重难点专题14 导数的几何意义与切线问题五大题型（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题14 导数的几何意义与切线问题五大题型 重难点一求曲线上一点切线的方程 求曲线上一点切线的方程：先求函数在该点的导数（切线斜率），再用点斜式，若已知切线方程，可直接结合导数几何意义求参数或斜率。 1.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为(    ) A. B. C. D. 2.点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是． A. B. C. D. 3.如图，已知函数的图像在点处的切线为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为(    ) A. B. C. D. 5.过点的曲线的切线有条，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，其中是自然对数的底数． 若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值； 若的图象与直线相切，求实数的值． 7.已知函数． 求； 求曲线在点处的切线方程； 若直线与曲线相切于点，求的值． 重难点二求曲线外一点切线的方程 求曲线外一点切线的方程：设切点求导数得斜率，写出切线方程，将外点坐标代入方程，解出进而得到切线方程，注意可能有多个切点（多切线情况）。 1.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.过点能向曲线作切线的条数为(    ) A. B. C. D. 3.曲线在点处的切线方程为           ． 4.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则          ． 5.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的方程是           ． 6.已知直线是曲线和的一条公切线． 求实数，的值； 过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 7.已知，曲线在点处的切线方程为． 求实数的值； 若，求曲线过点的切线方程． 重难点三已知切线求参数 已知切线求参数：根据切线斜率等于函数在切点处的导数，结合切点既在曲线上也在切线上，列方程求解参数；若涉及距离最值，需利用 “平行切线时距离最小” 的性质。 1.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. B. C. D. 3.已知函数的图象在 处的切线方程为，则 (    ) A. B. C. D. 4.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知曲线上存在两条斜率为的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值(    ) A. B. C. D. 6.若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为           7.已知直线与曲线相切，则的值为            ． 重难点四公切线问题 公切线问题：设两曲线的切点，分别求出切线方程，利用两切线斜率相等、纵截距相等列方程组，转化为函数最值或方程有解问题求解。 1.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围为          ． 3.若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是           4.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是          ． 5.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则          ． 6.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则          ． 7.已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程：          ． 重难点五定义法求解导数切线的问题 定义法求解导数切线问题：利用导数定义凑出定义形式求切线斜率，再结合点斜式写切线方程。 1.函数存在导函数且满足，则上的点处的切线的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.曲线在点处切线为，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为(    ) A. B. C. D. 4.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是(    ) A. B. C. D. 5.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是(    ) A. B. C. D. 6.多选题直线与曲线相切于点，则(    ) A. B. C. D. 7.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是          ． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题14 导数的几何意义与切线问题五大题型 重难点一求曲线上一点切线的方程 求曲线上一点切线的方程：先求函数在该点的导数（切线斜率），再用点斜式，若已知切线方程，可直接结合导数几何意义求参数或斜率。 1.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求函数图象上一点处的切线斜率，属于基础题． 设函数，求出的之即可得到答案． 【解答】 解：设函数，则， 则， 故曲线在点处的切线斜率为． 2.点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质． 根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系，求出的范围即可． 【解答】 解：， ， 当时， 当时， ． 故选B． 3.如图，已知函数的图像在点处的切线为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义和求函数值． 数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算． 【解答】 解：由图像可得，切线过点和，切线斜率为，， 切线方程为，则切点坐标为，有， 所以． 故选：． 4.已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于一般题． 设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，利用切线过点求出，即可得切线方程． 【解答】 解：， 设切点为，可知切线斜率为， 则切线方程为． 因为切线过点，代入可得， 化简得，即解得或， 代入可得切线的方程为或． 故选BC． 5.过点的曲线的切线有条，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】解：设切点为，由题意得， 则切线的斜率， 故切线方程为， 因为切线过点，所以，化简得， 因为切线有条，所以，解得或， 所以选项A，符合． 故选：． 6.已知函数，其中是自然对数的底数． 若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值； 若的图象与直线相切，求实数的值． 【答案】解：函数的定义域为． 由及为偶函数，为奇函数， 得， 两式相加，解得， 因为函数的定义域为， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，函数的最小值为． 由条件得，设切点为， 则，即， 所以 令，则， 当时，，递减， 当时，，递增， 当时，， 又，所以， 所以． 7.已知函数． 求； 求曲线在点处的切线方程； 若直线与曲线相切于点，求的值． 【答案】解：，． 由可得，则切点坐标为， 又， 因此，曲线在点处的切线方程为，即． 直线过原点，则， 由点在曲线上，得，． 又，所以， 又，，整理得， ，，则．   重难点二求曲线外一点切线的方程 求曲线外一点切线的方程：设切点求导数得斜率，写出切线方程，将外点坐标代入方程，解出进而得到切线方程，注意可能有多个切点（多切线情况）。 1.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了求曲线外一点的切线方程，属于中档题． 设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得的范围． 【解答】 解：设切点为， ， 切线的斜率， 切线方程是， 切线过点， ，即， 过点可以作两条切线， 方程有两个不同的根， ，解得或． 故选：． 2.过点能向曲线作切线的条数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力． 注意点不在曲线上，所以必须单独设出切点．求函数的导数，设切点为，利用导数的几何意义，求切线方程，利用点在切线上，判定出切线条数即可． 【解答】 解：设切点为且， ， 切线斜率， 切线方程为， 又切线过， ，即 设 ，则， 在，上单调递增， 且时，，，，由零点存在定理知， 从而 在有且只有一个零点，方程只有一解， 从而过点能向曲线作切线的条数为， 故选B． 3.曲线在点处的切线方程为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程． 【解答】 解：因为，在曲线上， 所以， 所以， 则曲线在点处的切线方程为： ，即． 故答案为：． 4.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于中档题． 先利用导数求出在点处的切线方程为，设的切点为，由，得，即可得出、，从而得出的值． 【解答】 解：由得，则曲线在处的切线斜率， 则曲线在处的切线方程为，即． 设的切点为． 由，得，解得． 所以， 所以，解得或． 5.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的方程是           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求曲线外一点的切线方程，属于中档题． 求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义即可得到结论． 【解答】 解：， 函数的导数为， 设切点坐标为， 在处的切线方程为， 切线过点， ， 解得， 直线的方程为：． 即直线方程为． 故答案为：． 6.已知直线是曲线和的一条公切线． 求实数，的值； 过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】解：设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得． 又直线与曲线相切，，解得． 由得，， 设切点为，则曲线在点的切线方程为 ， 又切线过点，， 即方程有两个不相等的实数根，且 ，解得或或， 所以实数的取值范围为或或．  【解析】本题考查导数的几何意义，导数的应用，二次函数的性质，属较难题． 由条件得到，，联立解出，进而得到直线的方程， 再联立，由此求出． 由条件结合导数的几何意义得到有两个不相等的实数根，且，再根据二次函数的性质求出答案． 7.已知，曲线在点处的切线方程为． 求实数的值； 若，求曲线过点的切线方程． 【答案】解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即 解得． 由知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或． 重难点三已知切线求参数 已知切线求参数：根据切线斜率等于函数在切点处的导数，结合切点既在曲线上也在切线上，列方程求解参数；若涉及距离最值，需利用 “平行切线时距离最小” 的性质。 1.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得的范围． 【解答】 解：设，则的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，将直线平移到与面线相切时，切点到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，到直线的距离， 故，所以． 故选： 2.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，已知切线方程求参，属于基础题． 设出切点为，根据导数的几何意义得到，求得，，代入直线方程即可得结果． 【解答】 解：设直线与曲线的切点为， 由于直线斜率为， 又，所以，得， 所以， 则切点为， 代入直线方程，可得， 所以． 3.已知函数的图象在 处的切线方程为，则 (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查切线方程问题，属于基础题目． 根据导数的几何意义可得  ，从而可得 的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得 的值，即可求得答案． 【解答】 解：因为  ，所以  ． 又  的图象在 处的切线方程为  ， 所以  ，解得 ， 则  ，所以  ，切点为 代入切线方程得  ，解得  ，故 ． 故选：． 4.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有解， 即方程有解， 所以与有个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有个交点，则需． 故选：． 5.已知曲线上存在两条斜率为的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义和一元二次方程根的分布，考查运算能力，属于中档题． 求出导数，由题意可得有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到的取值范围，进而可得的可能取值． 【解答】 解：的导数为， 由题意可得，即有两个不相等的正根， 则，解得． 故选AC． 6.若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，点到直线的距离，属于基础题． 易知当切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，设出切点，根据导数的几何意义求出切点，计算切点到的距离，即可求出的最小值． 【解答】 解：当的切线与平行时，切点到直线的距离即为的最小值， 设切点为 ， 由得， 切线的斜率， 令，得， 切点为 ， 点到的距离为：， 即的最小值为． 故答案为：． 7.已知直线与曲线相切，则的值为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数求曲线上某点的切线方程，属于中档题． 欲求的大小，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程，最后与已知的切线方程比较，从而问题解决． 【解答】 解：因为，故， 因此曲线在切点处的切线的斜率等于， 令，解得， 将代入得， 即切点坐标为 其相应的切线方程是， 即直线， ， 解得． 故答案为：． 重难点四公切线问题 公切线问题：设两曲线的切点，分别求出切线方程，利用两切线斜率相等、纵截距相等列方程组，转化为函数最值或方程有解问题求解。 1.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的运用：求切线的方程，以及两直线重合的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 求得和的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，可得，的关系，整理化简可得所求和． 【解答】 解：的导数为，可得曲线在点处的切线方程为， 的导数为，可得在点处的切线的方程为， 由两条切线重合的条件，可得其斜率和纵截距分别相等，即，且， 则，即， 可得， 则． 故选：． 2.已知函数，若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了曲线的切线问题，考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，考查运算求解能力，属于中档题． 本题将两曲线有公切线问题转化成有解问题，通过讨论函数的单调性，求出函数的最值，进而求出的取值范围． 【解答】 解：设两曲线的公切线为，在上的切点为， 在上的切点为， 由题意可知，，， 所以的方程可表示为：，即， 而的方程还可表示为：，即， 所以，，所以， 两曲线有公切线，则上式有解，令， 则，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 故答案为：． 3.若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是           【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于较难题． 设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围． 【解答】 解：的导数为，的导数为， 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ， 化简可得，，得或， ，且，，则，即， 得， 设，则， 由可得由可得 在上递增，在上递减， ， 实数的取值范围为 4.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围． 【解答】 解：设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即． 正实数的取值范围是． 故答案为：． 5.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，属于拔高题． 先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】 解：设与和的切点分别为、； ， 函数的导数为，函数的导数为， ， ， 切线方程分别为，即为， 或，即为， ， 解得， ， 故答案为：． 6.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则          ． 【答案】  【解析】解：由，得， 当时，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 故答案为：． 7.已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两曲线的公切线问题，属于中档题． 设出公切线，分别设出切点，根据切点处函数值相等、导数值相等列方程，可得，构造函数求解的值，即可得解． 【解答】 解：设直线：，， 设与切于点，与切于点， 因为，， 由题意可得 解得， 令，， ， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，， 所以当时，， 时，的唯一一个根是， 故，此时， 故直线：． 故答案为：． 重难点五定义法求解导数切线的问题 定义法求解导数切线问题：利用导数定义凑出定义形式求切线斜率，再结合点斜式写切线方程。 1.函数存在导函数且满足，则上的点处的切线的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数的概念及导数的几何意义， 由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解． 【解答】 解： ， ， 即曲线在点处的切线的斜率是． 故选． 2.曲线在点处切线为，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义和导数的定义，属于基础题． 根据切点处的导数即为切线斜率，即可求得，代入所求即可． 【解答】 解：由已知得曲线在点处切线斜率为， 即， 则． 故选：． 3.已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数定义的应用，考查直线方程的求法，是基础题． 根据导数的定义可得，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】 解：由，得， 则函数在点处的切线的方程为， 即． 故选：． 4.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数的定义和几何意义，属于基础题． 由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解． 【解答】 解：， ， ， ，即曲线在点处的切线的斜率是． 故选A． 5.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题． 求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论． 【解答】 解：直线的斜率为， 由的导数为，即所有切线的斜率小于，故A不能选； 由的导数为，而，解得，故B可以选； 由的导数为，而有解，故C可以选； 由的导数为，而，解得，故D可以选． 故选：． 6.多选题直线与曲线相切于点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题主要考查导数的概念与几何意义，属于中档题． 先把点代入直线，可求得，再由导数的概念求得，再把点代入曲线方程，可求得以及，由选项可得答案． 【解答】 解：由题意，直线与曲线相切于点， 把点代入直线，可得， ， ， ，解得， 即， 把点代入得， 解得， 故． 故选ABC． 7.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数定义及几何意义，属于基础题． 依题意求出，再由导数的几何意义即可解题． 【解答】 解：因为 ， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为，即， 又，所以所求切线的倾斜角为． 故答案为． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $