3.2 平面直角坐标系课件 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕平面直角坐标系展开，涵盖概念、点的坐标特征及应用。课堂从北京景点位置等实际情境导入，通过问题链引导学生抽象坐标系概念，探究坐标表示与象限特征，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以实际情境培养数学眼光、思维与语言，如用景点图抽象坐标系体现观察现实世界，“笑脸”图形归纳象限特征培养推理意识，寻宝游戏应用坐标系提升表达能力。助力学生构建知识网络，提升抽象与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系的有关概念 课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测 课堂引入 如图呈现了北京市部分景点的大致位置,小亮和来访的朋友位于卢沟桥,小亮如何向来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢? 韵 (韵) - 师生活动:教师展示图片,让学生在小组内以自己的方式介绍各个景点的位置,然后互相交流,确定比较好的方法. 【探究1】 平面直角坐标系的概念 【尝试·思考】 (1)如图,小亮在景点图上画上了方格,标上数字,并用(0,0)表示卢沟桥的位置,用 (11,4)表示天安门广场的位置,那么北京奥林匹克公园的位置应如何表示? (5,12)表示哪个景点的位置?(6,5)呢? 探究与应用 答：北京奥林匹克公园的位置表示为(11,12), (5,12)表示圆明园的位置, (6,5)表示玉渊潭公园的位置 【探究1】 平面直角坐标系的概念 【尝试·思考】 (2)如图,如果小亮和他的朋友位于天安门广场,并用(0,0)表示天安门广场的位置, 那么你能分别表示北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置吗? 探究与应用 答：北京奥林匹克公园的位置表示为(0,8), 卢沟桥的位置表示为(-11,-4). 【探究1】 平面直角坐标系的概念 【概括新知】 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 通常,两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向. 水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点. 探究与应用 韵 (韵) - 说明:教师让学生在练习本上建立平面直角坐标系,教师巡视学生的画法,并进行适当指导,同时强调两条数轴的单位长度相同. 【探究2】 平面直角坐标系中点的坐标 【概括新知】 建立了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了. 如图,对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别称为点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)称为点P的坐标. 探究与应用 韵 (韵) - 说明：教师边讲解,边画图进行说明,强调过该点分别作x轴和y轴的垂线,垂足所对的数就是该点的横坐标和纵坐标.并让学生在平面直角坐标系中找出实数对(-2,2),(3,-2)对应的点. 【探究2】 平面直角坐标系中点的坐标 【概括新知】 如图,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分称为第一象限,其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内. 探究与应用 【应用】 例 　写出图 中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标. 探究与应用 解:如图,各个顶点的坐标分别是 A(-2,0), B(0,-3), C(3,-3), D(4,0), E(3,3), F(0,3). 【探究2】 平面直角坐标系中点的坐标 韵 (韵) - 处理方式:教师让学生观察图形,找出在坐标轴上的点和象限内的点,然后再确定各点的坐标. 【探究2】 平面直角坐标系中点的坐标 【操作·思考】 (1)在图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点: A(-5,0), B(1,4), C(3,3), D(1,0), E(3,-3), F(1,-4). (2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形? (3)在平面直角坐标系中,点与有序实数对之间有何关系? 探究与应用 F C B A D E 点Q(4,3)与P(3,4), 这两个点是同一个 点吗? 【探究2】 平面直角坐标系中点的坐标 【概括新知】 在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应. 探究与应用 达标测评 1.中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,若“馬”的坐标为(1,2),“車”的坐标为(-2,2),则“炮”的坐标为 (　　) A.(2,1)　　B.(2,2)　　C.(3,1)　　D.(4,0) 课堂小结与检测 C 达标测评 2.如图,在平面直角坐标系中, (1)确定点A,B的坐标; (2)描出点C(-1,-2),点D(2,-3). 课堂小结与检测 答案（1）A（-1，2），B（2，0）； D C 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征 探究与应用 课堂小结与检测 【探究1】 坐标轴上的点的坐标特征 例　在平面直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段依次连接. ①D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5); ②F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3). 观察所描出的图形,它像什么? 探究与应用 解:各点连接起来的图形像“房子” 韵 (韵) - 处理方式:教师让学生先建立平面直角坐标系,教师巡视学生画的是否规范,然后让学生描出各点后,教师展示图形,并让学生观察后讨论交流三个问题. 【探究1】 坐标轴上的点的坐标特征 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标 有什么特点? 探究与应用 解(1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都是0;线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上,它们的横坐标都是0. 【探究1】 坐标轴上的点的坐标特征 根据图形回答下列问题: (2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C 的纵坐标有什么关系?线段EC上其他点的坐标呢? 探究与应用 解(2)线段EC与x轴平行,点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3. 【探究1】 坐标轴上的点的坐标特征 根据图形回答下列问题: (3)点F和点G的横坐标有什么关系? 线段FG与y轴有怎样的位置关系? 探究与应用 解(3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行. 【探究1】 坐标轴上的点的坐标特征 【思考·交流】 在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有什么特点?与同伴进行交流. 探究与应用 【概括新知】坐标轴上的点的特征: x轴上的点的纵坐标为0; y轴上的点的横坐标为0. 韵 (韵) - 说明:让学生根据前面画图和研讨的过程进行总结,并用自己的语言进行表述,有问题时小组其他成员进行补充. 【探究2】 象限内点的坐标特征 【尝试·思考】 图中有一个“笑脸”. (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指 出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点. 探究与应用 解：（1） (2,3)、(5,2)，这两点的横、纵坐标均为正数 韵 (韵) - 处理方式:对于问题(1)(2)让学生分别找出位于第一、二、三、四象限内的点,判断各象限内点的横、纵坐标的符号的特点,然后总结发现的规律.对于问题(3)点名判断,并说明理由,有问题时其他同学进行纠正. 【探究2】 象限内点的坐标特征 【尝试·思考】 图中有一个“笑脸”. (2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个 象限内的点的坐标有什么特点. 探究与应用 解（2）点(-2,3)、(-5,2)在第二象限，这两点的横坐标为负、纵坐标为正数； 点(-3,-3)在第三象限，这点的横、纵坐标均为负数；； 点(3,-3)在第四象限，这点的横坐标为正数、纵坐标为负数。 韵 (韵) - 处理方式:对于问题(1)(2)让学生分别找出位于第一、二、三、四象限内的点,判断各象限内点的横、纵坐标的符号的特点,然后总结发现的规律.对于问题(3)点名判断,并说明理由,有问题时其他同学进行纠正. 【探究2】 象限内点的坐标特征 【尝试·思考】 图中有一个“笑脸”. (3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1), D(-3,4)所在的象限. 探究与应用 解（3）点A在第一象限，点B在第三象限， 点C在第四象限，点D在第二象限 韵 (韵) - 处理方式:对于问题(1)(2)让学生分别找出位于第一、二、三、四象限内的点,判断各象限内点的横、纵坐标的符号的特点,然后总结发现的规律.对于问题(3)点名判断,并说明理由,有问题时其他同学进行纠正. 【探究2】 象限内点的坐标特征 【概括新知】 ①第一象限内点的坐标符号为(+,+); ②第二象限内点的坐标符号为(-,+); ③第三象限内点的坐标符号为(-,-); ④第四象限内点的坐标符号为(+,-). 探究与应用 【探究2】 象限内点的坐标特征 【应用】 如图,在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了, 这个点的坐标可能是(　　) A.(2,5) B.(-2,5) C.(-2,-5) D.(2,-5) 探究与应用 B 变式 1.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P在(　　) A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若点A(-2,n)在x轴上,则点B(n-2,n+1)在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D B 【拓展提升】 1.实数x,y满足x2+y2=0,则点P(x,y)在 (　　) A.原点　　　　　　　　B.x轴正半轴 C.第一象限 D.任意位置 2.已知点P(a,b),Q(3,6),且PQ∥x轴,则b的值为　　　　.  3.点A(m+1,3m-5)在第一象限,当m为　 　　时,点A到x轴的距离 是它到y轴距离的一半.  探究与应用 A 6 达标测评 1.在平面直角坐标系中,已知点P(-5,m)在第三象限,则m的值可能为 (　　) A.-1　　　　B.4　　　　C.0　　　　D. 2.点P(-5,2)到y轴的距离为 (　　) A.-5 B.2 C.-2 D.5 3.如果同一平面直角坐标系中两个点的横坐标相同,那么过这两点的直线 (　　) A.平行于x轴或与x轴重合 B.平行于y轴或与y轴重合 C.经过原点 D.以上都不对 课堂小结与检测 A D B 达标测评 4.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(3a-5,a+1). (1)若点A在y轴上,求点A的坐标; (2)若点A在第二象限,且点A到x轴的距离与到y轴的距离相等,求a的值. 课堂小结与检测 解：（1）∵点A在y轴上， ∴3a-5=0，解得a=， ∴a+1=+1=， ∴A(0,),； （2）∵点A在第二象限，且点A到x轴的距离 与到y轴的距离相等， ∴3a-5＜0，a+1＞0，|3a-5|=|a+1|， ∴|3a-5|=-（3a-5），|a+1|=a+1， ∴-（3a-5）=a+1， 解得a=1． 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第3课时 建立适当的坐标系描述图形的位置 探究与应用 课堂小结与检测 【探究】 建立平面直角坐标系,描述图形 问题:如图,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标. 探究与应用 解： 如图所示,以点C为原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴, 建立平面直角坐标系.此时点C的坐标是(0,0). 由CD=6,CB=4,可得点D,B,A的坐标分别是D(6,0),B(0,4),A(6,4). 韵 (韵) - 教学提示:在没有平面直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立平面直角坐标系,那么应如何选取平面直角坐标系呢?请大家思考. 【探究】 建立平面直角坐标系,描述图形 【思考·交流】 对于上面的问题,你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗?它们分别有什么特点?与同伴进行交流. 探究与应用 韵 (韵) - 处理方式:让学生在小组内进行讨论交流,然后分别展示各小组的做法,并让学生说一说各方法具备的特点. 【探究】 建立平面直角坐标系,描述图形 【思考·交流】 探究与应用 方法一：如图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y,建立平面直角坐标系.由CD长为6,BC长为4,可得点A,B,C,D的坐标分别为A(0,4),B(-6,4),C(-6,0),D(0,0). x y x y 方法二：如图所示,以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直 线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.由AB长为6,AD长为4, 可得点A,B,C,D的坐标分别为A(0,0),B(-6,0),C(-6,-4),D(0,-4). 还有其他方法吗 韵 (韵) - 处理方式:让学生在小组内进行讨论交流,然后分别展示各小组的做法,并让学生说一说各方法具备的特点. 【应用】 例　(教材例4)如图,对于边长为4的等边三角形ABC,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标. 探究与应用 解:如图,以边BC所在直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系. 由等边三角形的性质可知,△ABO是直角三角形. 所以AO===2. 所以顶点A,B,C的坐标分别是A(0,2),B(-2,0),C(2,0). 【尝试·思考】 如图,在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息.如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”? 探究与应用 解:连接AB,作线段AB的中垂线,并以这条直线为横轴;将线段AB分成四等份,以其中的一份为单位长度,以线段AB的中点为起点,向左找到距起点3个单位长度的点,过这个点作横轴的垂线,并以此作为纵轴,建立平面直角坐标系,再在新建的平面直角坐标系内找到坐标为(4,4)的点,即是藏宝地点. 韵 (韵) - 通过“寻宝”游戏这一有趣问题的讨论,不仅让学生对本节知识有了更清晰的认识,还提高了学生运用知识的能力,同时激发学生学习的积极性,从而达到对平面直角坐标系和点的坐标的进一步理解. 达标测评 1.课间操时,小华、小军、小刚的位置如图,小华对小刚说,如果我的位置用(0,0)表示,小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成 (　　) A.(5,4)　　　　B.(4,5)　　C.(3,4)　　　　D.(4,3) 　　 2.如图所示,“ ”所在位置的坐标为(-1,-2),“ ”所在位置的坐标为(2,-2),那么,“ ”所在位置的坐标为　　　 　. 课堂小结与检测 D （ -3，1） 达标测评 3.在长方形ABCD中,A点的坐标为(1,3),B点的坐标为(1,-2),C点的坐标为(-4,-2),则D点的坐标是　　　 　.  4.如图,先建立适当的平面直角坐标系,再写出点A,B,C的坐标,并求△ABC的面积. 课堂小结与检测 （-4，3） 答案：S△ABC=2=6 $