专题02 代数式（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

专题02 代数式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义与分类 能准确区分单项式、多项式和整式，理解代数式的构成要素 常以选择题形式出现（占5%），易混淆分式与整式（如误认为x/2是单项式） 代数式求值 掌握代入法计算，特别是负数、分数代入时的规范书写 填空题高频考点（占10%），典型错误：代入a=-2时，a²误算为-4 单项式系数与次数 能快速确定系数、次数（如π是数字因数） 常考组合题（系数+次数），易错点：忽略π是常数（如-πx²的系数误为-1） 同类项识别 能根据"两相同"（字母相同且相同字母指数相同）快速判断 选择题高频（占12%），易错：3x²y与2xy²误判为同类项 合并同类项 掌握"系数相加，字母不变"原则，处理符号问题 计算题核心考点（占15%），典型错误：-4a+3a=-7a（符号计算错误） 去括号运算 熟练应用"负变正不变"法则，处理多层括号 解答题基础步骤（占20%），高频错误：a-(2b-3c)=a-2b-3c（漏变号） 整式加减综合 能分步完成去括号、合并同类项，解决含参数问题 压轴题常见类型（占25%），典型失分：化简2(3x-y)-3(x+2y)时漏乘系数项 代数式实际应用 建立实际问题与代数式的对应关系（如面积、价格、运动问题） 期末应用题必考（占30%），易错：将"a增加20%"写成a+20（应为1.2a） 规律探究题 能通过观察数/图形变化规律，用代数式概括（如第n个图案用火柴棒数量） 压轴题难点（占10%），典型错误：将等差数列2,5,8,...的通项误写为3n（应为3n-1） 知识点01 代数式的定义 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。 示例： 易错点： 混淆代数式与等式（如 不是代数式，而是方程）。 忽略运算符号，如 是代数式，但 不是代数式（应写成 ）。 知识点02 代数式的值 概念：用具体数值代替字母计算所得的结果。 示例： 若 ，则 。 若 ，则 。 易错点： 代入负数或分数时漏括号，如 时， 误算为 （正确应为 ）。 运算顺序错误，如 当 时误算为 （正确应为 ）。 知识点03 单项式 概念：仅含数字与字母乘积的式子（单独的数或字母也是单项式）。 示例： 易错点： 误认为含除法的式子是单项式（如 不是单项式）。 混淆系数与指数，如 的系数是 ，不是 。 知识点4 多项式 概念：多个单项式的和。 示例： 易错点： 未按降幂排列（如 应写为 ）。 漏项或重复计算（如 误算为 ，正确应为 ）。 知识点5 同类项 概念：字母相同且相同字母指数相同的项。 示例： 与 是同类项。 与 是同类项（字母顺序不影响）。 易错点： 忽略系数不同（如 与 不是同类项）。 误认为字母相同但指数不同的项是同类项（如 和 不是同类项）。 知识点6 合并同类项 概念：系数相加，字母部分不变。 示例： 易错点： 合并时漏符号（如 误算为 ，正确应为 ）。 误合并非同类项（如 不能合并）。 知识点7 去括号法则 概念： 括号前是“+”，去括号后符号不变。 括号前是“-”，去括号后符号全变。 示例： ， 易错点： 去括号时漏变号（如 误为 ，正确应为 ）。 多层括号处理错误（如 误去括号）。 知识点8 整式的加减 概念：先去括号，再合并同类项。 示例： 易错点： 未按步骤操作导致漏项（如忘记合并 项）。 符号错误（如 误算为 ）。 知识点9 列代数式（实际应用） 概念：将实际问题转化为代数式。 示例： 比 大 3 的数：，长方形的面积：长 × 宽 = 易错点： 单位未统一（如“ 米增加 厘米”未换算单位）。 忽略关键词（如“少”用减法，“积”用乘法）。 题型一 代数式分类与识别 解｜题｜技｜巧 怎么想 1. 看结构：单项式（纯乘积）、多项式（和式）、整式（分母无字母） 2. 抓关键：分式与整式的区别在于分母是否有字母（如x/2是整式，2/x是分式） 怎么做 【典例】判断下列代数式类型： ① 3x²y（单项式） ② x+1/x（非整式） ③ -πa³（单项式，π是数字） 步骤： · ① 纯乘积→单项式 · ② 分母含字母→非整式 · ③ π是常数→系数为-π 易｜错｜点｜拨 坑点1：误将x/2当分式（实际分母是数字，属整式） 坑点2：忽略π是数字（如-πx²的系数是-π，不是-1） 【典例1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟练掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“”等符号的不是代数式．根据代数式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 0 是代数式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、不是代数式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【典例2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】依次分析每个选项，根据单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义来判断对错即可． 本题主要考查了单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：的系数是，故A选项错误，不符合题意． 的次数是，故B选项错误，不符合题意． ，是多项式，故C选项错误，不符合题意． 有三项，最高次项是，次数为，是二次三项式，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·安徽·期末）下列判断中正确的是（ ） A．与是同类项 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了同类项、整式、单项式、多项式的概念．根据同类项、整式、单项式、多项式的概念逐项分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，故本选项不符合题意； B、是整式，故本选项不符合题意； C、单项式的系数是，故本选项符合题意； D、是三次三项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型二 代数式求值 解｜题｜技｜巧 代入法：负数/分数代入时加括号（如a=-2时，a²=(-2)²=4） 化简优先：先化简再代入（如2(x-y)+3x化简为5x-2y再代入） 易｜错｜点｜拨 坑点1：a=-3时，2a²=18（非-18） 坑点2：分数代入漏括号（如x=1/2时，1/x=2，若写1/1/2会误算为0.5） 【典例1】（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体思想，将已知代数式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查代数式求值，运用整体代入法．观察代数式是已知条件的3倍，因此可通过整体代入求解． 【详解】解：由，得， 故答案为：23． 【变式1】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． （1）用大圆的面积减去5个小圆的面积得出结果即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ． 答：阴影部分的面积为． （2）解：当时， ． 答：阴影部分的面积约为． 【变式2】（25-26七年级上·山西朔州·期中）下表为太原某超市某天的部分水果价位表，根据价格表回答下列问题： 种类   玉露香梨   运城苹果   阳城柿子   柳林红枣 单价（元/千克） 6 8 3 (1)若王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果． ①王阿姨应付__________元．（用含和的代数式表示）． ②若，，求王阿姨的水果消费总额． (2)请说出代数式的意义． 【答案】(1)①②元 (2)用元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱 【分析】本题考查列代数式，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由表格知，玉露香梨和运城苹果的单价分别为6元和8元，根据总价等于单价乘以数量分别表示出买玉露香梨和运城苹果的总价，然后相加即可； ②将，代入①中代数式求值即可； （2）由表格知，柳林红枣单价元，阳城柿子单价3元，故表示用元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱． 【详解】（1）解：①由表格知，玉露香梨和运城苹果的单价分别为6元和8元， ∴王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果应付元； 故答案为：； ②当，时， （元）． 答：王阿姨的水果消费总额为元． （2）解：由表格知，柳林红枣单价元，阳城柿子单价3元， ∴代数式的意义：用100元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱． 题型三 去括号与整式加减 解｜题｜技｜巧 去括号法则： +()：直接去括号 -()：括号内每一项变号 分步操作：去括号→合并同类项 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏乘系数（如-3(x+2y)误为-3x+2y） 坑点2：多层括号未逐层处理（如a-[b-(c-d)]先算内层(c-d)） 【典例1】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减运算、括号添等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意列举出此操作的所有结果，即可判定①；所有结果中字母a的系数恒为1，两结果相加a的系数为2，无法为零，即可判定②；通过合理添加括号可使结果与原式相同，正确． 【详解】解：①初始多项式符号交替排列，如．添加两个括号后，可能的结果包括：1． 原式：；2．添加括号如，结果为；3．添加括号如，结果为；同理，符号排列为时，类似操作产生3种结果．总共有种不同结果，故①错误． ②无论括号如何添加，所有结果中字母的系数始终为．若存在两种操作结果相加为0，则的系数需为，矛盾．故②正确． ③例如，添加括号，去括号后与原式相同．故③正确． 综上，正确的说法为②和③，共2个． 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，法则：括号前是负号，去括号时各项都要变号．根据去括号法则进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24六年级上·山东济南·期末）先去括号，再合并同类项． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去中括号，再去小括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 规律探究 解｜题｜技｜巧 观察模式：分析数字/图形变化规律（如等差数列、平方数） 代数表达：用n表示第n项（如2,5,8,...的通项为3n-1） 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略初始项（如误将4,7,10,...写为3n） 坑点2：图形规律未验证（如三角形数1,3,6,...应为n(n+1)/2） 【典例1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 【典例2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，图①中搭1个小正方形需要4根火柴棒，图②中搭2个小正方形需要7根火柴棒，图③中搭3个小正方形需要10根火柴棒，……，那么搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为（   ） A．63 B．64 C．53 D．54 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是找出规律． 根据图形的示例，找出规律进行计算即可． 【详解】解：根据给出的示例及图形的规律得， 第个图形中火柴棒的根数为， 搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（相邻的两个图形）多5个小正六边形瓷砖，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有个小正六边形瓷砖， 第2个图案有个小正六边形瓷砖， 第3个图案有个小正六边形瓷砖， ……， 以此类推可得，第n个图案有个小正六边形瓷砖， ∴第101个图案共有小正六边形瓷砖， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，需根据合并同类项的法则逐一判断,合并同类项时，字母和字母指数不变，系数相加减由此判断 【详解】∵ 选项A：，∴ A错误； ∵ 选项B：，∴ B错误； ∵ 选项C：（除非或），∴ C错误； ∵ 选项D：，∴ D正确； 2．（24-25七年级上·重庆江北·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键． 按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为奇数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为奇数，则； 第六次：，为偶数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为偶数，则； 第九次：，为奇数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为奇数，则； 第十二次：，为偶数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为偶数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据定义；；．代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数， ∴； ∵b是最大的负整数， ∴； ∵ c是绝对值最小的有理数， ∴． 则， 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，的值是 ． 【答案】520 【分析】本题考查了数字规律探索问题，观察各图形可发现a，b，c的规律及它们之间的关系，即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：1，，3，，，； 所在的位置的数字规律为，，，，； ， ∴在第⑧个图中，，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算、去括号及合并同类项，熟练掌握含乘方的有理数混合运算、去括号及合并同类项是解题的关键； （1）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可得，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖北·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法，两个有理数比较大小，绝对值化简等．根据已知条件、可得，结合可判断①和②正确；化简绝对值表达式③可得值为1；对于④，通过代入计算发现可能为4或8，不一定为8，故④错误． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ ，； ∵ ，， ∴ ，，； ∵ ， ∴ ，； ∴ ，故③正确； ∵ ，且， ∴ ，； ∵ ， ∴ 或； 若，则，，； 若，则，，； ∴不一定为8，故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律；由题意易得每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数字的平方，右下角是每个正方形的其他三个数之和，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数的平方，右下角是每个正方形的其它三个数之和， ∴， ∴； 故答案为． 4．（25-26七年级下·全国·期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、用求差法比较代数式的大小，根据矩形的面积公式，可得：，，可知，因为为正整数，所以，从而可得：． 【详解】解：由图可知，，， ， 为正整数， ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·湖北·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，平方差公式，熟练掌握绝对值的几何意义和有理数的运算法则是解题的关键．对于①，当时，即可判断；对于②，根据条件可推出，，则，然后化简绝对值，即可判断；对于③，根据，结合数轴，分类讨论得出a、b的符号，即可判断；对于④根据条件可推出且，，，进而化简绝对值，即可判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误， 对于②：∵ ， ∴与同号， 又， ∴，， ∴， ∴，故②正确， 对于③：∵，则有四种情况： i、如数轴所示，    此时， ∴， ∴； ii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iv、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； 综上，若，则，故③正确； 对于④：∵， ∴与同号， 又，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，故④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙长为米，宽为米，且与之比是，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，其中圆的直径都是背景墙宽的一半，这个背景墙未被遮挡部分的面积为 平方米．（结果用只含字母的代数式表示，并保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，设圆的半径为，则圆的直径为，可得背景墙被装饰布所占面积为，根据与之比是，可得，所以背景墙的面积为，用背景墙的面积减去装饰布的面积即为背景墙未被遮挡部分的面积． 【详解】解：设圆的半径为，则圆的直径为， 背景墙被装饰布所占面积为， ，， ， 背景墙的面积为， 背景墙未被遮挡部分的面积为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）观察下列球的排列规律其中是实心球，是空心球： 从第个球起到第个球止，共有实心球 个 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球是解题的关键． 根据所给图形，发现每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球，据此可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 从第个球开始，每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球． 又因为余，前4个球有2个实心球， 则， 所以从第个球起到第个球止，共有实心球个． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义与分类 能准确区分单项式、多项式和整式，理解代数式的构成要素 常以选择题形式出现（占5%），易混淆分式与整式（如误认为x/2是单项式） 代数式求值 掌握代入法计算，特别是负数、分数代入时的规范书写 填空题高频考点（占10%），典型错误：代入a=-2时，a²误算为-4 单项式系数与次数 能快速确定系数、次数（如π是数字因数） 常考组合题（系数+次数），易错点：忽略π是常数（如-πx²的系数误为-1） 同类项识别 能根据"两相同"（字母相同且相同字母指数相同）快速判断 选择题高频（占12%），易错：3x²y与2xy²误判为同类项 合并同类项 掌握"系数相加，字母不变"原则，处理符号问题 计算题核心考点（占15%），典型错误：-4a+3a=-7a（符号计算错误） 去括号运算 熟练应用"负变正不变"法则，处理多层括号 解答题基础步骤（占20%），高频错误：a-(2b-3c)=a-2b-3c（漏变号） 整式加减综合 能分步完成去括号、合并同类项，解决含参数问题 压轴题常见类型（占25%），典型失分：化简2(3x-y)-3(x+2y)时漏乘系数项 代数式实际应用 建立实际问题与代数式的对应关系（如面积、价格、运动问题） 期末应用题必考（占30%），易错：将"a增加20%"写成a+20（应为1.2a） 规律探究题 能通过观察数/图形变化规律，用代数式概括（如第n个图案用火柴棒数量） 压轴题难点（占10%），典型错误：将等差数列2,5,8,...的通项误写为3n（应为3n-1） 知识点01 代数式的定义 概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。 示例： 易错点： 混淆代数式与等式（如 不是代数式，而是方程）。 忽略运算符号，如 是代数式，但 不是代数式（应写成 ）。 知识点02 代数式的值 概念：用具体数值代替字母计算所得的结果。 示例： 若 ，则 。 若 ，则 。 易错点： 代入负数或分数时漏括号，如 时， 误算为 （正确应为 ）。 运算顺序错误，如 当 时误算为 （正确应为 ）。 知识点03 单项式 概念：仅含数字与字母乘积的式子（单独的数或字母也是单项式）。 示例： 易错点： 误认为含除法的式子是单项式（如 不是单项式）。 混淆系数与指数，如 的系数是 ，不是 。 知识点4 多项式 概念：多个单项式的和。 示例： 易错点： 未按降幂排列（如 应写为 ）。 漏项或重复计算（如 误算为 ，正确应为 ）。 知识点5 同类项 概念：字母相同且相同字母指数相同的项。 示例： 与 是同类项。 与 是同类项（字母顺序不影响）。 易错点： 忽略系数不同（如 与 不是同类项）。 误认为字母相同但指数不同的项是同类项（如 和 不是同类项）。 知识点6 合并同类项 概念：系数相加，字母部分不变。 示例： 易错点： 合并时漏符号（如 误算为 ，正确应为 ）。 误合并非同类项（如 不能合并）。 知识点7 去括号法则 概念： 括号前是“+”，去括号后符号不变。 括号前是“-”，去括号后符号全变。 示例： ， 易错点： 去括号时漏变号（如 误为 ，正确应为 ）。 多层括号处理错误（如 误去括号）。 知识点8 整式的加减 概念：先去括号，再合并同类项。 示例： 易错点： 未按步骤操作导致漏项（如忘记合并 项）。 符号错误（如 误算为 ）。 知识点9 列代数式（实际应用） 概念：将实际问题转化为代数式。 示例： 比 大 3 的数：，长方形的面积：长 × 宽 = 易错点： 单位未统一（如“ 米增加 厘米”未换算单位）。 忽略关键词（如“少”用减法，“积”用乘法）。 题型一 代数式分类与识别 解｜题｜技｜巧 怎么想 1. 看结构：单项式（纯乘积）、多项式（和式）、整式（分母无字母） 2. 抓关键：分式与整式的区别在于分母是否有字母（如x/2是整式，2/x是分式） 怎么做 【典例】判断下列代数式类型： ① 3x²y（单项式） ② x+1/x（非整式） ③ -πa³（单项式，π是数字） 步骤： · ① 纯乘积→单项式 · ② 分母含字母→非整式 · ③ π是常数→系数为-π 易｜错｜点｜拨 坑点1：误将x/2当分式（实际分母是数字，属整式） 坑点2：忽略π是数字（如-πx²的系数是-π，不是-1） 【典例1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【典例2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·安徽·期末）下列判断中正确的是（ ） A．与是同类项 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 题型二 代数式求值 解｜题｜技｜巧 代入法：负数/分数代入时加括号（如a=-2时，a²=(-2)²=4） 化简优先：先化简再代入（如2(x-y)+3x化简为5x-2y再代入） 易｜错｜点｜拨 坑点1：a=-3时，2a²=18（非-18） 坑点2：分数代入漏括号（如x=1/2时，1/x=2，若写1/1/2会误算为0.5） 【典例1】（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下左图是某款智能手机的背面，将其后置摄像头模组抽象成如下右图所示的图形，中心圆的半径为r，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的．      (1)请用r的式子表示上右图中阴影部分的面积S（注意化简）； (2)当时，计算上右图中阴影部分的面积S（取，结果精确到）． 【变式2】（25-26七年级上·山西朔州·期中）下表为太原某超市某天的部分水果价位表，根据价格表回答下列问题： 种类   玉露香梨   运城苹果   阳城柿子   柳林红枣 单价（元/千克） 6 8 3 (1)若王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果． ①王阿姨应付__________元．（用含和的代数式表示）． ②若，，求王阿姨的水果消费总额． (2)请说出代数式的意义． 题型三 去括号与整式加减 解｜题｜技｜巧 去括号法则： +()：直接去括号 -()：括号内每一项变号 分步操作：去括号→合并同类项 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏乘系数（如-3(x+2y)误为-3x+2y） 坑点2：多层括号未逐层处理（如a-[b-(c-d)]先算内层(c-d)） 【典例1】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）化简： ． 【变式2】（23-24六年级上·山东济南·期末）先去括号，再合并同类项． (1) (2) 题型四 规律探究 解｜题｜技｜巧 观察模式：分析数字/图形变化规律（如等差数列、平方数） 代数表达：用n表示第n项（如2,5,8,...的通项为3n-1） 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略初始项（如误将4,7,10,...写为3n） 坑点2：图形规律未验证（如三角形数1,3,6,...应为n(n+1)/2） 【典例1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，图①中搭1个小正方形需要4根火柴棒，图②中搭2个小正方形需要7根火柴棒，图③中搭3个小正方形需要10根火柴棒，……，那么搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为（   ） A．63 B．64 C．53 D．54 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 【变式2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆江北·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则 ． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，的值是 ． 5．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1) (2) 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．（25-26七年级上·湖北·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 4．（25-26七年级下·全国·期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 5．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）先化简，再求值：，其中，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·湖北·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙长为米，宽为米，且与之比是，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，其中圆的直径都是背景墙宽的一半，这个背景墙未被遮挡部分的面积为 平方米．（结果用只含字母的代数式表示，并保留） 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）观察下列球的排列规律其中是实心球，是空心球： 从第个球起到第个球止，共有实心球 个 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $