专题24.1 圆的有关性质（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦初中数学“圆的有关性质”核心知识点，系统梳理圆的定义、点与圆位置关系等基础概念，通过垂径定理、弧弦圆心角关系、圆周角定理等17个考点构建从概念到应用的递进学习支架，衔接前后几何知识体系。 资料亮点在于考点细分与讲练结合，每个考点配备典例精讲与变式训练，中考真题演练与分层练习（基础夯实、培优拔高）适配不同学情。实际应用题（如筒车、石拱桥问题）培养几何直观与应用意识，证明题提升推理能力，助力教师高效授课与学生课后查漏补缺。

专题24.1 圆的有关性质 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的定义及表示方法 2 知识点梳理02：圆的表示方法 2 知识点梳理03：点与圆的位置关系 2 知识点梳理04：圆的有关概念 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 利用垂径定理求值 3 考点2 利用垂径定理求平行弦问题 4 考点3 利用垂径定理求同心圆问题 4 考点4 利用垂径定理求解其他问题 5 考点5 垂径定理的推论 7 考点6 垂径定理的实际应用 8 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 9 考点9 圆心角概念辨析及简单运算 10 考点10 求圆弧的度数 11 考点11 圆周角的概念辨析及简单运算 12 考点12 圆周角定理 13 考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等 14 考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角 14 考点15 90度的圆周角所对的弦是直径 15 考点16 已知圆内接四边形求角度 16 考点17 求四边形外接圆的直径 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 23 知识点梳理01：圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 知识点梳理02：圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 2. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点梳理03：点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点梳理04：圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 考点1 利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知． (1)用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） (2)连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 考点2 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 考点3 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 考点4 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是其横截面的示意简图，为垂直于地面的支柱，并用，为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的膜结构材料覆盖．支柱一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架，的一端都固定在支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为，最高点F离地面的高度为，离点C的水平距离为． 【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线为y轴，水平地面直线为x轴，建立平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为，该处离的水平距离为，求y与x之间的函数关系式． 【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已知绳长，干粉灭火器离地面的高度为． ①点G的坐标为 ． ②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为，整个车棚的的长度为．悬挂干粉灭火器保护半径为，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器． 考点5 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图（1），点在上； (2)如图（2），点不在上． 考点6 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度约为4米，拱高约为1米，求： (1)该圆弧的半径是多少； (2)若大雨过后，河面宽度变为米，求水面涨高了多少？ 【变式训练】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，于点C）．求该圆的半径． 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，是的直径，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在扇形中，点C、D在上，，点F、E分别在半径、上，，连接． (1)求证：； (2)设点P为的中点，连接，线段交于点M、交于点N．如果，求证：四边形是矩形． 考点9 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 考点10 求圆弧的度数 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式训练】（22-23九年级上·北京·月考）如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 考点11 圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【变式训练】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 考点12 圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若点G为中点，，求的长． 考点15 90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）按要求作图： (1)如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； (2)如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 【变式训练】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 考点16 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 考点17 求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【变式训练】（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【演练1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【演练4】（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【演练5】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆永川·期中）如图，的半径垂直弦于点C，交于点D，连接．如果，，那么的半径为 ． 5．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 7．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点E ，连接，．求证：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，点C在以为直径的⊙上． (1)作的平分线交于点D； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 培优拔高 11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为6米．若点为运行轨道的最低点，水深（点到弦所在直线的距离）1米，半径长为（    ） A．1米 B．3米 C．4米 D．5米 13．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为 ． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 18．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接． (1)若是的直径，且，求的面积； (2)若面积的最大值为12， ①求线段的长； ②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值． 19．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知与都是等腰直角三角形，． (1)如图①，连接，，判断与的关系，并说明理由； (2)如图②，当点恰好落在上，求证：，，，四个点在同一个圆上； (3)当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 20．（25-26九年级上·浙江·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.1 圆的有关性质 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的定义及表示方法 2 知识点梳理02：圆的表示方法 2 知识点梳理03：点与圆的位置关系 2 知识点梳理04：圆的有关概念 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 利用垂径定理求值 3 考点2 利用垂径定理求平行弦问题 6 考点3 利用垂径定理求同心圆问题 8 考点4 利用垂径定理求解其他问题 10 考点5 垂径定理的推论 12 考点6 垂径定理的实际应用 15 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 17 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 18 考点9 圆心角概念辨析及简单运算 21 考点10 求圆弧的度数 23 考点11 圆周角的概念辨析及简单运算 26 考点12 圆周角定理 29 考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等 32 考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角 35 考点15 90度的圆周角所对的弦是直径 37 考点16 已知圆内接四边形求角度 42 考点17 求四边形外接圆的直径 43 中考真题 实战演练 46 难度分层 拔尖冲刺 52 基础夯实 52 培优拔高 60 知识点梳理01：圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 知识点梳理02：圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 2. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点梳理03：点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点梳理04：圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 考点1 利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． (1)长为______ (2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，进而得出，再根据“角角边”证明，得到，则此题可解； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，接下来求出，然后根据勾股定理得即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． （2）解：如图，过点O作，交于点E， 则， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴小圆的半径为． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知． (1)用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） (2)连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)圆圆的说法错误，理由见解析 【思路引导】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； 利用三角形的三边关系判断即可． 本题考查作图，复杂作图，垂径定理，三角形三边关系． 【规范解答】（1）解：如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求； （2）解：圆圆的说法错误． 理由：如图，连接， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ， 故圆圆的说法错误． 考点2 利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【规范解答】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 【变式训练】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 考点3 利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【规范解答】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【规范解答】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【考点剖析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 考点4 利用垂径定理求解其他问题 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【规范解答】解：如图，即为所求 根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 【变式训练】（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是其横截面的示意简图，为垂直于地面的支柱，并用，为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的膜结构材料覆盖．支柱一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架，的一端都固定在支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为，最高点F离地面的高度为，离点C的水平距离为． 【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线为y轴，水平地面直线为x轴，建立平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为，该处离的水平距离为，求y与x之间的函数关系式． 【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已知绳长，干粉灭火器离地面的高度为． ①点G的坐标为 ． ②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为，整个车棚的的长度为．悬挂干粉灭火器保护半径为，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器． 【答案】（1）；（2）①；②4 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用垂径定理求值等知识． （1）根据题意得，抛物线的顶点为，，利用待定系数法求解即可． （2）①先求出点G的纵坐标，再把点G的纵坐标代入二次函数解析式，求出点G的横坐标即可． ②根据题意画出图形，过点O作，利用垂径定理求出，再根据车棚两端安装2个灭火器，求出中间需要装的灭火器，进而可求出答案． 【规范解答】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点为， ∴设y与x之间的函数关系式为 将点代入得 ∴y与x之间的函数关系式为 （2）①点G的高度为：， 把代入， 得：， 解得：，， 根据图形可知：点G在点C和点F之间， ∴， 故点． ②根据题意可知：，， 如下图，过点O作， 则， ∴， 为使得装的灭火器较少，则在车棚两端各装两个如上图的灭火器． ∴， 则中间还的加2个灭火器， ∴（个） 答：要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装4个干粉灭火器． 考点5 垂径定理的推论 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【规范解答】（1）证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图（1），点在上； (2)如图（2），点不在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理． （1）如图①，如图①，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求； （2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求． 【规范解答】（1）如图（1），线段即为所求； 由作法可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图②，线段即为所求． 由作法可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点6 垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度约为4米，拱高约为1米，求： (1)该圆弧的半径是多少； (2)若大雨过后，河面宽度变为米，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)该圆弧的半径是米 (2)水面涨高了米 【思路引导】本题考查了垂径定理与勾股定理的实际应用，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解． （1），设半径为，由垂径定理得半弦长，结合拱高表示出直角三角形的直角边，用勾股定理列方程求半径； （2）同理构造直角三角形，求出新水面到圆心的距离，与原距离作差得水面涨高的高度． 【规范解答】（1）解：设该圆弧的半径为米， ∵， ∴米，米， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即该圆弧的半径是米． （2）解：连接， ∵， ∴米， 在中，由勾股定理得（米）， ∵原水面到的距离（米）， ∴水面涨高了（米）． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，于点C）．求该圆的半径． 【答案】该圆的半径为5米 【思路引导】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，垂径定理的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用垂径定理得出米，再用表示出米，从而可利用勾股定理得出关于的方程求解． 【规范解答】解：设圆的半径为r米． ∵于点C， ∴米． ∵米， ∴米． 在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米． 考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【规范解答】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，是的直径，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点． 先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【思路引导】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【规范解答】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在扇形中，点C、D在上，，点F、E分别在半径、上，，连接． (1)求证：； (2)设点P为的中点，连接，线段交于点M、交于点N．如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解． 【思路引导】（1）先证明得到，然后证明得； （2）连接，如图，利用垂径定理得到，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，则可判断所以，加上，于是可得到四边形为平行四边形，然后利用得到四边形为矩形． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图， 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 【考点剖析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，矩形的判定．全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 考点9 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【思路引导】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【规范解答】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为 km． 【答案】40000 【思路引导】先根据平行线的性质求得∠POQ的度数，从而确定一个周角有多少个这样的角，再结合弧AB的长即可求得答案． 【规范解答】 ， 地球的周长约为 ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，圆心角的涵义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点10 求圆弧的度数 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【规范解答】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 【变式训练】（22-23九年级上·北京·月考）如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键． 根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出，，结合，即可证明①正确；将旋转到和拼合，使得和重合，由，得出，旋转后点、、在同一直线上，，求出，根据勾股定理即可证明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出，得出，根据“角所对的直角边是斜边的一半”，得出，结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中点，得出，则，结合垂径定理，推出时，，得出只有当时，③成立，综合得出答案即可． 【规范解答】解：∵，弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故①正确， 如图，将旋转到和拼合，使得和重合， ∵，若， ∴，旋转后点、、在同一直线上，， 解得：， ∴，， 故④正确， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立， 故③不正确， 综上所述，一定正确的有①②④， 故答案为：①②④． 考点11 圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 【变式训练】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【思路引导】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【规范解答】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【考点剖析】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 考点12 圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【规范解答】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所对圆周角的性质． 由同弧圆周角相等得，由直径所对圆周角为直角得，利用直角三角形内角和求出结论即可． 【规范解答】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴． ∵是直径， ∴， 在，中 ． 故选：B． 考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若点G为中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆周角定理，等边对等角，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理． （1）设交于点H，根据圆周角定理得到，，进而可得，即可证明； （2）连接交于点M，根据等边对等角得到，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，根据证明，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）证明：设交于点H， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接交于点M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴（）， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 考点15 90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）按要求作图： (1)如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； (2)如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查无刻度直尺作图，直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接，延长交于点Q，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． 【规范解答】（1）解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图，连接，延长交于点Q，连接，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)与是一组“垂弦”，理由见详解 (3)m+n是定值， (4) 【思路引导】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形面积计算时的角度或半径错误； （1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积． 【规范解答】（1）解：∵、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”， ∴，即， ∵直径所对的圆周角是直角， ∴是的直径； 故答案为：是． （2）与是一组“垂弦” 连接、 为直径， ， ， ， ， ， 与是一组“垂弦” ． （3） 连接， 若的度数为，的度数为 ，， 、是的一组“垂弦”， ， ， 即， （4）连接并延长交于点，连，作，为垂足， 的度数为，的度数为，的度数为， 为直径 、是的一组“垂弦”， 由（3）知 即 即 ， 为等边三角形 ，， 为中点， ， 考点16 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补可得． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 【答案】/27度 【思路引导】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得，结合四边形是的内接四边形，得，再根据旋转的性质，得，，则，运用三角形内角性质列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：依题意，点落在⊙上，连接如图所示： ∵，， ∴， ∵点落在⊙上，是的内接三角形， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 考点17 求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【思路引导】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【规范解答】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【考点剖析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式训练】（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【思路引导】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【规范解答】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 【演练1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【思路引导】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【规范解答】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 【演练4】（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【演练5】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数即可． 【规范解答】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的对角互补求出，最后直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·重庆永川·期中）如图，的半径垂直弦于点C，交于点D，连接．如果，，那么的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算即可． 【规范解答】解：， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【规范解答】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 故答案为：或. 6．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ． 【答案】50 【思路引导】此题重点考查圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，由，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接， 是中点， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 7．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点E ，连接，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 根据是直径，，证得，进而证得，从而得出结论． 【规范解答】证明：是的直径，， ． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【规范解答】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，点C在以为直径的⊙上． (1)作的平分线交于点D； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见详解 (2)证明见详解 【思路引导】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作的平分线交于点D，即可作答． （2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出，因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答． 【规范解答】（1）解：的平分线交于点D，如图所示： （2）解：依题意，连接， ∵点C在以为直径的上， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 即． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． (1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． (2)请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图——复杂作图，90度圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，，那么，根据同弧所对的圆周角相等，可知，从而证明即可； （2）过点作交于点E，连接即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O， ∵， ∴， 连接，如图所示： ， ∴， 是直径． （2）解：如图，线段即为所求． 培优拔高 11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为6米．若点为运行轨道的最低点，水深（点到弦所在直线的距离）1米，半径长为（    ） A．1米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】D 【思路引导】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于D，由垂径定理得（米），设米，在中，，即可得关于r的方程，解方程即可． 【规范解答】解：连接，交于D， 由题意得：， ∴（米），米， 设米，则， 在中，， ∴， 解得， 即半径长为5米， 故选：D． 13．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D． 【规范解答】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键． 14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【规范解答】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为 【答案】 【思路引导】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 【规范解答】解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是的中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键． 先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明，易得：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值，然后运用勾股定理以及圆的基本性质即可解答． 【规范解答】解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 18．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接． (1)若是的直径，且，求的面积； (2)若面积的最大值为12， ①求线段的长； ②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值． 【答案】(1)24 (2)①；②4 【思路引导】（1）首先得到，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）①根据题意得到当点A在延长线上时，的面积最大，连接，设，则，由垂径定理得到，然后由三角形面积求出，然后根据勾股定理求解即可； ②如图所示，延长交于点F，连接，，首先得出，然后由得到，然后等量代换得到，得到，进而由得到当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴的面积； （2）解：①如图所示，当点A在延长线上时，的面积最大，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ； ②如图所示，延长交于点F，连接，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，弦的长为6， ∴ ∴ ∵ ∴当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度 ∴的最大值为4． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 19．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知与都是等腰直角三角形，． (1)如图①，连接，，判断与的关系，并说明理由； (2)如图②，当点恰好落在上，求证：，，，四个点在同一个圆上； (3)当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，；理由见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】（1）利用证明即可得出，，延长交的延长线于点，进而证明，即可得出； （2）同（1）可得得出，进而可得，即可得证； （3）分两种情况讨论，根据（1）的结论得出是直角三角形，根据勾股定理，即可求解． 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补； 【规范解答】（1）解：，理由如下， ∵， ∴，即， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：如图，取的中点M，连接， 根据（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四个点在以M为圆心，为半径的同一个圆上； （3）解：如图，当在上时， ∵，，与都是等腰直角三角形， ∴ 由（1）可得， 设，则， 在中， ∴， 解得（负值舍去） ∴； 当在的延长线上时， 设，则， 在中， ∴， 解得（负值舍去） ∴； 综上所述，或． 20．（25-26九年级上·浙江·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【思路引导】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $