专题23 分式的乘法与除法【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题23 分式的乘法与除法 （重难点题型专训） 【知识考点 分式的乘法与除法】 【知识点梳理】 1.分式的乘法 （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）用式子表示为： （3）分式乘法运算的基本步骤 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 2.分式的除法 （1）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （2）用式子表示为 （3）分式除法运算的基本步骤 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 3.分式乘除的混合运算 （1）分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. （2）分式乘除混合运算的基本步骤 ① 先确定积的符号，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. ② 把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. ③ 运算结果化成最简分式或整式. 4.分式的乘方 （1）乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． （2）用式子表示为： ()＝ (n为正整数). （3）分式乘方的计算步骤 ① 分式乘方时，先确定乘方结果的符号. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. ② 把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. ③ 当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 5.含乘方的分式乘除混合运算 （1）分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”。有括号的先算括号里面的。 （2）分式乘除、乘方混合运算的解题步骤 ① 在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. ② 乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. ③ 当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 【重难点常考题型概览】 【题型01】 分式的乘法 【题型02】 分式的除法 【题型03】 分式乘除的混合运算 【题型04】 分式的乘方 【题型05】 含乘方的分式乘除混合运算 【题型06】 分式乘除运算的化简求值 【题型07】 分式乘除运算的实际应用 【特训01】 拓展培优强化 【特训02】 直通中考真题 【题型01】 分式的乘法 【例1】（2023-2024八年级上·山东青岛·单元测试）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，提公因式法，因式分解，关键是掌握分式的乘法、提公因式法、因式分解的运用．先把分式的分子和分母因式分解，再约分即可． 【解答】解：原式． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河北唐山·期中）的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【解答】解： ． 故选A． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，先确定结果符号，再计算乘法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘法． （1）根据分式乘法法则求解即可； （2）分子分母先因式分解，再根据分式的乘法法则求解即可． 【解答】（1）解：； （2）解： ． 【题型02】 分式的除法 【例2】（2024-2025八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的运算法则是解题的关键； 先把除法转化为乘法，同时分解因式，再约分化简即可. 【解答】解： 【变式2-1】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【解答】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河北承德·阶段练习）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【解答】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）根据分式的除法法则进行计算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 【题型03】 分式乘除的混合运算 【例3】（2024-2025八年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】（2025-2026八年级上·北京昌平·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【解答】解：原式 ． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【答案】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式乘除法运算法则是解题的关键．先判断分式乘除法混合运算的运算顺序是否正确，再按照从左到右的顺序依次进行运算． 【解答】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右． 正确的解答过程如下： ． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型04】 分式的乘方 【例4】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则，分子分母分别乘方，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原题计算错误，不符合题意； C、，原题计算错误，不符合题意； D、，原题计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·河北邢台·阶段练习）若，则“？”表示的是（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：； 故“？”表示的是； 故选C． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·山东·课后作业）的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方运算法则计算即可得到结果． 【解答】得 【点评】此题考查了幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式乘方法则计算即可. （1）根据分式的乘方法则计算即可； （2）根据分式的乘方法则计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型05】 含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（2024-2025八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【解答】解： ， 故选：A． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【解答】解： ． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了分式的乘方运算． （1）根据负数的奇次幂是负数可找出错误之处； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法，约分化简后再乘即可． 【解答】（1）解：从第一步开始出现错误，错误的原因是负数的奇数次幕是负数，漏掉了负号． 故答案为：一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号． （2）解：原式． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）根据分式的乘方，乘除法则进行计算即可． 【解答】（1）解：原式． （2）原式． 【题型06】 分式乘除运算的化简求值 【例6】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）先化简，再从数中选一个合适的数代入进行计算． 【答案】， 【分析】首先对分式进行运算与化简：先因式分解，除法变乘法，约分化简，然后选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【解答】解：原式． 根据分式有意义的条件可知， 且， 从数中的值只能取． 当时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的化简与分式的分母不能为零是解题的关键． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（  ） 甲：可化为最简分式； ：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【解答】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【解答】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【解答】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 【题型07】 分式乘除运算的实际应用 【例7】（2025-2026八年级上·吉林长春·期中）长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与分式的除法运算，熟练掌握因式分解与分式的除法是解题关键． 先对树苗总数的多项式进行因式分解，再除以班级数即可得到每个班级的树苗数． 【解答】解：∵ 树苗总数 ，班级数为 ， ∴ 每个班级分得的树苗数为 （其中 ）． 故选B． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【解答】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式． 利用圆的面积公式列式求解即可． 【解答】解：由题意，得． 故答案为：． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)，，， (2)第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 【分析】本题考查了列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算等知识．熟练掌握列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算是解题的关键． （1）由题意知，“丰收1号”试验田是边长为的正方形，然后求面积即可，“丰收2号”试验田的面积是边长为的大正方形与边长为2的小正方形面积的差，然后根据单位面积产量为，计算求解即可； （2）由，判断作答即可． 【解答】（1）解：由题意知，“丰收1号”试验田的面积为，单位面积产量为； “丰收2号”试验田的面积为，单位面积产量； 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【特训01】 拓展培优强化 1.（2024-2025八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 将，逐一代替“□”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【解答】解：A．，可以进行约分化简，“□”可以是1，不合题意； B．，不可以进行约分化简，“□”不可以是2，符合题意； C．，可以进行约分化简，“□”可以是4，不合题意． D．，可以进行约分化简，“□”可以是，不合题意； 故选：B． 2．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【解答】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 3.（2025-2026八年级上·贵州铜仁·阶段练习）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 4．（2024-2025八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【解答】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 5.（2025-2026八年级上·全国·课后作业）若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的除法运算，根据乘法的意义列式求解即可． 【解答】解：由题意可得： ． 故答案为： 6.（2024-2025七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【解答】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 7.（2025-2026八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【解答】解：根据题意得： ． 故答案为：． 8．（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】 解：根据题意得： ， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 9．（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 11．（2025-2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【解答】（1）解： ． （2） ． （3） ． 12．（2024-2025八年级上·河北唐山·期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． （1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【解答】（1）解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为， ， ， ∴， 解得：； （2）解：分式的“好整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“好分式”． 【特训02】 直通中考真题 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·甘肃张掖·中考真题）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（  ） 甲：可化为最简分式； ：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【解答】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 3．（2024·四川南充·中考真题）若，则的值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【解答】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 6．（2024·山东临沂·中考真题）化简：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，将分式的除法转化为分式的乘法，同时将分式的分子、分母进行因式分解，然后进行约分得到最简分式．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 【解答】解： ， 即的结果是． 故答案为：． 7．（2024·全国·中考真题）一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘法，解题的关键是掌握相关知识．先表示出顺流航速，即可得出逆流航速，从而得出逆流航行的千米数． 【解答】解：一艘轮船顺流航行用了， 顺流航速是， 逆流航速是顺流航速的， 逆流航速是， 这艘轮船逆流航行可以走， 故答案为：． 8．（2025·内蒙古·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可； （2）利用分式的乘法的运算法则化简即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解； ， 当时，原式． 10．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解： ， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 分式的乘法与除法 （重难点题型专训） 【知识考点 分式的乘法与除法】 【知识点梳理】 1.分式的乘法 （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）用式子表示为： （3）分式乘法运算的基本步骤 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 2.分式的除法 （1）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （2）用式子表示为 （3）分式除法运算的基本步骤 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 3.分式乘除的混合运算 （1）分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. （2）分式乘除混合运算的基本步骤 ① 先确定积的符号，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. ② 把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. ③ 运算结果化成最简分式或整式. 4.分式的乘方 （1）乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． （2）用式子表示为： ()＝ (n为正整数). （3）分式乘方的计算步骤 ① 分式乘方时，先确定乘方结果的符号. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. ② 把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. ③ 当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 5.含乘方的分式乘除混合运算 （1）分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”。有括号的先算括号里面的。 （2）分式乘除、乘方混合运算的解题步骤 ① 在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. ② 乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. ③ 当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 【重难点常考题型概览】 【题型01】 分式的乘法 【题型02】 分式的除法 【题型03】 分式乘除的混合运算 【题型04】 分式的乘方 【题型05】 含乘方的分式乘除混合运算 【题型06】 分式乘除运算的化简求值 【题型07】 分式乘除运算的实际应用 【特训01】 拓展培优强化 【特训02】 直通中考真题 【题型01】 分式的乘法 【例1】（2023-2024八年级上·山东青岛·单元测试）化简：． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河北唐山·期中）的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【题型02】 分式的除法 【例2】（2024-2025八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化简：． 【变式2-1】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河北承德·阶段练习）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型03】 分式乘除的混合运算 【例3】（2024-2025八年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 【变式3-1】（2025-2026八年级上·北京昌平·期中）计算： ． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型04】 分式的乘方 【例4】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·河北邢台·阶段练习）若，则“？”表示的是（   ） A． B． C． D．8 【变式4-2】（2024-2025八年级上·山东·课后作业）的值是（  ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型05】 含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（2024-2025八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型06】 分式乘除运算的化简求值 【例6】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）先化简，再从数中选一个合适的数代入进行计算． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（  ） 甲：可化为最简分式； ：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式6-2】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）当取何值时，式子的值为正数？ 【题型07】 分式乘除运算的实际应用 【例7】（2025-2026八年级上·吉林长春·期中）长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（  ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【特训01】 拓展培优强化 1.（2024-2025八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 2．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.（2025-2026八年级上·贵州铜仁·阶段练习）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（2024-2025八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 5.（2025-2026八年级上·全国·课后作业）若，则分式 ． 6.（2024-2025七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 7.（2025-2026八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 8．（2025-2026八年级上·山东淄博·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 9．（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 10．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 11．（2025-2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 12．（2024-2025八年级上·河北唐山·期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【特训02】 直通中考真题 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃张掖·中考真题）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（  ） 甲：可化为最简分式； ：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3．（2024·四川南充·中考真题）若，则的值为（  ）． A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（  ） A． B． C． D． 6．（2024·山东临沂·中考真题）化简：的结果是 ． 7．（2024·全国·中考真题）一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走 ． 8．（2025·内蒙古·中考真题）计算： (1)； (2)． 9．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $