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为 ． 17．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 19．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $