专题12 高二上学期期末复习真题精选（选必二全册常考70题14类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

专题12 高二上学期期末复习真题精选（选必二全册常考70题14类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求数列的通项或项（共5小题） 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【解答过程】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【解答过程】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解题思路】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【解答过程】，， ，即， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 题型2 数列的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用数列的函数性质，结合一元二次函数即可求解. 【解答过程】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据数列的单调性判断两命题之间的逻辑推理关系，即得答案. 【解答过程】若取，，那么，则数列为单调递增数列， 此时，则数列为单调递减数列， 所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”， 若取，，则， 显然数列是单调递增数列， 此时，数列是单调递减数列， 所以“数列为单调递增数列”不能推出“数列为单调递增数列”， 综上“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【解答过程】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【解答过程】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川南充·期末）已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据时求解即可； （2）由题意，进而可得的增减性，进而可得最小项. 【解答过程】（1）当时， ， 当时，，满足上式， 所以； （2） 当时，，即，所以； 当时，，即； 当时，，即，所以； 所以列中最小的项为． 题型3 等差数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，用公式求出，得到的通项公式 【解答过程】设等差数列的公差为, 因为， 所以, 解得, 则. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解答过程】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【解答过程】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【解答过程】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 题型4 等差数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可. 【解答过程】由等差数列的性质可知， ， 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（   ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【解题思路】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【解答过程】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】24 【解题思路】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以． 故答案为：24． 5．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求结论； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为， ． （2）∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为N*， 解得. 题型5 等比数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据等差中项可得，再结合等比数列通项公式运算求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，则， 即，且， 可得，即，解得或 又因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的公比，利用等比数列的定义化简等式，可得答案. 【解答过程】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为q， 则，可得， 解得，. 故选：B. 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再降次作差即可； （2）利用错位相减法即可. 【解答过程】（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式．即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）当时，， 则， ， 所以， 故. 题型6 等比数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【解题思路】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【解答过程】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【解答过程】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，， 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解题思路】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【解答过程】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）记为数列的前项和，若，则 ． 【答案】63 【解题思路】根据与的关系，先求得，进而根据等比数列的前项和公式可得. 【解答过程】当时，，得， 当时，，得， 故是以为首项，以为公比的等比数列，故， 故， 故答案为：. 5．（24-25高二上·海南·期末）在数列中，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）在已知递推式两边同时减1，即可构造出结果； （2）由（1）得，通过分组求和结合等比数列前项和公式即可得结果. 【解答过程】（1）由，得 又， 所以是首项为3，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得，即． 题型7 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解答过程】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【解题思路】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. 【解答过程】数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以数列的前5项之和为 . 故选：D. 4．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解题思路】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）把当时，当时，代入，化简求出，再根据等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【解答过程】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 题型8 变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平均变化率的定义即可求得. 【解答过程】由平均变化率定义得， 故选：C. 2．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解题思路】即求函数在时的导数值. 【解答过程】，则. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解题思路】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【解答过程】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D.    题型9 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【解答过程】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】因为函数在处可导， 所以 ， 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【解题思路】运用导数定义分析与导数定义的关系，得解. 【解答过程】导数的定义为. 对于，我们可以令，当时，. 那么. 而. 然后求函数的导数，可得. 得到. 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】 【解题思路】由解析式求出，代入即可求. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 题型10 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【解答过程】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【解答过程】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【解答过程】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即． 故函数在点处的切线方程为.      故选：B. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【解题思路】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【解答过程】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【解答过程】（1）由点在的图象上，得，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得， 所以的值为. 题型11 导数的四则运算（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【解答过程】由，即，即， 所以是常数， 当时，，所以， 当时，，得. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【解答过程】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 ． 【答案】 【解题思路】根据导数运算法则，结合赋值法，求得. 【解答过程】由，有， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用导数的运算法则及复合函数求导求解. 【解答过程】（1） ； （2） . 题型12 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 【解答过程】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B. 3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【解题思路】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【解答过程】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【解答过程】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 题型13 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【解题思路】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【解答过程】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值结合零点存在定理计算求解. 【解答过程】函数的定义域为，， 令，， 所以当时， ， 所以在单调递减，图象连续不断， 又因为，， 所以存在唯一，使得，所以， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间上存在极值， 所以的最大值为1， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【解答过程】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【解题思路】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【解答过程】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【解题思路】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【解答过程】（1）因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. （2）由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 题型14 函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【解答过程】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 【答案】 【解题思路】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【解答过程】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为：. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【解题思路】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）求得函数在上的单调性，再由极值定义计算可得结果. 【解答过程】（1）函数的导数为， 可得曲线在点处的切线的斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）令，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此为的极小值点，也是最小值点， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【解答过程】（1）由题意函数的定义域为， ， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时，；， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得，舍去； 综上所述，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 高二上学期期末复习真题精选（选必二全册常考70题14类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求数列的通项或项（共5小题） 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 题型2 数列的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的公比q大于0，前n项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高二上·四川南充·期末）已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． 题型3 等差数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 题型4 等差数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（   ） A．90 B．100 C．110 D．120 4．（24-25高二上·广东·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 5．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 题型5 等比数列的通项公式（共5小题） 1．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．9 B．36 C．54 D．72 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 题型6 等比数列的前n项和（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知为等比数列，且，则（   ） A．189 B．93 C．63 D．33 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）记为数列的前项和，若，则 ． 5．（24-25高二上·海南·期末）在数列中，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和． 题型7 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 4．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型8 变化率问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 题型9 利用导数的定义解题（共5小题） 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 题型10 曲线的切线方程（共5小题） 1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 ． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 题型11 导数的四则运算（共5小题） 1．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 ． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 题型12 导数中函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 题型13 函数的极值（点）问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 题型14 函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $