专题08 高二上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题08 高二上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向向量求斜率，再求倾斜角. 【解答过程】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D. 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【解答过程】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【解答过程】依题意，得，解得， 故选：C． 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【解题思路】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【解答过程】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【解题思路】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【解答过程】由题意：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为：. 题型2 直线的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线方程的截距式即可求解. 【解答过程】设直线方程为， 由题意， 即直线方程为：， 故选：A. 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【解答过程】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【解答过程】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B. 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【解题思路】利用分类讨论思想，分截距为与不为两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得； （2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得. 【解答过程】（1）已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由两点式，可得， 边上高所在直线方程的斜率， 的高所在直线的直线方程，即. 题型3 两条直线平行、垂直的判定（共5小题） 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得或（方程不为直线，舍去）. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【解题思路】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南信阳·期末）“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项. 【解答过程】∵对于任意，恒成立， ∴直线与垂直恒成立， ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【解答过程】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【解答过程】（1）若，则 ，解得或2； （2）若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 题型4 直线的交点问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【解答过程】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【解答过程】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【解题思路】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【解答过程】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【解答过程】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 题型5 距离公式及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【解答过程】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题点到直线的距离为. 故选：D. 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线：与：平行，且过点，则与间的距离为 . 【答案】 【解题思路】由直线列方程，可求，再结合直线过点列方程求，再结合平行直线距离公式求结论. 【解答过程】因为直线：与：平行， 所以， 所以，， 因为过点， 所以， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以与间的距离. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 题型6 圆的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】， 故圆心为，半径为1. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解 【解答过程】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【解答过程】解：设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆C的标准方程为 故答案为：. 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 题型7 直线与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解. 【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可 【解答过程】直线过定点 ， 曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    题型8 圆的切线与弦长问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解答过程】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【解题思路】（1）根据圆心半径求圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理求解弦长； （3）分类讨论然后结合圆心到直线的距离为半径求解； 【解答过程】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆的半径， 设圆心 到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即， =2，解得 ，所以. 综上所述：切线的方程为和． 题型9 圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【解答过程】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解题思路】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【解答过程】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【解题思路】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【解答过程】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 题型10 椭圆的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【解答过程】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【解题思路】根据条件得到，再由，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型11 双曲线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【解答过程】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）. 所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为. 已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，确定圆锥曲线类型，进而列式求出参数. 【解答过程】由圆锥曲线的离心率为2，得该曲线为双曲线，则， 解得，方程为，因此离心率， 所以. 故答案为：2. 5．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 题型12 抛物线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【解答过程】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D. 2．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【解答过程】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【解答过程】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 5．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 题型13 椭圆、双曲线的离心率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率. 【解答过程】 因为，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【解答过程】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【解答过程】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】设，根据题设有，，从而有，再结合，可得到，即可求解. 【解答过程】设，，又，， 则，， 所以，又，代入，整理得到， 所以，的离心率为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】写出焦点坐标，从而知道点坐标，由线段关系，借助向量得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后通过解方程求得离心率. 【解答过程】，， 在等边中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以 故答案为：. 题型14 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【解答过程】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【解题思路】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【解答过程】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【解答过程】（1）由题意得， 又，所以，所以的方程为． （2）过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， ，解得或， 故斜率的取值范围是． （3）时，， 联立得，， 解得或， 当时，，当时，， 故或． 题型15 圆锥曲线的弦长与中点弦问题（共5小题） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据通径长的计算公式直接求解. 【解答过程】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 3．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【解答过程】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据焦点坐标以及渐近线方程计算可得结果； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，再由点到直线距离公式计算得出三角形面积表达式，解方程即可. 【解答过程】（1）由焦点坐标可得，再由渐近线方程可得； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，设； 联立可得， 显然，且，解得； 则， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或0（舍），即， 所以直线的方程为或. 题型16 求数列的通项或项（共5小题） 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【解答过程】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【解答过程】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解题思路】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【解答过程】，， ，即， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 题型17 等差数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，用公式求出，得到的通项公式 【解答过程】设等差数列的公差为, 因为， 所以, 解得, 则. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解答过程】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【解答过程】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【解答过程】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 题型18 等差数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可. 【解答过程】由等差数列的性质可知， ， 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（   ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【解题思路】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【解答过程】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】24 【解题思路】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以． 故答案为：24． 5．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求结论； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为， ． （2）∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为N*， 解得. 题型19 等比数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据等差中项可得，再结合等比数列通项公式运算求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，则， 即，且， 可得，即，解得或 又因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的公比，利用等比数列的定义化简等式，可得答案. 【解答过程】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为q， 则，可得， 解得，. 故选：B. 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再降次作差即可； （2）利用错位相减法即可. 【解答过程】（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式．即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）当时，， 则， ， 所以， 故. 题型20 等比数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【解题思路】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【解答过程】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【解答过程】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，， 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解题思路】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【解答过程】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）记为数列的前项和，若，则 ． 【答案】63 【解题思路】根据与的关系，先求得，进而根据等比数列的前项和公式可得. 【解答过程】当时，，得， 当时，，得， 故是以为首项，以为公比的等比数列，故， 故， 故答案为：. 5．（24-25高二上·海南·期末）在数列中，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）在已知递推式两边同时减1，即可构造出结果； （2）由（1）得，通过分组求和结合等比数列前项和公式即可得结果. 【解答过程】（1）由，得 又， 所以是首项为3，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得，即． 题型21 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解答过程】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【解题思路】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. 【解答过程】数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以数列的前5项之和为 . 故选：D. 4．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解题思路】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）把当时，当时，代入，化简求出，再根据等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【解答过程】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 题型22 变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平均变化率的定义即可求得. 【解答过程】由平均变化率定义得， 故选：C. 2．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解题思路】即求函数在时的导数值. 【解答过程】，则. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解题思路】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【解答过程】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D.    题型23 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【解答过程】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】因为函数在处可导， 所以 ， 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【解题思路】运用导数定义分析与导数定义的关系，得解. 【解答过程】导数的定义为. 对于，我们可以令，当时，. 那么. 而. 然后求函数的导数，可得. 得到. 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】 【解题思路】由解析式求出，代入即可求. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 题型24 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【解答过程】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【解答过程】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【解答过程】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即． 故函数在点处的切线方程为.      故选：B. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【解题思路】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【解答过程】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【解答过程】（1）由点在的图象上，得，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得， 所以的值为. 题型25 导数的四则运算（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【解答过程】由，即，即， 所以是常数， 当时，，所以， 当时，，得. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【解答过程】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 ． 【答案】 【解题思路】根据导数运算法则，结合赋值法，求得. 【解答过程】由，有， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用导数的运算法则及复合函数求导求解. 【解答过程】（1） ； （2） . 题型26 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 【解答过程】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B. 3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【解题思路】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【解答过程】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【解答过程】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 题型27 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【解题思路】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【解答过程】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值结合零点存在定理计算求解. 【解答过程】函数的定义域为，， 令，， 所以当时， ， 所以在单调递减，图象连续不断， 又因为，， 所以存在唯一，使得，所以， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间上存在极值， 所以的最大值为1， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【解答过程】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【解题思路】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【解答过程】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【解题思路】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【解答过程】（1）因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. （2）由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 题型28 函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【解答过程】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 【答案】 【解题思路】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【解答过程】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为：. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【解题思路】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）求得函数在上的单调性，再由极值定义计算可得结果. 【解答过程】（1）函数的导数为， 可得曲线在点处的切线的斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）令，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此为的极小值点，也是最小值点， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【解答过程】（1）由题意函数的定义域为， ， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时，；， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得，舍去； 综上所述，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 高二上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 题型2 直线的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 题型3 两条直线平行、垂直的判定（共5小题） 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 3．（24-25高二上·河南信阳·期末）“”是“直线与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型4 直线的交点问题（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 题型5 距离公式及其应用（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线：与：平行，且过点，则与间的距离为 . 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 题型6 圆的方程（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南开封·期末）圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 题型7 直线与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 4．（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 题型8 圆的切线与弦长问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程． 题型9 圆与圆的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 5．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 题型10 椭圆的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型11 双曲线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 5．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 题型12 抛物线的方程与性质（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 5．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 题型13 椭圆、双曲线的离心率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 5．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 . 题型14 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 5．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 题型15 圆锥曲线的弦长与中点弦问题（共5小题） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 4．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 题型16 求数列的通项或项（共5小题） 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 题型17 等差数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 题型18 等差数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（   ） A．90 B．100 C．110 D．120 4．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 5．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 题型19 等比数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．9 B．36 C．54 D．72 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 题型20 等比数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）记为数列的前项和，若，则 ． 5．（24-25高二上·海南·期末）在数列中，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和． 题型21 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 4．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型22 变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 题型23 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 题型24 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 ． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 题型25 导数的四则运算（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 ． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 题型26 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 题型27 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 题型28 函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $