专题十四 二次函数图象与性质 2026年中考数学一轮复习讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数图象与性质”专题，覆盖中考八大核心题型，从图象判断、性质应用到与几何变换、不等式结合，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”体系，通过2024-2025年各地中考真题精讲，帮助学生突破难点。 亮点在于“题型分层+素养导向”设计，如通过配方法分析顶点坐标培养运算能力，结合系数符号推理图象特征发展推理意识，设例题精讲、变式巩固、综合练习三级训练，助力学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

专题十四 二次函数图象与性质 【题型一】二次函数的图象 【例1】（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确． 【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 【变式1】（2025•开福区校级一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 【分析】根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为直线x＝a，顶点坐标为（a，a﹣a2），再分情况讨论，当a＞0时，当a＜0时，y1，y2的大小情况，即可解题． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线xa，顶点坐标为（a，a﹣a2）， 当a＞0时，0a， ∴a﹣a2＜y1＜a， 当a＜0时，a0， ∴a﹣a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意； 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，可能大于0也可能小于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（2025•黄埔区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a＜0，可知该函数图象开口向下，再根据左同右异，可知对称轴在y轴右侧，根据c＜0，可知图象与y轴交于负半轴，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＜0，c＞0， ∴该函数图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，与y轴交于正半轴， 故选：B． 【题型二】二次函数的性质 【例1】（2025•攀枝花）关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 【分析】先将题目中的解析式化为顶点式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线x＝3，故选项B错误，不符合题意； 与y轴的交点坐标为（0，﹣7），故选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（3，2），故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　1或　 ． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答． 【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3 ＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3 ＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， ∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3）， 把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得： ﹣3m2+5m+3＝3m+2， 整理得：3m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m1＝1，m2， 故答案为：m的值为1或， 故答案为：1或． 【变式1】（2025•哈尔滨）抛物线y4的顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）直接写出即可． 【解答】解：抛物线y4的顶点坐标是（3，4）， 故选：A． 【变式2】（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　﹣4≤y≤5　 ． 【分析】根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝4时，y＝（x﹣1）2﹣4＝5， ∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 【变式3】（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），得到0＝﹣c2+bc+c，再由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点，得到c≠0，从而得确定c﹣b＝1，若取b＝1，即可得到c＝2，从而确定函数表达式． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 【题型三】二次函数图象与系数的关系 【例1】（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 【例2】（2025•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④s+n＜﹣4；⑤当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为x＝2，可得：b＝﹣4a，又因为0＜m＜2，可知抛物线开口向上，所以a＞0，则有b＜0，由表格可知，当x＝0时，c＝m＝s＞0，所以可知abc＜0；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大，可得：y2＞y1；整理方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0，可得：|ax2+bx+c|＝s﹣1，因为抛物线有最小值n且n＜﹣4，所以当0≤x≤4时，|ax2+bx+c|＞4又因为 0＜s＝m＜2，所以当s＞1时，0＜s﹣1＜1，所以方程|ax2+bx+c|＝s﹣1有4个不相等的实数根；当s＝1时，方程可化为|ax2+bx+c|＝0此时方程有2个不相等的实数根；当s＜1时，s﹣1＜0，此时方程无实数根；因为当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3 时，9a+3b+c＝﹣4，解得：b＝﹣4a，c＝3a﹣4，所以可得：n＝﹣a﹣4，又因为s＝m＝c＝3a﹣4，所以可得：s+n＝2a﹣8，根据 c＝3a﹣4和0＜m＜2，可得不等式0＜3a﹣4＜2，从而可得：根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要y的最小值是1，则有t+2≤0或t≥4，从而可得：当y的最小值是1，时t＝﹣2或4． 【解答】解：∵当x＝1和x＝3时，均有y＝﹣4， ∴点（1，﹣4）和点（3，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax+c， 又∵当x＝0时，y＝c，由表格可知当x＝0时，y＝m， ∴c＝m， ∵0＜m＜2， ∴m＞﹣4， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0，c＞0，b＝﹣4a＜0， ∴abc＜0，故①正确； 由①可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∵|7﹣2|＝5，|﹣2﹣2|＝4， ∴5＞4， ∵开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大， ∴y2＞y1故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∴（0，m）与（4，s）关于对称轴对称， ∴m＝s，由①可知m＝c， ∴m＝s＝c， ∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s﹣1＜1，把方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0整理得：|ax2+bx+c|＝s﹣1， ∴|ax2+bx+c|＝s﹣1有4个根； 当s＝1时，方程为|ax2+bx+c|＝0， ∴方程有2个根；当s＜1时，s﹣1＜0，则有|ax2+bx+c|＝s﹣1＜0， ∴方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0无实根，故③错误； ∵x＝2时，n＝4a+2b+c，当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3时，9a+3b+c＝﹣4，可得b＝﹣4a，c＝3a﹣4， ∴n＝4a+2b+c＝﹣a﹣4，s＝m＝c＝3a﹣4， ∴s+n＝2a﹣8， ∵0＜m＜2， ∴0＜3a﹣4＜2，解得：， ∴，故④正确； ∵当m＝1时，m＝c＝s＝1，此时抛物线过点（0，1），（4，1），抛物线y＝ax2+bx+1与y＝1交于点（0，1），（4，1）， ∵t≤x≤t+2时最小值为1， ∴t+2≤0或t≥4，当t+2≤0时，t≤﹣2， ∴t＝﹣2或t＝4，与结论t＝2不符合，故⑤错误． 综上所述，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 【变式1】（2025•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a＜0，c＞0，进而可判断b＞0，即可判断结论①； 当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，可判断结论②； 根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案． 【解答】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①正确； 由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C． 【变式2】（2025•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．ab＜0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程ax2+bx+1＝0没有实数根 D．该函数的最大值不小于﹣3 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标以及判别式等知识，对每一项逐一分析判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小， ∴图象开口向下，对称轴不在y轴的右侧， ∴0，a＜0， ∴b≤0， ∴ab≥0，故A选项错误，不合题意； ∵对称轴不在y轴的右侧， ∴该函数图象的顶点不在y轴的右侧，故选项B错误，不合题意； ∵b≤0，a＜0， ∴b2﹣4a＞0， ∴方程ax2+bx+1＝0中，Δ＝b2﹣4a＞0， ∴方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，故选项C错误，不合题意； ∵抛物线开口向下，交y轴于点（0，﹣3）， ∴函数的最大值y≥﹣3，选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且2， ∴点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A、E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得， 解得a； 当抛物线过A、E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得， 解得a， 当抛物线过A、E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得， 解得a， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，，，不可能为， 故选：C． 【题型四】二次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【变式1】（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2，故C选项的结论错误； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2，故D选项的结论错误； 故选：A． 【变式2】（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 【变式3】（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 【题型五】二次函数图象与几何变换 【例1】（2024•包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1． 将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3， 故选：A． 【变式1】（2024•南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2） 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题． 【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， 所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）． 故选：D． 【变式2】（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为y＝3x2﹣2　 ． 【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可． 【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， 故答案为：y＝3x2﹣2． 【变式3】（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1，则可设二次函数为y＝a（x+1）2+k，结合图象过（0，﹣2），（1，1），可得﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k，进而求出a，k后即可判断得解； （2）依据题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，可得顶点坐标为（﹣1，﹣3），进而可以作图得解； （3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3，故此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2+3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 【题型六】二次函数的三种形式 【例1】（2025•金湖县一模）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝（x2﹣4x+4）+3﹣4， ＝（x﹣2）2﹣1， 即y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 【变式1】（2025•鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 【变式2】（2025秋•山阳县期中）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】把y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，即可得到答案． 【解答】解：y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）＝x2﹣6x+9﹣2x2﹣2x＝﹣x2﹣8x+9， 即y＝﹣x2﹣8x+9， 则二次项系数是﹣1，一次项系数是﹣8，常数项是9． 【题型七】抛物线与x轴的交点 【例1】（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•青岛）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2x﹣3，可得其图象与y轴交于（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，进而可得新函数图象与y轴的交点为（0，3），再结合函数的图象逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3． ∴其图象与y轴交于（0，﹣3）． 又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方， ∴新函数图象与y轴的交点为（0，3），故A错误． ∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值， ∴B选项错误． 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或x＝﹣1， ∴函数图象与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）． ∴图象与x轴两个交点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，故C正确． 由题意，∵原函数为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴新函数为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）． ∴函数的对称轴是直线x＝1． ∴结合函数图象可得，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 【变式2】（2025•乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2； ②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|； ④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2+4x+m可得a＝1＞0，从而图象开口向上．对称轴为直线，进而结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2+4x+m， ∴a＝1＞0． ∴图象开口向上． 又∵b＝4， ∴对称轴为直线，故①正确． ∵二次函数为y＝x2+4x+m， ∴Δ＝16﹣4m． ∴当m＜4时，4m＜16，即Δ＝16﹣4m＞0． ∴此时二次函数的图象与x轴有两个交点，故②正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵对称轴是直线x＝﹣2， ∴当y1＜y2时，|x1+2|＜|x2+2|，故③错误． 由题意，令x2+4x+m＝2x﹣1，即x2+2x+m+1＝0， ∴Δ＝4﹣4m﹣4＝﹣4m＞0． ∴m＜0． 又设方程x2+2x+m+1＝0的两个根为x3，x4， ∴x3+x4＝﹣2，x3x4＝m+1． 又∵函数y＝x2+2x+m+1的对称轴是直线x＝﹣1， ∴要使在x≥﹣2时有两个交点，故当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+2×（﹣2）+m+1＝4﹣4+m+1＝m+1≥0． ∴m≥﹣1． ∴﹣1≤m＜0，故④正确． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 【变式3】（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 【题型八】二次函数与不等式（组） 【例1】（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+cx+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误． ∵抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a，a， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴﹣bc﹣c＞0， ∴﹣2b﹣3c＞0， ∴2b+3c＜0， ∴③正确． 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2x+c， 由图知，y1＜y2时，0＜x＜2， 故④正确． 故选：C． 【变式1】（2025•德阳）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx+c（k，c是常数，k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc＜0；②3a+b＞0；③点A′是点A关于直线x的对称点，则3＜AA′＜4；④当x2＝4时，不等式ax2+（b﹣k）x＜0的解集为0＜x＜4．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】依据题意，由抛物线过点（1，0）和（m，0）（2＜m＜3），则对称轴为直线x，结合抛物线与直线y＝kx+c过（0，c），且交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧），可得x1＝0，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线过点（1，0）和（m，0）（2＜m＜3）， ∴对称轴为直线x． 又∵2＜m＜3， ∴1.52． ∴1.52． ∴34． ∴． ∴1． ∵a+b+c＝0， ∴10． ∴bc＜0，故①正确． ∵对称轴是直线x， ∴b＝﹣a（1+m）． ∴3a+b＝3a﹣a（1+m）＝a[3﹣（1+m）]＝a（2﹣m）． ∵2＜m＜3， ∴2﹣m＜0． 又∵a＞0， ∴3a+b＜0，故②错误． 由题意，第一种情形，若A为（0，c）， ∵点A的横坐标为x1＝0，对称轴为直线， ∴对称点A'的横坐标为2.， ∴两点横向距离为1+m﹣0＝1+m， ∵2＜m＜3， ∴3＜1+m＜4，即3＜AA'＜4． 第二种情形，若B为（0，c）， ∴AA'＞4，故③错误． 由题意，当x2＝4时，联立方程解得， ∴b＝k﹣4a． 又∵ax2+（b﹣k）x＜0， ∴ax（x﹣4）＜0． 又∵a＞0， ∴0＜x＜4，故④正确． 故选：B． 【变式2】（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】依据题意，由抛物线的图象开口向上，图象与y轴交于负半轴，及与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴当x＝0，则y＝c＜0． 又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴1＜﹣1+x1＜2． ∴1． ∴对称轴是直线x0． ∴b＜0． ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c． ∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0． ∴2a+c＜0，故②正确． ∵1，且对称轴是直线x0， ∴1． ∵a＞0， ∴a＜﹣b＜2a． ∴2a+b＞0． ∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0． ∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误． 由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）． ∵当x＝0时，y＝c， ∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称． 如图所示， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确． 由题意，∵yx+c过（0，c），（x1，0）， ∴可以作图如下． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是x＜0或x＞x1，故⑤错误． 综上，正确的有①②④共3个． 故选：B． 【变式3】（2025•新余校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　） A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2 【分析】由图可知，抛物线和y轴的交点为（0，3），对称轴为直线x＝1，故当x2或x＝2时，y＝3，据此可得出结论． 【解答】解：由抛物线和y轴的交点为（0，3），对称轴为直线x＝1， 故当x＝0或x＝2时，y＝3， 故不等式ax2+bx+c＜3的解集为：x＜0或x＞2． 故选：D． 【课后练习】 1．（2025•银川一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：A． 2．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【分析】由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间，根据对称性可知对称轴，故b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误；当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误；观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误；由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0，故4b+4a＜0①，把点（2，0）代入抛物线中，可得4a＝﹣2b﹣c，再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 3．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 【分析】根据图象判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a＞0， ∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且x1≠x2， ∴， ∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称， ∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|， ∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．（2025•绥化）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0； ②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根； ③b＜﹣2； ④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，a＞0，则b＝﹣2a，当x＝﹣1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线 y＝5的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上， ∴对称轴直线为， ∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点， ∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3， ∴当x＝0，y＝c＝m， ∴﹣4＜c＜﹣3， ∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，， ∴ 解得，故③正确； 当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a， ∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A． 5．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】首先由抛物线开口向上得到a＞0，然后由对称轴得到b＞0，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到c＜0，即可判断①；由对称轴为直线 得到，然后将A（2，0）代入抛物线得到4a+2b+c＝0，代入得到c＝﹣3b，然后根据﹣3＜c＜﹣2得到﹣3＜﹣3b＜﹣2，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将x＝﹣2代入抛物线得到y＝﹣4b，求出ED＝4b，然后求出AE＝4，得得到∠ACD＝∠CAD＜45°，即可判断③；分别将和b＝1代入方程ax2+（b﹣2）x+c＝0 整理求出和x＝﹣2或6，进而求解即可． 【解答】解∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∵A（2，0）在抛物线上， ∴4a+2b+c＝0， ∴b+2b+c＝0， ∴c＝﹣3b， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3b＜﹣2， ∴b＜1，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c， 将c＝﹣3b代入得，y＝﹣4b， ∴ED＝4b， ∵， ∵对称轴为直线x＝﹣2，A（2，0）， ∴AE＝4， ∴， ∴∠CAD＜45°， ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＜45°， ∴∠ADC＞90°， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵， ∴当时，，c＝﹣3b＝﹣2， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得， ∴当b＝1时，，c＝﹣3b＝﹣3， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得x＝﹣2或6； ∵方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1x2（x1＜x2）， ∴﹣2＜x1＜4﹣2，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 6．（2025•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a＜0，b＞0，c＞0，可得①符合题意； 结合当x＝1时，n＝a+b+c最大，当x＝m时，y＝am2+bm+c，可得②不符合题意； 由，a﹣b+c＞0，可得3b＜2c，可得③符合题意； 由PH＝tan60°•AH，记A，B的横坐标分别为x1，x2，可得，结合n＝a+b+c＝c﹣a，可得a（a﹣c）＝3，可得④符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵顶点P的坐标为（1，n）， ∴当x＝1时，n＝a+b+c最大， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴为直线x＝1， ∴，a﹣b+c＞0， ∴，， ∴3b＜2c，故③符合题意； 如图，△PAB为等边三角形， ∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°， ∴PH＝tan60°•AH， 记A，B的横坐标分别为x1，x2， ∴n（x2﹣1）（1﹣x1）， ∴2n， 当y＝ax2+bx+c＝0，则x1+x22，， ∴， ∴， ∵n＝a+b+c＝c﹣a， ∴， ∴a（a﹣c）＝3， ∴，故④符合题意； 故选：D． 7．（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是　①②⑤　 （写出所有正确结果的序号）． ①a； ②2a+b； ③c； ④b2﹣4ac； ⑤a﹣b+c． 【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号． 【解答】解：由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0； 由图示知，对称轴x1，故2a+b＜0； 由图示知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0； 由图示知，抛物线与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0． 由图示知，当x＝﹣1时，抛物线在x轴的下方， ∴y＝a﹣b+c＜0， 综上所述，代数式的值为负数的是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 8．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为； ④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2． 其中，所有正确结论的序号为 　②③④　 ． 【分析】根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，O'A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出O'A的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【解答】解：由图象和题意可知：a＞0，， 当x＝0时，y＝c＝2， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0，abc＞0；故①错误， 当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c， ∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2， ∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确； 作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A， 则：O'（﹣2，0）， ∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长， ∵A（0，2）， ∴， ∴OP+AP的最小值为，故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0， ∴， ∴点（x2，y2）离对称轴远， ∴y1＜y2，故④正确； 故答案为：②③④． 9．（2024•凉山州）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，求出（，y3）关于直线x＝1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y（x﹣1）2+c， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（，y3）， ∵﹣20＜1， ∴y1＞y3＞y2， 故选：D． 10．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　3　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）求出x＝0时，函数的函数值，得到B点坐标，即可得出结果； （2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把D点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知B（0，3）， ∴OB＝3； 故答案为：3； （2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴点B向下平移3个单位， ∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同， ∵点C′的纵坐标为﹣2， ∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1； ∵点C在线段AB上，即点C在直线上， ∴当时，， ∴； （3）∵B（0，3），， ∴，把B（0，3）代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1）， ∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立， ∴m+1＜1或m≥3， ∴m＜0或m≥3． 11．（2024•甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】依据题意，由函数图象与y轴交于负半轴，则当x＝0时，y＝c＜0，故可判断①；又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0，进而8a+4b＝0，则b＝﹣2a，从而对称轴是直线x1＞0，故可判断②；依据题意，当x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，进而可以判断③． 【解答】解：由题意，∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确． 又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0， ∴8a+4b＝0． ∴b＝﹣2a． ∴对称轴是直线x1＞0，故②正确． 由题意，∵x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确． 故选：D． 12．（2025•哈尔滨）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　4　 ． 【分析】利用待定系数法确定抛物线解析式，然后利用该抛物线解析式求得点A、B的坐标，继而根据两点间的距离公式求得答案． 【解答】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，得c＝﹣3． 令y＝x2﹣2x﹣3＝0． 解得x1＝3，x2＝﹣1． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 13．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　4　 ． 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的对称轴是直线x1． ∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0）， ∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 14．（2024•长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 c　 ． 【分析】依据题意，由抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，从而Δ＝1﹣4c＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点， ∴Δ＝1﹣4c＜0． ∴c． 故答案为：c． 15．（2024•新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　（4，1）　 ． 【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标． 【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B， 在中，令x＝0，则y＝6， ∴点A（0，6）， 令y＝0，则， 解得x＝2或x＝6， ∴点B（2，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x4， ∴A′（8，6）， ∴A″（8，3）， 设直线A″B的解析式为y＝kx+b， 代入A″、B的坐标得， 解得， ∴直线A″B的解析式为yx﹣1， 当x＝4时，y＝1， ∴C（4，1）． 故答案为：（4，1）． 16．（2025•雨花区校级三模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【分析】由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3，即可得不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 【解答】解：ax2+（b﹣m）x+c＞n， 即ax2+bx+c＞mx+n． 由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3， ∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 故选：C． 17．（2025•泉州模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，c）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，则下列判断正确的是（　　） A．不存在实数a，使得y1﹣y2＞0 B．存在实数a，使得a（y1﹣y2）＞0 C．无论非零实数a为何值，都有y1﹣y2＞0 D．无论非零实数a为何值，都有a（y1﹣y2）＜0 【分析】先利用抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）和C点坐标得到抛物线对称轴为直线x＝1，再利用已知条件得到1﹣x1﹣1＜x2﹣1，所以点A到直线x＝1的距离小于点B到直线x＝1的距离，根据二次函数的性质，当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）， ∵抛物线经过C（2，c）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵x1﹣x2＜0，x1+x2＞2， ∴1﹣x1＜x2﹣1， ∴点A到直线x＝1的距离小于点B到直线x＝1的距离， 当a＞0时，y1＜y2；所以A选项不符合题意； 当a＜0时，y1＞y2，所以C选项不符合题意； ∴a（y1﹣y2）＜0，所以B选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 18．（2025•清远一模）如图所示，一次函数y1＝kx+m（k＞0）的图象与二次函数y2＝ax2+bx+c（a＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3．则x＝1时，y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【分析】根据图象可得x＝1时，直线在抛物线上方，进而求解． 【解答】解：由图象可得x＝1时，直线在抛物线上方， ∴y1＞y2， 故选：A． 19．（2025•福州校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①3a+b＜0；②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．可得b＝﹣2a，则3a+b＝a，由a＞0或a＜0，故①不符合题意；由顶点坐标为：（1，a+b+c），即（1，c﹣a），可得过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；当a＞0，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．可得抛物线与x轴的另一个交点为：（3，0）；把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向左平移1个单位长度可得抛物线y＝a（x+1）2+b（x+1）+c（a≠0）；再结合函数图象可得关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；故③符合题意；当a＜0，实数时，，|t﹣1|＜|t﹣2|，如图，可得点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）中点P（t，y1）与对称轴的距离较近，可得y1＞y2．故④符合题意；从而可得答案． 【解答】解：由题意可得： 对称轴为直线x＝1． ∴， ∴b＝﹣2a，则3a+b＝3a﹣2a＝a， ∵a＞0或a＜0，故①不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1． ∴顶点坐标为：（1，a+b+c），即（1，c﹣a）， ∴过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意； 当a＞0，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． ∴抛物线与x轴的另一个交点为：（3，0）； ∴把抛物线向左平移1个单位长度可得抛物线y＝a（x+1）2+b（x+1）+c（a≠0）； 如图， 而ax2+bx+c＜c的解集为：0＜x＜2， ∴y＝a（x+1）2+b（x+1）+c＜c的解集为：﹣1＜x＜1， 即关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；故③符合题意； 当a＜0，实数时，，如图， ∴点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）中点P（t，y1）与对称轴的距离较近， ∴y1＞y2．故④符合题意； 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十四 二次函数图象与性质 【题型一】二次函数的图象 【例1】（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确． 【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 【变式1】（2025•开福区校级一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 【变式3】（2025•黄埔区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【题型二】二次函数的性质 【例1】（2025•攀枝花）关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 【分析】先将题目中的解析式化为顶点式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线x＝3，故选项B错误，不符合题意； 与y轴的交点坐标为（0，﹣7），故选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（3，2），故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　1或　 ． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答． 【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3 ＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3 ＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， ∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3）， 把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得： ﹣3m2+5m+3＝3m+2， 整理得：3m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m1＝1，m2， 故答案为：m的值为1或， 故答案为：1或． 【变式1】（2025•哈尔滨）抛物线y4的顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【变式2】（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ． 【变式3】（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 　 ．（写出一个即可） 【题型三】二次函数图象与系数的关系 【例1】（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 【例2】（2025•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④s+n＜﹣4；⑤当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为x＝2，可得：b＝﹣4a，又因为0＜m＜2，可知抛物线开口向上，所以a＞0，则有b＜0，由表格可知，当x＝0时，c＝m＝s＞0，所以可知abc＜0；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大，可得：y2＞y1；整理方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0，可得：|ax2+bx+c|＝s﹣1，因为抛物线有最小值n且n＜﹣4，所以当0≤x≤4时，|ax2+bx+c|＞4又因为 0＜s＝m＜2，所以当s＞1时，0＜s﹣1＜1，所以方程|ax2+bx+c|＝s﹣1有4个不相等的实数根；当s＝1时，方程可化为|ax2+bx+c|＝0此时方程有2个不相等的实数根；当s＜1时，s﹣1＜0，此时方程无实数根；因为当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3 时，9a+3b+c＝﹣4，解得：b＝﹣4a，c＝3a﹣4，所以可得：n＝﹣a﹣4，又因为s＝m＝c＝3a﹣4，所以可得：s+n＝2a﹣8，根据 c＝3a﹣4和0＜m＜2，可得不等式0＜3a﹣4＜2，从而可得：根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要y的最小值是1，则有t+2≤0或t≥4，从而可得：当y的最小值是1，时t＝﹣2或4． 【解答】解：∵当x＝1和x＝3时，均有y＝﹣4， ∴点（1，﹣4）和点（3，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax+c， 又∵当x＝0时，y＝c，由表格可知当x＝0时，y＝m， ∴c＝m， ∵0＜m＜2， ∴m＞﹣4， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0，c＞0，b＝﹣4a＜0， ∴abc＜0，故①正确； 由①可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∵|7﹣2|＝5，|﹣2﹣2|＝4， ∴5＞4， ∵开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大， ∴y2＞y1故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∴（0，m）与（4，s）关于对称轴对称， ∴m＝s，由①可知m＝c， ∴m＝s＝c， ∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s﹣1＜1，把方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0整理得：|ax2+bx+c|＝s﹣1， ∴|ax2+bx+c|＝s﹣1有4个根； 当s＝1时，方程为|ax2+bx+c|＝0， ∴方程有2个根；当s＜1时，s﹣1＜0，则有|ax2+bx+c|＝s﹣1＜0， ∴方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0无实根，故③错误； ∵x＝2时，n＝4a+2b+c，当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3时，9a+3b+c＝﹣4，可得b＝﹣4a，c＝3a﹣4， ∴n＝4a+2b+c＝﹣a﹣4，s＝m＝c＝3a﹣4， ∴s+n＝2a﹣8， ∵0＜m＜2， ∴0＜3a﹣4＜2，解得：， ∴，故④正确； ∵当m＝1时，m＝c＝s＝1，此时抛物线过点（0，1），（4，1），抛物线y＝ax2+bx+1与y＝1交于点（0，1），（4，1）， ∵t≤x≤t+2时最小值为1， ∴t+2≤0或t≥4，当t+2≤0时，t≤﹣2， ∴t＝﹣2或t＝4，与结论t＝2不符合，故⑤错误． 综上所述，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 【变式1】（2025•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．ab＜0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程ax2+bx+1＝0没有实数根 D．该函数的最大值不小于﹣3 【变式3】（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【题型四】二次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【变式1】（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【变式2】（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【变式3】（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【题型五】二次函数图象与几何变换 【例1】（2024•包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1． 将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3， 故选：A． 【变式1】（2024•南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2） 【变式2】（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为 　 ． 【变式3】（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【题型六】二次函数的三种形式 【例1】（2025•金湖县一模）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝（x2﹣4x+4）+3﹣4， ＝（x﹣2）2﹣1， 即y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 【变式1】（2025•鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 【变式2】（2025秋•山阳县期中）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【题型七】抛物线与x轴的交点 【例1】（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•青岛）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【变式2】（2025•乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2； ②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|； ④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【题型八】二次函数与不等式（组） 【例1】（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+cx+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025•德阳）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx+c（k，c是常数，k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc＜0；②3a+b＞0；③点A′是点A关于直线x的对称点，则3＜AA′＜4；④当x2＝4时，不等式ax2+（b﹣k）x＜0的解集为0＜x＜4．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2025•新余校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　） A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2 【课后练习】 1．（2025•银川一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 3．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 4．（2025•绥化）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0； ②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根； ③b＜﹣2； ④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 7．（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是　 　 （写出所有正确结果的序号）． ①a； ②2a+b； ③c； ④b2﹣4ac； ⑤a﹣b+c． 8．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为； ④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2． 其中，所有正确结论的序号为 　 　 ． 9．（2024•凉山州）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 10．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 11．（2024•甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（2025•哈尔滨）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　 　 ． 13．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　 ． 14．（2024•长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 ． 15．（2024•新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　 　 ． 17．（2025•雨花区校级三模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 18．（2025•泉州模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，c）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，则下列判断正确的是（　　） A．不存在实数a，使得y1﹣y2＞0 B．存在实数a，使得a（y1﹣y2）＞0 C．无论非零实数a为何值，都有y1﹣y2＞0 D．无论非零实数a为何值，都有a（y1﹣y2）＜0 19．（2025•清远一模）如图所示，一次函数y1＝kx+m（k＞0）的图象与二次函数y2＝ax2+bx+c（a＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3．则x＝1时，y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 20．（2025•福州校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①3a+b＜0；②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $