精品解析：四川省成都西川中学北区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

初2023级九年级上数学半期综合练习 （时间：120分钟，满分150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 4. 如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 所有的矩形都相似 B. 正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形 C. 方程只有一个实数根 D. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 7. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为_____． 10. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为________． 11. 如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 12. 如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数（）的图象于点，连接，．若，则的值为 _____． 13. 如图，在中，在边上取一点D，根据下列作图过程： ①以点B为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边、交于点M、N； ②以点D为圆心、长为半径向内作弧，交于点P； ③以点P为圆心、长为半径作弧，在内与前弧交于点Q； ④作射线交于点E． 若与四边形的面积之比为，则的值为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上） 14. 解方程： （1） （2） 15. 自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏（红色和蓝色配在一起为紫色），如图，甲转盘被均匀地分成个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色．（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止） （1）转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为______； （2）同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率． 16. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长及点A到的距离． 18. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． （1）请直接写出A，B两点的坐标； （2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； （3）在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知A（m+3，2），B（3，）和是同一个反比例函数图象上的两个点，则m＝_____． 20. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 21. 中，，AD是BC边上的高，且，则的度数为______． 22. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．如图所示，已知点A的坐标为，点B在x轴的上方，的面积为6，则内部（不含边界）的整点的个数为________． 23. 如图，在平行四边形中，，，且．连接、，点P为内部一点，满足，则P到的距离为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． （1）设为x米，请用含x的式子表示为________． （2）若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 25. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 26. 如图，四边形是正方形，动点F从点C出发，沿延长线运动，连接，点E在线段上，且，射线交对角线于点G，交线段于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）将点F关于直线对称，F的对应点为，连接，取中点M，当正方形的边长为4时，求点M的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级九年级上数学半期综合练习 （时间：120分钟，满分150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 2. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 4. 如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A、添加，能判定是菱形，故不符合题意； B、添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项符合题意； C、添加，能判定是菱形；故不符合题意； D、添加，能判定是菱形；选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由得出，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，再结合，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵点在第一象限，点和点在第三象限， ∴，，，故最大， 又∵在第三象限内，随的增大而减小，且， ∴；综上所述，． 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 所有的矩形都相似 B. 正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形 C. 方程只有一个实数根 D. 反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何视图、方程根的性质以及函数图象的对称性。选项A错误，因为矩形相似需对应边成比例，并非所有矩形都满足；选项B正确，因为正三棱柱的俯视图取决于放置方式，不一定是等边三角形；选项C错误，方程有两个实数根；选项D错误，反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：∵ A、矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但矩形长宽比不同时不相似，∴ A错误； ∵ B、正三棱柱若侧放，俯视图可为矩形，不一定为等边三角形，∴ B正确； ∵ C、方程化为，即，解得或，有两个实数根，∴ C错误； ∵ D、反比例函数的图象关于原点中心对称，也关于直线和轴对称，∴ D错误； 故选：B． 7. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用求出和，得到点C坐标即可求出k值． 【详解】解：作轴，垂足为点D， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为_____． 【答案】-7 【解析】 【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0 解得：k＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 10. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人分配到同一组的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小刚 小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小刚和小利被分配到同一组的概率为， 故答案为：． 11. 如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的一个黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数（）的图象于点，连接，．若，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，令与轴的交点为，由轴得，从而可，即可求得的值，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】令与轴的交点为，如图， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，在边上取一点D，根据下列作图过程： ①以点B为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边、交于点M、N； ②以点D为圆心、长为半径向内作弧，交于点P； ③以点P为圆心、长为半径作弧，在内与前弧交于点Q； ④作射线交于点E． 若与四边形的面积之比为，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，根据作图可知，再根据，得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∵与四边形的面积之比为， ∴与的面积比为， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 15. 自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏（红色和蓝色配在一起为紫色），如图，甲转盘被均匀地分成个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色．（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止） （1）转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为______； （2）同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据几何概率求解即可； （2）列表求出所有等可能的结果数，再找出能配出紫色的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 绿 蓝 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （绿，蓝） （蓝，蓝） 共有种等可能的结果，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的结果数有种， 转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为． 16. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． （1）像的长度为________； （2）如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； 【小问2详解】 解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长及点A到的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2），点A到的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理，菱形的性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形对角线互相垂直得到，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得；由菱形的性质可得，，，由勾股定理得，解得，则，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 设点A到的距离为h，则， ∴， ∴点A到的距离为． 18. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． （1）请直接写出A，B两点的坐标； （2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； （3）在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，即可得出点的坐标，当时，，解得，即可得出点的坐标； （2）由相似三角形的性质可得，再结合一次函数的性质可得直线的表达式为，设点，求出，从而可得，求出，即，再利用待定系数法求解即可； （3）由位似三角形的性质可得，从而可得，即可得出，过点作轴于，轴于，则，证明，得出，设，则，求出，同理可得，将两个点代入反比例函数的解析式可得， 设，，则，，求出，从而可得，再由一元二次方程根的判别式得出，从而可得的最小值为，此时，，将，，代入和计算即可得解． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴直线的表达式为， 设点， ∵，， ∴， ∴， ∵，且相似比为2， ∴， ∵， ∴，即， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴； 【小问3详解】 解：如图： ， ∵在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于，轴于， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， 代入可得：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为，此时，， 将，，代入和可得，， 解得：，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质，勾股定理，位似的性质，反比例函数几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知A（m+3，2），B（3，）和是同一个反比例函数图象上的两个点，则m＝_____． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2（m+3）=3×，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：∵A（m+3，2），B（3，）和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2（m+3）＝3×， ∴m＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 20. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 21. 中，，AD是BC边上的高，且，则的度数为______． 【答案】65°或115° 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当∠BCA为锐角和钝角，将已知的积的恒等式化为比例式，再根据夹角为直角相等，利用两边对应成比例且夹角的相等的两三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的对应角相等，利用直角三角形的两锐角互余及外角性质分别求出两种情况下∠BCA的度数即可． 【详解】当∠BCA为锐角时，如图1所示， ∵， ∴， 又AD⊥BC， ∴∠ADB=∠CDA=90°， ∴△ADB∽△CDA， 又∵∠B=25°， ∴∠CAD=∠B=25°，∠BCA=∠BAD， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=25°， ∴∠BAD=65°， 则∠BCA=∠BAD=65°； 当∠BCA为钝角时，如图2所示， 同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=25°， 可得∠CAD=∠B=25°， 则∠BCA=∠CDA+∠CAD=115°， 综上，∠BCA的度数为65°或115°． 故答案为：65°或115°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解． 22. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．如图所示，已知点A的坐标为，点B在x轴的上方，的面积为6，则内部（不含边界）的整点的个数为________． 【答案】3或4或5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定等知识．根据三角形面积公式得到中边上高为3，得到点B在直线上．设直线与交于点E、F，直线与交于点C、D．根据相似三角形性质求出，得到线段包含的“整点”有1个或2个；同理，，线段包含的“整点”有2个或3个．即可求出内部（不含边界）的整点的个数为3个，或4个或5个． 【详解】解：∵设点B的纵坐标为n， ∵点A的坐标为，点B在x轴的上方，的面积为6， ∴， ∴， ∴点B在直线上． 如图，设直线与交于点E、F，直线与交于点C、D． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段包含的“整点”有1个或2个； 同理，， ∴线段包含的“整点”有2个或3个； ∴内部（不含边界）的整点的个数为3个，或4个或5个． 故答案为：3或4或5 23. 如图，在平行四边形中，，，且．连接、，点P为内部一点，满足，则P到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，交于，根据三角形内角和及等角对等边得到，，可知A在的垂直平分线上，根据可知点P在的垂直平分线上，即点P在线段上，根据勾股定理求出，，作交延长线与，则，根据平行四边形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，根据勾股定理求出，即，，，证明，得到，求出，可知即P在F上方，连接，设P到的距离为h，根据等面积法求解即可． 【详解】解：作交与，交于， ∵，且， ∴， 即，， ∴A在的垂直平分线上， ∵点P为内部一点，满足， ∴点P在的垂直平分线上， 即点P在线段上， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 作交延长线与，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即P在F上方， 连接， 设P到的距离为h， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和，等角对等边，垂直平分线的判定定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． （1）设为x米，请用含x的式子表示为________． （2）若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）8米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由长方形的性质可得，而的长等于用去的板材的总长减去3个的长度，再加上2个门的宽度，据此列式求解即可； （2）根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，，即米， 答：养鸡场的宽为8米． 25. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）双曲线的解析式 （2）①；②的值不发生变化，为18 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． 【小问2详解】 ①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 26. 如图，四边形是正方形，动点F从点C出发，沿延长线运动，连接，点E在线段上，且，射线交对角线于点G，交线段于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）将点F关于直线对称，F的对应点为，连接，取中点M，当正方形的边长为4时，求点M的路径长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，则可利用证明，再利用全等三角形的性质可证明结论； （2）导角可证明，得到；证明，可推出；证明，推出，则，即； （3）如图3-1所示，取的中点K，取的中点N，连接，由三角形中位线定理可得，，设，则，可证明；进而可证明是等腰直角三角形，得到，则点M在直线上运动，则当点F与点C重合时，点M与点K重合；如图3-2所示，当点H恰好与点F重合，即三点共线时，设，则，证明，利用相似三角形的性质可推出，则，进而得到；可证明点M的运动路径长即为图3-2中线段的长，则点M的路径长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3-1所示，取的中点K，取的中点N，连接， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点M在直线上运动； 则当点F与点C重合时，点M与点K重合； 如图3-2所示，当点H恰好与点F重合，即三点共线时， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点E在线段上，点H在线段上， ∴点M的运动路径长即为图3-2中线段的长， ∴点M的路径长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线和推出点M的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $