专题03 圆中重要模型之阿基米德折弦定理（几何模型讲义）数学湘教版九年级下册

该初中数学专题复习讲义通过知识框架图系统梳理阿基米德折弦定理的核心内容，包括定理定义、四种证明方法（截长法、补短法、垂线法、辅助圆法）及逆定理推论，清晰呈现“定理-证明-应用”的逻辑脉络，标注重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“情境-探究-应用”的递进设计，以阿基米德调试琴弦的历史故事引入，结合剧院穹顶、航海航线等实例培养数学眼光，精选2025年广东清远一模等真题，用截长法等引导逻辑推理发展数学思维，配备证明思路图和易错点标注，助力分层教学与学生自主复习。

专题03 圆中重要模型之阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理是古希腊数学家阿基米德提出的几何学定理，属于平面几何领域的基本定理之一。该定理指出：在圆中，若由两条不等长弦组成的折弦所对弧中点在较长弦上的垂足，即为折弦的中点。典型表述为AB和BC构成折弦且AB>BC时，弧ABC中点M向AB作垂线MF，则AF=BF+BC；或当BC>AB时，垂足D满足CD=AB+BD。 定理的常规证明方法包括补短法、截长法和垂线法三种推导路径。该定理延伸出两个涉及弦长平方差的推论，并存在两条关于垂足位置与弧中点关系的逆定理。 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 6 模型运用 6 模型 阿基米德折弦定理 6 17 公元前 240 年的叙拉古，地中海的暖风穿过大理石浴场的廊柱。阿基米德刚泡完澡，正用亚麻布擦拭身体，耳边突然传来一阵断断续续的琴声 —— 浴场角落，乐师阿里斯正在调试七弦琴，可无论他怎么调整琴弦，总有一段旋律显得生硬刺耳。​ “阿里斯，你的琴弦断了吗？” 阿基米德走过去问道。乐师苦笑着指了指琴弦：“伟大的学者，您看这根低音弦，我把它固定在琴码上时，不小心折了一下，现在它不是完整的直线，而是两段折线，可弹出的音总比预期低半音。”​ 阿基米德盯着琴弦陷入沉思：琴弦固定在琴头 A 和琴尾 B 两个点上，中间被琴码 C 压出一个折角，形成了 “AC+CB” 的折线。他突然意识到，这根 “折弦” 在琴身（可看作一个圆弧面）上的位置，或许藏着圆的奥秘 —— 如果把琴身的圆弧看作完整的圆周，那么折弦 ACB 和对应的直弦 AB 之间，会不会有某种定量关系？​ 当天下午，阿基米德带着沙盘来到海边，在沙滩上画了一个大圆，又在圆上取了 A、B、C 三点，让 AC 和 CB 组成一段 “折弦”（C 点不在 AB 的同弧上）。他用圆规量取 AC 和 CB 的长度，又测量了折弦中点到 AB 的距离，反复推演后突然眼前一亮：​ 他在圆上找到弧 AB 的中点 D，连接 AD、BD，发现从 D 点向折弦 ACB 作垂线，垂足恰好是折弦的中点！更神奇的是，AD 的长度竟然等于 AC+CB—— 就像把折弦 ACB “拉直” 后，刚好和 AD 等长。​ “这太奇妙了！” 阿基米德兴奋地在沙地上写下结论：如果圆上有一段折弦 ACB，弧 AB 的中点为 D，那么从 D 向折弦作垂线，垂足必为折弦中点，且 AD=AC+CB。旁边的学生打趣道：“老师，这简直像给折弦施了魔法，把两段线变成了一条等长的弦！”​ 阿基米德或许没想到，他当年从琴弦上发现的定理，会在千年后不断印证生活中的智慧。现代建筑中，很多弧形屋顶的支撑结构会采用 “折弦” 设计 —— 比如某个剧院的穹顶，用三段钢结构组成折弦，而弧顶的中点到折弦的支撑点，恰好是折弦的中点，既符合力学稳定，又暗合折弦定理。​ 更有趣的是，在航海领域，当船只需要绕过暗礁群（可看作圆上的 C 点），从 A 港到 B 港的航线形成折弦 ACB 时，船员会根据弧 AB 的中点 D 来确定最短绕行距离，而 D 点到航线的垂直距离，刚好能精准定位折弦的中点，避免触礁风险。​ 就像阿基米德当年从一根不完美的折弦中发现完美的几何规律，生活中那些看似 “弯折” 的困境，往往也藏着最优解的密码 —— 这或许就是数学模型最动人的地方：从具象的趣事中来，到广阔的生活中去，跨越千年依然闪耀着理性的光芒。​ （2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解； （2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。 常见证明方法： 1）截长法：如图，在AD上取一点E，使AE=BC 2）补短法：延长AB至点E，使BE=BC 3）垂线法：过点M作BC垂线交BC延长线于点E 4）作辅助圆法：连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE 模型 阿基米德折弦定理 例1（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米 【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案； （3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可． 【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为， 故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．        ． 设，则， 由，得，即， ∴， ， ． 即面积的最小值为 （3）过点作于点于点， ∵平分， ∴． 又， ． 米，，， 为等腰直角三角形， ∴米， （平方米）， 平方米． 在上截取，连接，如图．    ， ， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ， ， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则， ∴． 设，则． 由，得，解得， 米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键． 例2（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等边三角形的性质，阿基米德折弦定理，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质以及阿基米德折弦定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 例3（2023·重庆·模拟预测）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 例4（24-25九年级上·山西阳泉·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据圆的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得，。再根据直角三角形的全等和判定，得，推出，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，，根据，于点，，得；由题意得，，则折弦的长为：，即可． 【详解】（1）∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵和所对的弧是， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴折弦的长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆，全等三角形，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，掌握折弦定理的运用． 1．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 2．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等边三角形的性质，阿基米德折弦定理，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质以及阿基米德折弦定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴， ∴， 而， ∴点E为弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60． 4．（2021·河南洛阳·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点 ∴ … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据题意证明，得，再证明得。进一步可得结论； （2）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，结合已知即可证明△ABF≌△ACD，可得AF=AD，再根据等腰三角形的性质可得CD+DE=BE，进而由求出BE的长，再求的周长即可． 【详解】解：（1）证明：∵是的中点 ∴ ∵，AE=CF ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD， 根据题意得，AB=AC，, 在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌△ACD ∴AF=AD ∵AE⊥BD ∴FE=DE ∴CD+DE=BF+FE=BE ∵ ∴ ∴BD+CD=2BE= ∵是等边三角形，且AB=BC=6 ∴的周长为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆的有关知识的综合运用，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 5．（2024九年级下·广东·学业考试）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】；；；． 【变式探究】． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，过点M作垂足为D，求证：．（阿基米德折弦定理） 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，在上截取，连接，，，，由题意可得，由圆周角定理可得，从而得出，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2023·河南商丘·二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： (1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答； （2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接， ∵是的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ； （2）证明：在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取，连接，，和，可证明 得到进一步则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中重要模型之阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理是古希腊数学家阿基米德提出的几何学定理，属于平面几何领域的基本定理之一。该定理指出：在圆中，若由两条不等长弦组成的折弦所对弧中点在较长弦上的垂足，即为折弦的中点。典型表述为AB和BC构成折弦且AB>BC时，弧ABC中点M向AB作垂线MF，则AF=BF+BC；或当BC>AB时，垂足D满足CD=AB+BD。 定理的常规证明方法包括补短法、截长法和垂线法三种推导路径。该定理延伸出两个涉及弦长平方差的推论，并存在两条关于垂足位置与弧中点关系的逆定理。 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 6 模型运用 6 模型 阿基米德折弦定理 6 17 公元前 240 年的叙拉古，地中海的暖风穿过大理石浴场的廊柱。阿基米德刚泡完澡，正用亚麻布擦拭身体，耳边突然传来一阵断断续续的琴声 —— 浴场角落，乐师阿里斯正在调试七弦琴，可无论他怎么调整琴弦，总有一段旋律显得生硬刺耳。​ “阿里斯，你的琴弦断了吗？” 阿基米德走过去问道。乐师苦笑着指了指琴弦：“伟大的学者，您看这根低音弦，我把它固定在琴码上时，不小心折了一下，现在它不是完整的直线，而是两段折线，可弹出的音总比预期低半音。”​ 阿基米德盯着琴弦陷入沉思：琴弦固定在琴头 A 和琴尾 B 两个点上，中间被琴码 C 压出一个折角，形成了 “AC+CB” 的折线。他突然意识到，这根 “折弦” 在琴身（可看作一个圆弧面）上的位置，或许藏着圆的奥秘 —— 如果把琴身的圆弧看作完整的圆周，那么折弦 ACB 和对应的直弦 AB 之间，会不会有某种定量关系？​ 当天下午，阿基米德带着沙盘来到海边，在沙滩上画了一个大圆，又在圆上取了 A、B、C 三点，让 AC 和 CB 组成一段 “折弦”（C 点不在 AB 的同弧上）。他用圆规量取 AC 和 CB 的长度，又测量了折弦中点到 AB 的距离，反复推演后突然眼前一亮：​ 他在圆上找到弧 AB 的中点 D，连接 AD、BD，发现从 D 点向折弦 ACB 作垂线，垂足恰好是折弦的中点！更神奇的是，AD 的长度竟然等于 AC+CB—— 就像把折弦 ACB “拉直” 后，刚好和 AD 等长。​ “这太奇妙了！” 阿基米德兴奋地在沙地上写下结论：如果圆上有一段折弦 ACB，弧 AB 的中点为 D，那么从 D 向折弦作垂线，垂足必为折弦中点，且 AD=AC+CB。旁边的学生打趣道：“老师，这简直像给折弦施了魔法，把两段线变成了一条等长的弦！”​ 阿基米德或许没想到，他当年从琴弦上发现的定理，会在千年后不断印证生活中的智慧。现代建筑中，很多弧形屋顶的支撑结构会采用 “折弦” 设计 —— 比如某个剧院的穹顶，用三段钢结构组成折弦，而弧顶的中点到折弦的支撑点，恰好是折弦的中点，既符合力学稳定，又暗合折弦定理。​ 更有趣的是，在航海领域，当船只需要绕过暗礁群（可看作圆上的 C 点），从 A 港到 B 港的航线形成折弦 ACB 时，船员会根据弧 AB 的中点 D 来确定最短绕行距离，而 D 点到航线的垂直距离，刚好能精准定位折弦的中点，避免触礁风险。​ 就像阿基米德当年从一根不完美的折弦中发现完美的几何规律，生活中那些看似 “弯折” 的困境，往往也藏着最优解的密码 —— 这或许就是数学模型最动人的地方：从具象的趣事中来，到广阔的生活中去，跨越千年依然闪耀着理性的光芒。​ （2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。 常见证明方法： 1）截长法：如图，在AD上取一点E，使AE=BC 2）补短法：延长AB至点E，使BE=BC 3）垂线法：过点M作BC垂线交BC延长线于点E 4）作辅助圆法：连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE 模型 阿基米德折弦定理 例1（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    例2（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 例3（2023·重庆·模拟预测）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 例4（24-25九年级上·山西阳泉·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    1．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 2．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 4．（2021·河南洛阳·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点 ∴ … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 5．（2024九年级下·广东·学业考试）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，过点M作垂足为D，求证：．（阿基米德折弦定理） 7．（2023·河南商丘·二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务： (1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 8．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为________________； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程， 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， … （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $