精品解析：山西省朔州市朔州市部分学校阶段评估（二）2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期九年级评估质量监测（三） 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 无法确定 4. 如图，正六边形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，与相切于点B，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过，两点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，M为的中点，N为优弧上的一点，则下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 9. 定格动画是动画制作的一种方式，小涵利用定格动画制作了一个小鸟飞行的动画．如图，这是其中的一些关键画面，小鸟的飞行轨迹为抛物线，部分x与y的对应值如下表，则b和c的值分别为（ ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 4 1 A. 4，1 B. ，1 C. 4， D. ， 10. 如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 12. 作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为________平方米． 13. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两名运动员各随机选一个通道进入，则他们从不同通道进入体育比赛馆的概率是________． 14. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 15. 如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，求方程的解． （2）若方程有两个实数根，求m的取值范围． 17. 如图，为半圆O的直径，为半圆O的弦，，交半圆O于点D，点P在上，与半圆O相切于点C，，，求的长． 18. 小悦参加山西省剪纸艺术作品展，如图，展区A中剩余1个展位，展区B中剩余两个展位和，小悦有甲、乙两幅作品参展，这两幅作品将随机放入其中两个展位展览，且一个展位只能展出一幅作品． （1）甲作品放在展位展览的概率为　　　　　　． （2）求小悦的两幅作品同在展区B展览的概率． 19. 草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数n． 20. 项目学习 项目背景：为丰富市民文化娱乐生活，市政府广场开展大马戏表演活动． 项目名称 大马戏舞台的研究 项目内容 图示： 数据说明：点O为舞台中心，是的一条弦，米，，垂足为D，米．已知防护栏要距离舞台边缘4米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆． 反思 …… 要在防护栏上每隔3米安装一盏射灯（两盏射灯间的弧长为3米），需要安装多少盏射灯？（取3） 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题 思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： （1）直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． （2）补全问题②的解答过程． （3）若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 22. 综合与实践 问题情境：如图，某款行李箱的侧面为矩形，将其倾斜时可顺利前行，多次测试后发现当侧面绕顶点B旋转倾斜时前行最为省力，此时行李箱的侧面为矩形． 数学建模：建立如图所示的平面直角坐标轴，矩形的边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上，点B的坐标为．矩形的顶点恰好在x轴的正半轴上，交于点D． 问题解决： （1）点B关于原点O的对称点的坐标为　　　　　　． （2）求证：． （3）求边所在的直线与y轴的交点E的坐标． 23. 综合与探究 如图1，内接于，点D在上，连接，交于点E，，． 猜想证明： （1）请判断的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图2，过点O作于点M，延长，交于点N．若，，求的长． （3）在（2）的条件下，P为平面内的一点，且，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级评估质量监测（三） 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C． 可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据可能性大小的意义求解． 【详解】解：一副扑克牌中取出下面四张，9，2，5，5， 其中5有两张，9，2各一张， 从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是5， 故选：B． 4. 如图，正六边形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形的中心角，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 除以边数即可． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， 故选：D． 5. 如图，为的直径，与相切于点B，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、平行线的性质、直角三角形的角度计算，利用切线与直径的垂直关系，结合平行线的内错角相等，推导角度是解题关键． 由为的直径，与相切于点B可得，再根据，可得，再由可得的度数． 【详解】解：为的直径，与相切于点B， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 若二次函数的图象经过，两点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的函数值比较，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求出对应的函数值，再比较大小． 将A、B两点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出和的值，再比较两者大小． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得 因为，所以，选项A符合题意； 故选：A． 7. 如图，M为的中点，N为优弧上的一点，则下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据M为的中点，得出，再根据圆周角定理得出，从而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵M为的中点， ∴， 又，N为优弧上的一点，， ∴， 故选：C． 8. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理求出的长即可求解， 【详解】解：根据题意由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球半径， ∴， 在中， ， ∴， 故选：C． 9. 定格动画是动画制作的一种方式，小涵利用定格动画制作了一个小鸟飞行的动画．如图，这是其中的一些关键画面，小鸟的飞行轨迹为抛物线，部分x与y的对应值如下表，则b和c的值分别为（ ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 4 1 A. 4，1 B. ，1 C. 4， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，加减消元法解二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 取表中两对值，代入抛物线表达式中，转化为关于b和c的二元一次方程组，求出b和c的值． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：A． 10. 如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正六边形的性质求得，， ，得出是等边三角形，从而可得，再根据含有度角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理求得，从而可求得，再求出，然后利用圆面积减去即可． 【详解】解：镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，如图，连接，，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴， ，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，圆的周长和面积问题，正多边形和圆的综合，求其他不规则图形的面积等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 12. 作为华夏文明孕育的璀璨明珠，武术有着悠久的历史脉络与深厚的文化底蕴：武术界流传的“枪挑一条线，棍扫一大片”便是其生动的体现．如图1，某武术爱好者挥舞长为1米的木棍，木棍在竖直平面内顺时针旋转，图2为其挥舞的示意图，则木棍扫过的面积为________平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出木棍扫过的区域是扇形，并利用扇形面积公式求解． 确定木棍扫过的图形为圆心角、半径1米的扇形，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：木棍扫过的区域是扇形，圆心角为，半径为米， 扇形面积公式为，代入得（平方米）． 故答案为：． 13. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两名运动员各随机选一个通道进入，则他们从不同通道进入体育比赛馆的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是用列表法列出所有可能结果，再确定符合条件的结果数． 先通过列表列出甲、乙选择通道的所有可能结果；再从列表中找出他们选择不同通道的结果数；最后用不同通道的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】解：列表列出甲、乙选择通道的所有结果 甲 乙 A B C A B C 总结果数为种，其中不同通道的结果有种． 则所求概率为． 故答案为：． 14. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 15. 如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用正方形的性质、证明，从而可得，再利用勾股定理求得，然后根据直角三角形周长与内切圆半径的关系求解．直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴的内切圆的半径为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系，全等的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，求方程的解． （2）若方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法及根的判别式的应用，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，以及利用根的判别式确定参数的取值范围． （1）将代入方程，得到一元二次方程后，通过因式分解法求解方程的根； （2）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式，列不等式求解的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，方程为，即， 因式分解得， 则或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 计算得，即， 解得． 17. 如图，为半圆O的直径，为半圆O的弦，，交半圆O于点D，点P在上，与半圆O相切于点C，，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，切线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先利用等边对等角求得，再证明，从而可得，再根据为半圆O的直径求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与半圆O相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴． 18. 小悦参加山西省剪纸艺术作品展，如图，展区A中剩余1个展位，展区B中剩余两个展位和，小悦有甲、乙两幅作品参展，这两幅作品将随机放入其中两个展位展览，且一个展位只能展出一幅作品． （1）甲作品放在展位展览的概率为　　　　　　． （2）求小悦的两幅作品同在展区B展览的概率． 【答案】（1） （2）两副作品同在展区B展览的概率为 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，列出所有等可能的展位分配结果，再定位目标事件的结果数是解题关键． 列出所有可能的结果，再根据“概率=所求事件包含的结果数÷总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：甲作品放在展位的可能结果有3种，放在展位有一种， 甲作品放在展位展览的概率为． 答：． 【小问2详解】 解：如图，列举所有可能情况． 一个展位只能展出一幅作品， 除去，，三种情况， 剩余6种有效组合，其中“两幅作品同在展区B展览”的情况有2种， 两幅作品同在展区B展览的概率为． 答：两幅作品同在展区B展览的概率为． 19. 草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数n． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得． 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 20. 项目学习 项目背景：为丰富市民文化娱乐生活，市政府广场开展大马戏表演活动． 项目名称 大马戏舞台的研究 项目内容 图示： 数据说明：点O为舞台中心，是的一条弦，米，，垂足为D，米．已知防护栏要距离舞台边缘4米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆． 反思 …… 要在防护栏上每隔3米安装一盏射灯（两盏射灯间的弧长为3米），需要安装多少盏射灯？（取3） 【答案】需要安装28盏射灯． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理与圆的半径计算，利用垂径定理求出舞台圆的半径是解题关键． 用垂径定理求舞台圆的半径，再结合舞台与防护栏的距离确定防护栏所在圆半径R，求出该圆周长，根据射灯间隔可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 防护栏距离舞台边缘4米， 防护栏所在圆半径为米， 取3， 防护栏所在圆周长为， 每隔3米安装一盏射灯， 可安装射灯的数量为． 答：需要安装28盏射灯． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题 思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： （1）直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． （2）补全问题②的解答过程． （3）若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 【答案】（1）； （2） 当时，， 抛物线解析式为， 直线解析式为． 因为是交点，将其代入联立方程：， 化简得， 代入：，， 进一步整理得，又， ∴． 则． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系、函数交点坐标性质及抛物线对称性求解． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积； （2）将交点坐标代入直线和抛物线解析式，联立方程求解，再计算； （3）利用抛物线对称性（纵坐标相同的点关于对称轴对称），结合对称轴公式列方程求． 【小问1详解】 解：对于方程， 由一元二次方程根与系数关系得，． 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抛物线对称轴为， 因为、， 纵坐标相同，故关于对称轴对称， 对称轴为， 即，解得． 故答案为：． 22. 综合与实践 问题情境：如图，某款行李箱的侧面为矩形，将其倾斜时可顺利前行，多次测试后发现当侧面绕顶点B旋转倾斜时前行最为省力，此时行李箱的侧面为矩形． 数学建模：建立如图所示的平面直角坐标轴，矩形的边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上，点B的坐标为．矩形的顶点恰好在x轴的正半轴上，交于点D． 问题解决： （1）点B关于原点O的对称点的坐标为　　　　　　． （2）求证：． （3）求边所在的直线与y轴的交点E的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵矩形绕顶点B旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点O的对称点的特征求解； （2）先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结论； （3）设，先证明，再列出比例式，代入相关数据求得，再设直线的表达式为，代入、两点坐标，求得直线的表达式，再求出它与轴的交点即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴点B关于原点O的对称点的坐标为 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ， ∵矩形绕顶点B旋转得到矩形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 由，得， 将代入， 得， 可得， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， 取，得， ∴边所在的直线与y轴的交点E的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，全等的性质和综合（），根据旋转的性质说明线段或角相等，求关于原点对称的点的坐标，利用两角对应相等判定相似，利用相似三角形的性质求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 综合与探究 如图1，内接于，点D在上，连接，交于点E，，． 猜想证明： （1）请判断的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图2，过点O作于点M，延长，交于点N．若，，求的长． （3）在（2）的条件下，P为平面内的一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1）是等边三角形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，从而可得，再利用圆周角定理得出，，从而可得是等边三角形； （2）先根据等边三角形的性质得出，再利用含有度角的直角三角形的性质求得，从而可求得，利用垂径定理求得，从而可结合等边三角形的性质求得； （3）先根据题意得出P在以为直径的圆上，并确定直线交圆于点P，如图，此时为最大，分别求出、相加即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵交于点E， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，P为平面内的一点， ∴P在以为直径的圆上， 作于点，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴就是以为直径的圆的圆心， ∴垂直平分， 直线交圆于点P，如图，此时为最大， ∴， 在中，， ∴， ∴(负值舍去)， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $